数形结合思想例题分析
数形结合思想在高考解题中的应用
数形结合思想在高考解题中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。
它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。
在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。
下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。
题型一、集合问题例1．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B = ____________________.解析：利用数轴表示，可得{}|21A B x x =-≤<-评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。
题型二、函数问题 例2．点P （x,y ）在直线430x y +=上，且x,y 满足147x y -≤-≤，则P 到坐标原点距离的取值范围是__________________.解析：如图，直线430x y +=分别与直线14,7x y x y -=--=的交点为12(6,8),(3,4)P P --易知12||10,||5OP OP ==，故||OP 的取值范围为[]0,10评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。
注意虽然12||10,||5OP OP ==，但||OP 的取值范围不是[]5,10。
题型三、三角问题例3函数()2)f x x π=≤≤的值域是_______________. 解析：原式可化为y ==1)x ≠ 由数形结合思想得1cos 1sin x x-+可理解为动点(sin ,cos )x x 与定点(1,1)连线斜率的取值范围，。
可求取值范围是[]0,+∞，由此可求得1)x ≠的值域为[1,0)-，当sin 1x =时，()0f x =，所以值域是[]1,0-。
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数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x2 y2 z2 , z
求证： rz xy.
C
x2 r2 x2
y A
r
x
B z
分析：由 x2 y2 z2 , 自然联想到勾股定理。由 z x2 r 2 x2. 可以联想到
则 G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。作出图形，延长 DB 至 F，使 BF//AG 且
BF=AG，连接 GF.
2
则在 Rt△DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
D
1 a Eb B
2
DG DF 2 GF 2 32 22 13
G
2
F
CE+DE 的最小值是 13.
即 a2 4 b2 1 的最小值是 13.
AB CF ＞ AC BE
当A 90时 , AB CF = AC BE .
3 /5
数形结合思想例题分析
综上： AB CF AC BE.
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例 7 如图，在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE BC，EF AC，FD AB 同时成立，
射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例 2 已知：0＜ a ＜1，0＜ b ＜1. 求证
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
初一数形结合的典型例题
初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。
解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。
正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。
例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。
解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。
长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。
例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。
解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。
圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。
例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。
解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。
这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。
当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。
希望这些例题能对你有所帮助。
数形结合应用举例
数形结合应用举例数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法，根据条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何背景。
通过数形结合，数形转化寻找最佳解题思路，使问题得到解决。
一、求方程根的问题例1：方程a x x +=-21有两个解，求a 的取值范围。
解析：在同一坐标系内作出函数21x y -=，a x y +=的图象，如图所示，当直线a x y +=在两条直线之间平行移动即可。
由 12==ad 得2=a ，∴21a ＜≤。
练习：1、[2009年重庆卷]，已知以T=4为周期的函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=3,1.,211,1,12x x x x m x f 。
其中0m ＞，若方程()x x f =3恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）。
A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38,315B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7,315 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛7,34 2、讨论方程kx x x =+-342，（k 为常数）的解的个数。
例2：设a 、b 分别是方程03log 2=-+x x 和032=-+x x 的实根，则b a 2log 2+= 。
解析：在同一坐标系中作出函数x y 21log =，x y 22=，x y -=33，x y =4的图象。
记A 、B 分别是1y 与3y ，2y 与3y 的交点，即A （a ，a 2log ），（b ，b 2），又∵1y 与2y 关于x y =对称，∴由⎩⎨⎧-==xy x y 3，得⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23M 。
又∵直线AB 与直线OM 垂直， ∴223b a x M +==，2322a log b 2=+=M y 。
∴32log 2=+b a 。
练习：1、[2009年辽宁卷]，若x 满足522=+x x ，2x 满足()51log 222=-+x x ，则=+21x x （ ）A 、25 B 、3 C 、27 D 、4 2、[2009年湖北部分重点中学二联]已知A 、B 、C 均为正数，且满足a a 31log 3=，b b 31log 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c3log 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A 、a ＜b ＜c B 、c ＜a ＜b C 、c ＜b ＜a D 、b ＜a ＜c二、解决不等式的问题例3：关于x 的不等式1212++≤-+-a a x x 的解集为φ，则a 的取值范围为（ ）A 、（0，1）B 、（-1，0）C 、（1，2）D 、（-∞，-1）解析：由题意知()1212min ++-+-a ＞a x x 恒成立。
一元一次方程数形结合的例题
一元一次方程数
形结合的例题
例题：一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度。
一、分析：
1.火车完全经过隧道的时间是20秒，所以火车在这段时间里行驶的距离是火车的长度加上隧道的长度，即300米+ 火车的长度。
2.灯光照在火车上的时间是10秒，这段
时间里火车行驶的距离是隧道的长度，即300米。
二、用数学方程表示：
1.火车在20秒内行驶的距离= 300米+ 火车的长度
2.火车在10秒内行驶的距离= 300米
由于火车是匀速行驶的，所以我们可
以设火车的速度为v 米/秒。
1.根据速度的定义，速度= 距离/ 时间。
2.根据上面的分析，我们可以得到以下方程：
(20 ×v) = 300 + 火车的长度
(10 × v) = 300
现在我们要来解这个
方程组，找出v 和火车的长度的值。
计算结果为：[{v: 30, length: 300}]
所以，火车的速度为：30米/秒。
数形结合高中数学例题
例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？
分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数
y =2x 2－3x 。
和函数y =2k 的交点个数问题．
解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛
物线，随着k 的变化，易知2k ＝－8
9或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2
5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题3．已知s =
1
322+-t t ，则s 的最小值为 。
分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s |＝1
|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y
－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t
－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.
点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b
++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2
联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．。
数形结合思想例题分析
数形结合思想例题分析引言数形结合思想是现代数学发展中的重要思维工具，它将数学问题与几何图形相结合，通过对几何图形的分析和推理来解决数学问题。
在数学学习和解题过程中，数形结合思想能够帮助我们更好地理解和掌握抽象概念，提升解决问题的能力。
本文将通过分析几个数形结合思想的例题，展示数形结合思想的应用方法和解题思路。
例题一：矩形面积最大值问题描述给定一段长为10米的围墙，现在要用这段围墙围成一个矩形花坛，花坛的一边靠着围墙，另外三面用围墙围起来。
问这个矩形花坛的最大面积是多少平方米？解题思路我们可以通过数形结合思想来解决这个问题。
首先，我们设矩形花坛的一边长为x米，则另一边长为(10 - 2x)米。
根据矩形的面积公式，我们可以得到矩形的面积S 为：S = x * (10 - 2x)接下来，我们需要求解这个二次函数的最大值。
通过求导数，我们可以得到函数的极值点，进而得到函数的最大值。
对函数S关于x求导，得到：S’ = 10 - 4x令S’等于0，解得x的值为2.5米。
由于题目中要求花坛的一边长不能超过5米，所以我们取x = 2.5米。
将x = 2.5代入矩形面积公式，得到最大面积为S = 2.5 * (10 - 2 * 2.5) = 12.5平方米。
结论这个矩形花坛的最大面积为12.5平方米。
例题二：三角形的内角和问题描述已知一个三角形的两边长分别为5厘米和12厘米，以及两边间夹角为60度。
求这个三角形的第三边长度和三个内角的度数之和。
解题思路我们可以通过数形结合思想来解决这个问题。
首先，我们将这个三角形绘制出来。
根据题目所给的信息，我们可以确定一个边长为5厘米，另一个边长为12厘米，并且它们之间夹角为60度的三角形。
接下来，我们需要求解第三边的长度。
根据三角形的边长关系，我们可以使用余弦定理来求解：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，c为第三边的长度，a和b为已知的两边的长度，C为这两边间的夹角。
数形结合的典型例题
数形结合思想、数学结合思想所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
数学结合思想的应用包括以下几个方面：(1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维，提示数学问题的本质；(2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。
二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化：1．“数”：主要是指数和数量关系。
中学阶段的“数”有以下几类：(1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。
2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。
中学阶段的“形”有以下几类：(1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域；三、数形结合思想应用的关键：1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。
数”四、数形结合思想解决的问题类型：1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、集合的运算问题；2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题;7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。
数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路sin7ix(0 < X < 1)例6 :(改编题)已知函数f(x)斗''，若a,b,c 互不相等,且Iog 2011 x(x >1)f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C )例7 .设0<X 1 <X 2吒兀，试比较a =沁和b=Sn Z 2的大小. 为 X 2【分析及解】 由式子 沁的结构可知,沁的的几何意义是连接两点 0(0,0 ) x x T(x,si nx )的直线的斜率，于是，可以画出y=s in x 的图象，研究两点Ax 1,si n 为)和 Bx 2,sinx 2 )与O(O,O )连线的斜率，由图象可知，k OA Ak oB ,即a Ab.A . (1,2011)B . (1,2012)C . (2,2012)D . [2,2012]O a /b1► x2011X 2x5例8: (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y =|k i x+b, | + |k 2x + b 2 ITk s x+b s I (其中k i ,k 2,k 3为正实数，b i ,b 2,b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图 象，k1, k 2/斗可一定成立的关系是>x变式: 已知函数f(x) =sn ^x(1)给出下列三个命题，其中真命题是①②①f(x)偶函数；②fg ;③当xp 时，f(x)取得极小值。
数形结合,例题解析
．
例２方程、霄 一Ｔ ０ａ Ｒ） ： ／ ｋ￣ （∈ 解的个数是 ｘ
，
＼
Ｃ Ａ
＝
公式完全一致， 可看作是求两点 ，／ ） 、 与
（ ） ｔ ， 的距 离的最小值 ， 点 ・ ，／ ． ・ 、 ） 半 在
、 面 ¨、 ＞
。
０
例８ 求 函数 ：
值
Ａ
一）（／： ）最小 ￡＋、 一 Ｉ ２ ＿
Ａａ ８ ． ＜ Ｃａｆ ．ｌ ＞
ｙ － ＝２ ｘ ＼
Ｂ ． ｄ Ｄ无法确定 ．
Ｃ
Ｊ ＼ Ｙ ＼
／
３ … － －
Ｂ（，） ３３
Ｂ
—
３
可设 Ａ ｌ ＝ ， ＤＢ ， １Ｂ＝ ，连结 Ｄ Ｂ ｉ ／ ￣Ｃ ／ＤＢ ｌ Ａｘ ｙ
ＪＹ
Ｂ－ Ｉ 盟 Ｄ，Ｊ 贝 ＝ ｔ
ａ ，
，
同ｔ罕 理＝ ｇ ３ ＇
． ．
一
如何应用 却是值得我们 深究的问题 。数形结 合的 主要方 法有 ： 图像法 、 几何 法 ， 主要途 径 是转化 ． 转化 有 ： 造函数 实现转 化 、 常见 构 构 造图形实现转化 构造函数 。 实现转化 把研 究 数 的 问题 转 化 为研 究 图像 的问 题 ．这类方法 一般适用于解方 程或不等 式的
上 的点Ｍ ，） ０ 到点Ａ（ １２ －Ｂ（，１ 的距 一 ，） ￣ Ｏ一） 离之和。 由平 面几何知识得 ， Ｏ为Ａ 与 当肘（，） 曰
轴交点时 ， ＝０此时 — 。 ｙ １， ￣ ＝ １
）
问题 。 例１ ：方程 ｌ ２ ＋ｏ ＝ 和方程 ｌ ２ ｇ ＋ ｇ ： 的根 ｏ 分别 是 ， 那么ｎ 的大小关 系是 （ ）
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
专题48 中考数学数形结合思想(解析版)
专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用(含答案解析)
数形联合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答相关会合运算7 及抽象会合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形联合思想方法能够比较形象、直观地解决问题，常常有事半功倍的成效，平常我们要增强“数形联合”的思想训练 .下边我们看几个例题.例 1.设全集U R, A x| x 1 , B x | x a 0 ,且 BUe A, 务实数a的取值范围.解： e U A x | x 1 , B x| x a ，1a1.思路点拨：第一化简并求解会合，而后借助数轴由已知所给的会合间的关系求出 a 的取值范围 .例 2.设会合S x ||x 2| 3 ,T x | a x a 8 , S T R, 务实数a的取值范围.解：第一步：化简会合，S x | x1或x 5 ,T x | a x a 8 .第二步：借助数轴：第三步：依据所给会合间的关系列不等式求解参数，a1,得 3 a 1 .例 3.某班级共有30 人，此中15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8 人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人 .篮球足球x - 7x15- x8例 4.以下图， I 是全集， A，B， C 是它的子集，则暗影部分所表示的会合是（）ACBA.(A B) CB.( A e I B) CC.( A B)e I CD.( e I B A) C解：选择 B.注：关于韦恩图所表述的会合应做以下理解：暗影部分波及谁就交谁，不波及谁就交其补集.就此，我们看下边暗影部分所表示的会合：A B C A B (e I C)(痧I A) ( I B) Ce I ( A B) C下边给出些练习来领会以上数形联合思想在会合中的应用.练习题：1.已知会合 A = { x ? R || x 2 |< 3} , 会合 B = { x ? R | ( x－ m)( x－ 2) 0} , 且 A B(- 1, n), 则m=________ ，n=________.分析：2.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19 种商品，次日售出13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店① 第一天售出但次日未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最罕有________种 .分析：3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有______人 ..已知6 人，分析：4.已知全集U = R会合M = { x | - 2 ? x 1?2}, 和 N = { x | x = 2k - 1, k ? N * }, 的韦恩图如图所示，则暗影部分所表示的会合元素共有（）A.2 个B.3 个C.1 个D. 无量多个UN M。
24年初中中考数学典型例题解析-数形结合
24年初中中考数学典型例题解析-数形结合1.如图，在边长为3的正方形ABCD中，30∠=︒CDE，DE CF⊥，则BF的长是______．【分析】根据题意，证得()ASA△≌△DCE CBF，从而BF CE=，在Rt CDE△中，30∠=︒CDE，3CD=，根据含30︒直角三角形边的关系与勾股定理可得CE=得到答案．【详解】解：在正方形ABCD中，BC CD=，90B DCE∠=∠=︒，DE CF⊥，90CDE DCF∴∠+∠=︒，90DCE DCF BCF∠=︒=∠+∠，∴CDE BCF∠=∠，在DCE△和CBFV中，90B DCEBC CDCDE BCF∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA△△≌DCE CBF∴，∴BF CE=，在Rt CDE△中，30∠=︒CDE，3CD=，在含30︒直角三角形中：①由30︒所对的直角边是斜边的一半可设CE x=，则2DE x=；②由勾股定理得到CD==；从而可得CE===，【点睛】本题考查正方形背景下求线段长，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质、含30︒直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2.如图，在ABC 中，70CAB ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C '' 的位置，使得CC AB '∥，划BAB '∠的度数是（）A.35︒B.40︒C.50︒D.70︒【答案】B 【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：∵70CC AB CAB '∠=︒，∥，∴70C CA CAB '∠=∠=︒，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C '' 的位置，∴70C AB CAB AC AC '''∠=∠=︒=，，∴由等腰三角形性质可得70AC C C CA ''∠=∠=︒，∴由三角形内角和定理得到180707040C AC '∠=︒-︒-︒=︒，BAB CAB CAB ''∠=∠- ，CAC C AB CAB ''''∠=∠-，∴40BAB C AC ''∠=∠=︒，即旋转角的度数是40︒，故选：B ．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．3.将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（）A.90︒B.120︒C.180︒D.270︒【答案】B 【分析】将图按照对角线分成四个相同的基本图形，利用旋转的性质求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：正方形对角线将图形分成四个完全一样的基本图形，可看作由这个基本图形旋转90︒所组成，∴将图绕其中心最小旋转角90︒后会与原图形重合，∴该图形绕其中心旋转90︒的正整数倍后会与原图形重合，从而确定这个角不能是120︒，故选：B ．【点睛】本题考查图形旋转，分析出图中的基本图形是解决问题的关键．4.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理222c a b =+．（2）如图2，在Rt ABC △中，90ACB CD ∠=︒，是AB 边上的高，43AC BC ==，，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求()2a b +的值()a b <．【答案】【小问1】见解析【小问2】125【小问3】25【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；（2）利用勾股定理得到5AB =，根据等面积法列式求解即可得到125AC BC CD AB ⋅==；（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．【小问1详解】解：如图1所示：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，2S c = 大正方形；()2S b a =-小正方形；12S ab =直角三角形；()22142c b a ab ∴=-+⨯，即222c a b =+；【小问2详解】解：如图2所示：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，43AC BC ==，，∴由勾股定理可得5AB ==，CD 是AB 边上的高，∴由等面积法可得1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅△， 43AC BC ==，，5AB =，∴125AC BC CD AB ⋅==；【小问3详解】解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，()a b <，如图1所示：∴()22131c b a -==，，∴()22221b a a b ab +--==，由（1）知222c a b =+，∴22113112ab c =-=-=，∴()222222131225a b a b ab c ab +++=+=+==，即()2a b +的值为25．【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．5.下列图形不是轴对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】C【分析】根据轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．【详解】解：A 、该图形是轴对称图形，不符合题意；B 、该图形是轴对称图形，不符合题意；C 、该图形不是轴对称图形，符合题意；D 、该图形是轴对称图形，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．6.一个由小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状如图所示，这个几何体是由（）个小立方块搭成的．A.4B.5C.6D.7【答案】B 【分析】从上面看到的图确定底层小立方块个数及形状；从正面看到的图确定行列小立方块的个数及形状；从左面看到的图确定行列小立方块的个数及形状，综合起来即可得到答案．【详解】解：从上面看到的图确定最底层由4个小立方块组成；从正面看到的图及从左面看到的图确定前行只有1个小立方块、第二层有1个小立方块；综上所述，这个几何体由5个小立方块搭成，故选：B ．【点睛】本题考查从三个方面看组合体，借助空间想象能力，由三个方面看到的平面图还原成立体图形是解决问题的关键．7.完成下面的证明．如图，己知AD BC ⊥于点D ，EF BC ⊥于点F ，12∠=∠，求证：AB DG ∥．证：AD BC ⊥ 于点D ，EF BC ⊥于点F （_________）90ADB EFB ∴∠=∠=︒（垂直的定义）AD EF ∴∥（__________________）1∴∠=_________（两直线平行，同位角相等）12∠=∠ （已知）2∴∠=_________（__________________）AB DG ∴∥（内错角相等，两直线平行）【答案】已知，同位角相等，两直线平行，BAD ∠，BAD ∠，等量代换【分析】根据平行线的判定与性质，按照题中证明过程求解即可得到答案．【详解】证：AD BC ⊥ 于点D ，EF BC ⊥于点F （已知）90ADB EFB ∴∠=∠=︒（垂直的定义）AD EF ∴∥（同位角相等，两直线平行）1∴∠=BAD ∠（两直线平行，同位角相等）12∠=∠ （已知）2∴∠=BAD ∠（等量代换）AB DG ∴∥（内错角相等，两直线平行），故答案为：已知，同位角相等，两直线平行，BAD ∠，BAD ∠，等量代换．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，读懂题意，按照题中证明过程求解是解决问题的关键．8.如图，四边形ABCD 是长方形，8BC =，6CD =，将ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，求DE 的长．【答案】5DE =【分析】由四边形ABCD 为矩形，得到BAD ∠为直角，由折叠得到EF BD ⊥，AE EF =，AB BF =，利用勾股定理求出BD 的长，由BD BF -求出DF 的长，在Rt DEF △中，设EF x =，表示出ED ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出DE 的长．【详解】解： 四边形ABCD 是长方形，8BC =，6CD =，90A ∴∠=︒，6AB CD ==，8BC AD ==，将ABE 沿BE 折叠可得，90EFB A ∠=∠=︒，AE EF =，6BF AB ==，在Rt △ABD 中，90A ∠=︒，6AB =，8AD =，则由勾股定理得10BD ==，即1064FD BD BF =-=-=，设EF AE x ==，则有8ED x =-，在Rt DEF △中，90EFD ∠=︒，则由勾股定理得222DE EF FD =+，即()22284x x -=+，解得3x =，835DE AD AE ∴=-=-=．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解方程等知识，熟练掌握相关几何定理及性质是解本题的关键．9.有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．（2）若320a b ab +-+-=，求2()a b -的值．（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根据图形的面积关系，因式分解：2232m mn n ++=．【答案】【小问1】2()m n -；2()4m n mn+-【小问2】1【小问3】(2)()m n m n ++【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；（2）根据非负数的定义可得6a b +=，4ab =，再根据22()()4a b a b ab -=+-进行计算即可；（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．【小问1详解】解：方法1：图2中阴影部分是边长为()m n -，因此面积为2()m n -；方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为()m n +的正方形减去4个长为m ，宽为n 的长方形面积，因此有2()4m n mn +-；【小问2详解】解：∵320a b ab +-+-=，30a b +-≥，20ab -≥，30a b ∴+-=，20ab -=，即3a b +=，2ab =，22()()4a b a b ab∴-=+-98=-1=；【小问3详解】解：如图所示：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为2223m n mn ++，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为(2)m n +，宽为()m n +的长方形，∴2223(2)()m n mn m n m n ++=++，故答案为：(2)()m n m n ++．【点睛】本题考查了完全平方公式，数形结合，掌握完全平方公式的结构特征是关键．10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，点E F ，在AC 上，点G H ，在BD 上．（1）若6050ADC CAD ∠=︒∠=︒，，求BAC ∠和BCD ∠的度数；（2）若四边形EHFG 是平行四边形，求证：AE CF =．【答案】【小问1】70120BAC BCD ∠=︒∠=︒，【小问2】证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到70ACD ∠=︒，由平行四边形性质得AD BC AB CD ，∥∥，再由平行线性质即可得到答案；（2）根据平行四边形对角线相互平分即可得证．【小问1详解】解：∵6050ADC CAD ∠=︒∠=︒，，∴在ACD △中，由三角形内角和定理可得18070ACD ADC CAD ∠=︒-∠-∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AB CD ，∥∥，∴5070BCA CAD BAC ACD ∠=∠=︒∠=∠=︒，，∴120BCD BCA ACD ∠=∠+∠=︒；【小问2详解】证明：∵四边形EHFG 是平行四边形，∴OE OF =，四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，∴OA OE OC OF -=-，即AE CF =．【点睛】本题考查平行四边形综合，熟练掌握平行四边形性质是解决问题的关键．。
六年级数形结合的典型例题
六年级数形结合的典型例题
数形结合是数学中一个重要的概念，通过将数学问题与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解和应用所学知识。
以下是一些六年级数形结合的典型例题，旨在帮助学生进一步巩固和拓展他们的数学能力。
例题1：一个长方形花坛的长度是12米，宽度是8米。
如果一包草
籽足够播种4平方米的面积，那么这个长方形花坛最多可以播种多少包草籽？
解析：这个题目涉及到长方形的面积和乘法运算。
首先，我们可以计算出这个花坛的面积是12米乘以8米，等于96平方米。
然后，我们将96平方米除以每包草籽能够播种的面积4平方米，得到答案24。
所以，这个长方形花坛最多可以播种24包草籽。
例题2：一个正方形的边长是5厘米，如果将它分成4个小正方形，每个小正方形的边长是多少？
解析：这个题目涉及到正方形的边长和分割。
首先，我们知道正方形的四条边都是相等的，所以这个正方形的边长是5厘米。
然后，我们需要将正方形分成4个小正方形，所以每个小正方形的边长应该相等。
通过观察，我们可以将正方形垂直和水平地分割成4个相等的小正方
形，所以每个小正方形的边长是2.5厘米。
通过上述例题，我们可以看到数形结合在解决数学问题中的重要性。
它不仅让学生能够将抽象的数学概念具体化，还能够培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
在六年级的数学学习中，数形结合的例题可以帮助学生更好地理解和掌握各种数学概念，为他们将来的学习打下坚实的基础。
三年级数形结合的典型例题
三年级数形结合的典型例题
一、例题
1. 用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，按照这样的规律，摆n个正方形需要多少根小棒？
二、题目解析
1. 首先我们来分析小棒数量与正方形个数之间的关系：
摆1个正方形时，需要4根小棒，可表示为公式。
摆2个正方形时，我们可以看作第一个正方形用4根小棒，第二个正方形与第一个正方形共用1根小棒，所以只需要再用3根小棒，总共需要公式根小棒，也可表示为公式。
摆3个正方形时，第一个正方形4根小棒，后面两个正方形每个都与前面的正方形共用1根小棒，也就是每个只需3根小棒，总共公式根小棒，同样可表示为公式。
2. 然后我们可以总结出规律：
摆n个正方形时，除了第一个正方形用4根小棒，后面公式个正方形每个都只需3根小棒。
所以总共需要的小棒数量就是公式，化简这个式子：公式。
所以摆n个正方形需要公式根小棒。
小学数学数形结合和模型思想的典型课例分析
基础教育 >>88小学数学数形结合和模型思想的典型课例分析苏 萍钟山区第四实验小学摘要：数形结合是一种非常重要的数学思想，也是小学数学解题中最为常见的解题方法之一。
本文以国内小学数学教学基本状况为写作背景，重点探讨了一些有关属性结合思想的应用问题，并通过对一些典型课例的分析，介绍了小学数学数形结合思想的主要应用价值和应用方法。
关键词：小学教育；数学教学；数形结合；课例分析一、前言一直以来，数形结合思想都是解决数学问题的有效方法，在我国小学数学教学中，数形结合解题方法一直都是重要的教学内容。
对小学数学教师而言，有意识、有计划地为学生渗透一些数学思想是非常有利于学生更透彻的领悟数学知识真谛的。
笔者认为，数形结合的应用不仅要依靠小学数学教师深厚的数学素养和功底，更重要的是对过去教学经验的不断总结，从而令自身的教学手段从本质上得到升华。
文章的主要写作目的在于为小学数学教学中数形结合思想的教学提供一些切实可行的借鉴资料，并为相关的从教人员提供一些创新性的教学思路。
二、以层层递进的方式进行数形结合分析在小学数学教学中，数形结合主要应用于抽象数学知识和问题的直观性表达，从而达到降低解题难度的效果。
要把握一个数学题的内在实质，首先要做的便是看出抽象问题中的直观元素。
作为一种高效的数学解题思想，“数形结合”可以将抽象的数学概念进行直观化处理，从而使抽象问题形象化。
比如，在进行追及问题讲解的时候，我们通常会以操场为追及路径，给出两个人各自的速度以、出发点及操场的每条边的长度，问两个人第几次相遇时所经过的时间。
对这个问题来讲，如果直接让学生去思考和计算这个问题其实是有一定的难度的，毕竟小学阶段的学生无论在学习能力还是在认知能力方面都尚不成熟，因此很难直接地在大脑中构建这样一个具体的追及模型。
在这个时候，教师就可以引入相关的图形来辅助学生对这个数学问题本质的思考。
首先，教师应该带领学生根据题意画出相应的操场图形，然后表明每条边的长度。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。
解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过勾股定理知道AC=5。
然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。
接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。
接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。
\bigtriangleup ABD的面积为2.25。
通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。
例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。
由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。
由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。
通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。
例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。
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数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且
222,x y z +=222z x r x -= 求证：.rz xy =
分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。
由
222.z x r x -=可以联想到射影定理。
从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。
对照图形，由直角三角形面积的两种
算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证
22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥
证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE=
a ；在AD 上取点G ，使AG=
b ，
过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。
设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.
由题设及作图知△
AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此
22
OA a b =+
22
(1)OB a b =-+
22(1)(1)OC a b =-+-22
(1)OD a b =+-
且
2AC BD ==
由于 ,.OA OC AC OB OD BD +≥+≥ 所以：
B
A
C
x
y
z
r
++≥
当且仅当1
2
a b ==时，等号成立。
小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
3、求参数的值或参数的取值范围：
例3 若方程
2210ax x -+= （a ＞0）的两根满足：1x ＜1，1＜2x ＜3，求a 的取值范围。
解析：画出与方程对应的二次函数
221y ax x =-+ （a ＞0）的草图：
由图可知：当
x =1时，y ＜0； 当x =3时，y ＞0.
即 2
1
211a ⨯-⨯+＜0 ； 23231a ⨯-⨯+＞0.
解得：5
9
＜a ＜1.
例4 若关于
x 的不等式2021x mx ≤++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。
解：如图：在同一坐标系内，作出
1y =与22
y x mx =++的图象。
题设条件等价于抛物线
2
2y x mx =++在直线0y =与1y =之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。
由图形的直观
性质可知：这个交点只能在直线
1
y =上，故方程组
212y y x mx =⎧⎨=++⎩
仅有一组解。
2410m ∴∆=-⨯= 即 2.m =±
小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。
4、求最值问题：
例5 已知
a 、
b 均为正数，且 2.a b +=
求+的最小值。
解：如图，作线段AB=2，在AB 上截取AE=a ，
EB=b ，过A 作AC ⊥AB ，且AC=2，过B 作BD ⊥AB ，且BD=1。
由勾股定
理：
CE=
，
BD=，原题即求CE+ED 的最小值。
又如图，延长CA 至G,使AG=AC ，连接GE ，由三角形两边之和大于第三边，则G 、E 、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。
作出图形，延长DB 至F ，使BF//AG 且BF=AG ，连接GF.
则在Rt △DGF 中，DF=1+2=3，
GF=AB=2
DG ∴===∴CE+DE
的最小值是
即
+
的最小值是
小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。
二、用代数与三角方法解决几何问题：
例6 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的高。
试证：
AB CF AC BE +≥+
证法一：（三角法）因为0sin 1A ≤≤，
()sin AB AC AB AC A ∴-≥-⋅ sin sin AB AC A AC AB A ∴+
⋅≥+⋅
(90)AB CF AC BE A ∴+≥+∠=当时取等号
证法二：（代数法）由AB ＞AC ＞CF ，AB ＞BE
A B C
D E F
G
a
b
22122A
B
C
E
F
及S △ABC
11
22
AB CF AC BE =
⋅=⋅ .AB AC AC CF BE CF AC
-∴
==AB-BE 变形得：AB
AB BE ∴-＞AC CF -
AB CF ∴+＞AC BE +
90A ∠=当时,AB CF +=AC BE +.
综上：
.AB CF AC BE +≥+
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例7 如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE
⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成
立，求点D 在AB 上的位置.
分析：先假设符合条件的点 D 、E 、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。
解：设AB=1，AD=
x
因为△ABC 为正三角形，
且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ， 故
2AF x = , 12CF x =- , 224CD CF x ==-
141BE CE x =-=- , 282BD BE x ==-
而
1AD BD += ,即 (82)1x x +-=
解得：1.3
x = 即点D 位于AB 边上1
3分点处.
大
方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。
例8 如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长.
解：设BD x = ，CE y = ，AF z = ，则
17DC x =- ，18AE y =- ，19FB z =-
连接PA 、PB 、PC.
在Rt △PBD 和Rt △PFB 中， 2
222(19)x PD z PF +=-+
同理：
2222(17)y PE x PD +=-+
2
222(18)z
PF y PE +=-+
将以上三式相加，得：
222222(17)(18)(19)x y z x y z ++=-+-+-
171819487x y z
∴++= (1)
又已知： 27x y z +
+= (2)
由（1）（2）得： 1x z -=-
即 (19)18x z +-= 即 18.BD BF
+=。