浅谈数学反证法

浅谈反证法在数学中的应用

刘胜摘要：在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的基础。反正法主要运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题结论相反的假设。然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题的一种方法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。本文从反证法的概念、关于学生在学习中理解反证法的困难、学生运用反证法能力的培养、反证法证题的步骤、分类等方面给以浅述。

关键词：反证法概念理解培养步骤分类证明矛盾

反证法是中学数学教学中所涉及的基本论证方法。初中学生学习平面几何不久，便接触了反证法的思想，在此基础上于第二册建立了反证法的概念, 并运用反证法证明了平面几何中一些重要定理。在以后数学各个分科教学的推理论证中，也都经常使用这一论证方法。可见反证法的教学和应用贯穿于整个中学数学教学过程中，学生对反证法的学习、理解和运用反证法能力的提高，也是在中学学习数学过程中逐步加深和完成的。因此在中学数学教学的全过程中，教师都应该注意对学生运用反证法能力的培养。

一、关于反证法的概念

关于反证法这一要领讲法并不一致，有人把反证法归结为证明逆否命题的方法。他们认为“用反证法进行论证，就是证明原命题的逆否命题”。有的书中将反证法概念叙述为：为了证明A=>B，而去证明与它们等价的命题，且在等价命题的条件部分中含有要证明的结论的否定，称这样证明方法为反证法。也有的书上将反证法的概念解释为：当我们要论证一个论题成立（真）时，先假定论题的矛盾论题是真的，然后用演绎推理，从引进的矛盾论题和给定的论据推出逻辑矛盾来，进而确认原论题是真的，这样的证明方法称为反证法。还有的书中将中学数学中反证法解释为：有一些中学数学题，运用直接证明不易作出它的证明，但却能较易于证明它们结论的反面不成立，直接证明的这种变形称为反证法。还有关于反证法的其它一些解释，这里不再一一婵述。在各种不同的解释中有些是等价的，有些则不然。现在有一些书刊中也有关于反证法概念的讨论，这里也不予摘引了。

二、关于学生在学习中理解反证法的困难

在学生已熟悉的直接证明的推理论证中，都是只依靠给定的前提（论据）去展开推理，而反证法（间接证明中）的推理中，除依靠给定前提外，还依靠增加的新假设作为前提（即论题的矛盾论题），而且这个新增加的假设的真假是并未断定的，反证法与直接证明的这一区别，是反证法教学中使学生接受反证法的第一困难。另外直接证明中是根据合乎逻辑的推理直接得到论题（结论）为真，学生接受结论成立这一论断时，十分自然轻松。可是运用反证法进行论证，只是在从前提（论据）及假设（论题的矛盾论题）出发逻辑的得到一个矛盾，然后据此就断言结论（论题）成立，这时要学生据此去接受论题为真的论断时，常常感到突然（不敢置信），这是学生接受反证法的第二个困难。反

证法教学中应该对这两个困难予以充分重视，为此应首先做好渗透反证法思想的教学工作，为学生接受反证法做好思想准备，这就需要在讲反证法之前，通过适当实例，使学生建立起如下几个概念：第一，在同一关系下，两个命题互相矛盾的概念；第二，如果从前提出发（命题），逻辑地推出矛盾，而且除一个前提不是真的外，其它前提却已知为真，那么必然是那个剩下不知真假的前提假设不真；第三，如果一个论断的反面（即一个论题的矛盾论题）不成立，那么必然是原论题成立。先有了这三点准备，就可以分散了学生学习中接受反证法的难点。然后即可以使学生容易认识到：用反证法就是运用“不是否A，那么就是A”和“非此即彼”的思想。并在此基础上就可以较好地处理第一个难点。使学生了解先作出与原命题结论相反的假设是因为原命题结论的正确性还没有证明，先认定它不成立是允许的，另外为了要做“否定的否定”所以先引入了否定。这正是引入结论的矛盾论题，增加其作为论证前提的原因。

另外，学生学习反证法时，还有一种想法，觉得是绕了两个弯子，有一种难于欣然接受的感觉，这实质是学生看不到引入假设的作用所致。为此应使学生明确反法的主要作用是由于引入假设，增加了演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而山穷水尽的局面有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便和功效，这样就可以使学生在从已有前提（论据）出发，展开推理论证有困难时，会想到如何用反证法增加推理的前提了（但不是论证的前提），从而会逐渐学好反证法。

反证法的教学并不是几节课可以完成好的，要在整个数学教学中都予以充分注意。可以说要使学生学好反证法是整个中学阶段数学教育任务之一。

三、运用反证法能力的培养

虽然，当运用直接证明陷于困境的时候，反证法可以有出奇制胜的作用，但是运用反证法，在以下几方面比直接证明要复杂：第一，要根据原论题正确地引入假设，就必须具有对给定命题做出否定，并能正确表述的能力；第二，直接证明中推理方向总有欲证的论题做明确的目标，而用反证法却只欲推出矛盾，至于到底是什么矛盾，将在什么地方出现矛盾都不清楚，又加上各种矛盾形式的复杂性，因此，在运用演绎推理进行归缪时，要善于发现矛盾，不仅依赖知识的丰富，概念的准确，而且还要依靠机敏、直觉和广阔的联想来指导演绎过程；第三，由于反证法结构的特点，使得运用反证法的表述也较直接证明困难。鉴于上述情况，可见要培养学生运用反证法的能力，必须注意以下几点。

1、学生运用反证法的能力是在整个中学阶段于各科教学的讲授与完成作业的过程中，由易到难，由简单到复杂逐步提高的，开始教授反证法时，应首先集中力量让学生掌握这一论证方法的结构格式和对这一结构的规范化的表述。因此开始的例题要简单，引入假设和进行演绎完成归缪都尽量易于学生接受，以求做到分散难点便于学生入门。从这个要求上看，可见目前教材中运用反证法的第一个例题，就是穷举法的题目，这是不够恰当的。关于引入假设和完成归缪的能力，应在各年级的教学中逐渐提高，因此，应该研究在不同的学年级，培养学生运用反证法能力的不同的教学目标，不同的教学重点，做到这一目标的恰当分解和综合实现。关于在什么情况下使用反证法和怎么样使用反证法，这两个贯穿于教学全过程的问题，学生只有在教学过程中才能逐渐加深认识，教学要注意研究的是在这个问题上于各年级的教学中到底层次要求和教学目的上有什么不同，现在许多教师在高三总复习阶段，将运用反证法做为第一个专题进行总结，使学生知识系统化，并通过总结后较全面较恰当的习题安排。使学生运用反证法的能力得到了提高和升华。

2、运用反证法时，正确地引入假设，既依赖学生对概念的正确理解又涉及到学生基本的逻辑能力，因此根据论题正确引入假设并非是容易的事情，又鉴于当前的教材中缺

少有关逻辑否定方面知识的讲授（实际上是将其渗透在反证教学法中了）因此，对引入假设能力的培养，就包含了关于学生逻辑能力的培养，所以在培养正确引入假设能力这环节上首先要注意逻辑训练，特别是当原论题结构中含有“任何”、“存在”、“至多”、“到少”、“无限多”等量词性的词汇时，都必须认真对待和讲授如何根据出现的量词，做出其矛盾的论题，培养学生进行逻辑否定的正确表述这一否定的能力。还应注意的是：当原论题的否定做出之后，往往还需要审视一下，为了归缪的方便，是否还需要对其进行分解为不同的情况处理，（即是否对一个复合命题要找出其根枝，从而确定是否使用穷举法。）这时也包含着基本的逻辑训练。综合上述可知，要培养正确引入假设的能力，除必须首先加强概念教学，使学生准确理解和正确表述概念之处，还必须加强逻辑教学，将逻辑知识的教学做为这一教学环节上的一个重点，（这样做也是对现行教材关于逻辑知识讲授不足的弥补）。

3、由于在进行归缪这一步骤上，只是从假设（或结合部分已知前提，或结合全部已知前提）出发的一个正确的演绎推理，并且使推理过程中出现矛盾，即可完成归缪。这一环节的教学，首先应使学生树立注意发挥引进假设作用的意识，从而注意寻求从这一假设（或结合已知前提）出发。可能展开的演绎结果，其次应使学生了解通常构成出现矛盾的情况，例如：

（1）演绎过程推出了与已知知识（定义、公理、定理、事实）相矛盾的结论；

（2）演绎过程推出了与已知（部分或全部）前提相矛盾的结论；

（3）演绎过程推出了与引进假设相矛盾的结论；

（4）演绎过程推出了一对自相矛盾的结论（尽管二者孰真孰假尚知道）

进行归缪过程，由于不知出现什么矛盾和在什么地方出现矛盾，因此在导出和发现矛盾上，要求学生思维灵活，开阔，善于运用直觉和联想，所以反证法教学中必须从这些方面加强培养和训练，才有助于提高运用反证法的能力。

四、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1．假设命题的结论不成立；

2．从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

即提出假设--推出矛盾--肯定结论。

例1．过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。

已知：直线AB，点A?平面α，点B∈α，直线

a∈α且不过点B。

求证：直线AB和a是异面直线。

证明：

[提出假设]假设直线AB和a不是异面直线。

[推出矛盾]则它们同在经过点B和直线a的平面

内，因为B?a，经过点B与直线a只能有一个平面α，

直线AB与a都在平面α内，∴A∈α，这与A?α矛盾。

[肯定结论]∴直线AB和a是异面直线。

五、反证法的分类

反证法中有归谬法和穷举法两种。

如果原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；

如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能

肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法。

例2． 已知33q p +＝2，求证：p ＋q≤2。

分析：此题结论的否定只有一种情况，p ＋q ＞2，用反证法证明时只要把这种情况否定了，就可肯定p ＋q≤2成立。

证明：假设p ＋q ＞2，则q ＞2－p ，

∴3q ＞8－12p ＋62p －3p ，

∴33q p +＞6（3

4－2p ＋2p ）＝6［()21-p ＋31］， ∴33q p +＞2＋6()21-p 。

由此可知33q p +≠2，这与已知矛盾，

∴p ＋q≤2。

例3.求证：2是无理数。

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。 证明：假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a b

a =?=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，∴224c a =，∴222

b

c =，则b 也是偶数。由a ,b 均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。

六、怎样的命题宜用反证法

什么样的命题宜用反证法进行证明，这还需要不断的探索和总结，总的来说不易用直接证法去证明的命题可尝试反证法。这里我根据自己的体会提出几点，仅供参考。

1．对于结论是否定形式的命题，宜用反证法。

例4．证明对于任意自然数n ，分数3

14421++n n 不可约。 证明：假设3

14421++n n 可约，则21n+4与14n+3有最大公约数d(d>1)， ∴d|(21n+4)，d|(14n+3)，

∵21n+4＝(14n+3)＋(7n+1)，

∴d|(7n+1)。

又∵14n+3＝2(7n+1)+1，

∴1能被d 整除，这与d ＞1矛盾。 ∴3

14421++n n 不可约。

2．对于证明结论是“惟一”或“必然”的命题，宜用反证法．

例5．已知：对任意给定的正整数n ，存在整数p 、q ，0≤q ＜p ，使得n ＝

2

1p(p －1)＋q ，

求证：满足条件的数对p 、q 是惟一的。

证明：假设存在两对整数1p 、1q 与2p 、2q （1p ≠2p 或1q ≠2q ）都满足条件，使n ＝211p (1p －1)＋1q =212p (2p -1)＋2q . 当1p ≠2p 时，不妨设1p <2p ，则

n ＝

211p (1p －1)＋1q ＜211p (1p －1)＋1p ＝2

11p (1p +1) ≤212p (2p -1)≤2

12p (2p -1)＋2q ＝n ，这与假设矛盾。 当1p =2p 时，1q ＝n －211p (1p －1)＝n －2

12p (2p -1)＝2q 。 ∴满足条件的p 、q 是惟一的。

3．对于证明结论是“至少…”，或“至多…”的命题，宜用反证法。 例6．如果△ABC 不是正三角形,则∠A,∠B,∠C 在之中至少有一个大于60°。

分析:同学们在做这类题的时候反设容易出错,由题目我们知道,至少有一个内角不小于60°的意思是:∠A,∠B,∠C 中,有一个不小于60°,或者有2个不小于60°,或者有3个不小于60°。那么,它的反面当然是有0个不小于60°,即∠A,∠B,∠C 都小于60°。

证明:假设∠A,∠B,∠C 都是不大于60°的角,则∠A≤60°,

从而∠A+∠B+∠C≤180°

要使上式的等号成立,只能是∠A=∠B=∠C=60°

于是,依题设△ABC 不是正三角形,从而推出∠A+∠B+∠C＜180°

这是与三角形的三个内角的和为180°相矛盾。

因此命题成立。

4．有些命题的证明，可利用的公理、定理较少或者难以与已知条件相沟通，宜用反证法。

例7．证明首项系数为1的整系数多项式的有理根必是整数。

证明：假设首项系数为1的整系数多项式

01222211a x a x a x a x a x n n n n n ++++++---- 的一个有理根是分数q

p ，此处p,q 互质，于是有

012

22211a q p a q p a q p a q p a q p n n n n n +???? ??+???? ??++???? ??+???? ??+???? ??---- =0， 用1-n q 乘上式并移项，得

10213222211-------------=n n n n n n n n

q a pq a q p a q p a p a q

p ， 它的左端是分数，右端是整数，矛盾。

∴ 原命题成立。

七.结论

反证法的用处很大,它不仅应用在初等数学中,还大量应用在高等数学中,应用反证法要注意以下几点:

①推理过程必须完全正确。

②决不能忽视原命题的题设条件,否则要么推不出错误,要么不能断定所推导出来的结论是否是谬论。

③在应用反证法时,有时要做些准备工作,为应用反证法创造条件。

④在否定结论时,要分析可能有的各种情况,若有两种或两种以上的情况,要应用穷举法,不能有遗漏。

反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用. 它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力.