集合概念与集合之间的关系
集合的概念与集合间的基本关系.pptx
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变式：
M
x
x
k 2
1 4
,k
Z ，N
x
x
k 4
1 2
,k
Z
，
P
x
x
k 4
1 4
,
k
Z
，
则M , N, P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性 （是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确 求解的两个先决条件.
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反思回顾：
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变式二：已知二次函数 f (x) ax2 x有最小值,不等式
f (x) 0的解集为A，设集合 B x x 4 a
若集合B是集合A的子集,求 a 的取值范围.
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课堂总结：
1、集合的基本概念及表示方法 认识集合：一看代表元素 二看元素性质
2、集合间的基本关系 （1）包含关系 ：子集（真子集） （空集之误） （2）相等关系
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二：集合间的基本关系
1.包含关系：
(1)对任意的x∈A，都有x∈B，称集合A为集合B的子集
记作： A B （或 B A ）. 子集的性质： ①A A
AB
②A B, B C 则A C
(2)若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A，
称集合A为集合B的真子集，
记作：______（或______）.
题型二：子集的个数问题：
例1：A x Z 6 x 1，B 3,2,1,0,1,2
则A B的子集有 ____ 个 真子集有 _____ 个
集合与集合之间的关系
课时1 集合与集合之间的关系第一课时一、高考考纲要求1．理解交集、并集的概念.2．理解补集的概念,了解全集的意义.3．会用交集、并集、补集正确地表示一些简单的集合.二、高考考点回顾1．集合的概念1集合的概念：我们把研究对象统称为 ,把一些元素组成的总体叫做 简称为集. 2集合的分类：根据集合中元素的多少,可以分为三类：有限集、无限集、空集.3元素与集合之间的关系：若a 是集合A 的元素,记作 ；若b 不是集合A 的元素,记作 ； 4元素的特征：① 、② 、③ .5常用数集及其记法：自然数集,记作N ；正整数集,记作N 或N +；整数集,记作Z ；有理数集,记作Q ；实数集,记作R.2．集合有三种表示方法：3．集合之间的关系：1对于两个集合A 和B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做集合B 的 ,记作 或 .2如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于集合A ,那么集合A 叫做集合B 的 ,记作 或 .3集合相等：构成两个集合的元素完全一样;若A ⊆B 且B ⊆A ,则称集合A 等于集合B,记作 ；简单性质：①A ⊆A ；②∅⊆A ；③若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C .4．空集空集是指 的集合,它是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.记作∅.5．有限集的子集、真子集的个数若集合A 中含有n 个元素的集合,则集合A 有 个子集其中 个真子集.课时1 集合与集合之间的关系第二课时三、课前检测1．已知集合{,,}S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．集合8{|,}3M y Z y x Z x =∈=∈+的元素的个数是 A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个 3． 已知集合2{|320}M x x x =+->,{|}N x x a =>,若M N ⊆,则实数a 的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-4．已知集合2{|32,}M x x a a a R ==-+∈,2{|,}N x x b b b R ==-∈,则M 、N 的关系是A ．M N ≠⊂B ．M N ≠⊃ C ．M N = D ．不确定 5．已知集合{1,3,21}A m =--,集合2{3,}B m =,若B A ⊆,则实数m =6.2016·新课标全国Ⅰ,1设集合A ＝{1,3,5,7},B ＝{x |2≤x ≤5},则A ∩B ＝A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}7.2016·新课标全国Ⅱ,1已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{x |x 2<9},则A ∩B ＝A.{－2,－1,0,1,2,3}B.{－2,－1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 8.2016·新课标全国Ⅲ,1设集合A ＝{0,2,4,6,8,10},B ＝{4,8},则∁A B ＝A.{4,8}B.{0,2, 6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}课时1 集合与集合之间的关系第三课时考点一 集合中元素的性质典例1已知集合22{2,(1),33}A a a a a =++++,若1A ∈,则实数a 的取值集合为 .变式1若{}4,12,33-2---∈a a a ,求实数a 的值考点二 集合间的包含关系典例2已知集合{|015}A x ax =<+≤,集合1{|2}2B x x =-<≤. 1若A B ⊆,求实数a 的取值范围；2若B A ⊆,求实数a 的取值范围；3A 、B 能否相等 若能,求出a 的值；若不能,试说明理由.课时1 集合与集合之间的关系第四课时1．2014·新课标全国Ⅰ,1已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3},N ＝{x |－2＜x ＜1},则M ∩N ＝A ．－2,1B ．－1,1C ．1,3D ．－2,32.2014·湖南,2已知集合A ＝{x |x ＞2},B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∩B ＝A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}3.2014·湖北,1已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7},集合A＝{1,3,5,6},则∁U A＝A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}4.2014·福建,1若集合P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},则P∩Q等于A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}5.2014·山东,2设集合A＝{x|x2－2x＜0},B＝{x|1≤x≤4},则A∩B＝A．0,2 B．1,2 C．1,2 D．1,425.2014·四川,1已知集合A＝{x|x＋1x－2≤0},集合B为整数集,则A∩B＝A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2,－1,0,1} D．{－1,0,1,2}6.2014·浙江,1设集合S＝{x|x≥2},T＝{x|x≤5},则S∩T＝A．－∞,5 B．2,＋∞C．2,5 D．2,57.2015·湖南,11已知集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,3},B＝{1,3,4},则A∪∁U B＝________.8.2014·重庆,11已知集合A＝{3,4,5,12,13},B＝{2,3,5,8,13},则A∩B＝________.。
集合和集合的关系
集合和集合的关系
数学中的集合是一类具有相同特征的基本概念，它可以被定义为由一组特定元素构成的不变的数学结构。
它可以用来描述数学中的关系，如数学中的等式、不等式以及函数等。
在数学中，所谓集合就是一类有着同样特性的元素组成的数学对象，而集合的关系就是指这类元素之间的某种形式的关系。
集合可以分为两类，即有限集合和无限集合。
有限集合就是指由有限个元素组成的集合，而无限集合则是一类由无限个元素构成的集合。
集合的关系可以分为三类，即子集关系、交集关系和并集关系。
子集关系是指一个集合包含另一个集合的元素，即另一个集合是前一个集合的子集；交集关系是指两个集合都有共同元素；而并集关系是指两个集合共有的元素，或其中一个集合包含另一个集合的所有元素。
在集合学中，子集关系可以被用来描述概念的继承关系，也可以用来表示数学的等价关系。
同样，交集关系和并集关系也有着各自的含义，比如交集可以用来表示不同概念的交织关系，而并集则可以用来表示多个概念集合的并集。
另外，还有一种集合称为超集合，它是指一个集合中元素的子集，包括这些元素本身，这种集合具有一种特殊的关系，称为“上下文”，它可以用来描述一个概念的上下文关系，也可以用来描述不同元素之间的层次关系。
此外，集合的关系还可以用来表示数学的联系与不同的数学概念之间的联系，比如集合的元素和集合中的联系，以及集合之间的联系
等等。
对于集合和集合的关系，它们在数学中占据了非常重要的地位，它们不仅可以用来表达概念的继承关系，也可以用来表示多个集合之间的一种特殊的联系。
因此，熟悉集合和集合的关系对理解和掌握数学的基本概念有着重要的意义。
第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)
第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章 集合第一节 集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2. 用适当的符号（∈∉， ）填空：(1)3_____N; (2)0_____{Φ}; (3)32____Z, 0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100}；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈ 含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、 已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10cm 的三角形 2 方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{5,1} B ．{1,5} C ．{(5,1)} D ．{(1,5)}3 给出下列关系：①12R ∈； Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.14159}N =B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D ．{}M π=，{,1,|N π= 5 已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6 用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； 5- A ； 17 B7 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1 用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数 ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数 2 用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} ②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625} ④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1 关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（ ）A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合： ①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且 ③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或 ； ④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠ 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
数学-高一-第1讲-集合及集合之间的关系
辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题集合及集合之间的关系教学内容1. 理解集合（包括空集和全集）的意义；理解集合与其元素之间的关系及其关系符号；会用“列举法”和“描述法”表示集合；认识常用的数集的表示.2.理解集合的相等和包含关系及其关系符号.（以提问的形式回顾）1、集合的概念（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。
我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；①集合的分类：、；②集合中元素的特性：、、；③空集是指：；答案：①有限集、无限集；“确定性”；②“互异性”；“无序性.③不含任何元素的集合.【说明】集合元素的“确定性”往往不是很好理解，可以结合实例来帮助学生理解.（2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A、B、C……表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.图示法：（主要用于描述集合之间的关系）【说明】一般不宜采用列举法表示无限集；描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以结合下面的例题来加深对这种表示方法的理解；对于描述法，一定要引导学生紧紧抓住竖线前面的代表元素x 的含义（常见的有数、点等）.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ； 空集∅（例：方程220x +=的实数解集为∅）.【说明】常用数集之间的关系：*N N Z Q R⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠； 注意∅与{0}的区别.2、集合之间的关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇（读作：A 包含于B 或B 包含A ）（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作：A B Ü或B A Ý，读作A 真包含于B 或B 真包含A .（3）相等的集合：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 等于集合B ，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；【辨析】①空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；空集是任何非空集合的真子集.②任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；③子集的传递性：若,,A B B C A C ⊆⊆⊆则；④若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；⑤相等的集合中所含元素完全相同；⑥连接元素与集合的符号有：∈和∉；⑦连接集合与集合的符号有：⊆⊂=≠≠、、、等； ⑧含有n 个元素的集合的子集共有2n .（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式320x +>的解；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线21y x =-上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。
第5讲 集合(PPT)
方法三：在数轴上，分别标出2n＋1和4k〒1所表示的点，可 以看出它们都对应数轴上的奇数， 故A＝B，选C. 方法四：按余数分类，被2除余1的整数是奇数2n＋1(n∈Z)， 被4除余1或3(即－1)的整数也是全体奇数，∴选C. 方法归纳：同一个集合会有多种表示法，需要我们把握本质 属性，相互转换.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及数值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征. 例如：{x|x>0}就表示所有大于0的数构成的集合； 而{(x,y)|x>0,y>0}就表示第一象限所有点的坐标构成的集合.
集合间的基本关系 1.子集的概念 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集 合有包含关系，称集合A是集合B的子集．记作 :AB或 B A ． 读作：A包含于B，或B包含A． 即任取xA都有xB AB ． 2.子集的分类: 集合相等： ⑴两个集合中元素都相同． ⑵ AB且 BA A=B ．
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ⑵互异性：集合中的元素是互不相同的. ⑶无序性：集合中的元素是不需要考虑顺序的.
集合的表示 1.集合一般用大写的字母A，B，C，…，表示集合，用小写的字 母a，b，c，…，表示集合中的元素． 2.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不 是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 3．具体的集合一般有三种表示方法： 列举法：把集合里的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法．例如{中国，美国，英国，法国，俄罗斯}.
【解析】:其实｛x｜x＝2m－3，m∈Z｝就是全体奇数组成
第一节 集合的概念与集合之间的关系
典例解析
【例4】* 已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3， m2}，且满足B⊆A，求m的值．
【分析】 因为B⊆A，可建立方程m2＝2m－1或m2＝ －1(舍去)，解出m的值即可．
典例解析
【例2】 用列举法表示下列集合． (1)A＝{不大于3的自然数}；(2)B＝{x|x2＋2x－3＝0}． 【解】 (1)A＝{0，1，2，3}． (2)B＝{－3，1}．
【分析】 (1)构成集合A的元素是不大于3的自然数，也就 是小于或等于3的自然数，注意要包括0，所以A＝{0，1，2， 3}；(2)构成集合B的元素是满足方程的实数，即一元二次方 程x2＋2x－3＝0的两个根，所以B＝{－3，1}．
集合B的真子集；
④若M⊆N，则M N.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【提示】 因为空集是任何非空集合的真子集，所 以①错误，②正确；由子集和真子集的定义可知， ③④错误，故选A.
同步精练
4．下列命题中错误的是( C )
A．∅⊆{0}
B．R⊇Q
C．{正奇数}⊇{质数} D．{x|x<2}⊆{x|x<3}
解 ∵B⊆A，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍去)，解得m＝1， ∴m＝1.
典例解析
【变式训练4】 已知集合A＝{1，3，n}，集合B＝{1， n2－n＋1}，且B⊆A，求n的值．
解：∵B⊆A， ∴n2－n＋1＝3或n2－n＋1＝n， 即n2－n－2＝0或n2－2n＋1＝0， 解得n＝2或n＝－1或n＝1(与元素的互异性矛盾，应舍去)． 故n的值为2或－1.
集合的概念、集合之间的基本关系
本题主要考查集合的表示 方法：列举法、描述法及其转 化，注意集合中元素的形式及 元素符合的特征性质．
【变式练习1】 有下列说法： ①所有著名的数学家可以组成一个集合； ②0与0的意义相同； 1 ③集合A＝{x | x＝ ，n N*}是有限集； n ④方程x 2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素． 其中正确的有_____________
【例3】 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0，x∈R}， S ＝ {x|ax ＋ 1 ＝ 0 ， x∈R} ，满足 S P ， 求实数a的取值组成的集合．
【解析】P＝{－3, 2}， 当a＝0时，S＝，满足S P， 即a＝0适合题意； 1 当a 0时，S＝{－ }，要满足S P， a 1 1 1 1 则有－ ＝－3或－ ＝2，解得a＝ 或－ . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0，，－ }． 3 2
灌云县陡沟高级中学 李成艳
考纲泛读
①理解集合、子集， 集合交、并、补的概 念及集合运算的性 质． ②了解空集的概念和 意义． ③掌握集合的相关术 语和符号．
高考展望 2012年的高考会在继承 与创新的命题思想下把握好 本章内容的命题，一是保持 以基本概念和运算为主，以 命题的真假判断为切入点， 在知识的选择上关注相关性 和逻辑性，在背景的选择上 更关注教材和课程；
1 5.已知集合M＝{x | x＝m＋ ，m Z}， 6 n 1 N＝{x | x＝ － ，n Z}， 2 3 p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}， 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系．
1 【解析】M＝{x | x＝m＋ ，m Z}＝ 6 6m 1 3 2m 1 {x | x＝ ，m Z}＝{x | x＝ ，m Z} 6 6 n 1 3n 2 N＝{x | x＝ － ，n Z}＝{x | x＝ ，n Z}； 2 3 6 p 1 3p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}＝{x | x＝ ，p Z} 2 6 6 3n 2 ＝{x | x＝ ，n Z}＝N . 6 所以M N＝P.
集合的概念与集合间的关系
§1.1.1 集合的含义与表示1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问※ 探索新知探究1：观察下列实例：① 1～20以内所有的质数； ②2014年参加世界杯的国家； ③ 所有的锐角三角形； ④2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 淄博市实验高一级的全体学生； ⑥方程230x x +=的所有实数根； ⑦ 张店区2014年参加中考的所有同学； ⑧ 中华人民共和国境内的四大高原试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的三大特征①确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素。
如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）可以构成集合。
“数学必修1课本上的所有难题”就不能构成集合，因为“难题”的标准不确定。
②互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.相同的元素归入一个集合尽算一个元素。
如：student 中的字母构成的集合中两个“t ”只写一次。
③无序性：集合中的元素没有顺序限制。
集合｛1，2｝与｛2，1｝是一样的。
定义：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 . 【练习】1.下列对象能否组成集合并说明理由：(1)数字1、2、5、7；(2)到定点的距离等于定长的所有点； (3)满足323x x ->+的全体实数； (4)未来世界的高科技产品；(5)所有绝对值小于3的整数； (6)中国男子足球队中技术很差的队员；(7)2014年参加山东夏季高考的学生；2.由12，0.5，0.5-，-0.5组成的集合有_______个元素。
3.由1，2a ，b 组成的集合与由1,2,a 组成的集合相等，求,a b新知3：元素与集合的关系：集合通常用大写的拉丁字母,,A B C ,…表示，集合的元素用小写的拉丁字母,,a b c ,…表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：a ∉A .注：①符号“∈”和“∉”只用于表示元素与集合之间的关系；②“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合。
集合的概念与相互关系
分配律
定义
分配律是指集合运算中，一个集合与括号内另一个集合的运算结果与该集合分别 与括号内每个集合的运算结果相同。
例子
设A、B和C是三个集合，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)都 是分配律的例子。
04
集合的基数
定义与性质
集合的基数
确定性
集合中元素的个数称为该集合的基数。
性质
空集是任何集合的子集，任何集合都 包含空集作为其子集。
02
集合之间的关系
子集
子集是指一个集合中的所有元素都属 于另一个集合，但不要求所有元素都 相同。
子集关系不具有对称性，即如果集合 A是集合B的子集，则集合B不一定是 集合A的子集。
子集关系具有传递性，即如果集合A 是集合B的子集，且集合B是集合C的 子集，则集合A也是集合C的子集。
集合的元素
确定性
集合中的元素是确定的，没有模 糊性。例如，“大于3的实数”是
一个模糊的描述，而“{4,5,6}” 是一个确定的集合。
无序性
集合中的元素没有顺序，即集合 {1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。
互异性
集合中的元素互不相同，即集合中 不会有重复的元素。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
子集关系不具有排他性，即一个集合 可以同时是多个不同集合的子集。
超集
超集是指一个集合的所有元素 都属于另一个集合，包括相同
的元素。
超集关系具有传递性，即如果 集合A是集合B的超集，且集合 B是集合C的超集，则集合A也
是集合C的超集。
超集关系不具有对称性，即如 果集合A是集合B的超集，则集 合B不一定是集合A的超集。
Ch 1.2 集合概念及集合之间的关系
第一编 集合论
2
集合结构
离散数学的大部分内容是研究离散结构，表现离 散对象。
很多重要的离散结构是用集合来构造的，即对象 的联合。
例如 自然数集:｛0, 1, 2, …｝ 关系：序偶集合，用来表现元素间关系； 图：结点和联结结点的边的集合。
第一编 集合论
3
集合论的起源
集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追 溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．
成A的子集B 。
这样 B 与该二进制数 b 一一对应，有多少个不同 n 位二进制 就有多少个不同的子集。
例如：S={a,b,c},
P(S)={Si | i∈J}, J={i | i是二进制数且00…0≤i≤11…1}
例如 S3=S011={b,c}, S6=S110={a,b}等。
一般地 P(S ) {S0 , S1,
子集、相等、真子集 空集、全集 幂集、n元集、有限集 集族
第一编 集合论
18
子集(Subset)
定义1.1 集合B的每个元素都是集合A中的元素， 称B是A的子集，也称 B包含于A, A包含B: B⊆A ⇔ ∀x(x∈B x∈A)
B不是A的子集: B A ⇔ ∃x(x∈B∧x ∉A)
Ch 1.2 集合概念与集合间关系
集合的概念 集合之间的关系
第一编 集合论
1
集合论(Set Theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系
朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论
创始人康托(Cantor) Georg Ferdinand Philip Cantor (1845 ~ 1918) 德国数学家, 集合论创始人.
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
数学的集合概念
数学的集合概念集合是数学中一个基本且重要的概念。
它是一种将一组元素汇集在一起的方式，可以用来表示一个整体的概念。
本文将从集合本身的概念和性质、集合的分类、集合之间的关系、集合的基本运算、集合的函数和映射、集合的逻辑和推理以及集合的应用等方面来介绍数学的集合概念。
1. 集合本身的概念和性质集合是由一组特定元素组成的整体。
这些元素可以是任何东西，例如数字、点、图形等。
集合中的元素可以是任意的，既可以是有限的，也可以是无限的。
集合本身具有一些性质，例如封闭性、结合性、交换性等。
2. 集合的分类根据集合中元素的特点，可以将其分为不同的类型。
例如，空集是不包含任何元素的集合；单元集只包含一个元素的集合；自然数集是包含所有自然数的集合；实数集是包含所有实数的集合等。
此外，还可以根据集合的其他性质对其进行分类，例如基数、序数、域、单调性、完备性等。
3. 集合之间的关系集合之间存在一定的关系，这些关系可以通过集合的基本运算得到。
例如，两个集合的交集是由两个集合中共有的元素组成的集合；两个集合的并集是由两个集合中所有元素组成的集合；补集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合；差集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合等。
4. 集合的基本运算集合的基本运算是数学集合中重要的概念之一。
常见的集合基本运算包括交集、并集、补集、差集等。
这些运算可以用于获取两个或多个集合之间的关系，或者用于对集合进行操作和变换。
在集合的基本运算中，需要注意一些特殊的规则和约定，例如空集和任意集合的交集都是空集，空集和任意集合的并集都是该任意集合等。
5. 集合的函数和映射函数和映射是数学中重要的概念之一，它们可以用于描述两个集合之间的关系。
在数学集合中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的工具。
而映射则是一种将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的方式。
通过函数和映射，我们可以对集合进行各种操作和变换，例如映射可以将一个集合中的每个元素映射为一个平方数，从而得到一个新的集合。
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集合概念与集合之间的关系
一、选择题
1.下列各选项中的对象不能构成集合的是( )
A.小于5的自然数
B.著名的艺术家
C.曲线y ＝x 2上的点
D.不等式2x ＋1>7的整数解
2.集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( )
A.0∈A
B.a ∉A
C.a ∈A
D.a ＝A
3.若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
4.已知集合A 是由不等式5x －3>0的解组成的集合，则有( )
A.－1∈A
B.0∈A
C.12∈A
D.2∈A
5. 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6.已知x ，y 都是非零实数，z ＝x
|x |＋y
|y |＋xy
|xy |可能的取值组成集合A ，则( )
A.2∈A
B.3∉A
C.－1∈A
D.1∈A
7.已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )
A.2
B.2或4
C.4
D.0
8、给出下列说法：
①实数集可以表示为{R }；②方程2x －1＋|2y ＋1|＝0的解集是{－12，12}；
③方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集是{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝2}；
④集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }与集合N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R }表示同一个集合.
其中说法正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
9、已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则(
) A.A ⊆B B.C ⊆B C.D ⊆C D.A ⊆D
10、 若集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( )
A.M ＝N
B.M ⊆N
C.M N
D.以上均不对
二、填空题
11.若a ∈N ，但a ∉N *，则a ＝________.
12.用符号“∈”或“∉”填空：
(1)若集合P 由小于11的实数构成，则23________P ；
(2)若集合Q 由可表示为n 2＋1(n ∈N *)的实数构成，则5________Q .
13.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.
14.由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素.
15、方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解的集合是____________. 16、已知集合A=}{22,2,m m m ++若3,A ∈则实数m 的值为
三、解答题
17.已知集合A 只含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值.
18.若集合A 中含有3个元素x,0，x 2－x ，（1）求x 满足的条件.（2）若2∈A,求实数x 的值
19.若集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数是多少？
20已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋1＝0}.
(1)若集合A 中有一个元素为1，求实数a 的值；
(2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围；
(3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.
21.已知集合A ＝{x |x ＜－1，或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.。