原子物理学习题解答

第四章习题解答

4-1 一束电子进入的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大

解：∵磁矩为μ的磁矩，在磁场B 中的能量为： U = -μ·B = -sz μB 电子自旋磁矩 sz μ=±B μ

∴电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =B μ B – (-B μB) =2B μB

∴u = 2B μ B =2 ××410-eV ·1T -× T = ×410- eV

4-2 试计算原子处于23/2D 状态的磁矩μ及投影μz 的可能值. 解：由23/2D 可知 S=12

J=32

L=2

∴j g =32+12(1)(1)(1)S S L L J J +-++=32+1213

23

223522

⨯-⨯⨯=4

5

又j μ=j g B

μ

45B μ = B μ

∴μ= B μ

又,j z j j B m g μμ= 又3113,,,2222

j m =-- ∴,142×255j z B B μμμ=±=± 或,346×255j z B B μμμ=±=±

即,6226

(,,,)5555

j z

B μμ=--

4-3 试证实:原子在63/2G 状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一

事实作出解释.

解：由63/2G 可知：S =52

J = 32

L = 4

∴

57

45

31(1)(1)3122

··03522(1)22×22

J S S L L g J J ⨯-⨯+-+=+=+=+

∴ (1)0J j B j j g μμ=+= 即原子在63/2G 状态的磁矩等于零。

解释：∵原子的总角动量为 J L S =+，而处于63/2G 态原子各角动量为：

(1)4(41)20 4.47L L L =+=+== 5535(1)(1) 2.9622S S S =+=

+==

3315(1)(1) 1.9422J J J =+=+==

则它们的矢量关系如图示：

L 和S 同时绕J 旋进，相对取项保持不变

由三角形余弦定理可知：

2222

2

211

()[(1)

(1)

(1)]22L J L J S L L J J S S ⋅=+-+++-+=

2

2

355715[45]222222

=

⨯+⨯-⨯=

而2

222

2

1573515()(45)2222224

S J S J L ⋅=+-=⨯+⨯-⨯=-

∴相应的磁矩 2B

B

S S

g S S μμμ=-=-

B

B

L

g L L μμμ∆=-=-

S L μμμ=+

由于磁矩μ随着角动量绕J 旋进，因而对外发生效果的是μ在J 方向上的分量。其大小计算如下：

()(2)L S B J J

J

L J S J J

J J

μμμμμ⋅+⋅=

=

=-⋅+⋅

1515(2)024B J

μ

=--⨯=

此结果说明，μ垂直于J ，因而原子总磁矩0J μ=

4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大银原子的基态为21/2S ,质量为.

解：原子束通过非均匀磁场时，如果磁场B 在Z 方向，可以证明：落在屏幕上的原子束偏离中心的距离为：

,33J Z Z B

B d D B d D

Z Mg KT Z Z KT

μμ∂⋅∂⋅=

=∂∂ （式中T 为炉温，d 为不均匀磁场的线度，D 是磁场中心到屏的距离，

Z

B Z

∂∂是横向不均匀磁场梯度，,J Z

μ是原子的总磁矩在Z 方向的分量），分裂后的原子束偏离中心的最大距离 Z = 3B Z g B d D

J KT Z

μ∂⋅∂ 对21/2S ： S=1

2

，L=0，J=12

∴13331

22213222

222

g ⨯=+=+=⨯⨯

Z ′=2Z

又 Z ′=2.0mm ∴ Z=10mm

Z B Z ∂∂=2

223B B

Z KT Z mv JgdD JgdD μμ⋅⋅=

3272

12310107.87 1.66104001

20.10.250.9274102T m ----⨯⨯⨯⨯=

⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 23

25

2.868102.3210--⨯=⨯

211.2410T m --=⨯⋅

4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图,不均匀横向磁场梯度为

/ 5.0/Z B Z T cm ∂∂= ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,

使用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离． 解：设在屏上偏离x 轴的距离为2Z

∴2Z =3Z B

Z B dD

mjgj KT

μ∂-∂

由 43/2F 可知 3

2S = 32

J = 3L =

∴35

34

31(1)(1)312

22·3522(1)22522

J S S L L g J J ⨯-⨯+-+=+=+=+⨯

3113,,,2222J m =- 要求线束边缘间的距离，则J m 取3

2

热平衡时 232250100K mV KT E meV meV ===⨯=