圆的基本性质练习培优提高习题.doc

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专题2.5圆的有关性质大题专练(培优强化30题)

专题2.5圆的有关性质大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2021·江苏扬州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB 的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．(1)试说明：点C也一定在⊙O上．(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．∵FP⊥PE，∴∠FPE=90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP=45°，∵EP=EP，是四边形ABCD的一个外角，∠DAE ＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析．【分析】先根据圆内接四边形的性质可得∠DAE=∠DCB，再根据圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，然后根据等量代换可得∠DCB=∠DBC，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论．【详解】解：DB=DC，理由如下：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠DCB，由圆周角定理得：∠DAC=∠DBC，∵∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．3．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【答案】（1）10；（2）30°【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，设OB=x，则OD=x,得出OE的长，再利用勾股定理列方程，解方程即可；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形两锐角互余可以求得结果；【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据垂径定理可得，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找到相应的格点，作出弦AB的垂直平分线即可；（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．【详解】解：（1）如图1，线段EF即为所求；（2）如图2，Rt△BEF即为所求．【点睛】本题考查作图，应用与设计，垂径定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法保留作图痕迹）（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵CF是BE的垂直平分线，∴∠CFB=90°，CE=CB，∴DE∥CF，∴∠BDE=∠BCF，又∵∠BCF=∠ECF，∴∠BCE＝2∠BDE．【点睛】本题主要考查尺规作图和圆周角定理的推论，熟练掌握尺规作垂直平分线的基本步骤是解题的关键．6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E．（1）求证：∠EAD＝∠BAC；（2）若AB的度数为64°，则∠E的度数为 °．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可；（2）先求出∠ACB＝32°，圆内接四边形性质得出∠EDA＝∠ABC，再根据三角形内角和定理计算得出∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，求出∠E．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC=∠BCD，∴∠EAD＝∠BAC；（2）解：∵AB的度数为64°，∴∠ACB＝32°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠EDA＝∠ABC，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，∴∠E＝∠ACB＝32°，故答案为：32．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握圆内接四边形的性质，圆周角性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．7．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．（1）求证AE＝AH；（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．【详解】（1）证明：连接DE、BH，∴∠FEH＝∠FGH．又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，∴∠FEH＋∠FGH＝180°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．8．（2021·江苏无锡·九年级期中）如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D，E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．（1）如图1，求∠F的度数：（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．（2）连接DO，同（1）先求出∠∵AE=AD(180°−∠BAC)=65°，∴∠AED=12【点睛】此题主要考查圆内角度求解，和外角定理的运用．9．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，点C两点，满足下列要求：（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°即可作图；（2）根据三角形垂心的性质和垂径定理即可作图．【详解】（1）如图①即为所求；（2）如图②即为所求．【点睛】此题主要考查根据圆的性质作图，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角．10．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）直接写出OF与CD的数量关系，并证明你的结论．（2）若AB=2，CD=1．求⊙O的半径．∵OF⊥AB，∴AF=BF，∵AO=GO，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D，连结AD．（1）若∠AOD＝54°，求∠BAD的度数；ED＝1，求OA的长．（2）若AB＝D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．（1）求证：AB//CD；（2）连接AF，求证：AB＝AF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）借助弦相等对应的弧相等，弧相等所对的圆周角得到∠A＝∠C，进而AB∥CD；（2）连接AF，，由（1）知四边形ABCD是平行四边形，得到∠B＝∠AFB，故AB＝AF．【详解】解：（1）∵AD//BC，∴∠A+∠B＝180°，∵DE＝DF，∴DAE=DCF，∴DAE+EF=DCF+EF，∴DAF=DCE，∴∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB//CD；（2）连接AF，∵AB//CD，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵四边形AFCD是圆内接四边形，∴∠AFC+∠D＝180°，∵∠AFC+∠AFB＝180°，∴∠AFB＝∠D＝∠B，∴AB＝AF．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题关键是熟练掌握在同圆或者等圆中，有两条弦、两条弧、两个圆周角，其中有一组量相等，其它的量全部相等．13．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC= BC，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．【答案】（1）∠BEC＝110°；（2）证明见解析．【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF ＝∠CFB，则可得出结论【详解】解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC=BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）证明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵AC=BC，∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．14．（2020·江苏苏州·九年级期中）如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．求证：AD＝BD+CD．【答案】见解析．【分析】连接BC，证明∠ADB＝∠ADC＝60°，在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，证明△BDE、△CDF为正三角形，再证明∠AEB＝∠CFA＝120°，∠EAB＝∠FCA，证明△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，从而可得结论．【详解】解：连接BC，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC=AC,AB=AB,∴∠ADC＝∠ABC=60°,∠ADB＝∠ACB=60°,在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，∴△BDE、△CDF为等边三角形，∴∠DEB＝∠DFC＝60°，DE=BD,CF=DC,∴∠AEB＝∠CFA＝120°，又∠FAC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠FAC+∠EAB＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵{∠EAB=∠FCA ∠AEB=∠CFA AB=AC∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．15．（2020·江苏·海安市海陵中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，点E在CA延长线上．（1）若∠ABC＝55°，求∠EAD的度数；（2）若AD＝BC＝6，求AC的长．劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．（3）如图所示，分别作点D关于【点睛】本题考查圆中的计算问题，周角来证角相等，掌握三角形的证明方法，会用等边三角形件，来证△DBC≌△EAC（SAS积公式求S，会限定范围，会利用对称性确定会求△DMN周长的最小值为求D2H=D1H是关键．17．（2019·江苏南通·九年级期中）已知PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP若∠APQ=∠BPQ．⊙O的半径；（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP（2）如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．∴∠NOQ=90O∴∠NOQ+∠OCA=180O．∴AB//ON【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．18．（2019·江苏扬州·九年级期中）如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：AE=BE；（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析【分析】（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．【详解】（1）如图1，连接AP，∵BC是半⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=90°，∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ACB=∠BAD，∵点A是弧BP的中点，∴∠P=∠ACB=∠ABP，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE；（2）BE=EF，理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴∠BAD=∠ACB，∵A为弧BP中点，∴∠ABP=∠ACB，∴∠BAD=∠ABP，∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，∴EF=AE，∴BE=EF；（3）小李的发现是正确的，理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，AB =4,CD =2，直线AD,BC 相交于点E ．（1）∠E 的度数为___________；（2）如图（2），AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数；（3）如图（3），弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．【答案】（1）60°；（2）见解析，60°；（3）60°【分析】（1）连结OD ，OC ，BD ，根据已知得到△DOC 为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E 的度数；（2）同理解答（2）（3）．【详解】（1）如图（1），连接OD,OC,BD．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DBC=30°．∵AB为直径，∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°，∴∠E=90°−30°=60°．故答案为60°．（2）如图（2），直线AD,CB交于点E，连接OD,OC,AC．∵OD=OC=CD=2,∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠DAC=30°．∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CBD=360°−90°−90°−30°=150°,∴∠EBD=30°，∴∠E= 90°−30°=60°，（3）如图（3），连接OD,OC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°,∴∠CBD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°,∴∠BED=60°，∴∠AEC=60°．【点睛】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．20．（2020·江苏·西附初中九年级期中）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD=∠ABC；（2）若AD=6，求CD的长．量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0°），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是．②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是；③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y＝．【答案】（1）见解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x【分析】（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要证明：∠CBE＝∠BCE即可证明BE＝CE；（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出点E处的度数；②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出点E处的度数；③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°﹣2x，从而得出∠BOE 的度数，也即可得出y与x的函数式．【详解】（1）证明：连接BE，如图所示：的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）．为6m Array（1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90°（2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？（3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求PB的值，不存在，说明理PA由．(1)若∠ABC =62°，∠APC =100°，则∠BAD = ；∠CDB = ；(2)若AD 的度数为m 度、BC 的度数为n 度，猜想：∠APD 的度数与m 、n 之间的数量关系，并证明你的结论于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1，AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值．25．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，已知圆O上依次有A、B、C、D 四个点，AD=BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若BD＝5，求BF的长；（2）设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P（不同于点B），使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．（1）如图①，点A与点C重合，求证：圆心O在∠BAD的平分线上；（2）如图②，用直尺和圆规作弦CD⊥AB（保留作图痕迹，不写作法）；（3）若⊙O的半径为2，AB=m，记弦AB、CD所在的直线交点为P，且两直线夹角为60°．直接写出点P与⊙O的位置关系及相应的m的取值范围．过点O作⊥CD,垂足为E，连接两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点．（1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．求证：AB、CD是⊙O的等垂弦．（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，BEAE =13．求AB的长度；（3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝12AB，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r，AB ＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，请求出点F在⊙O内时对应的m的取值范围．⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．[类比应用]已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围；[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接写出答案）连接PA、PM、OM、C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥PQ//AB．（2）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），①在图2中，作弦EF，使EF//BC；②在图3中，以BC为边作一个45°的圆周角．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）连接AQ，证明∠AQP＝∠QAB即可；（2）①延长CA交⊙O于E，延长BA交⊙O于F，连接EF，线段EF即为所求；②在（1）基础上分别延长BF、CE，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断∠DBC＝45°．【详解】（1）证明：连接AQ．∵AP＝BQ，∴AP=BQ，∴∠AQP＝∠QAB，∴PQ∥AB；（2）解：①如图，线段EF即为所求．②如图，∠DBC即为所求．【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，圆心角、弧、弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．30．（2020·江苏宿迁·九年级期中）如图1，AB是⊙O的一条弦，点C是AmB上一点．（1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半径．（2）如图2，若点P是⊙O外一点．点P、点C在弦AB的同侧．连接PA、PB．比较∠APB 与∠ACB的大小关系，并说明理由．（3）如图3．设点G为AC的中点，在AmB上取一点D．使得AD=BC，延长BA至E，使AE=AB，连接DE，F为DE的中点，过点A作BE的垂线，交⊙O于点P，连接PF，PG．写出PG与PF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）⊙O的半径为4；（2）∠APB<∠ACB，理由见详解；（3）PG=PF，理由见详解．【分析】（1）连接OA、OB，由题意易得△AOB是等边三角形，进而问题得解；（2）设PB与⊙O交于点E，连接AE，易得∠AEB=∠C，然后根据三角形外角的性质可求。

浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》培优测试卷(解析版)

浙教版九上数学第3章《圆的基本性质》培优测试卷（解析版）一、单选题1.若圆的半径是，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与的位置关系是( )A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O外或⊙O上【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】解：由勾股定理得：OP= =5．∵圆O的半径为5，∴点P在圆O上．故答案为：C【分析】利用勾股定理求出点P到圆心的距离OP，再根据点与圆的位置关系，就可得出点P与圆O的位置关系。

2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）A. 22°B. 26°C. 32°D. 34°【答案】A【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】解：连接OC，∵∠A＝68°，∴∠BOC=2∠A=136°,∵OB=OC,∴∠OBC ==22°;故答案为：A。

【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC，再根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等即可算出答案。

3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则的长（）A. B. C. D.【答案】B【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OA、OC∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°∴∠B+∠D=180°∴∠D=180°-135°=45°∴∠AOC=2∠D=2×45°=90°∵⊙O的半径为4，∴弧AC的长为：故答案为：B【分析】连接PA、OC，利用圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再利用圆周角定理求出∠AOC的度数，然后利用弧长公式就可求出弧AC的长。

4.小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD.下列说法不正确的是（）A. ∠A=60°B. △ACD是直角三角形（第，爱画）C. BC= CDD. 点B是△ACD的外心【答案】C【考点】等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C∴AB=AC=CB∴△ACB是等边三角形∴∠A=60°，故A不符合题意；∵以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D∴AB=CB=BD∴∠D=∠BCD∵∠ABC=∠D+∠BCD=60°∴∠BCD=30°∴∠ACD=∠ADB+∠BCD=60°+30°=90°∴∠ACD=90°∴△ACD是直角三角形，故B不符合题意；在Rt△ADC中，∠A=60°∴tan∠A=∴故C符合题意；∵AB=CB=BD∴点B是△ACD的外心故D不符合题意；故答案为：C【分析】由已知条件：分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C，易证△ACB是等边三角形，因此可求出∠A的度数，可对A作出判断；再由以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D，可知AB=CB=BD，可证得点B是△ACD的外心，可对D作出判断；利用等腰三角形的性质，及三角形外角的性质求出∠D的度数，就可求出∠ACD的度数，可对B作出判断，然后利用解直角三角形就可得到BC 与CD的数量关系，可对C作出判断，综上所述，可得出答案。

圆的基本性质提高练习

数学九上《圆的基本性质》提高练习一、选择题（每题2分，共30分）1．已知⊙O 的半径为5厘米,A 为线段OP 的中点,当OP ＝6厘米时,点A 与⊙O 的位置关系是( )A.点A 在⊙O 内B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 外D.不能确定 2．下列命题中不正确的是( )A. 等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点.B.三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点;C.三角形只有一个外接圆;D. 圆有且只有一个内接三角形;3．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤平分弦的直径垂直弦；⑥垂直弦的直径平分弦；⑦相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个4．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（ )5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=200, D 是弧AC 点，则∠D 是( )A.1200B. 1100C.1000D. 906．若正方形和正六边形的外接圆半径相等，则它们面积的比为( )A. 2 7．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD 的边长为（）8．已知弦AB 把圆周角分成1 : 3的两部分，则弦AB 所对的圆周角的度数为( )A.0452B. 01352C. 900或270D. 450或13509．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( )A.2a b+ B.2a b - C. 2a b +或2a b - D.a+b 或a-bD CAO10．下图中BOD ∠的度数是（）A 、550B 、1100C 、1250D 、1500第10题第11题第12题11．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA 、OB 在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8个单位，OF ＝6个单位，则圆的直径为 ( ) A ．12个单位 B ．10个单位 C ．4个单位 D ．15个单位 12．如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C ,若AB =3,BC =1,则与圆环的面积最接近的整数是( )A.9B. 10C.15D.1313. 如图，⊙O 过点B 、C 。

圆的基本性质培优

OF E D C B A 圆的基本性质培优（二）设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n R l = 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法例1.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm (结果保留π)．分析：①可以先求出每段弧的长度，再求长度之和。

②观察每段弧所在圆的半径及圆心角，然后整体求解。

（常用之法也是简便方法）例 2.矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．分析：在每次翻滚过程中，要确定圆心和弧长及点 A 的位置。

例3.5，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D E 、在OB 上，点F 在弧AB 上，则阴影部分的面积为____________．分析：割补法例4.如图，以△ABC 的边AC 为直径的半圆交AB 于D ，三边长a ，b ，c 能使二次函数)(21+)+(21=2a c bx x a c y 的顶点在x 轴上，且a 是方程z 2+z-20=0的一个根．（1）证明：∠ACB=90°；（2）若设b=2x ，弓形面积S 弓形AED =S 1，阴影部分面积为S 2，求（S 2-S 1）与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当b 为何值时，（S 2-S 1）最大？习题练习：AB CD第1题1.如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留π）．第2题第3题第4题2.如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，阴影部分的面积_________。

圆的基本性质巩固提升培优

圆的基本性质巩固提升培优一、圆心角与圆周角定理的综合运用二、利用圆周角定理解动点问题已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧ABC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数.已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是AB 的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：CD=AE=BF．三、圆中最值问题求解几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB 的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）（3）如图3，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC．∵PO＜PC+OC，且PO=PA+OA，OA=OC，∴PA＜PC∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD 上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A’M的长度；②求线段A′C长的最小值．如图，△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，2，求出EF最小值．连接EF．（1）若AD=4，求EF的长；（2）若，∠ABC=45°，AB=2如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为______．如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）；第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形在分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；按上述分割方法进行下去……（1）请你在图中画出第一次分割的示意图；若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n 有何关系？（S用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程）平面图形中滚动问题：1.如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_______2.如图1，是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE．在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后到图2的位置．则由点A到点A4所走路径的长度为_________3.已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是___________m．（结果保留π）4.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是平行的，且水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．5.按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为______，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为________．例1、如图ABC 是⊙O 的一条折弦，BC>AB ，D 是ABC 弧的中点，DE ⊥BC ，垂足为E.求证：CE ＝BE ＋AB.例2、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC=BC ，D 为⊙O 中上一点，延长DA 至点E ，使CE=CD ，（1）求证：AE=BD （2）若AC ⊥BC ，求证，AD+BD=CD 2例3、如图，在半径为2的扇形中，∠，点是弧上的一个动点（不与点、重合）⊥，⊥，垂足分别为、．（1）当时，求线段的长；（2）在△中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设，△面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围．AOB =90AOB o C AB A B OD BC OE AC D E =1BC OD DOE =BD x DOE y y x例4、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线233y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO =∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．。

九年级上册数学《圆的基本性质》培优班练习题

《圆的基本性质》1.2.3节一、选择题1、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）225寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸2．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是弦．若AB ＝10厘米，CD ＝8厘米，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（）（A ）12厘米（B ）10厘米（C ）8厘米（D ）6厘米3、点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（）（A ）2条（B ）3条（C ）4条（D ）5条4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM 的长为（）（A ）3厘米（B ）5厘米（C ）2厘米（D ）5厘米5、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）（A ）π （B ）1.5π （C ）2π （D ）2.5π6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10厘米，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是（）（A ）6厘米（B ）53厘米（C ）8厘米（D ）35厘米7、如图，若四边形ABCD 是半径为1的⊙O 的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（）（A ）（2π－2）厘米（B ）（2π－1）厘米（C ）（π－2）厘米（D ）（π－1）厘米8．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围( ) A.3≤OM ≤5 B.4≤OM ≤5 C.3＜OM ＜5 D.4＜OM ＜59．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )A.42 °B.28°C.21°D.20° 10．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.11．设⊙O 的半径为2，平面内一点P 到直线O 的距离OP=m ，且m 使得关于x 的方程有实数根，则点P 与⊙O 的位置关系为( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.无法确定12．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )A. B. C. D.13．如图所示，ABCD为正方形，边长为a，以点B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影部分的面积是（)A. (1-л)a2B. l-лC.244aπ-D.44π-14．下列命题中正确的是 ( )A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．切线垂直于圆的半径C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．圆内接平行四边形是矩形15．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( )A.2a b+B.2a b-C.2a b+或2a b-D.a+b或a-b16．如图所示,以O为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于C,若AB=3,BC=1,则与圆环的面积最接近的整数是( )A.9B.10C.15D.13二、填空题17如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA＝5，∠AOB＝30，AC⊥OB于C，则图中阴影部分的面积（结果保留π）S＝_________．18．一圆拱的跨度为20cm，拱高5cm，则圆拱的直径为.19．圆的半径等于2cm，圆内一条弦长为23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为.20．如图，AB是⊙O的直径，AB=2, OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在1/3劣弧AC上，点P是半径OC上一个动点，那么AP＋DP的最小值等于21.如图，⊙A和⊙B与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1yx=图象上，则阴影部分面积等于______________ ．22．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为m4的半圆，其边缘AB = CD =m20，点E在CD上，CE =m2，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为m.（边缘部分的厚度忽略不极，结果保留整数）D CBAO23．如图，AB,CD 两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S1-S2|=__________.三、解答题24. 如图，AB是⊙O的弦，OAOC⊥交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当BECE=时，直线BE与OB有怎样的位置关系？请说明理由．25、已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．。

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

圆的基本性质培优(九上)

圆的基本性质培优（一）圆的基本性质有：一．是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二．二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．三．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45 D ．16175 思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过图形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．习题练习1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD ＞EFC ． AB+CD<EFD ．不能确定3. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm4. 一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．316 5．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为．6．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．7．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．⌒9．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．10. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ，且DH ⊥x 轴，DH=8．（1）求点H 的坐标；（2）如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求的值；11．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒。

人教版圆的基本性质提高训练题(含答案)

人教版第二十四章 24.1圆的有关性质提高训练题（含答案）1、如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．解析：由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，∴AB==4；②当∠A'FE=90°时，如图2，∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；2、如图所示，M N为⊙O的直径，A是半圆上靠近N点的三等分点，B是的中点，P是直径M N上的一动点，圆O的半径为1，观察图形并思考，P A＋P B有最小值吗？若有，求出最小值是多少．解析：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故答案为：．3、已知圆O的直径CD=10cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，求AC的长4、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．5、如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．7、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.8、如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60．9、如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点（点F不与B、C重合），A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．（1）当α=50°时，求β的度数;（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：（1）连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=12∠AOB=12×40°=20°, 即β=20°.（2）β=45°-12α. 证明：由（1）知∠BOM ＝90°-α.又∠C ＝β＝12∠AOB, ∴β＝12（90°-α）＝45°-12α.10、如图，O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示：则DF CF =，132AG BG AB ===， 2EG AG AE ∴=-=，在Rt BOG ∆中，2OG ==，EG OG ∴=，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，OE ==，75DEB ∠=︒，30OEF ∴∠=︒，12OF OE ∴==在Rt ODF ∆中，DF ==2CD DF ∴==故选：C ．11、如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒， DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质12、如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ADC ＝60°．∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ， ∴． ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°．故选：D ．【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理13、半径为5的 O 是锐角三角形ABC 的外接圆,AB ＝AC,连接OB,OC,延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形,则弦BC 的长为______.【答案】【解析】∵△OBD 为直角三角形,∴分类讨论:如图,当∠BOD ＝90°时,∠BOC ＝90°,在Rt △BOC 中,BO ＝OC ＝5,∴BC ＝当∠ODB ＝90°时,∵OB ＝OC,设∠OBC ＝∠OCB ＝x,∴∠BOD ＝2x,∠BOC ＝180°－2x,∴∠ABO ＝90°－2x,∠ABC ＝∠ACB ＝90°－x,∴∠A ＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x ＝2×2x,∴x ＝30°,∴∠BOC ＝120°,∵OB ＝OC ＝5,∴BC ＝综上所述,BC 的长度为14、如图，AC 是⊙O 的弦，AC =5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC =45°，若点M 、N 分别是 A C 、BC 的中点，则 M N 的最大值是____________．【答案】2【解析】∵MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12AB ．当AB 为⊙O 的直径时，AB 有最大值，则MN 有最大值．当AB 为直径时，∠ACB=90°，∵∠ABC =45°，AC =5，∴AB=MN=2．【知识点】中位线定理；圆周角定理及其推论15、如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．【思路分析】（1）利用基本作图作AD 平分BAC ∠，然后连接OD 得到点E ；（2）由AD 平分BAC ∠得到12BAD BAC ∠=∠，由圆周角定理得到12BAD BOD ∠=∠，则BOD BAC ∠=∠，再证明OE 为ABC ∆的中位线，从而得到//OE AC ，12OE AC =．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）//OE AC ，12OE AC =．理由如下：AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 12BAD BOD ∠=∠， BOD BAC ∴∠=∠，//OE AC ∴，OA OB =，OE ∴为ABC ∆的中位线，//OE AC ∴，12OE AC =．【知识点】作图-基本作图；圆周角定理16、在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．（1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．CB A【思路分析】【解题过程】（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠ AD ＝CD∴AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1.。

2024-2025学年浙教版九年级上册数学第三章圆的基本性质单元培优测试卷 (含详解)

圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（）第8题图第9题图第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为．第11题图第12题图第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为　　．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为；（2）△AMN 周长的最小值是．第14题图第15题图第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有　　．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。

32【提高】圆的基本概念和性质(培优课程讲义例题练习含答案)

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。

圆的基本性质辅助线(培优训练)

圆的基本性质的应用一、本节概述本节重点讲解垂经定理、圆周角定理等圆的基本性质在解题中的应用，以及与之相关的基本辅助线的构造。

二、典例精析知识点：圆的基本性质的应用【例1】如图，在在，BC=6,,(1)求的半径；（2D，且AD=7.求DE的长。

解：如图：过O由圆周角定理得到，,BM=3,所以，半径,OM=3,所以ND=3,从而-3【例2】如图，AC和BD是圆O中两条互相垂直的弦，且AB=2,CD=6,则圆O的直径为。

解：延长CO与圆O交于点F，连接DF。

【例3】如图，AD=4,BD=6,CD=3,则弓形所在圆的直径是。

解：设圆的圆心为O,连接AC、BC，延长DC与圆O交于P,过O作设DN=x，所以CN=3+x，DM=2利用CO=BO列方程如下：解得：x=2【例4】如图，在圆O中，AB=AC,,则圆O的半径为。

解：连接OA交BC于点N，过O，因为AB=AC，所以三、成果检测3. 如图,A、B、C、D依次为一直线上4个点,BC=2,△BCE为等边三角形,⊙O过A，D，E 3点,且∠AOD=120.设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 .4. 如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交⊙O 于D,连接BE.设∠BEC=α,则sinα的值为______。

5. 已知：⊙O的半径为25cm,弦AB=40cm,弦CD=48cm,AB∥CD.求这两条平行弦AB，CD之间的距离 .6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD.已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长。

7.已知：如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求BC的长。

8.已知：如图,⊙O的直径AB与弦CD(不是直径)交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长。

9.如图,C经过坐标原点,并与两坐标轴分别交于A﹑D两点,已知∠OBA=30,点A的坐标为(2,0)，求点D的坐标和圆心C的坐标。

第3章圆的基本性质培优训练试题(含解析)

浙教版九上数学第三章：圆的基本性质培优训练一.选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！ 1.如图AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，035=∠ADC ，则CAB ∠的度数为（）A.035B.C.D.2.如图，在平行四边形ABCD 中，060=∠B ，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A. πB. π2C.π3D.π63.如图，AB 是圆O 的弦，OC ⊥AB ，交圆O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若∠ABC=20°，则∠AOB 的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°4.如图⊙A 过点()0,0O ，()0,3C ，()1,0D ，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接 BO ， BD ，则OBD ∠ 的度数是（）A. B. C. D.5.如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8，AE=2，则OF 的长度是（）A. 3cmB. 6C. 2.5D. 56.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧交AC 于E 点，若∠A=60°， ∠B=100°，BC=4，则扇形BDE 的面积为（）A ．π31B ．π32C ．π94D ．π95 7.如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（）A ．R 2B ．R 23C ．R 22 D.R 38.已知⊙O 的直径CD=10，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8，则AC 的长为（）A ．52B ．54C ．52或54D ．32或349.如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C 是OB 的中点，CD ⊥OB 交AB 于点D ，以OC 为半径的CE 交OA 于点E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．31812+πB ．33612+πC ．3186+πD ．3366+π10.如图,直角梯形ABCD 中,∠BAD=∠CDA=90°,AB=1,CD=2,过A,B,D 三点的⊙O 分别交BC,CD 于点E,M,且CE=2,下列结论:①CM DM =;②AB EM =；③⊙O 的直径为2;④AE=.其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图：四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A=n °，则∠DCE=12.如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB CD =，∠C AD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=13.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为14.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=6，EB=1，则⊙O 的半径为15.如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′，点C ′在OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为16.已知直线y=kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_________________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）已知⊙O 的半径是5，弦AB ＝8， (1)求圆心O 到弦AB 的距离；(2)弦AB 两端在圆上滑动，且保持AB ＝8，AB 的中点在运动过程中构成什么图形？请说明理由．18（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行于BC ，过点C 作CE ∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连结AE.(1)求证：四边形AECD 为平行四边形；(2)连结CO ，求证：CO 平分∠BCE.19（本题8分）如图，在锐角三角形ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，21AC 的长为半径作⊙O ，交BC 于点E ，过点O 作OD ∥BC 交⊙O 于点D ，连结AE ，AD ，DC .求证：(1)D 是AE 的中点；(2)∠DAO ＝∠B ＋∠BAD .20.（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点2，∠DPA＝45°。

九年级培优第九讲 - 圆的基本性质专题训练(1)

九年级培优第九讲 - 圆的基本性质专题训练(1) 第九讲圆的基本性质专题训练（1）学习目标：熟悉圆的基本性质，能运用勾股定理正确计算。

一、垂径定理练习1、如下图1，已知OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于D，若CD＝2，AB＝8，则⊙O的直径为 .2、如下图2，直径为10dm的圆柱形油槽内剩余少量油，此时测得油面宽AB为6dm，截面如图所示，油槽内装入一些油后，测得油面为8dm时，油面上升。

?的中点，则AC＝ . 3、如下图3，⊙O的直径为20，弦AB＝16，点C是AB4、如下图4，过⊙O内一点M的最长弦长为6，最短弦长为4，则OM的长为（） A、3 B、5 C、 2 D、5CAOB二、圆周角定理练习圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角，叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：半圆或直径所对的圆周角是90°，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。

1．如下图1，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC＝96°，则∠ABC＝______________． 2．如下图2，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB的度数为。

CBA BCOBCOO ADCD D3．如上图3，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝88°，则∠BCD＝______________. 4．如上图4，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝120°，BC∥OD交⊙O于C，则∠A等于。

5．如下图1，点A、B、C、D在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3,CD=2，，则⊙O的直径为。

AAOB6．如下图2，AB为⊙O的直径，D为?AC的中点，∠ABC＝40°，则∠BCD＝ . 7．如下图3，∠AOC=∠ABC=a,则a的值为 .1??BE?，∠A＝25°，则∠C＝ . 8.如图，⊙O的直径CB的延长线与弦ED的延长线交于点A，且CE?的中点，D为半圆AB上一点，则∠ADC＝ . 9．如图，AB为⊙O的直径，C 为ABEDACOB10．如图，AC为⊙O的弦，CE⊥AC，BC=CE，EF⊥BE，⊙O的直径为13，BE?52，（1）求证：BE∥AF；（2）求AB、BF的长。

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圆的基本性质
一、选择题
A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
A2 如图，△ABC 内接于⊙ O，D 为线段 AB 的中点，延长OD 交⊙ O 于点 E，连接 AE ，BE ，则下列五个
结论① AB⊥ DE,② AE=BE,③ OD=DE,④∠ AEO=∠ C ，⑤, 正确
结论的个数是（）
A 、2 个
B 、3 个
C 、4个
D 、5 个
A3．如图，点B、 C 在⊙O上，且 BO=BC，则圆周角BAC 等于（）
A．60 B ． 50 C ． 40 D ． 30
A4．如图，⊙ O 的直径 CD ⊥ AB ，∠ AOC=50 °，则∠ B 大小为 ( )
A ．25°B．35°C． 45°D． 65°
（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）
A5. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为
A ．B． 5 C． 10 D． 15
A6 、如图， AB 是⊙ O 的弦，半径 OA=2 ，AOB 120 ，则弦 AB 的长是（）（A）2 2 （B）2 3 （C ） 5 （D）3 2
B7．如图２，△ ABC内接于⊙ O ，若∠ OA Ｂ＝２８°，则∠ C 的大小是（）
A ．６２°B．５６° C ．２８° D ．３２°
B8. 如图，点 A、 B、 P 在⊙ O 上，且∠ APB=50 °若点 M 是⊙ O 上的动
点，要使△ ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有
A．1个B．2 个C．3 个D．4 个
（第 6 题图）（第 7 题图）（第 8 题图）
B9、如图，⊙ O 过点 B 、C 。

圆心 O 在等腰直角△ ABC 的内部，∠ BAC ＝ 900， OA ＝ 1， BC ＝ 6，则⊙ O 的半径为（）
A）10 B）2 3 C）3 2 D）13
C10．如图 ,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（）
A. (45) cm
B. 9 cm
C. 4 5 cm
D. 6 2 cm
A
B
（第 9 题图）O D
（第10题C
C11．如图， MN 是半径为 1 的⊙ O 的直径，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN =30°， B 为 AN 弧的中点，点P 是直径 MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为
A． 2 2 B． 2 C ．1 D． 2
C12、如图所示，在圆⊙O 内有折线 OABC ，其中 OA＝ 8， AB ＝ 12，
∠A ＝∠ B＝ 60°，则 BC 的长为（）
A ．19 B． 16 C．18 D． 20
（第 12 题图）
（第 11 题图）
二、填空题
A1．如图 , ⊙ O 是正三角形ABC 的外接圆,点 P 在劣弧 AB 上,ABP =22°,则BCP 的度数为_____.
A2．如图在等边△ABC 中，以 AB 为直径的⊙ O 与 BC 相交于点D，连结 AD ，则∠ DAC 的度数为．A3．如图，在直径 AB ＝ 12 的⊙ O 中，弦 CD⊥ AB 于 M ，且 M 是半径 OB 的中点，则弦 CD 的长是 _______.
（第 1 题图）（第 2 题图）（第 3 题图）
A4．如图，以点P为圆心的圆弧与x 轴交于A，B；两点，点P的坐标为（ 4，2） , 点 A 的坐标
为（ 2 3 ，0）则点B的坐标为．
A5．如图， AB 为⊙ O 的弦，⊙ O 的半径为5， OC⊥ AB 于点 D，交⊙ O 于点 C，且 CD＝ l ，则弦 AB 的长是．
A6．如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，点 D 是BC的中点，已知∠ AOB =98°，∠ COB =120°．则∠ ABD 的度数是．
C
A O
D
B
（第 4 题图）（第 5 题图）（第 6 题图）
A7. 现有一个圆心角为90
，半径为
8cm
的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.
该圆锥的高为 __________
B8．如图， AB 为⊙ O 的直径，点 C， D 在⊙ O 上．若∠ AOD ＝ 30°，则∠ BCD 的度数是．
B9．如图⊙ O的半径为 1cm，弦 AB 、CD 的长度分别为2cm,1cm ，则弦AC、BD所夹的锐角＝．B10．如图，菱形 OABC 中，∠ A=120 °， OA=1 ，将菱形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转90°至 OA ′B′C′的位置，则图中由BB ′， B′A ′， A ′C， CB 围成的阴影部分的面积是_______
C
D
A O
B
（第 8 题图）
（第 9 题图）
（第 10 题图）
C11．已知⊙ O 的半径为 10，弦 AB 的长为10 3 ，点C在⊙O上，且C点到弦AB所在直线的距离为5，则以 O、A 、 B、 C 为顶点的四边形的面积是．
C12 、如图，将半径为 1、圆心角为60°的扇形纸片 AOB ，在直线 l 上向右作无滑动的滚动至扇形A’ O’ B’
处，则顶点 O 经过的路线总长为．
C13 、将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是 ___________cm.
（第 12 题图）
三、解答题（第 13 题图）
A1.如图，△ABC内接于⊙ O，AD是△ ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ ADC相似吗？请证明你的结论．
C
A· B
O
D
A2．如图，⊙ O 的直径 AB 长为 6，弦 AC 长为 2，∠ ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求四边形ADBC 的面积 .
A3．如图，AD为ABC 外接圆的直径，AD BC ，垂足为点 F ，ABC 的平分线交AD 于点 E ，连接 BD ，CD .
(1)求证： BD CD ；
(2)请判断 B ， E ， C 三点是否在以 D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.
A
E
B F C
D
B4．如图 9,在平行四边形 ABCD 中 ,E 为 BC 边上的一点 ,且 AE 与 DE 分别平分∠ BAD 和∠ ADC. ( 1)求证 :AE
⊥DE;
(2) 设以 AD 为直径的半圆交AB 于 F,连接 DF 交 AE 于 G,已知 CD=5,AE=8, 求FG
的值 .
AF
C5．如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点在半圆弧 AB 上运动（不与 A 、B 两点重合），过点 C 作 CP 的垂线 CD P，已知 BC ： CA=4： 3，点 P 交 PB 的延长线于 D 点．
（1）求证： A C·CD=PC·BC；
（2）当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长；
（ 3）当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求出这个最大面积S。