五年级奥数.图形变换求面积问题

图形变换求面积问题

一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离。

平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有2种方法：

1.平移已知条件

2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。

二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形。

旋转变换把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起。

在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是经常用到的思维途径

三、对称（也可理解为翻折）：某图形对于某条线对称的图形

通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：

1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。

2.出现了明显的垂线条件时。

【例 1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？

【巩固】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影

部分的面积．

【例 2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD

的面积．

D C

B

A

【巩固】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行

于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形

【例 3】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，

则正六边形ABCDEF 的面积是_____________。

E

【巩固】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 、、、、、分别是正六边形各边的

中点；那么图中阴影六边形的面积是____________平方厘米。

1

B

6B 5

B B 3

B 2

A 2

A 6

A 5

A 4

A 3

A 1

【例 4】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当

5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面

积(注意，图的尺寸不一定准确)。

C

B A P

【巩固】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．

【例 5】 四边形ABCD 中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形ABCD 的

面积．

D

B

A

【巩固】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．

D

C

A

B

?

30°40°

【例 6】 如图所示的四边形的面积等于多少？

D

C

13

13

12

12

【巩固】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求

四边形ABPC 的面积．

P

D

C

B

A

【例 7】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，

中心为O ，求OBC ∆的面积．

5

3

O

A

B C

D

E

【巩固】如图，直角梯形ABCD中，AD BC

∥，AB BC

⊥，2

AD=，3

BC=，将腰CD以D为中心逆时针旋转90︒至ED，连接AE、CE，则ADE

∆的面积是_______。

E

D

C

B

A

【例 8】如图，正方形ABCD和DEFG有一个公共点D，试比较三角形ADG和三角形CDE的面积．

G

F

E

D

C

B

A

【巩固】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已

知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

E

O

D

C

B

A

【例 9】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则

S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=_______2cm 。

E

D

C

B

A

【巩固】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．

40°

30°

?D

C

B

A

【例 10】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．

S

P

Q

R

C

B A

2cm 9cm

6cm

7cm