浅谈数学反证法

浅谈反证法在数学中的应用

刘胜摘要：在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的基础。反正法主要运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题结论相反的假设。然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题的一种方法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。本文从反证法的概念、关于学生在学习中理解反证法的困难、学生运用反证法能力的培养、反证法证题的步骤、分类等方面给以浅述。

关键词：反证法概念理解培养步骤分类证明矛盾

反证法是中学数学教学中所涉及的基本论证方法。初中学生学习平面几何不久，便接触了反证法的思想，在此基础上于第二册建立了反证法的概念, 并运用反证法证明了平面几何中一些重要定理。在以后数学各个分科教学的推理论证中，也都经常使用这一论证方法。可见反证法的教学和应用贯穿于整个中学数学教学过程中，学生对反证法的学习、理解和运用反证法能力的提高，也是在中学学习数学过程中逐步加深和完成的。因此在中学数学教学的全过程中，教师都应该注意对学生运用反证法能力的培养。

一、关于反证法的概念

关于反证法这一要领讲法并不一致，有人把反证法归结为证明逆否命题的方法。他们认为“用反证法进行论证，就是证明原命题的逆否命题”。有的书中将反证法概念叙述为：为了证明A=>B，而去证明与它们等价的命题，且在等价命题的条件部分中含有要证明的结论的否定，称这样证明方法为反证法。也有的书上将反证法的概念解释为：当我们要论证一个论题成立（真）时，先假定论题的矛盾论题是真的，然后用演绎推理，从引进的矛盾论题和给定的论据推出逻辑矛盾来，进而确认原论题是真的，这样的证明方法称为反证法。还有的书中将中学数学中反证法解释为：有一些中学数学题，运用直接证明不易作出它的证明，但却能较易于证明它们结论的反面不成立，直接证明的这种变形称为反证法。还有关于反证法的其它一些解释，这里不再一一婵述。在各种不同的解释中有些是等价的，有些则不然。现在有一些书刊中也有关于反证法概念的讨论，这里也不予摘引了。

二、关于学生在学习中理解反证法的困难

在学生已熟悉的直接证明的推理论证中，都是只依靠给定的前提（论据）去展开推理，而反证法（间接证明中）的推理中，除依靠给定前提外，还依靠增加的新假设作为前提（即论题的矛盾论题），而且这个新增加的假设的真假是并未断定的，反证法与直接证明的这一区别，是反证法教学中使学生接受反证法的第一困难。另外直接证明中是根据合乎逻辑的推理直接得到论题（结论）为真，学生接受结论成立这一论断时，十分自然轻松。可是运用反证法进行论证，只是在从前提（论据）及假设（论题的矛盾论题）出发逻辑的得到一个矛盾，然后据此就断言结论（论题）成立，这时要学生据此去接受论题为真的论断时，常常感到突然（不敢置信），这是学生接受反证法的第二个困难。反

证法教学中应该对这两个困难予以充分重视，为此应首先做好渗透反证法思想的教学工作，为学生接受反证法做好思想准备，这就需要在讲反证法之前，通过适当实例，使学生建立起如下几个概念：第一，在同一关系下，两个命题互相矛盾的概念；第二，如果从前提出发（命题），逻辑地推出矛盾，而且除一个前提不是真的外，其它前提却已知为真，那么必然是那个剩下不知真假的前提假设不真；第三，如果一个论断的反面（即一个论题的矛盾论题）不成立，那么必然是原论题成立。先有了这三点准备，就可以分散了学生学习中接受反证法的难点。然后即可以使学生容易认识到：用反证法就是运用“不是否A，那么就是A”和“非此即彼”的思想。并在此基础上就可以较好地处理第一个难点。使学生了解先作出与原命题结论相反的假设是因为原命题结论的正确性还没有证明，先认定它不成立是允许的，另外为了要做“否定的否定”所以先引入了否定。这正是引入结论的矛盾论题，增加其作为论证前提的原因。

另外，学生学习反证法时，还有一种想法，觉得是绕了两个弯子，有一种难于欣然接受的感觉，这实质是学生看不到引入假设的作用所致。为此应使学生明确反法的主要作用是由于引入假设，增加了演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而山穷水尽的局面有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便和功效，这样就可以使学生在从已有前提（论据）出发，展开推理论证有困难时，会想到如何用反证法增加推理的前提了（但不是论证的前提），从而会逐渐学好反证法。

反证法的教学并不是几节课可以完成好的，要在整个数学教学中都予以充分注意。可以说要使学生学好反证法是整个中学阶段数学教育任务之一。

三、运用反证法能力的培养

虽然，当运用直接证明陷于困境的时候，反证法可以有出奇制胜的作用，但是运用反证法，在以下几方面比直接证明要复杂：第一，要根据原论题正确地引入假设，就必须具有对给定命题做出否定，并能正确表述的能力；第二，直接证明中推理方向总有欲证的论题做明确的目标，而用反证法却只欲推出矛盾，至于到底是什么矛盾，将在什么地方出现矛盾都不清楚，又加上各种矛盾形式的复杂性，因此，在运用演绎推理进行归缪时，要善于发现矛盾，不仅依赖知识的丰富，概念的准确，而且还要依靠机敏、直觉和广阔的联想来指导演绎过程；第三，由于反证法结构的特点，使得运用反证法的表述也较直接证明困难。鉴于上述情况，可见要培养学生运用反证法的能力，必须注意以下几点。

1、学生运用反证法的能力是在整个中学阶段于各科教学的讲授与完成作业的过程中，由易到难，由简单到复杂逐步提高的，开始教授反证法时，应首先集中力量让学生掌握这一论证方法的结构格式和对这一结构的规范化的表述。因此开始的例题要简单，引入假设和进行演绎完成归缪都尽量易于学生接受，以求做到分散难点便于学生入门。从这个要求上看，可见目前教材中运用反证法的第一个例题，就是穷举法的题目，这是不够恰当的。关于引入假设和完成归缪的能力，应在各年级的教学中逐渐提高，因此，应该研究在不同的学年级，培养学生运用反证法能力的不同的教学目标，不同的教学重点，做到这一目标的恰当分解和综合实现。关于在什么情况下使用反证法和怎么样使用反证法，这两个贯穿于教学全过程的问题，学生只有在教学过程中才能逐渐加深认识，教学要注意研究的是在这个问题上于各年级的教学中到底层次要求和教学目的上有什么不同，现在许多教师在高三总复习阶段，将运用反证法做为第一个专题进行总结，使学生知识系统化，并通过总结后较全面较恰当的习题安排。使学生运用反证法的能力得到了提高和升华。

2、运用反证法时，正确地引入假设，既依赖学生对概念的正确理解又涉及到学生基本的逻辑能力，因此根据论题正确引入假设并非是容易的事情，又鉴于当前的教材中缺