人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)
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人教A版高中数学必修五课件1.2.2解三角形的实际应用举例——高度、角度问题.pptx
解得 t 2 或t 5 （舍去）.
3
12
所以舰艇需要 2 小时靠近渔船.
3
此时AB=14海里，CB=6海里，
由正弦定理，得 CB AB ，
sin CAB sin120
6 sin CAB
3 2 3
3，
14 14
∴∠CAB≈21.8°，21.8°+45°=66.8°,
∴舰艇的航向是北偏东约66.8°.
【例】在海岛A上有一座海拔 1 km的山峰，山顶设有一个观 察站P.有一艘轮船按一固定方 向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15°， 俯角为30°的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45°， 俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度； (2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.
而PD最小.
此时，
AD AB AC sin 60
3
3 3
3 2
3
7,
BC
21
14
3
PD 1 ( 3 7)2 259 .
14
14
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 259 km.
14
方法二:由(1)知在△ACB中，由正弦定理
AC
BC
，sin ABC
3 3 3 2
【规范解答】在△BCD中，∠BCD=α，∠BDC=β，
∴∠CBD=180°-(α+β),
BC sin
sin［180
s
，即
］
BC sin
sin
s
.
BC sin s. sin( )
人教A版高中数学必修五第一章第二节解三角形应用举例 课件(共37页PPT)
解析：在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得sinBC30°＝sin31035°，解得 BC＝15 2(m)． 在 Rt△ABC 中， AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6(m)． 答案：D
小结
（1）仰角与俯角
（2）实际测量高度问题中解三角形
底部可到达的，底部不可到达 俯角问题
6米长的木棒斜靠在石堤旁，棒子的一端距离堤足 2 3 m的地面上， 另一端在沿堤上 2 角，则需要求出∠BCA的度数
在△ABC中，已知三边求角，运用余弦定理
B
cosBCA a2 b2 c2 2ab
c
a
12 12 36 1
24
2
A
b
C
D
BCA 120 BCD 60 坡角为60°
AC AB sin B sin C
A 55
C
55 AB 32 22
AB 55 6 3
2.两点都可看到，却都不可到达
如图，A、B两点均在河对岸，如何测得AB间距离？
在河这一岸选取一点C，若测得CB， CA的距离及夹角，可用余弦定理，计 算AB。
利用前一题的测量方法。选取D点，测 得CD距离，测出各个角度
sin sin CAD
AC 1
20 6 2
2
2
AC 5( 6 2)
在△ACE中
AE ACsin
5( 6 2) 2 2
5 35
AB AE EB
5 36
6．要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得 塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°，并测得 水 平 面上的 ∠ BCD ＝ 120°， CD ＝ 40 m， 则 电视塔 的 高度为 ________ m.
1.2第2课时 高度、角度问题 秋学期高中数学必修5(人教A版)PPT课件
解：在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β.
由正弦定理，得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD. 所以 BC＝CDsisnin∠∠CBBDDC＝sin s（·siαn＋ββ）. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝ssin·ta（n θα＋sinβ）β .
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 的大小(精确到 1°)．
所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东 30°，航行速度为 30 海里/ 时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．
[迁移探究] 典例 4 中若小艇无最高航行速度限制， 其他条件不变．问：
(1)若希望相遇时小船行距最小，则小艇航行速度为 多少？
(2)若保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)与轮船相遇， 试求小艇航行速度的最小值．
归纳升华 1．解决有关航行问题，关键是弄懂一些数学术语的 含义，根据题意作出草图后，再运用正弦、余弦定理来 求解． 2．解决这类问题时一定要搞清方位角，另外需注意 的一点就是选择好不动点．
[变式训练] 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50°的 方向，距小岛 12 海里的 B 处，发现隐藏在小岛边上的一 艘走私船正开始向小岛北偏西 10°的方向行驶，测得其速 度为每小时 10 海里，问我巡逻艇需以多大速度朝什么方 向航行才能恰好在两小时后截获该走私船(参考数据：sin 38°≈0.62)?
由正弦定理得：sin5045°＝sin（9B0C°＋θ），
100sin 15° 即：sin5045°＝sin（si9n03°0＋°θ）， 解得 cos θ＝ 3－1， 所以 θ≈43°， 故山坡相对于水平面的倾斜角约为 43°.
由正弦定理，得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD. 所以 BC＝CDsisnin∠∠CBBDDC＝sin s（·siαn＋ββ）. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝ssin·ta（n θα＋sinβ）β .
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 的大小(精确到 1°)．
所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东 30°，航行速度为 30 海里/ 时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．
[迁移探究] 典例 4 中若小艇无最高航行速度限制， 其他条件不变．问：
(1)若希望相遇时小船行距最小，则小艇航行速度为 多少？
(2)若保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)与轮船相遇， 试求小艇航行速度的最小值．
归纳升华 1．解决有关航行问题，关键是弄懂一些数学术语的 含义，根据题意作出草图后，再运用正弦、余弦定理来 求解． 2．解决这类问题时一定要搞清方位角，另外需注意 的一点就是选择好不动点．
[变式训练] 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50°的 方向，距小岛 12 海里的 B 处，发现隐藏在小岛边上的一 艘走私船正开始向小岛北偏西 10°的方向行驶，测得其速 度为每小时 10 海里，问我巡逻艇需以多大速度朝什么方 向航行才能恰好在两小时后截获该走私船(参考数据：sin 38°≈0.62)?
由正弦定理得：sin5045°＝sin（9B0C°＋θ），
100sin 15° 即：sin5045°＝sin（si9n03°0＋°θ）， 解得 cos θ＝ 3－1， 所以 θ≈43°， 故山坡相对于水平面的倾斜角约为 43°.
12解三角形应用举例2(人教A版必修5第一章-解三角形-)PPT课件
经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
sA inB)s(C i,cnA oB)sc(Cos
si A n B co C ,c s o A s B si C n
2
2
2
2
No Image
1.2 解三角形应用举例 (1)
距离 高度
角度
有关三角形计算
经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。 是根据测角原理设计的。目前最常用 的是光学经纬仪。
（1）什么是最大仰角？
BC2 AB2 AC2 2ABACcosAA
（2）例题中涉及一个怎样的三角 1.9521.40最22大1.角951度.40cos6662200
形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？ 3.571
BC1.89(m)
C
A B
sA i :s n B i :s n C i a n :b :c
问题4：运用该定理解题还需要那些边和 角呢？
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB 55sin ACB
sin ABC
sin ABC
55sin 75 sin(180 51 75 )
55sin 75 sin 54
65.7(m)
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。
问题 1:什么叫仰角与俯角?
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， BC2AB22AC2222AABBAACCccoossAA
sA inB)s(C i,cnA oB)sc(Cos
si A n B co C ,c s o A s B si C n
2
2
2
2
No Image
1.2 解三角形应用举例 (1)
距离 高度
角度
有关三角形计算
经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。 是根据测角原理设计的。目前最常用 的是光学经纬仪。
（1）什么是最大仰角？
BC2 AB2 AC2 2ABACcosAA
（2）例题中涉及一个怎样的三角 1.9521.40最22大1.角951度.40cos6662200
形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？ 3.571
BC1.89(m)
C
A B
sA i :s n B i :s n C i a n :b :c
问题4：运用该定理解题还需要那些边和 角呢？
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB 55sin ACB
sin ABC
sin ABC
55sin 75 sin(180 51 75 )
55sin 75 sin 54
65.7(m)
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。
问题 1:什么叫仰角与俯角?
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， BC2AB22AC2222AABBAACCccoossAA
2017高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高度、角度问题课件新人教A版必修5
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题， 我们可选择一条过建筑 物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点 可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为 依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正 弦或余弦定理解决即可．
1．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔 AB 的高度，在塔的 同一侧选择 C，D 两个观测点，且在 C，D 两点测得塔顶的仰角分别 为 45° ，30° ，在水平面上测得∠BCD＝120° ，C，D 两地相距 500 m， 则电视塔 AB 的高度是(
答案：C
2．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 75° 的角，树尖也倾 斜为与地面成 45° 的角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，则折断 点与树干底部的距离是( 20 6 A. 米 3 C. 10 6 米 3 ) B．20 6米 D．10 6米
解析：如图，设树干底部为 O，树尖着地处为 B， 折断点为 A，则∠ABO＝45° ，∠AOB＝75° ， AO 20 ∴∠OAB＝60° ， 由正弦定理知， ＝ ， sin 45° sin 60° 20 6 ∴AO＝ (米)． 3
2.如图所示，在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD，在距离 B 点 60 m 的地面上取一点 A，若测得∠CAD ＝45° ，求此电视塔的高度．
5 3sin 30° 5×1.732×0.5 得 AB＝ ≈ ≈72.8(米)， sin 10° sin 20 ° 0.342×0.174 故塔高为 72.8 米．
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量， 我们可以选择另一参照物作 为研究的桥梁，然后找到可测参照物的相关长度和仰、俯角等构成的 三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可．
高中数学第一章解三角形122高度角度问题课件新人教A版必修5
3．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距
40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处南
偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接到观测站
通知后立即前往 B 处救助，则 sin∠ACB＝
21
7
.
解析：在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余
解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台 风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，BC＝( 3＋1)×10 2.
在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
2．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝100 m， 从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是 60°，30°，则 A 点离地面的 高度 AB 等于( A )
A．50 3 m C．50 m
B．100 3 m D．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以 AC＝DC＝100 m， 在 Rt△ABC 中，AB＝ACsin60°＝50 3 m.
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一 建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、 俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即 可.
[变式训练 2] 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼， AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 α ＝30°，测得乙楼底部 D 的俯角 β＝60°，已知甲楼高 AB＝24 米， 则乙楼高 CD＝ 32 米．
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5(1)-推荐ppt版本
6－ 2
2 a×sin60°＋
asin15°＝ 22a(m)．
3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5 m，迎水坡的坡比是 3 ∶3，则斜坡 的坡角α等于__3_0_°____，斜坡AB的长度是___1_0_m_____．
[解析] 由题意知，坡比i＝tanα＝ 33． ∵0°<α<90°，∴坡角α＝30°． 又∵坡高BC＝5 m， ∴斜坡长AB＝sBinCα＝sin530°＝10 m．
• 第三级
– 第四级 » 第五级
[解析] 解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝ 30，
又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10 3． 在△BPC中，根据正弦定理，得siPnC2θ＝sinπP－B 4θ， 即1si0n23θ＝si3n04θ，∴2sins2inθ2cθos2θ＝10303，∴cos2θ＝ 23， ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°．
命题方向3 ⇨测量角度问题
例题 3
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– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
[解析] 如图所示，连接CB.在△ABC中，∠CAB＝90°＋30°＝120°．
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos120°． 又AC＝10，AB＝20，得 BC2＝202＋102－2×20×10×(－12)， ∴BC＝10 7(n mile)．
B．a2
C．
3 2a
D．a
[解析] 由题可知α＝30°，β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠
BPA＝π2－α－π2－γ＝γ－α＝30°，∴由正弦定理，得sina30°＝sinP1B5°，
2020-2021学年高中人教A版数学必修五课件-1.2.2-解三角形的实际应用举例-高度、角度问题
【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,
所以AE=2AB=2,CE= CD 3 2 3，
sin 60 3
在△ACE中,
2
由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos ∠AEC
=4+12-2×2×2
3×
( 3=) 28,
2
所以AC=2 7 ,即两山顶A,C之间的距离为2 7 km.
【补偿训练】 如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内,沿南偏西60°的方 向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向 上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°. (1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟; (2)求塔的高AB.
2
2.如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶端.
依题意,∠BAD=60°,∠CBD=80°,AB=15.2 m,
则∠ADB=80°-60°=20°,在△ABD中根据正弦定理,得
BD=ABsin
60
15.2 3
≈38.272,
sin 20
0.34
在Rt△BCD中,CD=BDsin 80°≈38.72×0.98≈38(m),
4
答案: 3
4
关键能力·合作学习
类型一 在同一铅垂面内的高度问题(数学建模)
【典例】1.如图在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山
脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则山的高度BC为( )
A.700 m
B.640 m
C.600 m
m
2.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字,其造型流畅别致,是济南的标 志和象征.李明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰 角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为 80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗?(精确到1 m,参考数据sin 20° ≈0.34,sin 80°≈0.98)
人教版高中数学第一章解三角形应用举例--测量高度的问题(共17张PPT)教育课件
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在当今社会，大 家 都 生 活 得匆 匆 忙 忙 ， 比房 子 、 比 车 子、 比 票 子 、 比小 孩 的 教 育 、比 工 作 ， 往 往被 压 得 喘 不 过 气来 。 而 另 外 总有 一 些 人 会 运用 自 己 的 心 智去 分 辨 哪 些 快乐 或 者 幸 福 是必 须 建 立 在 比较 的 基 础 上 的， 而 哪 些 快 乐和 幸 福 是 无 需比 较 同 样 可 以获 得 的 ， 然 后把 时 间 花 在 寻找 甚 至 制 造 那些 无 需 比 较 就可 以 获 得 的 幸福 和 快 乐 ， 然后 无 怨 无 悔 地生 活 ， 尽 情 欢乐 。 一 位 清 洁阿 姨 感 觉 到 快乐 和 幸 福 ， 因为 她 刚 刚 通 过自 己 的 双 手 还给 路 人 一 条 清洁 的 街 道 ； 一位 幼 儿 园 老 师感 觉 到 快 乐 和幸 福 ， 因 为 他刚 给 一 群 孩 子讲 清 楚 了 吃 饭前 要 洗 手 的 道理 ； 一 位 外 科医 生 感 觉 到 幸福 和 快 乐 ， 因为 他 刚 刚 从 死神 手 里 抢 回 了一 条 人 命 ； 一位 母 亲 感 觉 到幸 福 和 快 乐 ，因 为 他 正 坐 在孩 子 的 床 边 ，孩 子 睡 梦 中 的脸 庞 是 那 么 的安 静 美 丽 ， 那么 令 人 爱 怜 。。 。 。 。 。
•
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学习重要还是人 脉 重 要 ?现 在 是 一 个 双赢 的 社 会 ， 你的 价 值 可 能 更多 的 决 定 了 你的 人 脉 ， 我 们所 要 做 的 可 能 更多 的 是 专 心 打造 自 己 ， 把 自己 打 造 成 一 个优 秀 的 人 、 有用 的 人 、 有 价值 的 人 ， 当 你真 正 成 为 一 个优 秀 有 价 值 的人 的 时 候 ， 你会 惊 喜 地 发 现搞 笑 人 脉 会 破门 而 入 。 从 如下 方 面 改 进 ： 1 、 专 心 做可 以 提 升 自 己的 事 情 ； 2、 学 习 并 拥 有更 多 的 技 能 ；3 、 成 为 一个 值 得 交 往 的人 ； 4 学 会独 善 其 身 ， 尽量 少 给 周 围 的人 制 造 麻 烦 ，用 你 的 独 立 赢得 尊 重 。
2020版高中数学第一章解三角形1.2.2解三角形求高度和角度课件新人教A版必修5
(2)如图，在△ACD 中，∠CAD＝90°－30°＝60°，
AD＝60 m，所以 CD＝AD·tan 60°＝60 3(m)． 在△ABD 中，∠BAD＝90°－75°＝15°， 所以 BD＝AD·tan 15°＝60(2－ 3)(m)． 所以 BC＝CD－BD＝60 3－60(2－ 3)＝120( 3－1)(m)． 答案： (2)河流的宽度 BC 为 120( 3－1)m.
6＋ 4
2，
则 DC ＝ 2 ＋ 2 3 ， 所 以 CE ＝ 3.70 ＋ 2 3 ≈3.70 ＋
3.464≈7.16(米)．
【答案】(2)①BC 的长为 4 2米 ②这棵桃树顶端点 C 离地面
的高度为 7.16 米．
状元随笔
(1)为了表示出题设中的仰角和方位角，必须先假设气球在地面 上的投影，画出图形，将条件对应到图形中，才能逐步解三角形求 得结果．
状元随笔 仰角和俯角可简记为“上仰下俯”，它们都是锐角，而视角可 以是 0 °～180 °的角．
知识点二 测量高度的类型及解法
当 AB 的高度不可直接测量时，求 AB 的高度有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
底部可达
测得 BC＝a，∠BCA＝C，AB＝ __a_·_ta_n__C_____．
点B与
方法归纳
解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题． (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离， 借助正弦定理或余弦定理解决问题． (3)把数学问题还原到实际问题中去．
跟踪训练 3 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东 方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息 中心立即把消息告知在其南偏西 30°相距 20 海里的 C 处的乙船，现 乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos θ 的值．
1.2《解三角形应用举例》课件(新人教A必修5)
三、小结
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素．
2、要明确题目中一些名词、术语的意义．如 视角，仰角，俯角，方位角等等． 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决． 4、计算要认真，可使用计算器．
作业
• p19 1.2.3
视线
仰角 铅 垂 线 水平线 俯角
视线
ks5u精品课件
3.方位角：
以指北方向为始边，顺时 针方向旋转到目标方向线的水 平角叫方位角．如图所示A的 方位角为 ，B的方位角为 . 方位角的范围为 0, 2 .
北
B
A
ks5u精品课件
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
h 6.5n m ile 此船可以继续沿正北方 向航行
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 60 20 （1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角
形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
C A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 60 20 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理 以及它们可以解决哪些类型的三角形？
高中数学 1.2.2测量高度、角度问题课件 新人教A版必修5
26
随堂训练
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β
的关系是( )
A．α>β
B．α＝βC．α＋β＝9源自°D．α＋β＝180°ppt精选
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解析 如图所示，α与β为内错角，∴α＝β.
答案 B
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2．若点P在点Q北偏东45°30′，则点Q在点P的( ) A．东偏北44°30′ B．东偏北45°30′ C．南偏西44°30′ D．西偏南44°30′
∴AC＝21×3 2×473＝24.
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∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°. 即212＝242＋AD2－2×24×12·AD. 整理得AD2－24AD＋135＝0. 解得AD＝15，或AD＝9. ∴这个人再走15千米或9千米就可到达A城．
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【错因分析】 从本题实际考虑，应有一解． 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，然 而哪个是增解呢？很难判断，若本题应用正弦定理来解，就可 以避免增解．
(角度精确到1°)
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【解】
连接BC，如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠ BAC＝120°，由余弦定理，知
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BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝202＋102－ 2×20×10×－12＝700.
∴BC＝10 7.由正弦定理sin∠ABACB＝sin∠BCBAC， 得sin∠ACB＝BACB·sin∠BAC＝10207·sin120°＝ 721， ∴∠ACB≈41°. ∴乙船应沿北偏东30°＋41°＝71°的方向沿直线前往B处救 援．
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人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
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第一章 解三角形
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高效测评 知能提升
当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
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第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
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第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.
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系列丛书
思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
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第一章 1.2 第2课时
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提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角 度．如图所示，视角60° 指的是观察该物体上下两端点时， 视线的张角．
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第一章 1.2 第2课时
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2．方位角的范围是(0° ，180° )吗？
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第一章 1.2 第2课时
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AB 在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ，AB为定值，若要使仰 BE 角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝ 30° . 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° ， ∴BE＝BD· sin∠BDE＝20 2sin15° ＝10( 3－1) (m)． 在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10( 3 －1)tan30° ＝ 10 3 (3－ 3)(m)． 10 ∴塔的高度为 3 (3－ 3) m.
标方向线为止的水平角 叫方位角． ______________________
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(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距 离，AB代表坡面距离．
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如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫
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第一章 1.2 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 底部不可到达的高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40
m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为 30° ，求塔的高度．
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h i＝ l 做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即_______.
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2．高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不 可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，
正弦或余弦定理 计算出建筑物顶部或底部到一个可 但常用_______________
线下方的角 叫俯角． ____________
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第一章 1.2 第2课时
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(2)①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90° 的 水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多 少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个 “×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD
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第一章 1.2 第2课时
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课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
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第一章
解三角形
第一章
解三角形
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1.2 应用举例
第一章
解三角形
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第2课时
课前自主预习
高度、角度问题
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第一章 1.2 第2课时
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.巩固正、余弦定理等基本知识点． 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解高度和角 度问题.
到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
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3．角度问题 测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理
三角函数值 ，然后求角，再根据需要求所求的角． 求角的___________
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第一章 1.2 第2课时
西南方向 、南 的方向角分别表示北偏东60° 、北偏西30° 、__________
偏东20° .
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从某点开始的指北方向线按顺时针转到目 ②方位角：_____________________________________
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第一章 1.2 第2课时
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在△BDC中，CD＝40 m，∠BCD＝90° －60° ＝30° ，∠ DBC＝180° －45° ＝135° . CD 由正弦定理，得 sin∠DBC ＝ BD ， sin∠BCD
CD· sin∠BCD 40sin30° ∴BD＝ ＝ ＝20 2 (m)． sin135° sin∠DBC
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第一章 1.2 第2课时
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新知初探
1．有关概念及术语
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第一章 1.2 第2课时
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(1)如图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所
视线在水平线上方的角 叫仰角， 视线在水平 成的角中，_______________________ _________
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提示：不是．方位角的概念明确表明，“从正北方向 顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围已 远远超过180° ，而应该为(0° ，360° )．
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第一章 1.2 第2课时
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[解]
依题意画出直观图(如图所示)．设某人在C点，
AB为塔高，他沿CD前进，且CD＝40 m．塔高AB为定值， 要使仰角∠AEB最大，则BE必最小，故BE的长为点B到CD 的距离．要求AB，必须先求BE，由于△DBE是直角三角 形，可在△DBC中先求出DB或BC，这样BE可求，则问题 可解．