外 微 分
外微分统一四大积分公式
外微分统一四大积分公式作者：王桦来源：《青年文学家》2012年第03期摘要：Newton－Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式是数学分析中联系一元函数及多元函数微分与积分关系的基本公式，本文先利用外微分的形式将一维与高维的四个基本公式统一起来，然后利用外积运算，推导了多变量积分变量代换公式中微元的代换公式。
关键词：微分、积分、外微分作者简介：王桦，女（1973.2.15-），长沙理工大学数学与计算科学学院，学历：博士，研究方向：复分析。
[中图分类号]：O186.15 [文献标识码]：A[文章编号]：1002-2139(2012)-03-0247-02微分、积分的概念古已有之，使之成为一门学问而发扬光大的是由Newton和Leibniz证明了的微积分基本定理，这一定理指出了微分与积分是一对矛盾关系，这只是对于一维的情形。
对于高维情形同样也有相应的三个部分，即微分，积分及联系微分与积分的微积分基本定理，只是微分部分中有偏微分、全微分、及与微商相当的Jacobi矩阵；积分部分有重积分、线积分、曲面积分等。
这些都是一维微积分的自然推广，于是也可列出高维中相应的定理。
而关于第三部分，在高维情况下，什么是微积分基本公式？又是什么定理刻画了高维情形下微分、积分这一对矛盾？是Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式担当了一维中Newton-Leibniz公式的角色。
本文主要运用外微分统一一维和高维的情形的基本积分公式，即统一Newton-Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式。
本文仅在在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量各分量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足以下运算法则：（1）（是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如；（5）结合律，；注：，，。
离散外微分与计算电磁学
,。,
■ 为 ■ 的度 量 , ■ 。 , , 为 ■。 , ,
其中等 式 的右边 的 , 算子是 的度 量 离散联 络 与 曲率
维 网格 上 的
算子
对 电磁场 而言 , 通 常 的规 范群 是 棱 柱 空间 为底 , 纤维 为 离 散规 范场 或者 联络
州
, 但 是我 们 可 以选用 它 的 形式 映到规 范群
考 虑 定 向就 可 以 了 通过 指数 映射 , 可 以将
点 , 相应 的离 散联 络 的加 的顺序 和指 数映 射 的值有 关 离散 方程 指定 一个 作用 泛 函 一般 来说 , 当没 有源 时 , 这个 泛 函是一 个关 于曲率 的正 单形 ■ , 。。 、 ■。 ,。 ■ 形 式 , 它 由电流和 电荷 密度 组成 在 量纲 一 户, 其 中 户是 类 时的 ,
一
,一 小
, 囚闪 日 囚 厂 响 ,
“· … · … …· 一
一去, … 小 , ,… , 一 一一· 一一 冷二 芯 ,
一 一一· 一一 冷二 , … 小 , ,… , 险,
二 二 、川 、 、 冷 二 叫险 ,
, 囚闪 日 囚 厂 响
方程
一 一 。,
一 , 一小
,一 小
我 们得 到 一
,
它 等价
。 、 。 护 一。
用 离散 外微 分有
中国科学 数学
第
卷
第
期
多辛 结构 场理 论 的多辛 结构 的概 念产 生 于广义 变分 的边 界项 , 这种 变分在 边 界处不 限制 为 要 引入 多辛 结构 , 首先要 引入 二 阶离 散 形式 广 义变 分在 二 一 维 边界 的积分 赋值 求和 等 于 。与 变分 变量 的缩 并 定 义 多辛形 式为 、 拭 一 后 所得 的 二 一 形 式在边 界 的积分 为 定理 证明 不 要求 在 满足 · 如,一 护 、 · 口 因为 护 、 一 和 、 一 刃 。、 , · 如 一斌 · 如, · 如 。、 一 、 一 · 如, 如 。、 和 是 多辛格 式 离散 令 方 程组 和 因为 护 一 。, 所 以 、 与任 意两 个变 分变 量作 缩并 满足 这个 性质 的离 散格 式称 为 多辛 公式 是 多辛格 式 限制 在 上 , 记为 、 假设 对 刃 。、 定义 作变 分 , 但 形式
外微分
外微分尹小玲(以下仅在三维空间中讨论)一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用Ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx Ù，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx Ù=Ù，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx Ù+Ù=+Ù)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx Ù-=Ù；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=Ùdx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ÙÙ=ÙÙ)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ÙÙÙ,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ÙÙ在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ´相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a r r ´在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =Ù||，dzdx dx dz =Ù||，dxdydy dx =Ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F（1）RdzQdy Pdx ++（2）dyCdx dx Bdz dz Ady Ù+Ù+Ù（3）dz dy Fdx ÙÙ（4）例p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
国内外微课研究现状
国内外微课研究现状关于微课程的概念，不同领域的人有不同的理解。
在国外，对微课程的研究和实践也在不断发展。
2．e-Learning领域的微课程定义和实践在e-Learning领域，微课程被定义为“小而美”的研究资源，通常时长不超过15分钟，内容紧凑、易于理解。
微课程通常包含视频、音频、图像、文字等多种形式的研究材料，可以随时随地进行研究。
目前，许多在线教育平台都提供了微课程的研究资源。
3．基础教育领域的微课程定义和实践在基础教育领域，微课程通常被定义为“小班课”，是一种针对学生个性化研究需求的教学形式。
微课程通常由老师录制，学生可以在家中进行研究，老师也可以通过微信等社交媒体与学生进行互动。
微课程的实践在国内已经得到了广泛的推广。
4．高等教育研究领域的微课程定义和实践在高等教育研究领域，微课程通常被定义为“小型研究单元”，可以作为课程的一部分，也可以作为独立的研究资源。
微课程的实践主要集中在MOOC（大规模开放在线课程）等在线研究平台上，可以帮助学生更好地掌握知识和技能。
三、结语总的来说，微课程作为一种新兴的教学形式，具有许多优势，可以帮助学生更好地研究和掌握知识。
但是，微课程的定义和实践还需要进一步的研究和探索，以更好地适应不同领域的教学需求。
在国外，与“微课程”相关的名词有Minicourse、Microlecture、Microlesson等，但它们对“微型课程”的研究取向不完全相同。
例如，XXX于1960年首先提出微型课程（Minicourse），也可称为短期课程或课程单元；XXX于1998年实施的MicroLESSONS研究项目，涉及多门课程领域，其主要目的是培训教师可以构建微型课程。
这些微型课程的特点是课程时间短，一般为30分钟至1个小时，教学目标单纯集中，重视研究情境、资源、活动的创设，为学生提供有效的研究支架，同时也为教师提供一系列支架帮助其进行具体的教学设计。
此外，2004年7月，英国启动教师电视频道（），每个节目视频时长15分钟，频道开播后得到教师的普遍认可，资源的积累最达到35万分钟的微课视频节目；2008年秋，XXX的“一分钟教授”XXX（DavidPenrose）因首创了影响广泛的“一分钟的微视频”的“微课程”（Microlecture）而声名远播，其核心理念是要求教师把教学内容与教学目标紧密地联系起来，以产生一种“更加聚焦的研究体验”。
有限元外微积分的应用
有限元外微积分的应用
有限元方法是一种常用于工程领域的数值计算方法，它能够通过离散化和逼近，将连续的物理问题转化为离散的代数问题，从而得到数值解。
有限元方法在微积分中有着广泛的应用，可以帮助工程师和科学家解决各种实际问题。
在结构力学中，有限元方法可以用来分析结构的应力和变形。
通过将结构划分为有限数量的单元，应力和变形可以在每个单元中进行计算。
这些单元之间通过节点进行连接，形成一个离散的网络。
然后，通过求解线性方程组，可以得到结构的应力和变形分布。
这种方法可以帮助工程师设计更安全和可靠的结构。
在热传导问题中，有限元方法可以用来计算材料内部的温度分布。
通过将材料划分为有限数量的单元，可以在每个单元中计算温度。
这些单元之间通过节点进行连接，形成一个离散的网络。
然后，通过求解线性方程组，可以得到材料内部的温度分布。
这种方法可以帮助工程师设计更高效和节能的热传导系统。
在流体力学中，有限元方法可以用来模拟流体的流动。
通过将流体域划分为有限数量的单元，可以在每个单元中计算流体的速度和压力。
这些单元之间通过节点进行连接，形成一个离散的网络。
然后，通过求解非线性方程组，可以得到流体的速度和压力分布。
这种方法可以帮助工程师设计更优化和可持续的流体系统。
有限元方法在微积分中的应用非常广泛，可以帮助解决各种实际问题。
通过将连续的物理问题转化为离散的代数问题，有限元方法能够提供准确和可靠的数值解。
无论是在结构力学、热传导还是流体力学领域，有限元方法都发挥着重要的作用，为工程师和科学家提供了强大的工具。
企业大中小微企业规模划分标准
企业大中小微企业规模划分标准企业规模划分是指根据企业的经营规模、资产规模、雇员人数等指标将企业分为不同规模等级的分类，并根据不同规模等级制定不同的管理及政策措施。
目前，国内外关于企业规模划分的标准有多种，一般可根据企业的资产规模、雇员人数以及年营业额等指标来进行划分。
三是根据企业的经营规模、资产规模、雇员人数等指标将企业分为不同规模等级的分类，并根据不同规模等级制定不同的管理及政策措施。
目前，国内外关于企业规模划分的标准有多种，一般可根据企业的资产规模、雇员人数以及年营业额等指标来进行划分。
一、企业规模划分的主要标准1.根据资产规模的划分标准根据企业的资产规模来划分企业规模，这是一种较为常见的划分标准。
一般而言，企业可分为大、中、小、微四个规模等级。
依据资产规模标准的划分，一般可采用总资产规模的大小、净资产规模的大小或者注册资本额大小来划分企业规模。
比如，国内一般将总资产在5000万元以上的企业划分为大型企业，1000万元至5000万元的企业划分为中型企业，1000万元以下的企业划分为小型企业，而在100万元以下的企业则划分为微型企业。
2.根据雇员人数的划分标准除了资产规模外，企业的雇员人数也是一个重要的划分标准。
国内外都有以雇员人数为标准来划分企业规模的例子。
比如，美国根据企业的雇员人数将企业分为小型企业（少于500人）、中型企业（500-999人）和大型企业（1000人以上）。
而在中国，一般将雇员人数在300人以上的企业划分为大型企业，100-300人的企业划分为中型企业，而在100人以下的企业则划分为小型企业。
3.根据年营业额的划分标准另外一个常见的企业规模划分标准是根据企业的年营业额来进行划分。
有些国家将企业划分为微型、小型、中型和大型四个规模等级，其中微型企业一般营业额为100万元以下，小型企业为100万元至1000万元，中型企业为1000万元至1亿元，大型企业为1亿元以上。
以上是企业规模划分的主要标准，不同国家和地区对企业规模划分标准可能会有所不同，具体的划分标准应该根据实际情况来确定。
外微分的几何意义
外微分的几何意义摘要：1.外微分的定义和起源2.外微分的几何意义3.外微分在数学和物理中的应用4.外微分与其他微分形式的比较5.外微分的发展历程和未来趋势正文：外微分是微积分中的一个重要概念，起源于19世纪初期。
它是由德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼和法国数学家克劳德·路易·马里·希尔伯特先后提出的。
外微分在几何、拓扑、数学和物理等领域具有广泛的应用，它的几何意义及其与其他微分形式的关系值得我们深入探讨。
外微分的几何意义主要体现在对流形上的函数进行微分操作时，将函数的微分转化为流形本身的微分。
具体来说，对于一个定义在流形上的实值函数f，其外微分df表示为一个线性映射，将切空间T_xM映射到T_xM的切空间。
这个线性映射的矩阵表示就是df在点x处的雅可比矩阵。
通过外微分，我们可以研究函数在流形上的局部性质，如泰勒展开、方向导数、梯度等。
外微分在数学和物理中的应用十分广泛。
在数学领域，外微分是构建流形上的微分结构的重要工具，它使得流形上的微积分与欧氏空间中的微积分具有相似性。
在物理学中，外微分应用于量子力学、相对论、拓扑场论等领域。
例如，在杨-米尔斯理论中，电磁场方程可以通过外微分来表达。
外微分与其他微分形式（如内微分、切向微分等）的区别在于，它关注的是函数在流形上的整体性质，而其他微分形式则关注函数在局部性质。
此外，外微分还与斯托克斯定理、高斯定理等著名定理密切相关。
外微分的发展历程反映了数学家们对流形上的微积分理论的不断探索。
从黎曼和希尔伯特的早期工作，到20世纪中叶的发展，外微分已经成为现代数学和物理领域不可或缺的工具。
随着研究的深入，外微分在未来将继续发挥重要作用，如在弦论、量子引力等领域的研究。
总之，外微分作为一个重要的数学概念，在几何、拓扑、数学和物理等领域具有广泛的应用。
理解外微分的几何意义及其与其他微分形式的关系，对于我们深入研究流形上的微积分理论具有重要意义。
微积分四章节微分方程章节外习题答案
e
1 dx x(x1)
[
e
1 dx
x(x1) dx
c]
x ( x ln x c ). x1
又
y(1) 0, c 1,
特解
y x ( x ln x 1).
1 xa
10
p 8 5 .三 .1 . 通 解 y e sin x ( x c ).
2.
dx 1 x ( y 1 ),
5c2 cos 5 x 5c1 sin 5 x )e 2x .
y x 0 0 , y x 0 1 5 , c1 0 , c 2 3 ,
特解
y 3e 2x sin 5 x.
a
24
p 9 0 .二 .4 .解 : r 3 2 r 2 r 0 , r ( r 1)2 0 ,
dt t
dy y ln y y
dx 1
arctan y
(3) dy 1 y2 x 1 y2 .
a
8
p 8 5 .二 .1 .
x yy
y
x2
x1
2
y
2
,
d d
y x
x y yx
y 2 x1
(1) ,
令 u y , 得 dy u x du ,代 入 (1)得
x
dx
dx
du dx
r1 0 , r2 ,3 1 ,
通 解 y c1 (c2 c3 x )e x .
y (c3 c2 c3 x )e x ,c2 c3 c3 x c3
y ( c 2 2 c 3 c 3 x )e x
y 2, x0
y
x0
0,
y
x
0
1,
c1 1,c2 c3 1,
外微分 微分几何
外微分微分几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：外微分是微分几何中一个重要的概念，它是研究曲面局部性质的有力工具。
在微分几何中，我们经常遇到曲面上的切向量、法向量、曲率等概念，而这些概念的定义和运算都与外微分密切相关。
外微分的概念最早是由意大利数学家里卡尔多·考西（Ricardo Oxxi）提出的。
外微分是将曲面上的向量场和微分形式与切空间之间的映射联系起来的一种运算。
简单来说，外微分是定义在曲面上的微分形式或者向量场在局部投影到切空间上的一个操作。
在微分几何的研究中，我们经常需要对曲面上的函数或者向量场进行求导操作。
以函数为例，我们知道在欧几里得空间中，一元函数的微分可以用函数的导数来表示。
而在曲面上，函数的导数则需要通过外微分来定义。
对于向量场而言，也可以通过外微分操作来定义向量场的微分。
在介绍外微分的具体概念之前，我们先来回顾一下曲面的切空间和法空间的概念。
在欧几里得空间中，切空间是与曲面上点处切平面对应的向量空间，切向量是切空间中的一个向量。
法空间则是与切空间正交的一个向量空间，法向量是法空间中的一个向量。
通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，从而得到在局部的微分形式。
在微分几何中，我们通常会研究曲面的局部性质，比如曲率、曲率流、平均曲率等。
而外微分可以帮助我们求解这些局部性质。
通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，再进行进一步的运算。
通过外微分，我们可以定义曲面上的导数、梯度等概念，从而推导出曲面的曲率、法曲率等性质。
除了在求解曲面的局部性质方面，外微分还有许多应用。
在计算几何学、机器学习、图像处理等领域，外微分也被广泛应用。
通过外微分，我们可以对曲面进行局部参数化、计算曲率、求解曲线间的关系等操作。
外微分在微分几何中具有重要的意义，它帮助我们理解曲面的局部性质，为曲面的研究提供了有力的工具。
外微分是微分几何中一个重要的概念，它通过将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，帮助我们定义并求解曲面的局部性质。
外微分换元法
外微分换元法外微分换元法，在微积分中属于比较重要的拓展知识点，而且在工程领域等实际应用中也有着广泛的运用。
如果你正在学习微积分或者需要在工作中应用到这方面的知识，那么就需要掌握外微分换元法的相关知识点。
下面我们就来重新整理一下这方面的知识点，希望能对大家有所帮助。
1. 外微分的定义在微积分中，将一个函数f(x,y)进行微小的变化，可以得到以下的式子：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，df表示函数f的微小变化量，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量，而∂f/∂x和∂f/∂y则分别表示函数f对自变量x和y的偏导数。
2. 外微分的运用在实际应用中，我们常常需要将一个函数进行变量替换，例如将f(x,y)替换为 g(u,v)，此时我们需要用到外微分换元法。
假设现在有一个函数f(x,y)，我们需要将其中的自变量x和y换成新的自变量u和v，也就是f(u,v)。
此时，需要对函数f进行一些变形，来得到f对u和v的偏导数和u和v对x和y的偏导数。
具体的过程如下：- 对函数f(x,y)进行外微分运算，得到：df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy- 将dx和dy分别表示出来，得到：dx = (∂u/∂x)du + (∂v/∂x)dv，dy = (∂u/∂y)du + (∂v/∂y)dv- 将dx和dy带入到df的式子中，得到：df = (∂f/∂x)du +(∂f/∂y)dv- 将df表示成g(u,v)对u和v的偏导数的形式，得到：df =(∂g/∂u)du + (∂g/∂v)dv根据以上公式，我们可以计算出g(u,v)对u和v的偏导数，从而得到函数f(x,y)对新的自变量u和v的偏导数，以及新的自变量u和v对原自变量x和y的偏导数。
这将有利于我们求解一些复杂函数的导数和积分问题。
3. 小结外微分换元法是微积分中的重要知识点之一，适用于一些复杂函数的导数和积分求解。
通过对函数进行外微分操作，我们可以得到函数对新的自变量的偏导数，从而用于计算新自变量对原自变量的偏导数。
微分形式的外微分
∂Σ
∫ pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂R − − − dz Λdx + dyΛdz + dx Λdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
⇒ ∫ω = ∫ dω .
∂Σ Σ
再看 Stokes 公式
∂Σ
∫ ω = ∫ dω 。
Σ
二、外微分的应用
Gauss公式
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dxdydzy ∫∫ ∂x ∂y ∂z ∂D Ω ⇒
∂Ω
∫ω= ∫ dω .
Ω
∂D
同样地，对于 Gauss 公式 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
n
这可理解为， 一个 0-形式做了微分运算后成为了 1-形式。
一、外微分
现将微分运算 d 推广到 Λ k 上去。
对 Λ k 中的任意一个 k-形式
ω
定义d ω
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
gi1 ,i2 ,,ik ( x )dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
(dgi1 ,i2 ,,ik ( x ))dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
∂gi1 ,i2 ,,ik ∂x i dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n i = 1
∑
∑
n
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法
一阶导数的五点数值微分公式及外推算法1. 五点数值微分公式在微积分中，导数是非常重要的概念。
在实际应用中，我们通常需要通过对给定函数进行求导，来计算出其在某一点处的导数值。
五点数值微分公式是一种用于近似计算导数值的方法。
五点数值微分公式依据的是泰勒展开公式，其用到了给定点前后的五个点，利用这些点上函数值的差分来近似计算导数值。
具体而言，五点数值微分公式表示为：$f'(x) = \frac{-f(x+2h) + 8f(x+h) - 8f(x-h) + f(x-2h)}{12h} + O(h^4)$其中，$f(x)$是要求导的函数，$h$为相邻点之间的间距。
2. 外推算法五点数值微分公式的精度较高，但计算量也相应较大。
为了进一步提高计算效率，可以采用外推算法。
外推算法是通过不断迭代、加粗步幅，从而提高计算精度的一种方法。
在五点数值微分公式中，我们可以通过分别计算出$h$和$\frac{h}{2}$下的导数值，进而利用外推算法得到更加精确的导数值。
外推算法表示为：$D(h) = \frac{2^k D(h/2)-D(h)}{2^k -1}$其中，$D(h)$表示步幅为$h$下的导数值，$k$为迭代次数。
通过反复迭代，不断加粗步幅，我们可以逐渐逼近函数真实的导数值，并得到更加精确的结果。
3. 总结五点数值微分公式是一种用于近似计算导数值的方法，其精度较高；而外推算法可以进一步提高计算效率，实现更加精确的计算结果。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求，采用不同的数值微分公式及外推算法，以便更好地解决问题。
国内外微积分教材比较
国内外微积分教材比较（一）国内外微积分教材比较异同点微积分教材的国内外版本在一些核心概念上有着相同的处理方式。
首先，无论是国内的还是国外的教材，其讲述的顺序都是从导数开始，再向读者介绍二阶、高阶求导以及隐函数和参数方程的求导方法，最后讲解微分的概念和应用。
此外，这些教材都被视作各自领域里的经典之作，多次经过修订，也被世界顶尖大学作为微积分课程的主要参考资料。
然而，虽然这些教材在内容上有许多相似之处，但它们的风格和侧重点却有所不同。
国外的微积分教材如Thomas的《微积分》和James Stewart的《微积分》，一般注重理论性和逻辑性，例题丰富而深入浅出，有助于读者理解和掌握微积分的核心思想。
相比之下，国内的微积分教材，例如清华大学的《微积分教程》和《高等微积分教程》，更加注重应用性，并通过实际问题来解释微积分的概念和方法。
因此，尽管国内外的微积分教材在大体框架上一致，但由于其各自的特色和侧重点不同，选择哪种教材取决于学习者的个人需求和能力。
（二）国内外微积分教材比较如何选择选择使用国外还是国内的微积分教材，主要取决于以下几个因素：1. 学习目标：如果你希望更深入理解微积分的理论基础和逻辑推理过程，那么国外的教材可能会更适合你。
如果你更关注微积分在实际问题中的应用，并希望通过大量例题来提升解题能力，那么国内的教材可能更加合适。
2. 英文水平：如果英语是你的第二语言或者你的英文水平有限，那么阅读国内教材可能会更加轻松。
然而，如果英语是你的优势语言，并且愿意投入时间去适应英文教材的风格和表达方式，那么国外的教材会提供更丰富、更深入的内容。
3. 学习习惯：对于喜欢从具体到抽象，逐步建立概念的学习者来说，国内教材的讲解方式可能更加合适。
而对于喜欢直接进入主题，进行理论推导的学习者来说，国外教材可能会更吸引他们。
4. 资源可得性：考虑到价格和获取的难易程度，国内教材通常更容易获得，而国外教材可能需要通过购买或借阅的方式来获取。
外微分的具体定义
探究外微分的具体定义与应用外微分是微积分分支中重要的概念之一，其定义与应用对于数学和工程领域的研究都有着重大的帮助。
本文将对外微分的具体定义与应用进行探究，帮助读者进一步理解这一重要概念。
一、外微分的定义在微积分学中，我们常常需要对曲面上的函数进行求导。
而外微分就是解决这一问题的一种途径。
设曲面上的某个函数为f(x,y)，则该函数的外微分为：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，dx和dy表示在曲面上的微小变化量。
可以看出，外微分df由两个部分组成，第一个部分是x方向的变化率的微小值与dx的乘积，第二个部分是y方向变化率的微小值与dy的乘积。
二、外微分的应用外微分有着广泛的应用，特别是在工程和物理领域中。
以下是外微分的一些应用：1. 最值问题：在不平的曲面上，外微分可帮助找到某个函数的最小值或最大值。
这对于机械设计和实验物理学领域中优化问题的解决至关重要。
2. 向量场问题：在物理领域中，向量场是经常会出现的概念。
外微分可用于解决任意向量场的旋度和散度问题。
3. 格林公式：格林公式是微积分中的一条基本公式，它用于计算平面内边界曲线面积及曲线围成区域的面积。
外微分在格林公式的证明中有着重要作用。
4. 流形问题：在纯数学研究中，流形问题是外微分的一个重要应用。
外微分可以帮助我们更好地理解和描述流形的性质和特征。
以上只是外微分应用的一些简单例子，实际上，外微分在数学和工程领域中有着广泛的应用和深厚的理论基础。
三、结语外微分是微积分分支中一种重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和描述曲面上的性质及函数的微小变化。
本文介绍了外微分的具体定义及其在数学和工程领域中的应用。
通过深入学习和了解外微分，可以帮助我们更深入地理解微积分相关的问题。
微电影排行榜前十名
微电影排行榜前十名微电影是一种以短小精悍的形式讲述故事的电影形式，近年来在国内外都越来越受欢迎。
微电影有着独特的魅力，能够在短短几分钟或十几分钟内让观众产生共鸣。
下面将为大家介绍微电影排行榜中的前十名。
第十名：《招聘》《招聘》是导演冷悠悠执导的一部微电影，讲述了一个求职者在面试过程中遭遇各种奇葩问题的故事。
影片通过幽默风格表现了现实中求职者的困惑和尴尬，引发观众共鸣。
第九名：《时间旅行达人》《时间旅行达人》是郑亚东执导的一部微电影，讲述了一个关于时间旅行的爱情故事。
通过快速剪辑和特效的运用，影片将观众带入一个充满浪漫和神秘的世界，令人印象深刻。
第八名：《回家的路》《回家的路》是导演黄渤执导的一部微电影，讲述了一个孤儿在寒冷的冬夜里为了回家而奋斗的故事。
影片通过真实而感人的情节，唤起了观众对家和亲情的思考和感动。
第七名：《等一分钟》《等一分钟》是谢园执导的一部微电影，讲述了一个倒霉男在等待火车时发生的一系列令人啼笑皆非的事情。
影片运用夸张的表演和幽默的台词，给观众带来了欢乐和笑声。
第六名：《海的那边》《海的那边》是孙红雷执导的一部微电影，讲述了一个父亲为了给女儿治病而闯荡天涯的故事。
影片通过真实而温情的情节，展现了父爱的伟大和深沉，引发观众的共鸣。
第五名：《解放吧，我的伙伴》《解放吧，我的伙伴》是郭敬明执导的一部微电影，讲述了一个自闭症患者和他的父亲之间的温暖故事。
影片通过真实而感人的表演和情节，打破了对自闭症的刻板印象，让观众对这个群体有了更深入的了解。
第四名：《夏日随拍》《夏日随拍》是陈可辛执导的一部微电影，讲述了几位普通人在夏日里发生的一些小故事。
影片通过真实而细腻的描写，传达了夏日的轻松、快乐和温暖，带给观众一种轻松愉快的观影体验。
第三名：《柜子里的人》《柜子里的人》是闫非、彭大魔执导的一部微电影，讲述了一个关于爱情和成长的故事。
影片通过灵活运用的拍摄手法和真实的演员表演，给观众带来了一种近距离观察人性的感觉。
微生物外泌体组学
微生物外泌体组学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：微生物外分泌体组学是研究微生物外分泌体及其组成的一门新兴学科。
外分泌体，又称外泌体或囊泡，是一种由细胞分泌的细胞外囊泡结构，其直接与细胞外液相连。
这些微小的囊泡可能携带各种生物分子，如蛋白质、核酸、脂类物质等，通过与周围环境的相互作用来调控细胞与外界的互动。
外分泌体通过调控微生物的生长、代谢、致病性以及与其他生物的相互作用等方面起着极其重要的作用。
微生物外分泌体组学的研究内容主要分为外分泌体的分离和纯化、外分泌体成分的鉴定与定量、外分泌体与宿主的相互作用、以及外分泌体在疾病发生发展中的作用等方面。
在微生物外分泌体组学研究中，常用的技术手段包括电子显微镜观察外分泌体的形态结构、质谱技术鉴定外分泌体中所含蛋白质等成分、蛋白质组学分析外分泌体中蛋白质表达的差异、以及代谢组学研究外分泌体对宿主代谢的调控等。
通过微生物外分泌体组学的研究，我们可以更好地理解微生物的生理生化特性、遗传变异特点、致病机制以及抗药性等方面的信息，为治疗微生物相关疾病提供新的思路和方法。
外分泌体中所携带的一系列生物分子也为开发新型的微生物识别、药物靶标和疫苗设计提供了潜在的资源。
在微生物外分泌体组学研究领域中，一些重要的研究成果已经取得。
在肠道微生物外分泌体组学研究中，科学家们发现了一些外分泌体中所含的蛋白质与人类免疫系统的相互作用以及对机体代谢的调控，为我们理解肠道微生物与宿主之间的新型关系提供了重要的线索。
在细菌外分泌体组学研究中，也发现了一些外分泌体所含的特定蛋白质在细菌致病机制中起到了至关重要的作用，为抗菌药物的研发提供了新的思路。
微生物外分泌体组学是一个新兴而又具有挑战性的研究领域。
通过对微生物外分泌体的深入研究，我们可以更好地了解微生物的生物学特性、功能与代谢特性，为微生物相关疾病的治疗和预防提供新的思路和方法。
期望在不久的将来，微生物外分泌体组学研究能够取得更多有价值的成果，为人类健康和社会发展做出更大的贡献。
【牛顿-莱布尼茨公式的n维推广】外微分公式、斯托克斯公式、广义斯托克斯公式
【⽜顿-莱布尼茨公式的n维推⼴】外微分公式、斯托克斯公式、⼴义斯托克斯公式⽬录0、前⾔&引⼦0.1、本⽂要求的预备知识本⽂要求读者已修习书⽬《⾼等数学（下）》，了解「梯度」、「散度」、「旋度」的定义，了解全微分公式，熟悉「第⼀/⼆类曲线/⾯积分」，了解「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」。
本⽂旨在于让读者理解到「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」可以被统⼀为「⼴义斯托克斯公式」。
0.2、⽜顿-莱布尼茨公式我们在⾼数中讲过⽜顿-莱布尼茨公式\[\int_{a}^b{f^\prime\left( x \right) \mathrm{d}x}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.1} \]或者记为\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]0.3、格林公式在讲⼆重积分时，引⼊了格林公式\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{l}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y}\tag{0.3} \]其中曲线 \(l\) 是平⾯区域 \(D\) 的边界曲线，我们⽤符号 \(l=\partial D\) 来表⽰ \(D\) 的边界曲线，并⽤⾏列式化简表达式\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.4} \]表达式右端可以看作向量的内积 \(\left\{P,Q\right\}\cdot \left\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\right\}\) ，因此，令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y \right\}\) ，格林公式可以进⼀步写为\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.5} \]还记得⾼数讲得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}&\boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) 吗？是不是感觉和这⾥很像？因为这⾥的 \(\boldsymbol{F}\) 没有 \(z\) 分量，所以这⾥有 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix}\boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& 0\\ P& Q&0\\\end{matrix} \right| = \boldsymbol{\hat{z}}\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\)。
微分微元和外微分从牛顿莱布尼茨公式谈起清华大学
第3页/共71页
教育数学研究那些问题？
1．对于已有数学知识在体系结构的简约性和知识 传播的有效性上进行再创造，以最简洁明了、易于 接受的逻辑体系向学生提供最值的传授的数学知识
Ｂ 300 360 420 480 540 600 660 720 780 … 1500 1560
第12页/共71页
4．恰当的教学定位 合理的教学要求
用简单的例题、简洁的过程，诠释极限概念体现 的思维方式和论证方法．
避免繁杂的技巧和计算的枝节冲淡主要的思想． 阿基米德公理：
a,b 0 , n Z , s.t na b .
提高课堂教学的文化品位提高课堂教学的文化品位??揭示数学的哲学内涵揭示数学的哲学内涵??体验数学美体验数学美??数学先驱的人格魅力与创造精神数学先驱的人格魅力与创造精神??数学先驱的人格魅力与创造精神数学先驱的人格魅力与创造精神??数学餐桌上的文化甜点数学餐桌上的文化甜点数学特别是微积分具有丰富的文化内涵
第23页/共71页
揭示数学的哲学内涵
从古希腊时代开始，数学与哲学、美学就结下不 解之缘。
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡尔的 变数，有了变数，辩证法进入了数学．”
作为人类文明的重要成果，微积分的原理和方法 包含丰富的辩证思想。
在教学过程中阐明微积分中的辩证思想和方法， 不仅能够帮助学生从更高、更深的角度理解掌握微 积分的原理和方法，而且能够提高运用微积分的方 法的自觉性，有助于培养创造能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
外微 分尹 小 玲以下仅在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a ⨯相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a ⨯在几何上是以b a,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F （1）Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
证 两个一阶外微分式的外积∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧= )(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+dy dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121222111R Q P R Q P dydx dx dz dz dy ∧∧∧=一阶外微分式与二阶外微分式的外积∧++)(Rdz Qdy Pdx )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧= )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧⋅=}),,{},,({ 其余显然成立。
三、多变量积分中的积分微元代换公式利用外积运算，可以推导多变量积分变量代换公式中，微元的代换公式。
（1）二重积分中极坐标变换下的面积微元在极坐标变换θcos r x =，θsin r y =下，有公式⎰⎰⎰⎰'=D Drdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(其中，面积微元有关系式 θrdrd dxdy =自然它不是通过dy dx ,的普通乘积得到的，但它可以用dy dx ,的外积运算得到：)cos (sin )sin (cos θθθθθθd r dr d r dr dy dx +∧-=∧)c o s (s i n s i n )c o s (s i n c o s θθθθθθθθθd r dr d r d r dr dr +∧-+∧= θθθθθd r d r d dr r d dr r ∧=∧+∧=22sin cos故 θrdrd dy dx dxdy =∧=||（2）二重积分一般变量代换中的面积微元在变换 ),(v u x x =，),(v u y y =下，有公式dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f D D⎰⎰⎰⎰'∂∂=),(),()),(),,((),(其中，面积微元有关系式：dudv v u y x dxdy ),(),(∂∂=同样，它符合dy dx ,的外微分运算。
事实上，)()(dv v y du u y dv v x du u x dy dx ∂∂+∂∂∧∂∂+∂∂=∧ )()(dv v y du u y dv v x dv v y du u y du u x ∂∂+∂∂∧∂∂+∂∂+∂∂∧∂∂= du dv u y v x dv du v y u x ∧∂∂∂∂+∧∂∂∂∂= dv du u y v x v y u x ∧∂∂∂∂-∂∂∂∂=)(dv du v u y x ∧∂∂=),(),( 故 dudv v u y x dv du v u y x dy dx dxdy ),(),(||),(),(∂∂=∧∂∂=∧=（3）三重积分变量代换中的体积微元完全类似二重积分情形，（略）。
（4）第二型曲面积分计算公式设曲面方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(， 则有公式⎰⎰⎰⎰∂∂±=DSdudv v u z y v u z v u y v u x P dydz z y x P |),(),(|)),(),,(),,(( ),,(⎰⎰⎰⎰∂∂±=DSdudv v u x z v u z v u y v u x Q dzdx z y x Q |),(),(|)),(),,(),,((),,(⎰⎰⎰⎰∂∂±=DSdudv v u y x v u z v u y v u x R dxdy z y x R |),(),(|)),(),,(),,((),,(其中符号±视S 的方向而定。
注意到这里dxdy dzdx dydz ,,都是有向的，而等式右边的dudv 是无向的，利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系，有dv du v u z y dz dy ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u x z dx dz ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u y x dy dx ∧∂∂=∧),(),(取绝对值后，立即得到上述公式。
（5）第一型曲面积分中的面积微元设曲面S 的方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(，则有 dudv C B A dS 222++=其中),(),(v u z y A ∂∂=，),(),(v u x z B ∂∂=，),(),(v u y x C ∂∂=。
因为dv du v u z y dz dy ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u x z dx dz ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u y x dy dx ∧∂∂=∧),(),(而dxdy dzdx dydz ,,分别是S 在三坐标面上的投影，则222)()()(dxdy dzdx dydz dS ++=222)()()(dy dx dx dz dz dy ∧+∧+∧=dudv v u y x v u x z v u z y 222)),(),(()),(),(()),(),((∂∂+∂∂+∂∂=dudv C B A 222++=特别，若曲面方程为 ),(y x f z =，D y x ∈),(，则dy dx y x f dy y x f dx y x f dy dz dy x y x ∧-=+∧=∧),()),(),(( dy dx y x f dx dy y x f dx y x f dx dz y y x ∧-=∧+=∧),()),(),((故222)()()(dy dx dx dz dz dy dS ∧+∧+∧=dxdy y x f y x f y x ),(),(122++=四、各阶外微分式的外微分运算在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（1）~（4），定义其外微分：dz zF dy y F dx x F dF ∂∂+∂∂+∂∂=dz dR dy dQ dx dP Rdz Qdy Pdx d ∧+∧+∧=++)(dy dx dC dx dz dB dz dy dA dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧∧+∧∧+∧∧=∧+∧+∧)(dz dy dx dF dz dy Fdx d ∧∧∧=∧∧)(注1 对基本外微分式的外微分，规定 0)()()(===dz d dy d dx d在这个规定下，外微分算子d 的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动。
所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积。
例如)()()()(dz Rd dz dR dy Qd dy dQ dx Pd dx dP Rdz Qdy Pdx d +∧++∧++∧=++ dz dR dy dQ dx dP ∧+∧+∧=注2 零阶外微分式的外微分就是普通的微分。
性质： p )2,1,0(=p 阶外微分式的外微分是1+p 阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系： （1） },,{dz dy dx gradF dz zF dy y F dx x F dF ⋅=∂∂+∂∂+∂∂=（2） },,{},,{)(dy dx dx dz dz dy R Q P rot Rdz Qdy Pdx d ∧∧∧⋅=++RQ P z y x dydx dx dz dz dy ∂∂∂∂∂∂∧∧∧=（3）dz dy dx C B A div dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧∧=∧+∧+∧},,{)( 证 （1）显然成立。
（2） )(Rdz Qdy Pdx d ++dx dz z P dy y P dx x P ∧∂∂+∂∂+∂∂=)(dy dz z Qdy y Q dx x Q ∧∂∂+∂∂+∂∂+)( dz dz zRdy y R dx x R ∧∂∂+∂∂+∂∂+)(dy dx yP x Q dx dz x R z P dz dy z Q y R ∧∂∂-∂∂+∧∂∂-∂∂+∧∂∂-∂∂=)()()(},,{},,{dy dx dx dz dz dy R Q P rot ∧∧∧⋅=RQ P z y x dy dx dx dz dz dy∂∂∂∂∂∂∧∧∧= （3）)(dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧+∧+∧)dy dx dz zC dx dz dy y B dz dy dx x A ∧∧∂∂+∧∧∂∂+∧∧∂∂=dz dy dx zC y B x A ∧∧∂∂+∂∂+∂∂=)(dz dy dx C B A div ∧∧=},,{五、牛顿-莱布尼兹公式，斯托克斯公式，格林公式，高斯公式的统一描述（1） 牛顿-莱布尼兹公式ba bax F dx x f )()(=⎰其中)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数。