高山滑雪板力学特性分析_陈礼

图 2 滑雪板模型
Fig. 2 Ski m odel
滑雪运动中, 滑雪板的速度方向受到滑雪板
弯曲边刃的引导不能随意横向滑动, 根据力学基
本原理, 如果滑雪板的速度方向偏离长轴成 C 角
度方向运动, 可用以下约束方程描述这种关系:
xõ t an( A+ C) - yõ= 0
( 2a)
当滑雪板和雪面法线成 B 角时, 它的转弯半径由
Rsin B 为半径的变速圆周运动. 此结论和“在平
坦的场地, 甚至可以通过旋转、侧身和屈膝动作做
出 360°的圆弧转弯”的滑雪说法相一致.
3. 2 平地滑雪运动
考虑人体的影响, 利用动力学方程( 8) 对 h =
1. 8 m , m = 75 kg 的人从坡度 7 = 0°的雪面上运
动 5 s 的情况进行仿真. 其中, 原点为初始位置, 滑雪板 R = 15 m , B= 60°, A= 0, 并具有 10 m / s 的 x 向初速度. 部分计算结果如图 3、4 所示. 各 图 中“○”为向右转弯的开始, “* ”为向右转弯的 结 束. 由图 3 可知, 此运动是人体向左、向右相互 交变转弯前进的过程, 体现了连续转弯 S 形曲线 的 含义. 图 4 表明, 在转弯开始时滑雪板的地面 支持力和向心力最小, 在转弯中期支持力和向心 力最大, 这种结论和文献[ 3] 得出的结论一致.
陈 礼* , 齐 朝 晖
( 大连理工大学 工程力 学系, 辽宁 大连 116024 )
摘要: 高山滑雪运动是一 项技术性很强的运动 , 滑雪板 的特性直接影响着运 动的效果, 因此
对 滑雪板的研究有很大的 现实意义. 用数值 研究的方法, 从 滑雪板的几 何特性出发, 在 转弯 半 径关系式的基础上推导了滑雪板转弯运动时的约束方程, 建立了单刚体人体滑雪运动的广 义 Lag r ang e-R outh 动 力学方程, 并对人体在 平地和斜 坡两种情况 下的滑雪运 动进行了 数值 仿 真与分析. 计算 结果符合实际的实验结果, 表明所建立的力学模型能较好地反映滑雪运动的 力学特性, 进而增强了对滑雪运动本质的理解, 并为进一步的运动仿真提供必要的理论基础.
夹角, 通过几何关系推导后可知
R′= R sin B
( 1)
详见文献[ 4] . 式( 1) 表明:
( 1) 弯曲变形时, 由 A B C 三点决定的弧形半
径会发生变化, 其大小与变形前弧形半径、变形后
倾角相关.
( 2) 人体重心大小及位置对转弯半径的影响
仅仅反映在改变倾斜角倾斜快慢上, 与转弯半径
大 连理 工大 学学 报
第 46 卷
以上公式仅适用于滑雪板边刃着地并沉陷 于雪地的情况, 不考虑人体腾空等特殊情形.
( a) 几何图 ( b) 部分放大图 ( c) 变形左视图 ( d) 变形侧视图
图 1 滑雪板
F ig . 1 Ski
2 滑雪板约束方程
假 设滑雪过程中滑雪板变形较规则, 倾斜时 边刃完全嵌入雪地中, 且运动中滑雪板与地面保 持接触. 建立滑雪板模型如图 2 所示, 其中, x 、y 为滑雪板质心位置; A为滑雪板相对x 轴的转角; B 为滑雪板相对雪面法线的倾角, 用以描述滑雪板 的姿态; C为滑雪板速度方向相对长轴方向的偏 角, 用以描述运 动是否有打滑现象; 7 为雪地坡 度.
图 3 滑雪板 / 人体重心轨迹
Fig. 3 T racks of ski and center of g r avit y
图 4 滑雪板的受力
Fig. 4 F or ces applied t o ski
3. 3 斜坡滑雪运动 考虑坡度的影响, 取 7 = 18°, 其他参数值与
3. 2 中的相同. 计算结果如图 5 ～ 8 所示, 从图中 可知, 在转弯开始人体重心最高时, 人体摆动速度 最大, 在转弯中期人体重心最低处, 人体摆动速度 为 零; 随着速度的加快, 人体左右摆动的角度、角 速度、频率也在增大; 滑雪板受力也随着速度的加 快而变化加大, 甚至出现支持力为负的腾空情形,
是形式复杂的微分 -代数方程组, 一般来说没有
解析解, 文献[ 7、8] 中给出了求解此类方程组的
数值方法. 以下将对几个相对简单的人体滑雪运
动进行具体分析, 通过与已有实验结果和理论现
象的对比, 验证本文推导出的上述动力学方程在
仿真滑雪运动时的正确性与有效性. 3. 1 单块滑雪板运动系统
不考虑人的影响, 研究单块滑雪板的运动, 即
无关.
( 3) 人只能通过控制姿态, 改变滑雪板倾斜
角 B, 使得滑雪板立刃角度不同, 以形成不同的弧
形半径, 从而达到改变转弯半径的目的.
( 4) 变形后边刃上所有的点应当顺从地形成
半径相同的弧, 滑雪板的这种柔顺特性对滑雪是
非 常 有利 的, 可以 为 滑雪 板 的制 造 提供 参考.
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第4 6卷 第6期 2 0 0 6 年 1 1月
工程力学
大连 理工 大学 学报 Journal of Dalian University of Technology
Vol . 46, No. 6 Nov. 2 0 0 6
文章编号: 1000-8608( 2006) 06-0781-04
高山滑雪板力学特性分析
收稿日期: 2005-02-01; 修回日期: 2006-10-05. 作者简介: 陈 礼* ( 1977-) , 男, 博士生.
倾斜, 向滑雪板施重, 使其形成弯度, 引导转弯.
换句话说, 没有弯曲变形的滑雪板是不能转弯的,
而其倾斜程度决定了转弯的效果.
高山滑雪板的几何形状如图 1( a) 所示, 取边
来描述, 人体和滑雪板质量为 m. 则系统总动能
T=
m(
õ
x
百度文库
2
+
õ
y
2)
/
2
-
õõ
m h( y B+
õõ
cos Bõ x A) / 2 +
mh2Bõ2 / 12 + mh2co s B õ Aõ2/ 12
( 3)
设 x = 0, y = 0 处势能为零, 则系统总势能为
V = - mg ( x sin U- hsin B/ cos U) ( 4) 系统对应的拉格朗日函数为
关键词: 生物力学; 滑雪运动; 高山滑雪板模型; 非完整系统; 动力学方程 中图分类号: O316 文献标识码: A
0 引 言
滑雪运动中滑雪板的性能直接影响滑雪运动 的效果, 滑雪板的弯曲刚度及形状对滑雪运动的 影响引起了越来越多的关注. 国内外对滑雪板的 研究使用传统的实验研究方法居多, 如文献[ 1、2] 通过对滑雪板进行实验分析, 拟合出滑雪板受力 的经验公式; 文献[ 3] 通过真人滑雪, 使用高速摄 影、传感器, 获得研究数据, 分析滑雪板的参数对 滑雪运动的影响. 这些研究结果为制造商从安全 性、耐用性角度提高滑雪板性能提供了可借鉴的 方法, 也为滑雪者根据稳定性和易操纵性去选择 适合自 己的滑雪板提 供了有用的参考 资料. 然 而, 由于没能明确给出滑雪板的约束形式等力学 参数, 这些研究成果还不能满足对滑雪运动进行 完整力学分析的需要.
L= T- V
( 5)
根据广义 L ag rang e-R outh 方程[ 6]
∑ d
dt
5L 5qõj
-
5L 5qj
=
Qj +
2 i= 1
Ki
55 i 5qõj
( 6)
式中: qj ( j = 1, 2, 3, 4) 分别为与 x 、y 、A、B 相对应 的广义坐标; Ki ( i = 1, 2) 为拉氏乘子; Q j ( j = 1, 2, 3, 4) 为除重力外的广义主动力, 均为零; 5 i ( i =
式( 1) 决定, 滑雪板的速度、角速度的关系可写成
约束方程
õ
õ
õõ
x cos( A+ C) + y sin( A+ C) = û( A+ C) ûR sin B
( 2b)
以上两式联立求解可得到滑雪板模型的约束方程
组
把 人体看做高为 h 站在单块滑雪板上, 脚与
滑雪板固定的单刚体系统, 系统可使用 x 、y 、A、B
图 5 滑雪板 / 人体重心轨迹( 7 = 18°)
F ig . 5 T r acks of ski and center of g rav ity ( 7 = 18°)
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第 46 卷
图 6 人体的运动
Fig . 6 M o vement o f skier
图 7 滑雪板转弯半径
倾角 B、偏角 C决定, 和雪坡 7 、重力无关.
实际滑雪中, 不确定因素很多. 与 C 相关的
有 雪质的软硬程度、滑雪板弯曲刚度、扭转刚度、
处 于雪面的状态、滑雪者的重心位置等. 由于非
传统滑雪板 C很小[ 5] , 以下仅对 C为零的理想情形
进行探讨.
3 单刚体人体滑雪运动的动力学方 程及算例
h 为零, m 为滑雪板质量, 则约束方程组( 2) 可以
积分, 系统变为完整系统
x = x 0 - Rsgn( Aõ) sin Bcos A
y = y 0 + R sg n( Aõ) sin Bsin A
( 9)
并且式( 8) 可以求得解析解
x = x 0 - R sg n( Aõ) sin Bco s A
mgsin U= K1
õõ
õõ
my - mhB / 2 = K2
õõ
õõ
- mh( cos Bõ x - sin Bõ Bx ) / 2 +
mh2cos B( co s B õ Aõõ- sin B õ AõBõ ) / 6 =
-
õ
Rsgn( A) sin B( K1sin A+
K2cos A)
Fig . 7 T ur n radius of ski
图 8 滑雪板受力( 7 = 18°)
F ig . 8 F or ces applied to ski ( 7 = 18°)
为 解决以上问题, 更方便地对滑雪运动进行 完整动力学分析, 本文采用理论研究的方法, 结合 力学的基本原理和高山滑雪板的转弯半径公式, 首次推导出高山滑雪板的力学模型及相应约束方 程, 建立单刚体人体滑雪运动的拉格朗日动力学 方程, 并在此基础上进行简单的算例求解.
1 滑雪板转弯半径
利用相应的人体动作使滑雪板不时地改变前 进方向即为滑雪的转弯. 转弯时人体控制滑雪板
( 8)
-
õõ
mhy / 2 +
mh
2
õõ
B
/
6
-
õõ
mhsin B õ Ax / 2 +
mh 2s in
Bcos
õõ
B õ A/ 6 +
mghcos B/ cos U= 0
õ
x
-
R ûAõ ûsin Bsin A=
0
õ
õ
y - R ûAûsin Bcos A= 0
以上就是单刚体人体滑雪运动的动力学方程, 它
õ
õõ
x = Rsin Bsin( A+ C) û( A+ C) û
õ
õõ
( 2)
y = R sin Bco s( A+ C) û( A+ C) û
上式说明:
( 1) 一般情况下, 该方程不能被积分成有限
形式, 这种速度( 线速度、角速度) 之间的相互约
束为非完整约束.
( 2) 滑雪板的运动由原弧形半径 R 、转角 A、
刃上对称的两点 A 、B, 并和 C、O 组成的部分放大
图如图 1( b) 所示, 其特征可用弦高 CS、弦长 A B
或者曲率半径 R 来表示. 受力弯曲变形后, 左视
图如图 1( c) 、侧视图如图 1( d) 所示, 其中 H为板
的弯曲角度, B为板弯曲后, A ′B ′C′平面相对 CS
的夹角, 即弧线贴地时, 滑雪板板面和雪面法线的
第 6 期
陈 礼等: 高山滑雪板力学特性分析
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1, 2) 为 C= 0 时约束方程组( 2) 的变换式
õ
õ
5 1 = x - RûAûsin Bsin A
õ
õ
( 7)
5 2 = y - RûAûsin Bcos A
把式( 3) 、( 4) 、( 5) 、( 7) 代入式( 6) , 得 mxõõ- mhco s B õ Aõõ / 2 + mhsin B õ AõBõ / 2 -
y = y 0 + Rsgn( Aõ) sin Bsin A
( 10)
õ
A= A0sinh( A t ) + A0 cosh( A t )
其中 x 0、y 0 分别为 x 和y 的初始位置; A0 、Aõ0 分别为
A的初始角度和初始速度;
A = gsin 7 / sin B
由式( 10) 可知, 在没有外界干扰改变滑雪板 姿态 B 的情况下, 该运动是绕着( x 0, y 0) 为中心以