高等数学下册第八章习题答案详解

高等数学下册第八章习题答案详解

1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(,)|0}x y x ≠； (2)2

2{(,)| 14}

x y x

y ≤<+；

(3)2

{(,)|}x y y x <；

(4)2

222{(,)|(1)

1}{(,)|(1)1}

x y x y x y x y ≤≤-+++.

解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2

，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2

≤4}，

边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2

=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2

}， 边界：{(x ,y )| y =x 2

}.

(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，

边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2

=1}. 2.已知2

2

tan (,)f x y x y xy x y

＝＋－，试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan (,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty

=+-⋅=

3.已知(,,)w

u v

f u v w u w ＋＝＋，试求(,,)f x y x y xy +-.

解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy +(xy )x +y +x -y

=(x +y )xy +(xy )2x

.

4.求下列各函数的定义域：

(1)2

ln(21)z y x ＝－＋；

(2) z =

；

(3)

z =

；

(4) u =

；

(5) z =

；

(6) ln()z y x =-；

(7) u =.

解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>

(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->

22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠

(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥

习题8-2

1.求下列各极限：

(1)1y x y →→； (2)222()

2

2

1

1lim(1)x y x y x

y +→∞

→++；

(3)00

x y →→；

(4)x y →→

(5)

00

sin lim x y xy x →→； (6)2

2

22220

1cos()lim

()e x

y x y x y x y +→→-++.

解：(1)原式

0ln 2.=

(2)原式=+∞. (3)原式

=00

1

.4x y →→=- (4)原式

=0

2.x y →→=

(5)原式=0

sin lim 100.x y xy

y xy

→→⋅=⨯= (6)原式=22222

22

2222()00

001()2lim lim 0.()e 2e

x y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+ 2.判断下列函数在原点(0,0)O 处是否连续：

(1)332222

22sin()

,00,0x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩；

(2)333333

33sin()

,00,0x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩；

(3) 22

22222

22,0()0,0x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩

.

解：(1)由于3333333322223333

sin()sin()sin()

0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y

++++≤=≤+⋅++++

又00

lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y u

x y u →→→+==+, 故0

lim 0(0,0)x y z z →→==. 故函数在O (0,0)处连续.

(2)00

sin lim lim 1(0,0)0x u y u

z z u

→→→==≠= 故O (0,0)是z 的间断点.

(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则

22

22000

lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则

222

22220000

()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故0

lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续. 3.指出下列函数在何处间断:

(1)23

3

(,)x y x f y y x -=+； (2)

22

2,2()y f x

y x

y x +-=；

(3)2

2 (,)ln(1)

f x y x

y =--.

解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.

(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2

=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.

(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2

=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.

习题8-3

1.求下列函数的偏导数: (1)2

2

x z x y y =+；

(2)22

u v s uv

+=

；