数形结合思想例题分析

数形结合思想例题分析

一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：

例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且

222,x y z +=222z x r x -= 求证：.rz xy =

分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。由

222.z x r x -=可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种

算法，结论的正确性一目了然。

证明：（略）

小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：

例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证

22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥

证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE=

a ；在AD 上取点G ，使AG=

b ，

过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.

由题设及作图知△

AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此

22

OA a b =+

22

(1)OB a b =-+

22(1)(1)OC a b =-+-22

(1)OD a b =+-

且

2AC BD ==

由于 ,.OA OC AC OB OD BD +≥+≥ 所以：

B

A

C

x

y

z

r

++≥

当且仅当1

2

a b ==时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。

3、求参数的值或参数的取值范围：

例3 若方程

2210ax x -+= （a ＞0）的两根满足：1x ＜1，1＜2x ＜3，求a 的取值范围。

解析：画出与方程对应的二次函数

221y ax x =-+ （a ＞0）的草图：

由图可知：当

x =1时，y ＜0； 当x =3时，y ＞0.

即 2

1

211a ⨯-⨯+＜0 ； 23231a ⨯-⨯+＞0.

解得：5

9

＜a ＜1.

例4 若关于

x 的不等式2021x mx ≤++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。

解：如图：在同一坐标系内，作出

1y =与22

y x mx =++的图象。题设条件等价于抛物线

2

2y x mx =++在直线0y =与1y =之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观

性质可知：这个交点只能在直线

1

y =上，故方程组

212y y x mx =⎧⎨=++⎩

仅有一组解。 2410m ∴∆=-⨯= 即 2.m =±

小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。

4、求最值问题：

例5 已知

a 、

b 均为正数，且 2.a b +=

求+的最小值。

解：如图，作线段AB=2，在AB 上截取AE=a ，

EB=b ，过A 作AC ⊥AB ，且AC=2，过B 作BD ⊥AB ，且BD=1。由勾股定

理：

CE=

，

BD=，原题即求CE+ED 的最小值。

又如图，延长CA 至G,使AG=AC ，连接GE ，由三角形两边之和大于第三边，则G 、E 、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。作出图形，延长DB 至F ，使BF//AG 且BF=AG ，连接GF.

则在Rt △DGF 中，DF=1+2=3，

GF=AB=2

DG ∴===∴CE+DE

的最小值是

即

+

的最小值是

小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。

二、用代数与三角方法解决几何问题：

例6 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的高。试证：

AB CF AC BE +≥+

证法一：（三角法）因为0sin 1A ≤≤，

()sin AB AC AB AC A ∴-≥-⋅ sin sin AB AC A AC AB A ∴+

⋅≥+⋅

(90)AB CF AC BE A ∴+≥+∠=当时取等号

证法二：（代数法）由AB ＞AC ＞CF ，AB ＞BE

A B C

D E F

G

a

b

22122A

B

C

E

F

及S △ABC

11

22

AB CF AC BE =

⋅=⋅ .AB AC AC CF BE CF AC

-∴

==AB-BE 变形得：AB

AB BE ∴-＞AC CF -

AB CF ∴+＞AC BE +

90A ∠=当时,AB CF +=AC BE +.

综上：

.AB CF AC BE +≥+

小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。

例7 如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE

⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成

立，求点D 在AB 上的位置.

分析：先假设符合条件的点 D 、E 、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。

解：设AB=1，AD=

x

因为△ABC 为正三角形，

且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ， 故

2AF x = , 12CF x =- , 224CD CF x ==-

141BE CE x =-=- , 282BD BE x ==-

而

1AD BD += ,即 (82)1x x +-=

解得：1.3

x = 即点D 位于AB 边上1

3分点处.

大

方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。

例8 如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长.