直线方程的一般式

直线方程的一般形式教案

本教案从教材分析、教学目标、教学过程、教学方法、设计说明这五大部分进行分析说明

一、教材分析

直线是最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式。掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础。

本节课教学的重点是直线方程的一般式及各种形式的互化，难点是在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化。

二、教学目标

1.言语信息目标：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于

x和y的一次方程的对应关系。

2.智慧技能目标：会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成

斜截式和截距式。

3.认知策略目标：培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形

结合等数学思想。

确定上述三条目标的理由：

1.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触

直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直

线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次。

2.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，

由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式。直

线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截

式和截距式，所以各种形式应会互化。

3.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二

元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过

直线方程各种形式的互化渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数

A、B、C的几何意义时渗透数形结合的数学思想。

三、教学过程

1.新知识习得阶段

<1>激活旧知识

复习上节课所讲的直线方程的几种形式，如表1和图1（计算机显示表格和图象）。

表1 直线的方程

形式方程局限

点斜式

斜截式

两点式

、及截距式

既然上述四种形式都有其局限性，那么就有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢？通过复习与预期要获得的新知识有关的原有知识被激活。

<2>猜想新形式

例1.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形。

⑴斜率是1，经过点A（1，8）；

⑵在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；

⑶经过两点P

1（－1，6）、P

2

（2，9）；

⑷y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为：y-8=x-1、、、y=x+7，教师利用计算机动态显示图2，经演示，

发现上述4条直线在同一坐标系中重合。原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0。

结合本例引导学生观察表1中方程的类型，归纳出它们均是关于x、y的二元一次方程，并猜想新形式为：Ax+By+c=0。

<3>习得新知识

请学生思考：

问题１：坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x、y的二元一次方程？

分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α。

①当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：

y=kx+b

②当α=90°时，它的方程可以写成的形式，由于在坐标平面上讨

论问题，所以这个方程应认为是关于 x、y的二元一次方程，其

中y的系数是零。

结论１：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程。

由于有1.3节中直线与方程概念的铺垫，所以请学生思考：

问题２：关于x、y的一次方程的一般形式（其中A、B 不同时为零）是否都表示一条直线？

分析：①当B≠0时，方程可化为，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线。

②当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为，

表示一条与y轴平行或重合的直线。

结论２：关于x和y的一次方程都表示一条直线。

综上得：我们把（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式。

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来。

2.新知识的转化和巩固阶段

我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化？

例2：已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的①点斜式；②一般式；③截距式。

师生共同完成例2，教师板书：

为了更好地挖掘课本例题的作用，教师组织学生尝试：

1.特殊形式如何化一般式？

2.一般式如何化特殊形式？

3.特殊形式如何互化？

待学生练习后师生小结：

特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式。各种形式互化的实质是方程的同解变形。如表2（计算机显示）。

表2：直线方程各形式的互

化

3.知识的迁移和应用阶段

我们学习了直线方程的一般式，系数A、B、C有什么几何意义？什么场合下需要化成其他形式？

练习1：已知直线l的方程，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图。

教师引导学生通过转化成斜截式和截距式，也可以直接研究A、B、C的几何意义。

练习2：如果AC<0且BC<0，那么直线不通过（）

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

练习2找两名方法不同的学生回答。

由于直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不明显，遇到这两个练习时学生的心理有一个对内调控的过程，经过反省认知阶段学生选择互化（化归的数学思想）或进一步研究A、B、C的几何意义（数形结合的数学思想），使本节课所学知识达到迁移和应用的阶段。

4.归纳小结，纳入知识结构

最后通过师生共同小结如表3（计算机演示），

表3：直线的方程

形式方程局限各常数的几何意义

点斜式

是直线上一个定点，

k是斜率

斜截式

k是斜率，

b是y轴上的截距

两点式和

、是直线上

两个定点

截距式、及

a是x轴上的非零截距,

b是y轴上的非零截距

一般式无

1.当B≠0时，是斜率,

是y轴上的截距

2.当A≠0时，是x轴上的截距

将直线方程的一般式纳入到直线方程的知识系统中，有利于学生对知识的理解和巩固。通过本节课的学习对直线方程的各种形式有了一个全面的认识（当然除了这些形式外直线方程还有其它的表示形式）。