(第一章)随机事件与概率习题

第一章 随机事件与概率

亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。

──祖冲之 内容提要

1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n

i i i i i i i i A A A A =====

= ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数)

）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n

=（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量）

）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质

（1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数：

()()()()()o o 1:P A 021

o 3,,()

1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=∅≠ 非负性规范性：可列可加性：

（2） 性质： 11

1111.

()0,2.:,,()3.()()()()()

4.()1(),

5.

6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=∅=⎛⎫= ⎪⎝⎭⊂⇒-=-≤=--=-=+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地

111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=⎛⎫+++- ⎪⎝⎭

∑∑

4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式）

（1） 条件概率的定义

直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记

作()P B A ；数学上的定义：()()()P AB P B A P A =

。 （2） 三大公式 乘法公式：()()()(()0)P AB P A P B A P A =>；一般地，若11()0n P A A -> ，则

()()()1212131211()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A -=

全概率公式：设12,,,n B B B 是样本空间的一个分割，且()0,

1,,i P B i n >= ，则对任意事件A 有 ()()()()()11n n P A P A B P B P A B P B =++ 。

Bayes 公式：设12,,,n B B B 是样本空间的一个分割，且()0,1,,i P B i n >= ，

()0P A >，则 ()()()

()()1()()i i i i n k k

k P A B P B P AB P B A P A P A B P B ===∑

5. 事件独立性与Bernoulli 概型（独立性的实质及应用，Bernoulli 概型的三个模型）

（1） 两事件A 与B 的独立性：事件A 发生与否对事件B 是否发生没有影响，则称A 与B

独立；数学上：A 与B 独立()()(P A B

p A P B ⇔=；A 与B 独立，且

()()0()P A P B A P B >⇔=。 一组事件12,,,n A A A 的独立性：若12,,,n A A A 发生与否互相没有影响，则称12,,,n A A A 相互独立；数学上12,,,n A A A 相互独立⇔

()()(),i j i j P A A P A P A = （称为两两独立）

()()()(),i j k i j k P A A A P A P A P A = （称为三三独立）

⋯⋯⋯⋯

1212()()()()n n P A A A P A P A P A = ， （称为n n 独立）

（3）试验的独立性

结果独立的试验称为独立试验；

伯努利试验：只有两种结果的试验；

n 重伯努利试验：将伯努利试验独立地进行n 次的试验；

独立试验序列：一系列相互独立的试验。

6. 典型问题

问题1: 事件的表示与运算

问题2: 概率的基本公式及应用

问题3: 古典概型与几何概型的直接计算

问题4: 事件的独立性及其实质

问题5: 乘法公式与交事件的计算

问题6: 全概率公式与Bayes公式

问题7: Bernoulli试验序列的相关结论

手机响了，短信来了：

增字了了歌

她已听不懂课了，

他干脆不来上课了，

上不上课已无所谓了，

这学期概率统计完蛋了。

一、填空题

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则Ω= ；

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则Ω= ；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，则

Ω= ；

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则Ω= ；

（5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则Ω= ；

（6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，则Ω= ；

（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则Ω= ；

（8）记录某城市一天内的用电量，则Ω= 。

2. 设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。

（1）“A发生，B与C不发生”=；；（2）“A与B都发，而C不发生”=；

（3）“A，B，C中至少有一个发生”=；(4)“A，B，C都发生”=；

（5）“A，B，C都不发生”=；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=；

（7）“A，B，C中不多于两个发生”=；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=。

3. 在抛三枚硬币的试验中，试写出下列事件的集合表示。

（1）“至少出现一个正面”= ；（2）“最多出现一个正面”= ；

（3）“恰好出现一个正面”= ；（4）“出现三面相同”= 。