2020年中考数学压轴题(含答案解析)

2020年中考数学压轴题

一、选择题

1．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）

A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）

2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）

A．B．C．﹣1 D．2﹣

二、填空题

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．

第3题第4题

4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC ＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．

三、解答题

5．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．

（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；

（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；

（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．

6．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，

（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD

①请说明△ADB∽△OPB；

②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；

③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．

（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．

【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵∠ACO+∠BCD＝90°，

∠OAC+∠ACO＝90°，

∴∠OAC＝∠BCD，

在△ACO与△BCD中，

∴△ACO≌△BCD（AAS）

∴OC＝BD，OA＝CD，

∵A（0，2），C（1，0）

∴OD＝3，BD＝1，

∴B（3，1），

∴设反比例函数的解析式为y＝，

将B（3，1）代入y＝，

∴k＝3，

∴y＝，

∴把y＝2代入，

∴x＝，

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

此时点A移动了个单位长度，

∴C也移动了个单位长度，

此时点C的对应点C′的坐标为（，0）

故选：A．

2．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF ＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．

【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，

∵旋转

∴AD＝AE

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°

∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，

∴BF＝2﹣2

∵∠DAE＝45°＝∠BAC

∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF

∴△ACE≌△AFD（SAS）

∴CE＝DF，

当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，

∴DF最小值为＝2﹣

故选：D．

二、填空题

3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD ＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．

【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，

则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，

∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，

∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，

∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，

∴B′H＝OE＝2.5，

∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，

∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，

∵四边形EB′CG是矩形，

∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，

∴CF＝2CG＝4，

故答案为：4．

4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；

（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO 的最小值．

【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，