浅谈数学反证法
对反证法的初步认识
对反证法的初步认识反证法又称间接证明法，是数学逻辑中常用的一种证明方法。
它的基本思想是通过推理得出一个矛盾的结论，从而推翻假设的命题。
反证法在解决问题时，通常是假设命题的否定，然后通过推理和逻辑推论得到矛盾的结论，从而推断出假设的命题是真正成立的。
反证法的基本步骤是：1. 假设所要证明的命题的反命题成立。
2. 利用推理和逻辑推论推导出一个矛盾的结论。
3. 根据矛盾的结论，推断所要证明的原命题是成立的。
反证法的使用有以下几个要点：反证法要从命题的反命题入手。
在使用反证法时，我们通常选择假设命题的否定，也就是反命题的成立，然后通过推理得出矛盾的结论。
反证法需要借助逻辑推理。
在推导过程中，我们需要运用逻辑规则和定理，合理地利用已知信息和问题条件进行推理和推导，从而推导出所要证明的命题成立。
反证法对推理过程中的所有条件都要进行充分讨论。
为了保证推理的正确性，我们需要全部考虑各种可能的情况，对所有条件都进行充分的分析和讨论。
反证法能够从反面推动问题的解决。
有时候，直接证明一个命题会比较困难，但是通过假设反命题成立，再推导出矛盾的结论，可以更加容易地得到证明。
反证法能够减少证明的步骤。
通过反证法，我们可以通过推理和逻辑推论直接得出矛盾的结论，而不需要逐步地进行推导和证明，从而减少了证明的步骤。
反证法在解决问题时也存在一些注意事项：反证法并不总是适用于所有问题。
有些问题可能并不能通过反证法进行证明，或者使用反证法会导致证明过程变得复杂而困难。
在使用反证法之前，我们需要对问题进行全面的分析，判断是否适用反证法。
反证法的证明过程可能会比较模糊和抽象。
由于反证法的推理过程往往需要进行逻辑推理和符号运算，证明过程中的每一步推理和推导都应该严格合理、明确可行。
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法一、反证法的定义关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．二、反证法的步骤在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.②提出假设根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.③逻辑证明从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.④肯定结论对原命题的正确性进行肯定.三、反证法的逻辑应用反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.四、中学数学中反证法的应用1)否定性命题的证明例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,两边同时平方得a+c+2√ac=4b.又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,即b=√ac，所以a+c+2√ac=4√ac,所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,所以√a=√c,从而a=b=c,所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.2)限定式命题的证明3)无穷性命题的证明例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2，3，5，7，11，13，17，19......P再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.4)逆命题的证明5)某些存在性命题的证明6)全称肯定性命题的证明7)一些不等量命题的证明8)基本命题的证明五、总结。
浅谈反证法在初中数学解题中的应用
浅谈反证法在初中数学解题中的应用
反证法是一种常用的数学解题方法，在初中数学中也有广泛的应用。
它的基本思想是，在证明某一命题时，先假设该命题不成立，然后通过推导得出矛盾结论，最后证明假设不成立，从而得出原命题的正确性。
在初中数学中，反证法常用于证明“存在性”或“唯一性”等命题。
例如，要证明函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点，可以先假设函数f(x)在区间[a,b]内不存在任何零点，然后通过对函数进行推导，得出矛盾结论，最后证明假设不成立，得出函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点的结论。
反证法在初中数学中的应用还有：
1.证明几何图形的性质，如证明直线平分圆弧的结论，可以先假设直线不平分
圆弧，然后通过推导得出矛盾结论，最后得出直线平分圆弧的结论。
2.证明数学定理，如证明勾股定理，可以先假设勾股定理不成立，然后通过推
导得出矛盾结论，最后得出勾股定理的正确性。
反证法是一种非常有效的数学解题方法，在初中数学中有广泛的应用。
学会使用反证法，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。
浅谈数学教学中的反证法
浅谈数学教学中的反证法摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践一、反证法是一种重要的数学证明方法所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定要证命题的真实性1。
因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用（一）反证法的特点及应用反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。
我们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。
反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。
种类：我们使用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。
模式：设定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。
反设：首先设定与求证结果相悖的内容。
反设—假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。
归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键环节。
结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。
反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。
浅谈反证法的原理和应用
浅谈反证法的原理和应用1. 反证法的基本原理反证法（reductio ad absurdum），也称背证法，是一种常用于证明命题的方法。
它基于当我们需要证明一个命题时，我们可以假设命题的反面为真，然后通过推理和论证，最终推导出矛盾的结论。
这种矛盾的产生表明了我们最初的假设是错误的，因此我们可以推断原命题是成立的。
反证法的基本原理可以总结为以下几点： - 假设命题的反面为真。
- 通过推理和论证，从这个假设出发得出一个矛盾的结论。
- 根据矛盾的产生，可以推断命题的反面是错误的，因此原命题是成立的。
2. 反证法的应用场景反证法在数学、逻辑学以及其他科学领域都有广泛的应用。
它可以用于证明某些命题的正确性，或者在推理过程中说明某些假设的错误。
下面将介绍一些反证法的典型应用场景。
2.1. 证明存在性在一些数学问题中，我们需要证明存在某个对象，这时可以使用反证法。
假设不存在这个对象，然后通过推理得出矛盾，从而推断出这个对象是存在的。
例如，我们要证明存在一个无理数 x，使得 x 的平方等于 2。
可以假设不存在这样的无理数，而所有的数的平方都不等于 2。
然后通过数学推理，可以得出矛盾的结论，从而推断出这样的无理数存在。
2.2. 证明唯一性反证法也可以用于证明某个对象的唯一性。
假设存在两个或多个不同的对象满足某个条件，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断这些对象是不存在或者不唯一的。
例如，我们要证明平方根是唯一的。
可以假设存在两个不同的平方根，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断平方根是唯一的。
2.3. 证明等式或不等式在数学中，我们常常需要证明某个等式或不等式成立。
反证法可以用于这种情况下的证明。
假设等式或不等式不成立，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断等式或不等式是成立的。
例如，我们要证明若 a 和 b 是两个正实数，且 a+b=0，则 a=b=0。
可以假设 a和 b 不等于 0，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断 a 和 b 必须等于 0。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学中常用的一种解题方法。
它基于谬误论证法，假设待证明的命题不成立，通过推理论证推出一个不合理的结果，从而推翻了最初的假设，进而证明了待证明的命题成立。
下面将从几个典型的初中数学题目入手，探讨反证法在初中数学解题中的应用。
我们来看一个求解整数平方根的问题。
假设有一个正整数n，我们要证明如果n是平方数，那么它的平方根一定是整数。
我们可以采用反证法来证明这一结论。
假设n的平方根不是整数，即存在无法化简的最简分数\frac{a}{b}，满足\sqrt{n}=\frac{a}{b}，其中a和b互质。
不失一般性，假设a是奇数。
由于\sqrt{n}是n的平方根，我们可以推出n=\left(\frac{a}{b}\right)^2，进而得到n=\frac{a^2}{b^2}。
由于a是奇数，那么a^2也是奇数。
设a^2=k，则b^2n=k，由于k是奇数，所以n必然也是奇数。
我们知道平方数的性质是除以4的余数只可能是0或1，所以n的余数只可能是0或1，与n是奇数矛盾。
我们得出结论，若n是平方数，它的平方根一定是整数。
接下来，我们来看一个涉及最小值的问题。
假设有一个集合A，其中包含一些正整数。
现在要证明，如果将集合A中的两个元素交换位置，则整个集合中的元素之和不小于原来的和。
我们可以采用反证法来证明这一结论。
假设交换位置后，整个集合中的元素之和比原来的和要小。
设原来集合A中的两个元素分别为a和b，交换位置后变为b和a。
如果交换位置后的和比原来的和要小，那么必然有a-b>0，即a>b，否则a-b<0，即a<b。
不失一般性，假设a-b>0。
现在考虑将a减去某个正整数k，而将b加上k的情况。
由于a-b>0，所以存在一个正整数k，使得a-k>b+k。
考虑到a和b都是整数，那么我们可以得到一个更小的和，即a-k+(b+k)<a+b，这与交换位置后的和比原来的和要小矛盾。
浅谈反证法的教学
一、反证法的概念：反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。
反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。
然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。
存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.二、反证法的思维过程：“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。
对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。
像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。
在反证法的证题过程中。
只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。
并且能够培养学生的反向思维，发散思维.三、反证法的逻辑原理证明用符号如下五、反证法在教学中的作用（一）培养学生逻辑思维的严密性在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。
经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。
可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。
对于题中的知识点不清楚，记得错乱。
浅谈反证法的原理及应用
浅谈反证法的原理及应用反证法，又称证伪法或间接法，是一种在数学、逻辑、科学研究等领域中常用的推理方法。
它的原理是通过运用“假设与矛盾”来证明一些命题的真假。
本文将从原理及应用两个方面对反证法进行较为详细的探讨。
首先，反证法的原理是基于一种简单的思想，即“法则排中”。
法则排中指的是一种选择原则，即一些命题或假设的否定必然与命题或假设的肯定二者之一成立，不能同时不成立，也不能同时成立。
这一点在逻辑推理中是一个很重要的基础前提。
基于这个原理，反证法的步骤通常分为两步：首先，假设待证明的命题为假，或者是反证法的前提条件；然后，在假设的前提下推出矛盾的结论。
如果假设的前提推导出的结论与已知事实相矛盾，那么我们就可以推出反证法的结论：原命题一定为真。
反证法常用于排除假设，证明一些猜想或命题的正确性，及判定一些命题或猜想是恒真、恒假、或有矛盾的。
在数学中应用最为广泛，它可以用来证明存在性命题、唯一性命题、等价性命题等。
通过反证法可以帮助我们证明一些难以直接证明的问题，缩小问题的解空间，从而达到简化证明过程的目的。
其次，反证法还被广泛应用于科学研究中。
在科学研究中，我们常常面临一些复杂的问题，很难直接找到证据来证明一些假设或猜想的真实性。
这时候，反证法就可以帮助我们通过推理和逻辑来推翻一些不成立的假设，从而不断缩小问题的解空间，最终得出一些有关真实性的结论。
举个例子来说明，假设一些科学家提出了一个新的物理学理论，他认为光速可以超过光速。
为了验证这一假设，其他科学家可以采用反证法来进行证明。
首先，假设光速确实可以超过，从而推导出一系列与已有物理定律或实验证据相矛盾的结论。
如果我们得出了与实验证据相矛盾的结论，那么我们就可以推翻这个假设，证明光速不能超过光速。
反证法在科学研究中还可以用来判断一些理论的可行性。
当一个理论受到广泛质疑时，科学家可以尝试通过反证法来验证该理论。
假设该理论为真，然后推导出一些与已有实证研究相矛盾的结论。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
浅谈反证法在中学数学中的应用
浅谈反证法在中学数学中的应用反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法.1.2 反证法的来源1.2.1 古希腊的反证法反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何.1.2.2 中国古代数学的反证法在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例).1.2.3 反证法的其他来源① 墨子的“归谬法”例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在这里是证明一个命题为真.② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪.1.3 反证法的一般步骤学习反证法应把握它的一般步骤:反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.具体方法：命题r=在C下，若A则B反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾例1求证 A(原论题)证明 (1)设非A真(非A为反论题)(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)(3)非B(已知)(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)(5)所以，A(非非A=A).例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a的素数都不能整除a，则a是素数.证明假设a是合数，记a=bc (b、c∈Z，且b， c＞1)，由于a不能被大于1且不大于a的素数整除，所以b＞a，c＞a，从而bc＞a，这与假设a=bc矛盾，故a是素数.2. 反证法的适用范围究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便.2.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例3 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角.证明假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾. 故∠A，∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.2.2限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.例4 求证：素数有无穷多个.证明假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的.2.3某些存在性命题例5 设x，y∈(0,1)，求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x，y，使|xy - ax - by|≥31成立.证明假设对于一切x，y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜31恒成立，令x = 0， y = 1 ，则|b|＜31令x = 1 ， y = 0，得| a| ＜31令x = y = 1,得| 1 - a - b| ＜31.但| 1 -a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞1 -31-31=31产生矛盾，故欲证结论正确.2.4一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.2.5基本命题例6. 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点.证明假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点.2.6整除性问题例7. 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明假设a、b不都能被3整除.分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不被3整除，矛盾.（3）同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.参考文献[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92.[2]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994（7）：22-23.[4]颜长安.反证法初探[J].数学通讯. 2001（13）：22-24.[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊. 1997（4）：33-35.[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J]. 数学教学研究.1999（4）：12-13.。
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略数学作为一门基础性的学科，是许多学生最头疼的一科。
不少学生认为学习数学需要天赋，而他们自己缺乏这种“天赋”，因此对数学的学习产生了极大的困难。
针对这种情况，数学教师需要采用一些有效的教学策略来帮助学生突破难关。
其中，反证法是一种非常重要的策略。
一、反证法的定义与应用反证法，顾名思义，就是通过反过来证明某个命题的方法。
也就是说，我们假设某个命题不成立，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明这个命题是成立的。
在数学中，反证法常常用于证明某些重要的定理。
比如，欧几里得几何中的“勾股定理”就可以通过反证法来证明。
其他著名的定理，如费马大定理、四色定理等，也都是通过反证法得到证明的。
应用反证法时，我们需要先确定一个命题，然后假设它不成立。
接着，我们可以通过一些推理手段，得到一个矛盾的结论，从而证明该命题是成立的。
这个过程可能会比较复杂，但是一般来说，如果我们的思路清晰，并且坚持使用反证法，最终结果一定会是正确的。
二、反证法在数学教学中的应用在数学教学中，反证法是一种非常常用的策略。
它可以帮助学生培养逻辑思维能力，增强学生的数学素养。
下面就针对不同的数学学科，介绍一些反证法的应用案例。
1.数学分析数学分析是大学数学中的一门重要学科，也是非常难学的一门学科。
在数学分析中，反证法常常用于证明某些极限存在或不存在，或者用于证明一些函数的性质。
比如，当我们想要证明某个函数在某个点处连续时，可以采用反证法。
假设该函数在该点处不连续，然后通过推导得到某些矛盾的结论，最终证明该函数在该点处是连续的。
2.高等代数高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是抽象代数结构。
在高等代数中，反证法常常用于证明精确性和唯一性。
比如，在矩阵论中，我们要证明某个矩阵的特征值都是实数时，可以采用反证法。
假设该矩阵有一个非实特征值，然后得出某些矛盾的结论，最终证明该矩阵的特征值都是实数。
3.计算机科学在计算机科学中，反证法常常用于证明算法的正确性。
数学证明中的反证法与归谬法
数学证明中的反证法与归谬法数学证明是数学领域中至关重要的一部分。
它允许数学家们通过逻辑推理和严密的论证来验证和证明数学定理。
在数学证明的过程中，有两种常用的方法，即反证法和归谬法。
本文将详细介绍这两种方法，探讨它们的内在逻辑和使用场景。
一、反证法反证法，顾名思义，是通过反证来证明一个命题的方法。
它的基本思想是先假设所要证明的命题不成立，然后通过推理推出与已知事实矛盾的结果，从而推翻了最初的假设。
在数学证明中，反证法常常被用来证明“如果A，则B”的命题。
假设A成立，然后假设B不成立，通过逻辑推理可以得出与已知事实矛盾的结论。
由此可见，如果B不成立，那么A也不成立，从而证明了原命题的正确性。
举个例子来说明反证法的运用。
假设我们要证明一个命题：“任意两个整数的和都是偶数”。
我们可以通过反证法进行证明。
假设有两个整数a和b，它们的和为a+b。
现在我们假设a+b是一个奇数，即a+b=2k+1，其中k为任意整数。
那么，根据奇数的性质，我们可以将2k+1表示为2m的形式，其中m=k+1/2。
现在我们得到一个新的结论：a+b=2m。
根据假设，a+b是奇数，但是现在我们得到的结果是它是偶数。
这显然与已知事实矛盾。
因此，根据反证法，我们可以得出结论：任意两个整数的和都是偶数。
二、归谬法与反证法不同，归谬法是通过推理所得出的结论与假设矛盾，从而证明所要证明的命题为真。
归谬法在数学证明中的使用相对较少，但在一些特定情况下，它可以起到关键作用。
通常情况下，使用归谬法来证明一个命题需要先假设该命题不成立，然后根据这一假设得出一些已知的结论，通过逻辑推理可以得出与已知事实矛盾的结论，从而推翻最初的假设。
让我们举一个简单的例子来说明归谬法的应用。
假设我们要证明一个命题：“不存在最大的自然数”。
我们可以通过归谬法进行证明。
首先，我们假设存在一个最大的自然数N。
然后我们考虑N+1，根据自然数的性质，N+1也是一个自然数。
但是我们的假设是N是最大的自然数，由此可以推出一个结论：N+1>N，也就是说N不是最大的自然数，与我们最初的假设矛盾。
浅谈反证法原理及应用
浅谈反证法原理及应用反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明所要证明的命题为真。
本文将对反证法的原理及其在数学证明中的应用进行探讨。
反证法的原理可以简单归纳为以下几点：首先，反证法是基于排中律的原理。
排中律指的是对于一个命题，它要么是真的，要么是假的，不存在中间值。
反证法正是通过排中律将所要证明的命题的否定假设为真，从而推导出矛盾结论，进而证明该命题为真。
其次，反证法利用了“矛盾推理”的原理。
矛盾推理是一种推理方法，即从已知事实和逻辑规则出发，逐步推导出一个矛盾结论，从而推翻所假设的命题。
在反证法中，通过假设所要证明的命题为假，然后通过一系列逻辑推理，得到一个矛盾的结论，从而证明该命题为真。
最后，反证法利用了“蕴涵关系”的原理。
蕴涵关系是指前提推导出结论的逻辑关系。
在反证法中，我们假设所要证明的命题为假，然后根据已知事实和蕴涵关系进行推理，最终得到一个矛盾的结论，从而证明该命题为真。
反证法在数学证明中有广泛应用。
下面以几个常见的数学例子说明其应用：首先，反证法在证明素数无穷性中的应用。
素数无穷性是指素数的个数是无穷的，即不存在一个最大的素数。
我们可以采用反证法证明这一命题。
假设存在一个最大的素数，然后通过一系列步骤推导出一个矛盾的结论，即存在一个比最大素数还要大的素数，从而推翻了最大素数的存在假设，证明了素数的个数是无穷的。
其次，反证法在证明平方根2是无理数中的应用。
我们可以假设平方根2是有理数，即可以表示为两个整数的比。
然后通过一系列步骤推导出一个矛盾的结论，即平方根2不能被表示为两个整数的比，从而推翻了平方根2是有理数的假设，证明了平方根2是无理数。
此外，反证法还可以应用于证明一些基本不等式。
例如，证明对于所有正实数x和y，有x+y的平方大于等于4xy。
我们可以假设x+y的平方小于4xy，然后通过一系列推理得到一个矛盾的结论，证明了不等式的成立。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法1. 定义与基本原理反证法，又称归谬法，是数学证明中一种重要且独特的证明方法。
其基本思想是先假设命题的反面（即要证命题的否定）成立，然后通过合理的逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果，从而由于矛盾的存在，证明原假设（即命题的反面）不成立，进而间接证明原命题成立。
2. 逻辑依据与分类逻辑依据反证法的逻辑依据在于反证法的逻辑结构——反设、归谬、存真。
即首先反设命题的反面为真，然后通过逻辑推理导出矛盾，最后根据矛盾律（在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想不能同时为真，必有一假），断定反设不成立，从而肯定原命题为真。
分类根据反设后推导出的矛盾点不同，反证法可以分为直接反证法和间接反证法。
直接反证法是通过推导出与已知事实或定理直接相矛盾的结果来证明；间接反证法则是通过假设多个情况并分别推导矛盾，最后排除所有可能，从而证明原命题。
3. 应用步骤1. 反设：根据原命题，假设其反面成立。
2. 归谬：基于假设，通过逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果。
3. 存真：由于矛盾的存在，根据矛盾律，断定原假设（即命题的反面）不成立，从而间接证明原命题成立。
4. 适用范围反证法在数学中广泛应用于证明存在性命题、唯一性命题以及某些难以直接证明的命题。
特别是在处理一些“至少”、“存在”等类型的命题时，反证法往往能化繁为简，提供简洁明了的证明思路。
5. 典型例题解析例：证明根号2是无理数。
反设：假设根号2是有理数，那么它可以表示为两个互质的正整数的比，即存在正整数m,n(m,n互质)使得根号2 = m/n。
归谬：两边平方得2 = m^2/n^2，即m^2 = 2n^2。
由于m,n互质，若n为奇数，则m^2为偶数，进而m也为偶数，设m = 2k（k为正整数），则4k^2 = 2n^2，即n^2 = 2k^2，同样推出n为偶数，这与m,n互质矛盾。
存真：因此，假设不成立，根号2是无理数。
浅谈反证法及应用
浅谈反证法及应用反证法是一种推理方法，通过否定假设，推导出矛盾或不合理的结论，从而证明原假设的反面是正确的。
它是数学和逻辑思维中常用的一种证明方法，也被广泛应用于其他科学领域和哲学问题的探讨中。
反证法的核心思想是采用对立的观点，以推翻原来的论断。
通常来说，要使用反证法证明一个命题的正确性，首先需要假设这个命题是错误的，也即是假设它的反命题是正确的，然后推导出逻辑上的矛盾或不合理结论，从而得出原来命题的正确性。
反证法的应用领域非常广泛，以下是几个典型的应用实例：1. 数学证明：反证法在数学证明中是一种非常常用的推理方法。
比如证明无理数的存在，我们可以先假设不存在无理数，然后通过推导出矛盾的结论，从而证明无理数的存在性。
2. 几何证明：反证法也被广泛应用于几何证明中。
比如证明平面上不存在一个面积无限大的正方形，我们可以假设存在一个面积无限大的正方形，然后通过推导出矛盾的结论，从而证明这个命题不正确。
3. 物理学问题：反证法也可以应用于物理学问题的推理过程中。
比如在牛顿力学中，可以通过反证法证明一个力学定律的正确性。
假设一个力学定律不成立，然后推导出与实验观测不符的结论，从而验证该定律的正确性。
4. 哲学问题：反证法也常用于哲学问题的探讨中。
比如在逻辑学中，可以通过反证法证明某个命题的有效性和合理性。
假设这个命题不正确，然后通过推导出矛盾的结论，从而验证该命题的正确性。
反证法的优点在于它直观简单，推理过程一目了然。
通过假设反面，再推导出矛盾结果，可以解决一些复杂的问题。
同时，反证法也鼓励人们去质疑和检验事物的真相，培养了批判性思维和分析问题的能力。
然而，反证法也存在一些缺点和限制。
首先，要使用反证法，需要具备推理能力和逻辑思维能力。
其次，反证法只能解决一部分特定类型的问题，对于某些问题可能并不适用。
另外，反证法并不能提供具体的解决方法，仅仅用来证明某个命题的正确性，缺乏实际操作的指导作用。
总的来说，反证法作为一种重要的推理方法，在数学、逻辑学、哲学和其他科学领域都具有广泛的应用。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是一种常见的证明方法，它的核心思想是通过假设反面来得出正面结论。
在初中数学中，反证法也是常用的解题方法。
在本文中，我们将探讨反证法在初中数学解题中的应用。
一、什么是反证法反证法是一种常见的证明方法。
它的核心思想是：在证明某个命题时，我们先假设它的反面成立，再通过逻辑推理得到矛盾结论，从而说明这个假设是错误的，因此原命题成立。
例如，在证明“对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数”时，可以采用反证法。
我们假设n是奇数，即n=2m+1，其中m是整数。
那么，n²就是(2m+1)²=4m²+4m+1，显然是奇数，而不是偶数。
这与原假设矛盾，所以我们得到结论：对于任意整数n，如果n²是偶数，则n是偶数。
在初中数学中，反证法广泛应用于各个领域，例如代数、几何、概率等。
下面我们将以一些例子来说明。
在代数中，反证法通常用于证明一个方程没有实数根。
例如，我们考虑如何证明方程x² + 1 = 0 没有实数解。
我们可以采用反证法，假设有一个实数x满足x²+1=0，那么x²=-1，这个方程没有实数解，因此假设成立的前提是错误的，所以原方程没有实数根。
2. 反证法在几何中的应用在几何中，反证法通常用于证明某个结论是错的或者某条性质是不成立的。
例如，在平面几何中，我们想要证明“一个正方形的对角线互相垂直”。
我们可以采用反证法，假设正方形的对角线不互相垂直。
在图中，我们可以找到一个三角形ABC,因此∠ABD +∠AED + ∠BDE + ∠DEC = 360°。
然而，由于正方形的每个内角是90°, 因此∠ABD + ∠BDE = 90°, ∠AED + ∠DEC = 90°。
将它们代回原方程中，我们得到90°+90°+90°+90° = 360°, 说明原假设错了，证明了对角线互相垂直的结论。
浅谈反证法在初中数学中的应用
浅谈反证法在初中数学中的应用摘要：反证法作为一种重要的数学方法，在数学中有着许多方面的应用。
反证法突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，是一种开拓思路的方法，即逆向思维。
在我们初中数学教学中，通过应用到反证法增强学生的学习兴趣，提高思维转换及学生的分析和解题的能力。
关键词：反证法；逆向思维；数学教学引言：反证法是一种重要的数学方法，中国古代数学家刘徽，他为《九章算术》作注解时，他多次应用归谬论证法，其中大多数的反驳是正确的，符合逻辑学，墨子也使用归谬法，曾子曰“学之益也，说在诽者。
”这是一个非常有意思的反证法特例。
反证法在初中数学中的应用非常广泛，通过笔者在初中数学耕耘的几年教学经验，浅谈一下反证法在初中数学中的应用。
一、概述（一）反证法的定义当直接证明一个命题较为复杂时，首先我们要假设命题不成立，而后应用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法。
（二）反证法的相关基础反证法作为初中数学的重要方法，数学中的一些许多重要结论、性质等等都是利用反证法证明的，学会应用反证法对于中学生的数学思维有很大提升。
现从以下几个点去论述反证法的相关基础。
1、反证法的出发点第一步就要否定原命题的结论，这是应用反证法的第一步，构造与原命题相矛盾的反命题，而后从反命题出发，对其进行推理。
2、反证法的推理过程反证法的推理过程必须是合乎逻辑的，使用反证法就必须首先否定原命题的结论，作为假设命题，并把假设命题结论作为推理的已知条件，之后经过相关的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，我们知道假设命题是不成立的，所以肯定了原命题的结论，从而使原命题获得了证明。
3、反证法的逻辑基础“矛盾律”和“排中律”是反证法的逻辑基础，那什么是“矛盾律”呢？即在同一思维下，两个互相矛盾的判断是不可能都为真，一定有一个是假的，这就是我们所说的“矛盾律”。
纵向梳理反证法在初中、高中数学教学中的运用,打造教案
本文主要探讨反证法在初中、高中数学教学中的应用和如何通过梳理知识点建立精品教案，从而提高教学效果。
一、反证法在数学教学中的应用反证法是数学中常见的一种证明方法，它运用到了“归谬法”的思想，即通过假设与目标结论相反的前提，再通过一系列合理的推理来得出前提不成立的结论，从而证明目标结论。
在初中、高中数学中，反证法广泛应用于数学证明中，可以运用到以下几个方面：1.一元二次方程无解时，也就是判别式小于零时，反证法可以通过假设方程有解来推导出矛盾结论。
2.所有有限数可转化为分数的证明中，反证法可以通过假设某一个有限数不能转化为分数，然后推导出矛盾结论。
3.证明无理数存在的问题中，反证法可以通过假设只存在有理数，然后推导出矛盾结论。
4.证明平方根不是有理数的问题中，也可以通过反证法来解决。
反证法在数学证明中的应用非常广泛，可以帮助学生提高逻辑思维和证明能力。
二、梳理知识点建立精品教案针对初中、高中数学教学中反证法的应用，我们可以通过梳理知识点来建立精品教案，提高教学质量和效果。
具体的步骤如下：1.梳理知识点我们需要对反证法在数学证明中的应用进行全面的梳理，明确适用于哪些知识点，如何运用反证法来证明这些知识点。
2.挖掘问题在梳理知识点的基础上，我们需要挖掘出学生易错的问题，针对这些问题，设计一些练习，帮助学生理解反证法的应用和推导过程。
3.提高教学效果为了提高教学效果，我们可以结合反证法的应用来进行课堂教学，例如在探究无理数存在性质时，可以通过反证法来展开思考，并对学生进行实践性的训练。
4.梳理教案我们需要根据梳理知识点、挖掘问题和教学效果，来梳理一份高质量的教案，包括知识点解析、典型例题分析、练习题以及考点集锦等。
通过梳理知识点建立精品教案，不仅可以帮助学生掌握反证法的应用和推导技巧，也可以提高教学质量和教学效果，从而取得更好的教学成果。
反证法在初中、高中数学教学中的应用是必不可少的，我们应充分发挥其在思维训练和证明技巧上的优势，通过梳理知识点打造精品教案，提高教学质量和效果，助力学生成长和发展。
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浅谈反证法在数学中的应用刘胜摘要：在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。
各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的基础。
反正法主要运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题结论相反的假设。
然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题的一种方法。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
本文从反证法的概念、关于学生在学习中理解反证法的困难、学生运用反证法能力的培养、反证法证题的步骤、分类等方面给以浅述。
关键词：反证法概念理解培养步骤分类证明矛盾反证法是中学数学教学中所涉及的基本论证方法。
初中学生学习平面几何不久，便接触了反证法的思想，在此基础上于第二册建立了反证法的概念, 并运用反证法证明了平面几何中一些重要定理。
在以后数学各个分科教学的推理论证中，也都经常使用这一论证方法。
可见反证法的教学和应用贯穿于整个中学数学教学过程中，学生对反证法的学习、理解和运用反证法能力的提高，也是在中学学习数学过程中逐步加深和完成的。
因此在中学数学教学的全过程中，教师都应该注意对学生运用反证法能力的培养。
一、关于反证法的概念关于反证法这一要领讲法并不一致，有人把反证法归结为证明逆否命题的方法。
他们认为“用反证法进行论证，就是证明原命题的逆否命题”。
有的书中将反证法概念叙述为：为了证明A=>B，而去证明与它们等价的命题，且在等价命题的条件部分中含有要证明的结论的否定，称这样证明方法为反证法。
也有的书上将反证法的概念解释为：当我们要论证一个论题成立（真）时，先假定论题的矛盾论题是真的，然后用演绎推理，从引进的矛盾论题和给定的论据推出逻辑矛盾来，进而确认原论题是真的，这样的证明方法称为反证法。
还有的书中将中学数学中反证法解释为：有一些中学数学题，运用直接证明不易作出它的证明，但却能较易于证明它们结论的反面不成立，直接证明的这种变形称为反证法。
还有关于反证法的其它一些解释，这里不再一一婵述。
在各种不同的解释中有些是等价的，有些则不然。
现在有一些书刊中也有关于反证法概念的讨论，这里也不予摘引了。
二、关于学生在学习中理解反证法的困难在学生已熟悉的直接证明的推理论证中，都是只依靠给定的前提（论据）去展开推理，而反证法（间接证明中）的推理中，除依靠给定前提外，还依靠增加的新假设作为前提（即论题的矛盾论题），而且这个新增加的假设的真假是并未断定的，反证法与直接证明的这一区别，是反证法教学中使学生接受反证法的第一困难。
另外直接证明中是根据合乎逻辑的推理直接得到论题（结论）为真，学生接受结论成立这一论断时，十分自然轻松。
可是运用反证法进行论证，只是在从前提（论据）及假设（论题的矛盾论题）出发逻辑的得到一个矛盾，然后据此就断言结论（论题）成立，这时要学生据此去接受论题为真的论断时，常常感到突然（不敢置信），这是学生接受反证法的第二个困难。
反证法教学中应该对这两个困难予以充分重视，为此应首先做好渗透反证法思想的教学工作，为学生接受反证法做好思想准备，这就需要在讲反证法之前，通过适当实例，使学生建立起如下几个概念：第一，在同一关系下，两个命题互相矛盾的概念；第二，如果从前提出发（命题），逻辑地推出矛盾，而且除一个前提不是真的外，其它前提却已知为真，那么必然是那个剩下不知真假的前提假设不真；第三，如果一个论断的反面（即一个论题的矛盾论题）不成立，那么必然是原论题成立。
先有了这三点准备，就可以分散了学生学习中接受反证法的难点。
然后即可以使学生容易认识到：用反证法就是运用“不是否A，那么就是A”和“非此即彼”的思想。
并在此基础上就可以较好地处理第一个难点。
使学生了解先作出与原命题结论相反的假设是因为原命题结论的正确性还没有证明，先认定它不成立是允许的，另外为了要做“否定的否定”所以先引入了否定。
这正是引入结论的矛盾论题，增加其作为论证前提的原因。
另外，学生学习反证法时，还有一种想法，觉得是绕了两个弯子，有一种难于欣然接受的感觉，这实质是学生看不到引入假设的作用所致。
为此应使学生明确反法的主要作用是由于引入假设，增加了演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而山穷水尽的局面有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便和功效，这样就可以使学生在从已有前提（论据）出发，展开推理论证有困难时，会想到如何用反证法增加推理的前提了（但不是论证的前提），从而会逐渐学好反证法。
反证法的教学并不是几节课可以完成好的，要在整个数学教学中都予以充分注意。
可以说要使学生学好反证法是整个中学阶段数学教育任务之一。
三、运用反证法能力的培养虽然，当运用直接证明陷于困境的时候，反证法可以有出奇制胜的作用，但是运用反证法，在以下几方面比直接证明要复杂：第一，要根据原论题正确地引入假设，就必须具有对给定命题做出否定，并能正确表述的能力；第二，直接证明中推理方向总有欲证的论题做明确的目标，而用反证法却只欲推出矛盾，至于到底是什么矛盾，将在什么地方出现矛盾都不清楚，又加上各种矛盾形式的复杂性，因此，在运用演绎推理进行归缪时，要善于发现矛盾，不仅依赖知识的丰富，概念的准确，而且还要依靠机敏、直觉和广阔的联想来指导演绎过程；第三，由于反证法结构的特点，使得运用反证法的表述也较直接证明困难。
鉴于上述情况，可见要培养学生运用反证法的能力，必须注意以下几点。
1、学生运用反证法的能力是在整个中学阶段于各科教学的讲授与完成作业的过程中，由易到难，由简单到复杂逐步提高的，开始教授反证法时，应首先集中力量让学生掌握这一论证方法的结构格式和对这一结构的规范化的表述。
因此开始的例题要简单，引入假设和进行演绎完成归缪都尽量易于学生接受，以求做到分散难点便于学生入门。
从这个要求上看，可见目前教材中运用反证法的第一个例题，就是穷举法的题目，这是不够恰当的。
关于引入假设和完成归缪的能力，应在各年级的教学中逐渐提高，因此，应该研究在不同的学年级，培养学生运用反证法能力的不同的教学目标，不同的教学重点，做到这一目标的恰当分解和综合实现。
关于在什么情况下使用反证法和怎么样使用反证法，这两个贯穿于教学全过程的问题，学生只有在教学过程中才能逐渐加深认识，教学要注意研究的是在这个问题上于各年级的教学中到底层次要求和教学目的上有什么不同，现在许多教师在高三总复习阶段，将运用反证法做为第一个专题进行总结，使学生知识系统化，并通过总结后较全面较恰当的习题安排。
使学生运用反证法的能力得到了提高和升华。
2、运用反证法时，正确地引入假设，既依赖学生对概念的正确理解又涉及到学生基本的逻辑能力，因此根据论题正确引入假设并非是容易的事情，又鉴于当前的教材中缺少有关逻辑否定方面知识的讲授（实际上是将其渗透在反证教学法中了）因此，对引入假设能力的培养，就包含了关于学生逻辑能力的培养，所以在培养正确引入假设能力这环节上首先要注意逻辑训练，特别是当原论题结构中含有“任何”、“存在”、“至多”、“到少”、“无限多”等量词性的词汇时，都必须认真对待和讲授如何根据出现的量词，做出其矛盾的论题，培养学生进行逻辑否定的正确表述这一否定的能力。
还应注意的是：当原论题的否定做出之后，往往还需要审视一下，为了归缪的方便，是否还需要对其进行分解为不同的情况处理，（即是否对一个复合命题要找出其根枝，从而确定是否使用穷举法。
）这时也包含着基本的逻辑训练。
综合上述可知，要培养正确引入假设的能力，除必须首先加强概念教学，使学生准确理解和正确表述概念之处，还必须加强逻辑教学，将逻辑知识的教学做为这一教学环节上的一个重点，（这样做也是对现行教材关于逻辑知识讲授不足的弥补）。
3、由于在进行归缪这一步骤上，只是从假设（或结合部分已知前提，或结合全部已知前提）出发的一个正确的演绎推理，并且使推理过程中出现矛盾，即可完成归缪。
这一环节的教学，首先应使学生树立注意发挥引进假设作用的意识，从而注意寻求从这一假设（或结合已知前提）出发。
可能展开的演绎结果，其次应使学生了解通常构成出现矛盾的情况，例如：（1）演绎过程推出了与已知知识（定义、公理、定理、事实）相矛盾的结论；（2）演绎过程推出了与已知（部分或全部）前提相矛盾的结论；（3）演绎过程推出了与引进假设相矛盾的结论；（4）演绎过程推出了一对自相矛盾的结论（尽管二者孰真孰假尚知道）进行归缪过程，由于不知出现什么矛盾和在什么地方出现矛盾，因此在导出和发现矛盾上，要求学生思维灵活，开阔，善于运用直觉和联想，所以反证法教学中必须从这些方面加强培养和训练，才有助于提高运用反证法的能力。
四、反证法证题的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1．假设命题的结论不成立；2．从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
即提出假设--推出矛盾--肯定结论。
例1．过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。
已知：直线AB，点A∉平面α，点B∈α，直线a∈α且不过点B。
求证：直线AB和a是异面直线。
证明：[提出假设]假设直线AB和a不是异面直线。
[推出矛盾]则它们同在经过点B和直线a的平面内，因为B∉a，经过点B与直线a只能有一个平面α，直线AB与a都在平面α内，∴A∈α，这与A∉α矛盾。
[肯定结论]∴直线AB和a是异面直线。
五、反证法的分类反证法中有归谬法和穷举法两种。
如果原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法。
例2． 已知33q p +＝2，求证：p ＋q≤2。
分析：此题结论的否定只有一种情况，p ＋q ＞2，用反证法证明时只要把这种情况否定了，就可肯定p ＋q≤2成立。
证明：假设p ＋q ＞2，则q ＞2－p ，∴3q ＞8－12p ＋62p －3p ，∴33q p +＞6（34－2p ＋2p ）＝6［()21-p ＋31］， ∴33q p +＞2＋6()21-p 。
由此可知33q p +≠2，这与已知矛盾，∴p ＋q≤2。
例3.求证：2是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。
而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。
当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。
证明：假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a ba =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，∴224c a =，∴222bc =，则b 也是偶数。