第二十九复习导学案机械能守恒

2011级高考物理第一轮复习导学案 第 二十九 导学案《机械能守恒定律》
1．掌握机械能守恒定律，知道它的含义和适用条件，并能判断物体机械能守恒的条件。

．
2．会用机械能守恒定律解决力学问题，知道应用这个定律的解题步骤，知道用这个定
律处理问题的优点．
一、重力做功的特点与重力势能。

（1）重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的竖直高度差有关，当重力为mg 的物体从A 点运动到B 点，无论走过怎样的路径，只要A 、B 两点间竖直高度差为h ，重力所做的功均为 mgh W m g =
（2）重力势能：物体由于被举高而具有的能叫重力势能。

其表达式为：mgh E PG = 其中h 为物体所在处相对于所选取的零势面的竖直高度，而零势面的选取可以是任意的，一般是取地面为重力势能的零势面。

由于零势面的选取可以是任意的，所以一个物体在某一状态下所具有的重力势能的值将随零势面的选取而决定，但物体经历的某一上过程中重力的势能的变化却与零势面的选取无关。

（3）重力做功与重势能变化间的关系：重力做的功总等于重力势能的减少量，即
21PG m b mgh mgh E W -=-=∆
二、 机械能守恒成立条件
除重力（弹力）外其它力不做功，只是动能势能之间的转化；
【基础题1】如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
编者意图展示：考查对物块的机械能守恒条件和系统机械能守恒条件的理解；以物块和斜面系统为研究对象，物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，没有机械
能转化为其它形式的能，故系统机械能守恒；物块在下滑过程中，斜面动
能增加了，故物块的机械能不守恒
【解析】以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受
摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。

又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守
恒。

这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N 和物块的实
际位移s 的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力
做功”的条件。

⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物
块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。

【基础题2】如图所示，粗细均匀的U 形管内装有总长为4L 的水。

开始时阀门K 闭合，左
右支管内水面高度差为L 。

打开阀门K 后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦
阻力忽略不计）
编者意图展示：本题重点考查机械能守恒定律用ΔE 增 =Δ
E 减 建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。

巧选整个水柱为研究对象，到两个支管水面相平时，整个水
柱中的每一小部分的速率都是相同的。

【解析】由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。

从初始状态到左右支管水面相平
为止，相当于有长L /2的水柱由左管移到右管。

系统的重力势能减少，动能增加。

该过程中，
整个水柱势能的减少量等效于高L /2的水柱降低L /2重力势能的减少。

不妨设水柱总质量为
8m ，则28212v m L mg ⋅⋅=⋅，得8
gL v =。

【基础题3】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。

其正上方A 位置有一只小球。

小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零。

小球下降阶段下列说法中正确的是： A ．在B 位置小球动能最大
B ．在
C 位置小球动能最大
C ．从A →C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D ．从A →D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
编者意图展示：重点考查物体受力分析、动能定理、机械能守恒定律、运动和力的关系等
【解析】小球动能的增加用合外力做功来量度，A →C 小球受的合力一直向下，对小球做正功，
使动能增加；C →D 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B 正确。

从A
→C 小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C 正确。

A 、D 两位置动
能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D 正确。

选B 、C 、D 。

【基础题4】如图所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光
滑水平固定轴O ，在盘的最右边缘固定一个质量为m 的小球A ，在O
点的正下方离O 点r/2处固定一个质量也为m 的小球B 。

放开盘让其
自由转动，问：
（1）A 球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？ 编者意图展示：重点考查系统机械能守恒定律条件、圆周运动的知识
AB 运动的角速度相同 【解析】该系统在自由转动过程中，只有重力做
功，机械能守恒。

设A 球转到最低点时的线速度为V A ，B
B
C
D
球的速度为V B ，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mv A 2/2+mV B 2/2
据圆周运动的知识可知：V A =2V B
由上述二式可求得V A =5/4gr
设在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图
所示），则据机械能守恒定律可得：
mgr.cos θ-mgr(1+sin θ)/2=0 易求得θ=sin -153
【基础题5】如图所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙
面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H ，木块的倾角为θ，球和木块质量相等，一
切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。

编者意图展示：本题重点考查机械能守恒的条件、机械
能守恒定律、两个关联物体的速度
【解析】此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。

因为小球和木块总是相互接触的，所以小球
的速度V 1和木块 的速度V 2在垂直于接触面的方向上的
投影相等，即:V 1Cos θ=V 2Sin θ
由机械能守恒定律可得：
mgH=mv 12/2+mv 22/2
由上述二式可求得：
V 1=gH 2.sin θ, V 2=gH 2.cos θ.
系统机械能守恒的表达式有以下三种：
(1)系统初态的机械能等于系统末态的机械能，即：E 初=E 末
(2)系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量，即：ΔE p 减=ΔE k 增
(3)若系统内只有A 、B 两物体，则A 物体减少的机械能等于B 物体增加的机械能，
即：ΔE A 减=ΔE B 增
【能力提升题1】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角︒=30θ，另一边与地面垂
直，顶上有一定滑轮。

一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A 和B 连结，A 的质量
为4m ，B 的质量为m 。

开始时将B 按在地面上不动， 然后放开手,让A
沿斜面下滑而B 上升.物块A 与斜面间无摩擦.设当A 沿斜面下滑s 距离后,
细线突然断了.求物块B 上升的最大高度H.
编者意图展示：本题重点考查机械守恒守恒定律、运动和力的关系
【解析】取A 与B 构成的系统为研究对象，考察以刚放手起直到强刚断的
过程，这过程中系统的机械能守恒。

有
︒=++30sin .42
142122mgs mgs mv mv 再取B 为研究对象，考察从强刚断直到B 升至最高点的过程，这过程中B 的机械能守恒，
又有 mgh mv =22
1 而B 所上升的最大高度为 H= h +s
由此即得 H=1.2s
【能力提升题2】 如图所示，在光滑的水平面上放有一质量为m 、高为a 的立方块．一根轻
杆长4a ，下端用铰链固定在地面上，上端固定一质量也为m 的重球．开始杆与水平面成53°
角静止，杆与木块无摩擦．释放后，当杆与水平面成30°角时，木块速度多大?
编者意图展示：本题重点考查系统机械守恒的条件没有机械能转化为其它形式的能和两个
关联物体的速度求解方法
【解析】此题球与木块的运动过程复杂，有关力做功的情况又不清楚，放无法从动力学、动
能定理求解．我们可把球和木块看成一个系统，对此系统来说，只有小球重力做功，内力做
功代数和为零，系统的机械能是守恒的(杆的质量不计，其能量也不考虑)。

由机械能守恒定律，可得：
2
230sin 453sin 42
2mv mv a mg a mg ++︒⋅⋅=︒⋅⋅球
（1） 从图中看出，木块实际运动速度v 木可分解为沿杆向上的速度v 1和垂直于杆的速度v 2，且：
v 2=v 木sin30°＝v 木/2
小球的速度也垂直于杆的，它与v 2的比值等于转动半径之比： ︒
=30sin 42a
a v v 球
，v 球=2v 2=v 木 （2） 把(2)式代入(1)即可得5
6ga v =木 【能力提升题3】如图所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量均为m 的小球，
杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。

求当杆转到竖直位置时，轻
杆对A 、B 两球分别做了多少功?
编者意图展示：重点考查机械能守恒定律、功的计算、千万不能认为杆的弹力总垂直于小
球的运动方向
【解析】设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为V A 和V B 。

如果把轻杆、地球、
两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系
统机械能守恒。

若取B 的最低点为零重力势能参考平面，可得： 2mgL=
mgL mV mV B A 21212122++ 又因A 球对B 球在各个时刻对应的角速度相同,故V B ＝2V A
由以上二式得：512,53gL V gL V B A ==.
根据动能定理，可解出杆对A 、B 做的功。

对于A 有
W A +mgL/2=
22
1A mV -O ， 所以W A =－2.0mgL.
对于B 有W B +mgL=0212-B mV ，所以W B =0.2mgL. 【能力提升题4】如图所示．一根不可伸长的轻绳两端各系
一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，
质量为3m 的a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释
放．当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度为θ.下列
结论正确的是
A. θ＝90°
B. θ＝45°
C.b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小
D.b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
编者意图展示：本题重点考查机械能守恒定律、功率的概念、动能定理、向心加速度公式
等
【解析】考查向心加速度公式、动能定理、功率等概念和规律。

设b 球的摆动半径为R ，当
摆过角度θ时的速度为v ，对b 球由动能定理：mgRsinθ= 12
mv 2，此时绳子拉力为T =3mg ，在绳子方向由向心力公式：T －mgsinθ = m v 2R
，解得θ=90°，A 对B 错；故b 球摆动到最低点的过程中一直机械能守恒，竖直方向的分速度先从零开始逐渐增大，然后逐渐减小到零，故
重力的瞬时功率P b = mgv 竖 先增大后减小，C 对D 错。

本题答案AC
【能力提升题5】物体做自由落体运动，E k 代表动能，E p 代表势能，h 代表下落的距离，以
水平地面为零势能面。

下列所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是
编者意图展示：本题重点考查机械能守恒定律、物理图象等
【解析】由机械能守恒定律：E P =E －E K ，故势能与动能的图像为倾斜的直线，C 错；由动
能定理：E K =mgh =12mv 2=12
mg 2t 2，则E P =E －mgh ，故势能与h 的图像也为倾斜的直线，D 错；且E P =E －12mv 2，故势能与速度的图像为开口向下的抛物线，B 对；同理E P =E －12
mg 2t 2，势能与时间的图像也为开口向下的抛物线，A 错。

答案：B
【全国高考题】如图所示，两个质量各为m 1和m 2的小物块A 和B ，分别系在一条跨过定滑
轮的软绳两端，已知m 1＞m 2，现要利用此装置验证机械能守恒定律．
⑴若选定物块A 从静止开始下落的过程进行测量，则需要测量的物理量有
①物块的质量m 1、m 2；
②物块A 下落的距离及下落这段距离所用的时间；
③物块B 上升的距离及上升这段距离所用的时间；
④绳子的长度．
⑵为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议： ①绳的质量要轻；
②在“轻质绳”的前提下，绳子越长越好；
③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；
④两个物块的质量之差要尽可能小．
以上建议中确实对提高准确程度有作用的是 ．
⑶写出一条上面没有提到的提高实验结果准确程度有益的建议： ．
高考命题人意图展示：系统机械能守恒定律的验证、需要测量的物理量以及提高实验结果
准确程度的方法
【解析】⑴①②或①③
⑵①③
⑶例如“对同一高度多次测量取平均值”；“选取受力后相对伸长尽量小的绳”等等
【全国高考题】如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球
a 和
b ．a 球质量为m ，静置于地面；b 球质量为3m ，
拉紧．从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为
A
．h
B ．1.5h
C ．2h
D ．2.5h
高考命题人意图展示：本题重点考查b 着地前系统机械能守恒、b 着地后a 做竖直上抛运动、
运动和力的关系、物体受力分析等
【解析】在b 落地前，a 、b 组成的系统机械能守恒，且a 、b 两物体速度大小相等，根据机
械能守恒定律可知：gh v v m m mgh mgh =⇒+=-2)3(2
13，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，过程中机械能守恒，2
22122h g v h h mg mv ==∆⇒∆=，所以a 可能达到的最大高度为1.5h,B 项正确。

【海南高考题】如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O 点，另一端系一小球．给小
A ．小球的机械能守恒
B ．重力对小球不做功
C ．绳的张力对小球不做功
D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
高考命题人意图展示：本题重点考查物体机械能守恒的条件、重力做功的特点、功能关系
【解析】本题答案选C
【上海高考题】物体做自由落体，E k 代表动能，E P 代表势能，h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面，下列所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是
高考命题人意图展示：本题重点考查自由落体运动过程中机械能守恒定律、重力势能E P 代表与时间、速度、动能、高度的关系
【解析】本题答案选B
【江苏高考题】如图所示，两光滑斜面的倾角分别为30°和45°，质量分别为2m 和m 的两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接（不计滑轮的质量和摩擦），分别置于两个斜面上并由静止释放；若交换两滑块位置，再由静止释放．则在上述两种情形中正确的有
A ．质量为2m 的滑块受到重力、绳的张力、沿斜面的下滑力和斜面的支持力的作用
B ．质量为m 的滑块均沿斜面向上运动
C ．绳对质量为ｍ滑块的拉力均大于该滑块对绳的拉力
D ．系统在运动中机械能均守恒
高考命题人意图展示：本题重点考查系统机械能守恒的
条件、重力做功的特点、物体受力分析、牛顿第二定律
【解析】本题答案选BD
【天津高考题】光滑水平面上放着质量m A ＝1 kg 的物块A 与质量为m B ＝2 kg 的物块B ，A 与B 均可视为质点，A 靠在竖直墙壁上，A 、B 间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A 、B 均不拴接），用手挡住B 不动，此时弹簧弹性势能为E p ＝ 49 J ．在A 、B 间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示．放手后B 向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B 冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，
取g ＝10 m/s 2，求
⑴绳拉断后瞬间B 的速度v B 的大小； ⑵绳拉断过程绳对B 的冲量I 的大小； ⑶绳拉断过程绳对A 所做的功W ．
高考命题人意图展示：本题重点考查机械能守恒定律、圆周运动知识、牛顿第二定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律
【解析】⑴设B 在绳被拉断后瞬间的速度为v B ，到达C 点的速度为v C ，有2B C B m m g R v E A k E B E C E D
2211+222
B B B
C B m m m gR =v v 解得：v ＝5 m/s
⑵设弹簧恢复到自然长度时B 的速度为v 1，取水平向右为正方向，有
2
112
p B E m =v I ＝m B v B －m B v 1
解得：I ＝－4 N·s ，其大小为4N·s
⑶设绳断后A 的速度为v A ，取水平向右为正方向，有
m B v 1＝m B v B ＋m A v A
2
12
A A W m =v 解得：W ＝8 J
【山东高考题】图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。

斜面轨道倾角为30°，质量为M
m 的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。

下列选项正确的是（ ）
A ．m ＝M
B ．m ＝2M
C ．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D ．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能 高考命题人意图展示：能量守恒定律，机械能守恒定律，牛顿第二定律，受力分析
【解析】受力分析可知，下滑时加速度为cos g g μθ-，上滑时加速度为cos g g μθ+，所以C 正确。

设下滑的距离为L ，根据能量守恒有()cos cos sin m M gl Mgl mgl μθμθθ++=，得m ＝2M 。

也可以根据除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)做的功之和等于系统机械能的变化量，B 正确。

在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D 不正确。

答案：BC
【浙江高考题】某校物理兴趣小组决定举行遥控塞
车比赛。

比赛路径如图所示，赛车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，出B 点进入半径为R 的
光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平
直轨道上运动到C 点，并能越过壕沟。

已知赛车质量m ＝0.1kg ，通电后以额定功率ρ＝1.5W 工作，进入竖直圆轨道前受到的阻值为0.3N ，随后在运动中
受到的阻力均可不计。

图中L ＝10.00m ，R=0.32m ，
h ＝1.25m,S ＝1.50m 。

问：要使赛车完成比赛，电动
机至少工作多长时间？（取g ＝10 m/s 2）
高考命题人意图展示：本题考查平抛运动规律、圆周运动知识、牛顿第二定律、机械能守
恒定律和动能定理。

【解析】设赛车越过壕沟需要的最小速度为v 1，由平抛运动的规律
1S v t =
212
h gt =
解得 13/v m s == 设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v 2，最低点的速度为v 3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
22v mg m R
= ()223211222
mv mv mg R =+
解得 34v ==m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
min 4v =m/s
设电动机工作时间至少为t ，根据功能原理2min 12
Pt fL mv -=
由此可得 t=2.53s
一、不定项选择题(每题6分共48分 )
1.关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A.做匀速直线运动的物体，其机械能一定守恒
B.做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒
C.平抛运动的物体，其机械能一定守恒
D.物体不受摩擦力，机械能一定守恒
2.下述说法正确的是( )
A.物体所受的合力为零，机械能一定守恒
B.物体所受合力不为零，机械能一定不守恒
C.物体受到重力、弹力以外的力作用时,机械能一定不守恒
D.物体在重力、弹力以外的力做功时，机械能一定不守恒
3.质量为m 的小球，从桌面上竖直抛出，桌面距离地面高为h ，小球能到达的离地面高度为H ，若以桌面作为重力势能为零的参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为（ ）
A.mgH
B.mgh
C.mg (H +h )
D.mg (H －h )
4.如图所示，一根长为l 1的橡皮条和一根长为l 2的绳子（l 1<l 2）悬于同一点，橡皮条的另一端系一A 球，绳子的另一端系一B 球，两球质量相等，现从悬线水平位置（绳拉直，
橡皮条保持原长）将两球由静止释放，当两球摆至最低点时，橡皮条的长度与绳子长度相等，此时两球速度的大小为( )
A.B 球速度较大
B.A 球速度较大
C.两球速度相等
D.不能确定
5.物体从光滑斜面顶端由静止滑下，当所用时间为滑到底端时间的一半时，物体的动能和势能之比是（设斜面底端处重力势能为0）( )
A.1∶4
B.1∶3
C.1∶2
D.1∶1
6.如图所示，从H 高处以v 平抛一小球，不计空气阻力，当小球距地面高度为h 时，其动能恰好等于其势能，则（ ）
A.h =2
H B.h ＜2H C.h ＞2H D.无法确定
7、关于重力做功,下面说法中正确的是( )
(A)重力做负功,可以说物体克服重力做功
(B)重力做正功,物体的重力势能一定减少
(C)重力做负功,物体的重力势能一定增加
(D)重力做正功,物体的动能一定增加
8、如图所示，质量为M 的小车上有半径为R 的半圆形光滑轨道，小车与水平面之间的摩擦不计，把一个质量为m 的钢球放在半圆形轨道的顶端a 处，让其无初速下滑。

下列说法中正确的是（ ）
（A ）钢球到达轨道最低点时速率为 gR 2
（B ）钢球到达轨道最低点时的速率为
)/(2m M MgR （C ）钢球不能到达圆弧另一端同一高度的 b 点
（D ）钢球可能到达圆弧另一端同一高度的 b 点
9、实验题(本题共17分 )
（1）用落体法验证机械能守恒定律，下面哪些测量工具是必需的？( ) (A)天平 (B)弹簧秤 (C)刻度尺 (D)秒表
（2）在“验证机械能守恒定律”的实验中，质量m=1kg 的物体自由下落，得到如图7所示的纸带。

相邻计数点时间间隔为0.04s ，那么纸带的 端与重物相连（填“左”或“右” ）。

打点计时器打下计数点A 时，物体的速度V A = m/s ，从起点到打下B 点过程中，物体的重力势能减少∆E P
J ，此过程中物体动能的增加量∆E k = J 。

23、(1)C
（2）左，1.75，2.28，2.26
三、计算题（共35分）
10、（本题10分）沿倾角为α的斜面，以速度v 0向上抛一物体，由于摩擦力的作用，它沿斜面回抛出点时的速度减小为v 0求 （1）物体沿斜面升的高度h ；
（2）物体与斜面间的动摩擦因数μ。

（1）g v v h 422
0+= （2）αμtg v v v v 2
202
20+-=
11. （本题12分）如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求： ⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ； ⑵ B 球能上升的最大高度h ；
⑶开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

⑴ ⑵
v 1
12. （本题13分） 一质量为m 的质点，系于长为R 的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O 点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。

今把质点从O 点的正上方离O 点的距离为R 9
8
的O 1点以水平的速度gR V 4
3
0=
抛出，如图29所示。

试求； （1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？
（2）当质点到达O 点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？
1.C
2.D
3.D
4.A
5.B
6.C
7. ABC
8. BD
9. (1)C （2）左，1.75，2.28，2.26
10.（1）g v v h 422
0+= （2）αμtg v
v v v 2
202
20+-= 11. 解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该
系统的机械能守恒。

⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B
的2倍。

2
22321221322⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得118gL
v =
⑵B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角。

2mg ∙2L cos α=3mg ∙L (1+sin α)，此式可化简为4cos α-3sin α=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°
⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。

设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，
()22
32
12221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L (1-cos θ)=mgL (4sin θ+3cos θ-3)≤2mg ∙L ，解得11
4gL
v m =
⑴ ⑵ ⑶
v 1
本题如果用E P +E K = E P /+E K /这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。

用ΔE 增=ΔE 减就要简洁得多。

12. 【解析】质点的运动可分为三个过程：
第一过程：质点做平抛运动。

设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则θsin 0R t V =，
θcos 98212R R gt -=，其中gR V 4
30= 联立解得g
R
t 34,2
=
=
π
θ。

第二过程：绳绷直过程。

绳棚直时，绳刚好水平，如图30所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时，V 0损失，质点仅有速度V ⊥，且gR gt V 3
4
=
=⊥。

第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。

设质点到达O 点正下方时，速度为V ′，根据机械能守恒守律有：
R mg mV mV ⋅+=⊥2
2/2
121 设此时绳对质点的拉力为T ，则R
V m mg T 2
/
=-，联立解得：mg T 943=。

V
V /。