矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩

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矩阵的秩及其求法

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。

显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩定义2 设有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。

规定：零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1 设为阶梯形矩阵，求R (B )。

解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。

()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设如果求 a . 解或例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。

理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。

了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。

掌握用初等变换求解线性方程组。

本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。

本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。

矩阵初等变换

由于在上面用矩阵的初等行变换化为简化阶梯形的过程中，每次考虑其不全为零的列，这些列中不全为零的数可以有许多。因此在选择的过程中有可能无法惟一，可能导致矩阵的简化阶梯形不惟一，即每步所用的初等行变换可能不惟一。但简化阶梯形却一定是惟一的。为此，有
系数，而其余元素必为零而惟一；若届局线性无关，
万方数据
・２・
成阳师范学院学报
第２４卷
依次下去，由于ｒｎ，ｒｔ有限，最多ｍｉｎ｛ｍ，ｎｌ步，或到右边不再有列，或到下面不再有行，或到某一步，实际上是Ａ的秩ｒ步时，其下面的ｒｒｔ—ｒ行全为零行。当然最严密的证明是对Ａ的ｒａｉｎ｛ｒｅ，ｎ｝作数学归纳法。然后所有非零行乘以该行第一个非零元素的倒数使其为１．于是可得
Ｃ的每行第一个非零元素都为１：③若Ｃ的第ｉ行的
第一个非零元素ｃｉ＝１，则Ｃ的第『歹Ⅱ是单位列向量。层为行简化阶梯形矩阵ｌｌ】。在不引起混乱时。行简化阶梯形矩阵也称简化阶梯形矩阵。关于矩阵的简化阶梯形与线性方程组解关系的讨论，许多专家在这方面都作过研究，如文【１—３】中对线性方程组的增广矩阵的简化阶梯形与方程组解的密切关系都作了深刻而严密的证明。文【４－６１所描述的行简化阶梯形矩阵或行最简形矩阵在本质上与定义ｌ是一致的。文［１１中断言：“对变换化成简化阶梯形矩阵昂，即存在可逆方阵Ｐ，使
ｌｌＯ３７
＿『：，…０（ｒ为Ａ的秩）对应Ａ的列序。，尾，…属屈Ａ的
列向量组的一个极大线性无关组，且简化阶梯形其余列的前ｒ个元素是用这个极大线性无关组惟一线性表示的系数。例１求向量组
口ｌ＿（１，０，２，４），醐，３，ｌ，２），５３＝（３，３，７，１４），
婶（１，０，２，０），鸭＝（２，３，５，６）
一。②若届，足，岛的秩为ｌ，则第一个非零列向量前

线性代数判断题及其答案

线性代数判断题线性代数课程组判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）1、以数k 乘行列式，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （）D 2、行列式的充要条件是a≠2且a≠0. （）01111≠--a a 3、3阶行列式的值等于行列式的值. （）8435763218534723614、交换行列式的两列，行列式的值变号. （）5、行列式成立. （）321332211321321321321333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==6、行列式成立. （）2211221122221111d b d b c a c a d c b a d c b a D +=++++=7、行列式成立. （）25434232124108684642⨯==D 8、n 阶行列式中元素的余子式与代数余子式的关系是. （ ij a ij M ij A ij ij M A -=）9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （）10、行列式成立. （）25479623875156422547962356428751==D 11、设是行列式，是不为零的实数，则等于用去乘以行列式的某一行得D k kD k 到的行列式. （）12、如果行列式有两行元素对应相等，则. （）D 0=D 13、设D 是n 阶行列式，是D 中元素的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则ij A ij a . （）nn nn n n n n A a A a A a D +++= 221114、行列式是范德蒙行列式. （）4444543225169454321111=D 15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （）16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （）17、由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （）18、行列式中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （）169443211119、设行列式，则. （）3333231232221131211==a a a a a a a a a D 62525253332313123222121131211111=+++=a a a a a a a a a a a a D 20、设行列式，，则. （）12211=b a b a 22211=c a c a 3222111=++c b a c b a 21、如果行列式有两列元素对应成比例，则. （）D 0=D 22、设D 是n 阶行列式，则D 的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即. （）03232223121=+++n n A a A a A a 23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （）24、任意一个矩阵都有主次对角线. （）25、两个零矩阵必相等. （）26、两个单位矩阵必相等. （）27、3阶数量矩阵. （）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001000000a a a a 28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC ，则必有B=C. （）29、若矩阵A 满足，则称A 为对称矩阵. （）T A A =30、若矩阵A ，B 满足AB=BA ，则对任意的正整数n ，一定有（AB ）n =A n B n . （）31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A 与B ，的行列式AB 与的行列式也不相等. （）||AB BA ||BA 32、设A 为n 阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2. （）33、设A,B 都是三阶方阵，则. （）B A B A +=+34、同阶可逆矩阵A 与B 的乘积也可逆，且. （）AB 111)(---=B A AB 35、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆. （）36、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆. （）37、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆. （）38、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵. （）39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （）40、设A ，B ，C ，E 均为n 阶矩阵，若ABC=E ，可得BCA=E. （）41、如果A 2-6A=E ，则= A-6E. ( )1-A 42、设A=，则A *=. ( )⎪⎪⎭⎫⎝⎛2531⎪⎪⎭⎫⎝⎛--153243、设A 是n 阶方阵，且，则. （）1=A 115)5(---=n T A 44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （）45、由单位矩阵E 经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.（）46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （）47、设A 是3阶矩阵，交换矩阵A 的1，2两行相当于在矩阵A 的左侧乘以一个3阶的初等矩阵. （）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000101012E 48、对n 阶矩阵A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的. （）49、设A 是4×5矩阵，=3，则A 中的所有3阶子式都不为0. （）)(A r 50、对矩阵A 施以一次初等行变换得到矩阵B ，则有. （）)()(B r A r =51、若6阶矩阵A 中所有的4阶子式都为0，则. （）4)(0<≤A r 52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （）53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （）54、等价的矩阵有相同的秩. （）55、n 阶矩阵就是n 阶行列式. （）56、用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵B 中对应位置的元素相乘. （）57、设A 为三阶方阵且，则108. （）2-=A =A A T 358、方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （）59、方阵A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价. （）60、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵. （）61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （）63、设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，O 为n 阶零矩阵，C 为2n 阶分块对角矩阵即，则C 的逆矩阵为. （）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--O B A O C 1164、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （）65、零向量可由任意向量组线性表出. （）66、若线性无关，则线性相关. （ 4321αααα，，，)4(21>n n ααα ，，）67、两个n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维向量的各个分量对应成比例. （）68、若，则线性相关. （）02211=++n n k k k ααα n ααα，，， 2169、若对任意一组不全为0的数，都有n k k k ，，， 21，则线性无关. （）02211≠+++n n k k k ααα n ααα，，， 2170、若向量组A ：线性相关，且可由向量组B ：线性表出，m ααα,,,21 s βββ,,,21 则. （）s m ≤71、等价的向量组所含向量个数相同. （）72、任意一个向量组都存在极大无关组. （）73、设向量组是向量组的一个子组。

高等代数矩阵秩的等式与不等式

. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故

( 秩A
) B
=
秩
Er
Es

= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).

第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩

第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１）交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２）用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３）把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ．右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１）证明可逆；B （２）求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３矩阵的等价与等价标准形若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１）反身性：任何矩阵和自己等价；（２）对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３）传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形．任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩．例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ，求．b a , 常用的矩阵的秩的性质：（１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ，则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211，记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−．例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。

矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

高等代数前三章内容简单总结

高等代数前三章内容简单总结1.矩阵的初等行变换①把一行的倍数加到另一行上；②互换两行位置；③用一个非零数乘某一行。

2.简化行阶梯行矩阵①它是阶梯形矩阵；②每个非零行的主元都是1；③每个主元所在的列的其余元素都是0。

3.Gauss-Jordan算法①相应的阶梯形方程组出现“0=d（d≠0）”⇔原方程组无解；②阶梯形矩阵的非零行数目r等于未知量个数n（r=n）⇔原方程组有唯一解；③阶梯形矩阵的非零行数目r小于未知量个数n（r＜n）⇔原方程组有无穷多解。

4.推论①n元齐次线性方程组有非零解⇔它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行数目r＜n；②n元齐次线性方程组如果方程的数目s小于未知量的数目n，那么它一定有非零解。

5.行列式性质①行列互换，行列式的值不变；②行列式一行的公因子可以提出去；③行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同；④两行互换，行列式反号；⑤两行相同，行列式的值为0；⑥两行成比例，行列式的值为0；⑦把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。

6.行列式按一行（列）展开①n阶行列式等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即=；②n阶行列式等于它的第j列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即=；③n阶行列式的第i行元素与第k行（k≠i）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即=0，当k≠i；④n阶行列式的第j列元素与第l列（j≠l）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即=0，当l≠j。

7.Cramer法则①数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解⇔系数行列式≠0；②数域K上n个方程的n元齐线性方程组只有零解⇔系数行列式≠0；③数域K上n个方程的n元齐线性方程组有非零解⇔系数行列式=0；④n个方程的n元线性方程组的系数行列式≠0时，它的唯一解是place定理在n阶行列式中，取定第，，，行（），则这k 行元素形成的所有k阶子式与它们自己的代数余子式的乘积之和等于，即：=，，，，，，，，，，，，9.线性子空间V的非空子集U是子空间⇔①α、β∈U，则α+β∈U；②若α∈U，k∈K，则kα∈U。

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。

线性代数复习提纲

1．什么叫排列的逆序数？什么叫奇排列？什么叫偶排列？2．行列式的定义3．行列式的性质4．行列式按行（列）展开5．计算行列式的思想6．克拉默法则7．对矩阵定义了哪些运算、每种运算都有哪些运算法则？8．什么叫矩阵可逆？可逆矩阵有哪些运算性质？你有哪些方法判别一个矩阵是否可逆？如何求逆矩阵？9．什么叫初等行变换、什么叫初等列变换？什么叫初等矩阵？如何用初等矩阵表示初等变换？10．什么叫矩阵的K 阶子式？什么叫矩阵的秩？矩阵的秩有哪些性质？你有哪些方法可以计算矩阵的秩？为什么可以用初等行变换把矩阵化成行阶梯形来计算矩阵的秩？11．你有哪些方法可以判别一个齐次线性方程组0=Ax 是否有非零解？12．你有哪些方法可以判别一个非齐次线性方程组b Ax =是否有解？有唯一解、有无穷多解？13．什么叫向量组m ααα,,,21 的线性组合？14．什么叫向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示？你有哪些方法判别向量β能否由向量组m ααα,,,21 线性表示？15．什么叫两个向量组等价？你有哪些方法判别两个向量组是否等价？16．什么叫向量组m ααα,,,21 线性相关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性相关？17．什么叫向量组m ααα,,,21 线性无关？你有哪些方法判别向量组m ααα,,,21 是否线性无关？18．什么叫向量组的极大无关组？你有哪些方法判别一个向量组的线性无关部分组是否为该向量组的极大无关组？19．什么叫向量组的秩？如何求一个向量组的秩？如何求向量组的一个极大无关组？如何把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示？20．齐次线性方程组0=Ax 的解有哪些性质？21．什么叫齐次线性方程组0=Ax 的基础解系？齐次线性方程组0=Ax 的基础解系包含的向量个数与系数矩阵的秩有什么关系？如何求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系及通解？22．非齐次线性方程组b Ax =的解有哪些性质？23．非齐次线性方程组b Ax =的解与其对应的齐次线性方程组0=Ax 的解有什么关系？24．什么叫向量的内积？向量的内积有哪些运算性质？25．什么叫正交向量组？如何把一组线性无关的向量组化为正交向量组？26．什么叫正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？27．什么叫矩阵的特征值？什么叫矩阵的特征向量？矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？28．如何求矩阵的特征值及特征向量？29．什么叫两个矩阵相似？相似矩阵有哪些性质？30．矩阵与对角矩阵相似的条件是什么（或者说，什么样的矩阵能相似对角化）？如何将一个矩阵相似对角化？31．实对称矩阵有什么重要的性质？如何将一个实对称矩阵对角化？32．什么叫二次型？二次型的矩阵有什么特点？什么叫二次型的秩？33．什么叫二次型的标准形？如何将一个二次型化为标准形（有哪几种方法）？34．什么叫矩阵合同？35．什么叫二次型的规范形？什么叫正惯性指数？什么叫负惯性指数？36．什么叫正定二次型？什么叫正定矩阵？如何判别一个矩阵是否为正定矩阵？着重申明：以下题目仅供复习自测参考，绝无任何暗示意义判断正误：1．逆序数为奇数的排列称为奇排列。

3.3向量组的秩与矩阵的秩

三. 初等变换与向量组的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt

3.1 矩阵的初等变换及其应用

3.1 矩阵的初等变换及其应用
在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。
一、矩阵的初等变换
用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换：
(i) 对调某两个方程在方程组中的位置；
(ii) 以数乘某一方程的两端；
(iii) 把某一方程的两端乘以数后加到另一方程的两端.
这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换.
定义6 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i) 对调两行(对调两行,记作 );
(ii) 以数乘某一行中的所有元素(第行乘 ,记作 );
(iii) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作 ).
.
解
上式中最后一个矩阵为行阶梯矩阵，由此即可看出 .
若Ｄ含有矩阵Ｂ的第行元素，同时含有矩阵Ｂ的第行元素，那么由行列式的性质知Ｄ与矩阵Ａ中的一个相应阶子式相等，所以也有Ｄ＝０.
综上，则得 .
又因为，将Ｂ的第行的乘以加到第行得到矩阵Ａ，所以同理可得 .故
由定理3知，求矩阵的秩只需利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后确定矩阵的秩.
例4 求矩阵Ａ的秩，其中
用阶初等方阵左乘矩阵得
其结果相当于对矩阵Ａ施行第一种初等行变换:把Ａ的第行与第行对调( )；类似地可以验证：以左乘矩阵Ａ,其结果相当于以数乘Ａ得第行( )；以左乘矩阵Ａ,其结果相当于把Ａ的第行乘加到第行上( ).
综上所述,可得下述定理.
定理1设Ａ是一个矩阵,对Ａ施行一次初等行变换,相当于在Ａ的左边乘以相应的阶初等方阵;对Ａ施行一次初等列变换,相当于在Ａ的右边乘以相应的阶初等方阵.

求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.

(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
1 1

初等行变换技巧

初等行变换技巧初等行变换是矩阵论中的一个基本概念，也是线性代数中的重要内容。

初等行变换可以通过对矩阵的行进行一系列的操作来改变矩阵的形式，使得矩阵更易于计算和分析。

本文将介绍初等行变换的基本技巧和应用。

一、初等行变换的定义和分类初等行变换是指对矩阵的行进行以下三种操作之一：1. 交换任意两行；2. 用一个非零常数乘以一行；3. 把一行加上另一行的若干倍。

这三种操作称为初等行变换。

初等行变换可以改变矩阵的行向量组，但不改变矩阵的列向量组。

初等行变换可以用矩阵的乘法来描述，每一种变换对应一个矩阵。

对于一个n阶方阵A，可以通过一系列的初等行变换把它变成一个特殊的矩阵，称为阶梯形矩阵。

阶梯形矩阵的定义如下：1. 矩阵的第一行非零元素所在的列（称为主元所在列）在矩阵的第一列；2. 第二行非零元素所在的列在第一行主元所在列的右边；3. 第三行非零元素所在的列在第二行主元所在列的右边；4. 以此类推，每一行非零元素所在的列都在前一行主元所在列的右边。

阶梯形矩阵的最后一行可能全是零，也可能存在非零元素。

如果最后一行全是零，则称该矩阵为零矩阵；否则，称该矩阵为行最简矩阵。

二、初等行变换的基本技巧1. 交换任意两行交换任意两行可以通过交换这两行对应的行向量，从而改变矩阵的行向量组。

交换行向量不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。

交换行向量还可以改变矩阵的行列式的符号，因为每交换一次行向量，行列式的符号就要取相反数。

2. 用一个非零常数乘以一行用一个非零常数乘以一行可以通过对这一行对应的行向量进行伸缩变换，从而改变矩阵的行向量组。

用一个非零常数乘以一行不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。

用一个非零常数乘以一行还可以改变矩阵的行列式的值，因为每乘以一个非零常数，行列式的值就要乘以这个常数。

3. 把一行加上另一行的若干倍把一行加上另一行的若干倍可以通过对这两行对应的行向量进行加法运算，从而改变矩阵的行向量组。

把一行加上另一行的若干倍不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。

线性代数基础知识点

线性代数基础知识点(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解，0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅： ①称为n¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K NN 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 称为m n ⨯矩阵.记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪ ⎪==⎪⎪⎝⎭L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A*-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭L L L M M M L ⇔i iA c β= ，(,,)i s =L 1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.即：1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) ① 零向量是任向量的线性组合,零向量与任同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααLA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% ⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵列（行）向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 列向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n②()()()TTr A r A r A A ==③()()r kA r A k =≠ 若0 ④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；⑧()rrE O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭Word 文档121212,,,0,,,()(),,,⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒βαααβαααβββαααL L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一线A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n 12()(),,,()()()1()⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩οββαααβββML M M 性无关只有零解不可由线性表示无解n Ax r A r A Ax r A r A r A r A ○注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 1 1212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L MWord 文档线性程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=M⇒Ax β=一定有解，当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的在线性关系.√ 两个齐次线性线性程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.√ 两个非齐次线性程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭MM . √ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M当(I)与(II)都是非齐次线性程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求公共解。

线性代数知识点框架及习题解读

线性代数知识点框架及习题解读注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》也就是忆心得，传爱心。

为更多的学弟学妹提供方便的姊妹篇，高数我还没有传完，这有点忙会尽快首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

矩阵的秩

5−λ =0 , 即5=λ . µ−1=0 µ =1
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矩阵秩的性质 (1)0≤R(Am×n)≤min{m, n}. (2)R(AT)=R(A). (3)若A~B, 则R(A)=R(B). (4)若P、Q可逆, 则R(PAQ)=R(A). (5)若A可逆，则R(AB)= R(B). (6) R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
1 0 −1 2 r3 − 2 r2 0 −1 3 1 = B → 0 0 0 0
显然B是阶梯型矩阵，显然是阶梯型矩阵，R(B)=2，所以，由定理是阶梯型矩阵，所以，由定理2.5 知R(A)=2。。
进一步，变为C：进一步，将B变为：变为
1 0 −1 2 1 0 −1 2 0 −1 3 1 0 1 −3 −1 = C −r2 B= → 0 0 0 0 0 0 0 0
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矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式, 数r称为矩阵A的秩, 记作R(A). 并规定零矩阵的秩等于0. 几个简单结论 (1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0, 则R(A)≥s; 若A中所有 t阶子式全为0, 则R(A)<t. (2)若A为m×n矩阵, 则0≤R(A)≤min{m, n}. (3)R(AT)=R(A).
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k阶子式在m×n矩阵A中, 任取k行与k列(k≤m, k≤n), 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式. 例如
1 1 −2 1 4 A= 2 −1 −1 1 2 , 2 −3 1 −1 2 −3 −1 3 6 −9 7 9 D= 1 1 是A的一个二阶子式. −3 −1 k k m×n 矩阵A 的k 阶子式有CmCn 个.