高一下学期数学半期考试试卷附答案

高2019级半期考试

数 学

一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =( A )

A ．{0，1}

B ．{–1，0，1}

C ．{–2，0，1，2}

D ．{–1，0，1，2} 2．函数y ＝

cos x －

3

2

的定义域为=( C ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣

⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π

6，k ∈Z D ．R

3．已知a 是第二象限角，5

sin ,cos 13

a a =

=则( A ) A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213

4．若向量()m=2k-1k ，与向量()n=41，共线，则m n=⋅( D )

A ．0

B ．4

C ．－92

D ．－172

5．在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC = ( A ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．若1

sin 3

α=，则cos2α=( B ) A ．

8

9

B ．79

C ．7

9

-

D ．8

9

-

7．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( B ) A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．13

8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( C )

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形 9．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A )

A ．55 B.11 C ．50 D ．60

10．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222

4

a b c +-，

则C =( C )

A ．

2π B ．3π C ．4π D ．6

π 11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满

足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是=( A ) A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =

12．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 020项和为( D ) A ．5 B.－5 C ．0 D ．－1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13．已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m =___8_____．

14．tan 18°＋tan 12°＋

3

3

tan 18°tan 12°＝________． 15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知cos b C +

cos 2c B b =，则

=b

a

2 ． 16．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是___22

n n

+_____．

三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17.（本小题满分12分）已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5

5.

(1)求sin ⎝⎛

⎭⎫

π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛

⎭

⎫5π

6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭

⎫π2，π，sin α＝5

5，

所以cos α＝－1－sin 2α＝－25

5.

故sin ⎝⎛⎭⎫π

4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α

＝

22×⎝⎛⎭⎫－255＋22

×55＝－10

10. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×

55×⎝⎛⎭

⎫

－255 ＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552

＝35

， 所以cos ⎝⎛⎭

⎫5π

6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝

⎛⎭⎫－

32×35＋12

×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.

18．如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为

()2,1、()3,2-、

()1,3-.

（1）写出向量,AC BC 的坐标；

（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.

解：（1）()()12,313,2AC =---=-

()()()13,322,1BC

=----=

（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =

设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=

又 ()()32,215,1AB =---=-

故

()()1,35,1D D x y ---=-

由此可得1531D D x y --=-⎧⎨

-=⎩ 解得42

D D x y =⎧⎨=⎩

因此点D 的坐标为

()4,2.

19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．