排队论

解：本例可看成一个M/M/1/排队问 题，其中 =4， =1/0.1=10(人/ 小时），= /=2/5<1 修理店内空闲的概率
P0= 1-= (1-2/5)=0.6
店内恰有3个顾客的概率 P3= 3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.038
店内至少有1位顾客的概率
排队系统的主要数量指标：
系统状态：也称为队长，指排队系 统中的顾客数（排队等待的顾客数 与正在接受服务的顾客数之和）。
排队长：系统中正在排队等待服务 的顾客数。
记 N(t)：时刻t(t0)的系统状态；
pn(t)：时刻t系统处于状态n的概率；
S：排队系统中并行的服务台数；
n：当系统处于状态n 时，新来的顾客 的平均到达率（单位时间内到达的平 均顾客数）；
排队系统的描述 实际中的 排队系统各不相同，但概括起来 都由三个基本部分组成：输入过 程，排队及排队规则和服务机构。
输入过程
顾客总体（顾客源）数：可能是 有限，也可能是无限。
河流上游流入水库的水量可认为 是无限的；车间内停机待修的机器 显然是有限的。
到达方式：是单个到达还是成批到 达。库存问题中，若把进来的货看 成顾客，则为成批到达的例子。
{Xn}的分布A(t)常见的有：
o 定常分布（D）：顾客相继到达的时 间间隔为确定的。如产品通过传送 带进入包装箱就是定常分布。
o 最简流（或称Poisson)（M）：顾客 相继到达的时间间隔{Xn}为独立的， 同为负指数分布，其密度函数为：
a(t)= e- t t0
0
t<0
排队及排队规则 排队 o 有限排队——排队系统中顾客数 是有限的。 o 无限排队——顾客数是无限，队 列可以排到无限长（等待制排队 系统）。
混合制排队系统： • 等待时间有限。即顾客在系统中 等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动 离开，不再回来。如易损失的电 子元件的库存问题，超过一定存 储时间的元器件被自动认为失效。
混合制排队系统： • 逗留时间（等待时间与服务时间 之和）有限。例：用高射炮射击 飞机，当敌机飞越射击有效区域 的时间为t时，若这个时间内未被 击落，也就不可能再被击落了。
当然，进行服务的也不一定是人，可 以是跑道，自动售货机，公共汽车等。 顾客——要求服务的对象。 服务员——提供服务的服务者（也称 服务机构）。 顾客、服务员的含义是广义的。
排队系统类型：
顾客到达
服务台
服务完成后离开
单服务台排队系统
排队系统类型：
服务台1
顾客到达 服务完成后离开
服务台2 服务台s
排队研究的基本问题：
系统优化问题：又称为系统控制问 题或系统运营问题，其基本目的是 使系统处于最优的或最合理的状态。 包括：最优设计问题和最优运营问 题。
M/M/S 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ：顾客相继到达时间服从参数为 的负指数分布；服务台数为1；服 务时间服从参数为的负指数分布； 系统的空间为无限，允许永远排队。
Wq = Lq/ =0.27/4=0.0675小时
=4分钟
顾客在店内等待时间超过10分钟的 概率 P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677
例 13-1
M /M/ 1 /
M表示顾客相继到达的时间间 隔服从负指数分布； M表示服务 时间为负指数分布；单个服务台； 系统容量为无限（等待制）的排 队模型 。
例 13-2
M /M/ S / K
表示顾客到达的时间间隔服从负 指数分布； 服务时间为负指数分布； S个服务台；系统容量为K的排队模 型 。 当 K= S 时为损失制排队模型； 当 K= 时为等待制排队模型。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后 队长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1，
有Pn= (1-)n n=0,1,2….
几个数量指标
o 平均队长：
L= n Pn= n (1-)n= / (1-)
= /(- )
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似 于正态分布。当 k 时，方差 0 即为完全非随机的。
排队系统的符号表示： “Kendall”记号：X / Y/ Z / W 其中：X表示顾客相继到达的时间间隔 分布； Y表示服务时间的分布； Z表示服务台个数； W表示系统的容量，即可容纳的 最多顾客数。
P {N1}=1-P0=1- (1-)= =2/5=0.4
在店内平均顾客数
L= / (1-)=(2/5)/(1-2/5)= 0.67(人） 每位顾客在店内平均逗留时间
W=L/=0.67/4=10分钟
等待服务的平均顾客数
Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人)
每个顾客平均等待服务时间
损失制和等待制可看成是混 合制的特殊情形，如记s为系统 中服务台个数，则当k=s时，混 合制即为损失制；当k=时，即 成为等待制。
排队规则
当顾客到达时，若所有服务 台都被占有且又允许排队，则该 顾客将进入队列等待。服务台对 顾客进行服务所遵循的规则通常 有：
o 先来先服务（FCFS）
o 后来先服务（LCFS）。在许多库 存系统中就会出现这种情况，如 钢板存入仓库后，需要时总是从 最上面取出；又如在情报系统中， 后来到达的信息往往更重要，首 先要加以分析和利用。
均数。如果列车因站中2股道均被 占用而停在站外或前方站时，每列车 每小时费用为a元，求每天由于列车 在站外等待而造成的损失。
解：本例可看成一个M/M/1/排队问题， 其中 =2， =3，=/=2/3<1 系统中列车的平均数
L= / (1-)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）
第十三章
排队论
1 引
言
排队论是研究排队系统（又称随 机服务系统）的数学理论和方法，是 运筹学的一个重要分支。 有形排队现象：进餐馆就餐，到图 书馆借书，车站等车，去医院看病， 售票处售票，到工具房领物品等现象。
无形排队现象：如几个旅客同时打电 话订车票；如果有一人正在通话，其他 人只得在各自的电话机前等待，他们分 散在不同的地方，形成一个无形的队列 在等待通电话。 排队的不一定是人，也可以是物。如 生产线上的原材料，半成品等待加工； 因故障而停止运行的机器设备在等待修 理；码头上的船只等待装货或卸货；要 下降的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。
n：当系统处于状态n 时，整个系统的 平均服务率（单位时间内可以服务完 的平均顾客数）；
当n为常数时记为；当每个服 务台的平均服务率为常数时，记每个 服务台的服务率为，则当n s 时， 有n=s。因此，顾客相继到达的平 均时间间隔为1/ ，平均服务时间为 1/ ，令= / s，则为系统的服 务强度。
o 平均排队长： Lq= (n-1) Pn= 2/ (1-)= 2/ (- )
几个数量指标
o 平均逗留时间：
W=E(T)= 1/(- )
o 平均等待时间：
Wq= / (- )
它们之间有关系：
L= W
Lq= Wq
Little公式。
例13-3：考虑一个铁路列车编组站。 设待编列车到达时间间隔服从负指 数分布，平均每小时到达2列；服务 台是编组站，编组时间服从负指数 分布，平均每20分钟可编一组。已 知编组站上共有2股道，当均被占用 时，不能接车，再来的列车只能停 在站外或前方站。求在平衡状态下 系统中列车的平均数；每一列车的 平均逗留时间；等待编组的列车平
=W{1-(l-)- (l-) 1 -(l-) 2}
=1* 3= 3=(2/3)3=0.296（小时） 故每天列车由于等待而支出的平均费用 E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元
例13-4：某修理店只有一位修理工，来 修理的顾客到达过程为Poisson流，平 均每小时4人；修理时间服从负指数分 布，平均需要6分钟。试求：修理店空 闲的概率；店内恰有3位顾客的概率； 店内至少有一位顾客的概率；在店内 平均顾客数；每位在店内平均逗留时 间；等待服务的平均顾客数；每位顾 客平均等待服务时间；顾客在店内等 待时间超过10分钟的概率。
pn(t)称为系统在时刻t的瞬间 分布，一般不容易求得，同时，由 于排队系统运行一段时间后，其状 态和分布都呈现出与初始状态或分 布无关的性质，称具有这种性质的 状态或分布为平稳状态或平稳分布， 排队论一般更注意研究系统在平稳 状态下的性质。
排队系统在平稳状态时一些基本指标有： Pn :系统中恰有n个顾客的概率； L：系统中顾客数的平均值，又称为平 均队长； Lq：系统中正在排队的顾客数的平均值， 又称为平均排队长； T：顾客在系统中的逗留时间；
有限排队还可以分成： 损失制排队系统：排队空间为零 的系统，即不允许排队。（顾客 到达时，服务台占满，顾客自动 离开，不再回来）（电话系统） 混合制排队系统：是等待制与损 失制结合，即允许排队，但不允 许队列无限长。
混合制排队系统： • 队长有限。即系统等待空间是有 限的。例：最多只能容纳K个顾客 在系统中，当新顾客到达时，若 系统中的顾客数（又称为队长） 小于K，则可进入系统排队或接受 服务；否则，便离开系统，并不 再回来。如水库的库容是有限的， 旅馆的床位是有限的。
顾客（单个或成批）相继到达的时 间间隔分布：这是刻划输入过程的 最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾 客到达的时刻，则有T0T1 T2….. Tn …… 记Xn= Tn –Tn-1 n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾 客到达的时间间隔。 一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗
留时间；
Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均