外 微 分

外

微 分

尹 小 玲

以下仅在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算

微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：

（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；

（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；

（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；

dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。

dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向

体积微元。因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算b a ⨯相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。而|

|b a ⨯在几何上是以b a

,为边的平行四边形的面积，对应于

dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||

二、外微分式及其外微分式的外积运算

设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式

F （1）

Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）

例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。

证 两个一阶外微分式的外积

∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++

)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧= )(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+

dy dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121

2

22111

R Q P R Q P dy

dx dx dz dz dy ∧∧∧=

一阶外微分式与二阶外微分式的外积

∧++)(Rdz Qdy Pdx )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧= )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+

dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧⋅=}),,{},,({ 其余显然成立。

三、多变量积分中的积分微元代换公式

利用外积运算，可以推导多变量积分变量代换公式中，微元的代换公式。 （1）二重积分中极坐标变换下的面积微元

在极坐标变换θcos r x =，θsin r y =下，有公式

⎰⎰⎰⎰'

=D D

rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(

其中，面积微元有关系式 θrdrd dxdy =

自然它不是通过dy dx ,的普通乘积得到的，但它可以用dy dx ,的外积运算得到：

)cos (sin )sin (cos θθθθθθd r dr d r dr dy dx +∧-=∧

)c o s (s i n s i n )c o s (s i n c o s θθθθθθθθθ

d r dr d r d r dr dr +∧-+∧= θθθθθd r d r d dr r d dr r ∧=∧+∧=22

sin cos

故 θrdrd dy dx dxdy =∧=||

（2）二重积分一般变量代换中的面积微元

在变换 ),(v u x x =，),(v u y y =下，有公式

dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f D D

⎰⎰⎰⎰

'

∂∂=)

,()

,())

,(),,((),(

其中，面积微元有关系式：

dudv v u y x dxdy )

,()

,(∂∂=

同样，它符合dy dx ,的外微分运算。事实上，

)()(

dv v y du u y dv v x du u x dy dx ∂∂+∂∂∧∂∂+∂∂=∧ )()(dv v y du u y dv v x dv v y du u y du u x ∂∂+∂∂∧∂∂+∂∂+∂∂∧∂∂= du dv u y v x dv du v y u x ∧∂∂∂∂+∧∂∂∂∂= dv du u y v x v y u x ∧∂∂∂∂-∂∂∂∂=)(

dv du v u y x ∧∂∂=)

,()

,( 故 dudv v u y x dv du v u y x dy dx dxdy )

,()

,(||),(),(∂∂=∧∂∂=

∧=

（3）三重积分变量代换中的体积微元

完全类似二重积分情形，（略）。 （4）第二型曲面积分计算公式

设曲面方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(， 则有公式

⎰⎰⎰⎰∂∂±=D

S

dudv v u z y v u z v u y v u x P dydz z y x P |),()

,(|

)),(),,(),,(( ),,(

⎰⎰⎰⎰∂∂±=D

S

dudv v u x z v u z v u y v u x Q dzdx z y x Q |),()

,(|

)),(),,(),,((),,(

⎰⎰⎰⎰∂∂±=D

S

dudv v u y x v u z v u y v u x R dxdy z y x R |)

,()

,(|

)),(),,(),,((),,(

其中符号±视S 的方向而定。注意到这里dxdy dzdx dydz ,,都是有向的，而等式右边的dudv 是无向的，利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系，有

dv du v u z y dz dy ∧∂∂=

∧),(),(，dv du v u x z dx dz ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u y x dy dx ∧∂∂=∧)

,()

,(

取绝对值后，立即得到上述公式。