高一下学期数学半期考试试卷附答案

高2019级半期考试
数 学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =( A )
A ．{0，1}
B ．{–1，0，1}
C ．{–2，0，1，2}
D ．{–1，0，1，2} 2．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为=( C ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣
⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π
6，k ∈Z D ．R
3．已知a 是第二象限角，5
sin ,cos 13
a a =
=则( A ) A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213
4．若向量()m=2k-1k ，与向量()n=41，共线，则m n=⋅( D )
A ．0
B ．4
C ．－92
D ．－172
5．在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC = ( A ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．若1
sin 3
α=，则cos2α=( B ) A ．
8
9
B ．79
C ．7
9
-
D ．8
9
-
7．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( B ) A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．13
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( C )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形 9．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A )
A ．55 B.11 C ．50 D ．60
10．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，
则C =( C )
A ．
2π B ．3π C ．4π D ．6
π 11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满
足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是=( A ) A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =
12．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 020项和为( D ) A ．5 B.－5 C ．0 D ．－1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．
13．已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m =___8_____．
14．tan 18°＋tan 12°＋
3
3
tan 18°tan 12°＝________． 15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知cos b C +
cos 2c B b =，则
=b
a
2 ． 16．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是___22
n n
+_____．
三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.（本小题满分12分）已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5.
(1)求sin ⎝⎛
⎭⎫
π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛
⎭
⎫5π
6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，sin α＝5
5，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－25
5.
故sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α
＝
22×⎝⎛⎭⎫－255＋22
×55＝－10
10. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
55×⎝⎛⎭
⎫
－255 ＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552
＝35
， 所以cos ⎝⎛⎭
⎫5π
6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝
⎛⎭⎫－
32×35＋12
×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.
18．如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为
()2,1、()3,2-、
()1,3-.
（1）写出向量,AC BC 的坐标；
（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.
解：（1）()()12,313,2AC =---=-
()()()13,322,1BC
=----=
（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =
设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=
又 ()()32,215,1AB =---=-
故
()()1,35,1D D x y ---=-
由此可得1531D D x y --=-⎧⎨
-=⎩ 解得42
D D x y =⎧⎨=⎩
因此点D 的坐标为
()4,2.
19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．
【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．
由17a =-得2=d ．
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．
(2)由(1)得22
8(4)16n S n n n =-=--．
所以当4=n 时，n S 取得最小值，最小值为−16．
20．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
得sin B ＝3cos B .
所以tan B ＝3，所以B ＝π
3
.
(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c
sin C ，得c ＝2a .
由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.
21.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，
2336S S ⋅=．
（Ⅰ）求d 及n S ；
（Ⅱ）求,m k （*
,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++
+=．
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝c os2x＋3sin(π－x)c os(π＋x)－1
2.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，b sin C＝a sin A，求△ABC的面积．。