直线方程的一般式
3.2.3直线的一般式方程(最新)
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
直线方程百度百科
直线方程百度百科直线方程是描述平面上一条直线的数学表达式，它是数学中的重要概念之一。
直线方程可以通过多种方法推导和表示，包括点斜式、斜截式、一般式等等。
在本文中，我们将介绍直线方程的基本定义、常见表示方法以及相关概念。
直线方程的基本定义直线方程是通过点和直线的关系来表示的。
在平面几何中，我们知道一条直线可以由两个不同的点唯一确定。
因此，直线方程的基本定义可以简单描述为：给定直线上两个不同的点，通过这两个点可以得到直线方程。
点斜式直线方程点斜式直线方程是直线方程中最常见的一种表示方式。
它利用直线上的一个点的坐标和直线的斜率来表示直线方程。
点斜式直线方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)在上述方程中，(x1, y1)表示直线上的某一点，m表示直线的斜率。
斜率表示了直线在平面上的倾斜程度，可以通过两个点的坐标来计算得到。
斜截式直线方程斜截式直线方程是直线方程中的另一种常见表示方法。
它通过直线的斜率和截距来表示直线方程。
斜截式直线方程的一般形式为：y = mx + b在上述方程中，m表示直线的斜率，b表示直线在 y 轴上的截距。
斜截式直线方程更加简洁，易于理解和计算。
一般式直线方程一般式直线方程是直线方程中的一种标准形式，它通过直线的一般系数来表示。
一般式直线方程的一般形式为：Ax + By + C = 0在上述方程中，A、B和C都是实数，且A和B不同时为 0。
一般式直线方程可以通过将斜截式直线方程或点斜式直线方程进行变换得到。
直线方程的应用直线方程在数学和实际应用中有着广泛的应用。
在几何学中，直线方程被用于计算直线的斜率、交点等性质。
在物理学和工程学中，直线方程被用于描述物体的运动、电路的行为等。
直线方程也常常和其他数学概念结合使用，比如与曲线方程相结合来求解方程组等。
总结通过本文，我们了解了直线方程的基本定义以及常见的表示方法。
点斜式直线方程、斜截式直线方程和一般式直线方程是直线方程中常用的表示形式。
直线的一般式方程
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
x+y-1=0，
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ① k= - 3，B=5； ① 3x+y-5=0 ② x/4 －y/5 =1 ③ x+2y=0
② k=5/4，b= -5 ； ③ k= -1/2，b=0； ④ k=7/6，b=2/3 ⑤ k=0，b=7/2。
㈠复习提问：
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是
y y1 k ( x x1 )
有斜率的直线
斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是
y kx b
有斜率的直线
x x 0 过点 与 x 轴垂直的直线可表示成 ， （x0 , y0） 过点（x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。
④ 7x－6y+4=0
⑤ 2y－7=0
1、直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零）
A k 斜率为： B
纵截距为：
C B
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：课本P54-1、2；课本P55第六题
4 y 4 x 6 3
4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是
直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距， 并画图。 y
3.2.1 直线的一般式方程
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式
直线方程的一般式
直线的一般式方程
②倾斜角α=90°,k不存在
A=1
B=0
x x0 0 即x 0 y x0 0
C
2.所有二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不 同时为0)都表示直线吗？ 解:对y的系数B进行分类讨论
①当B≠0时
A C y x B B
A C 表示斜率是 ,在y轴上的截距是 的直线. B B C ②当B=0时 x （A 0) y l A
4.求满足下列条件的直线方程：
①与直线2x-3y+1=0平行，且过点P(1,2)；
②与直线2x-3y+1=0垂直，且过点P(1,2)；
4.求满足下列条件的直线方程： ①与直线3x+4y+8=0平行，且过点P(3,-2)； ②与直线3x+4y+8=0垂直，且过点P(3,-2)；
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
作业布置
截距式 (1)3 x y 5 0• •
＋4＝0 垂直，则 l 的方程是( )
练： 1、把下列直线的一般式 方程化为斜截式、 (2)7 x 6 y 4 0
2.(2009· 安徽高考)直线 l 过点(－1,2)且与直线 2x －3y
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解:将原方程移项,得2y = x+6 两边除以2，得斜截式
y
3
-6 o
x
因此,直线L的斜率k=1/2,它在y轴上的截距是 3 令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6
[点评] 求截距的方法：
(1)令 x ＝0，解出 y 的值，即得直线 l 在 y 轴上的截距． (2)令 y ＝0，解出 x 的值，即得直线 l 在 x 轴上的截距.
§3.2.3 直线方程的一般式
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的 还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转
化为一般式．
无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一 般式。
2．直线方程的一般式转化为其他形式的步骤： 一般式化斜截式的步骤：
①移项：By＝－Ax－C； A C ②当 B≠0 时，得斜截式：y＝－Bx－B.
结论：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0 (或A1C2－A2C1≠0)． A1 B1 C1
C2 A1 A2 (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ( )( ) 1 B1 B2
？
能否统一写成:
x ？
y
？
0
直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都 可用一般式表示．
说明：直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关 于x，y的二元一次方程表示． (2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
第三章
§3.2.3 直线方程的一般式
●课标展示 1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义． 2．掌握一般式与其它形式的互化． 3．了解二元一方程的四种特殊形式
形式
已知条件
点P(x0，y0)和斜 点斜式 率k 斜截式 斜率k和在y轴上 的截距b
适用范围 与x轴不垂 y－y0＝k(x－x0) 直的直线
变式 2．直线 3x－2y－4＝0 的截距式方程为( D ) 4x y A． － ＝1 3 2 3x y C． － ＝1 4 －2 x y B． － ＝1 1 1 3 2 D． y ＋ ＝1 －2
直线方程一般式知识点
直线方程一般式知识点
嘿，朋友！今天咱来聊聊直线方程一般式的那些知识点，可有意思啦！
你看啊，直线方程一般式就是 Ax+By+C=0，这就像给直线打造了一个独特的身份证！比如说，咱走在路上，看到一条直直的路，就可以想想它能不能用这个一般式来表示呢。
直线的斜率，那可是个重要角色呀！它能告诉我们这条直线是陡峭呢还是平缓呢。
就好像爬山，有的山坡很陡，有的就平缓些。
要是直线一般式里的 A 和 B 确定了，那斜率不就出来啦！
还有截距呢，那可是直线和坐标轴的交点呀！就跟你和好朋友在某个地方见面一样，好记吧！
直线的平行和垂直也跟一般式有关系哦！两条直线要是平行，它们的一些系数可有特点啦；要是垂直呢，哇，那又是另一番情况。
反正啊，直线方程一般式就像是个神奇的法宝，能让我们更好地理解直线的各种特性！我觉得学会了这些知识点，真的超酷的，你不觉得吗？
我的观点结论就是：直线方程一般式知识点真的非常重要且有趣，掌握了它，能让我们对直线有更深入的理解和运用！。
直线的一般式方程
x轴上截距a y轴上截距b (a≠0，b≠0)
不能表示倾斜角 为0。、90。的x=x0
x=x1 y=y1
x=a y=b y=kx
巩固练习：
写出满足下列条件的直线方程 :
1.斜率是 3 , 经过点A(8, 2); 3
2.经过点B(2, 0),且与x轴垂直; 3.斜率为 4, 在y轴上的截距为7; 4.经过点A(1,8), B(4, 2); 5.在y轴上的截距是2, 且与x轴平行; 6.在x轴, y轴上的截距分别是4, 3.
思考2:二元一次方程的一般形式是什么？
Ax+By+C=0
直线的一般式方程
新知探究
思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可 以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？
任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0,y0). 当直线l斜率为k时，方程为y-y0=k(x-x0)是关于 x,y的二元一次方程； 当直线l斜率不存在时, 方程为 x-x0=0也是关于 x,y的二元一次方程，其中y的系数为0.
复习回顾
1.直线的点斜式方程 3.直线的两点式方程
y y0 k(x x0 )
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2.直线的斜截式方程 4.直线的截距式方程
y=kx+b
x y 1 ab
直线方程的形式及其适用范围
方程名称 方程形式
确定条件 适用范围
点斜式 y y0 k(x x0)
且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
解 :由A1A2 B1B2 0,
(1)设B1B2
0, 有直线l1的斜率k1
A1 B1
,
直线l2的斜率k2
A2 B2
,且
A1 B1
§3.2.3 直线的一般式方程
练习 金榜P55_1~6 P57_1~8, 品味高考
7 明天讲评作业和练习，请做好准备！
8
9
10
②直线与二元一次方程有什么关系?
2
②直线与二元一次方程有什么关系?
y －y0 = k （x－x0）
3
直线方程的一般式:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 ， 3
例6、把直线L 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直 线l 的斜率和它在X轴与Y轴上的截距，并画出图形.
§3.2.3 直线的一般式方程
1
复习回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y －y0 = k （x－x0） 斜截式 y = kx + b y y1 y2 y1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 两点式 x x1 x2 x1 截距式 x y 1 ab 0 a b
4
5
金榜P56金榜ຫໍສະໝຸດ 576小结目前为止我们学习了直线方程的五种形式
1、点斜式 y －y0 = k （x－x0）
2、斜截式 y = kx + b y y1 y2 y1 3、两点式 x x x x ( x1 x2 , y1 y2 ) 1 2 1 x y 1 ab 0 4、截距式 a b 5、一般式 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
直线一般式方程要求
直线一般式方程要求直线一般式方程是描述直线的一种常用形式，通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
这种表示方式可以清晰地描述直线的特征和性质，方便进行直线相关问题的分析和求解。
直线一般式方程的形式简洁明了，A、B和C可以直接反映直线在坐标平面上的特征。
具体来说，A和B决定了直线的斜率，C则与直线与坐标轴的交点有关。
我们来看A和B对直线斜率的影响。
根据一般式方程，直线的斜率可以表示为-m/a，其中m是直线的纵坐标差，a是直线的横坐标差。
因此，当A和B不同时，直线的斜率存在且唯一。
当A和B相等时，则代表直线是竖直的，斜率为无穷大或无穷小。
我们来看C对直线与坐标轴的交点的影响。
对于x轴，令y=0，则得到直线在x轴上的截距-x = C/A。
同理，对于y轴，令x=0，则得到直线在y轴上的截距-y = C/B。
通过这两个截距，我们可以确定直线与坐标轴的交点位置。
直线一般式方程的应用非常广泛。
例如，在几何学中，我们可以利用直线的一般式方程求解直线的斜率、截距、与其他直线的交点等问题。
在物理学中，直线一般式方程也常常用来描述运动的轨迹或力的作用方向。
在工程学和计算机图形学中，直线一般式方程也常用于图像的处理和计算。
直线一般式方程的使用需要注意一些细节。
首先，为了简化计算，常常需要对方程进行标准化处理，即使A、B和C的最大公约数为1。
其次，当直线过原点时，方程可以进一步简化为y = kx的形式，其中k为斜率。
最后，对于水平线和竖直线，直线一般式方程的形式可能会有所不同，需要特殊处理。
总结来说，直线一般式方程是一种常用的描述直线的方式，通过A、B和C的值，可以清晰地反映直线的特征和性质。
在解决直线相关问题时，直线一般式方程提供了一个简洁而有效的工具。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求，灵活选择直线的表达方式，以方便问题的求解和分析。
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
直线的一般式方程
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1= k（x－x1） 斜率k存在
斜截式 y = kx + b
斜率k存在
两点式 截距式
y y1 y2 y1
x x2
x1 x1
(
x1
x2 ,y1
y2)
x a
y b
1a
,b
0
探究
任何关于x 、y的二元一次方程Ax+By+C=0， 其中A、B不同时为0，都表示一条直线吗？
定义：我们把关于 x , y 的二元一 次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同 时为0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式。(其中A,B不同时为 0可表一般式，一般作如下约定：
①.x的系数为正， ②. x,y的系数及常数项一般不出现分数， ③.一般按含x项，含y项、常数项顺序排列
（5）过原点 C=0，A、B不同时为0; （6）与x轴和y轴相交; A≠0，B≠0;
拓展训练题2:
(2)设直线 l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6
根据下列条件确定m的值
(1) l 在x轴上的截距为-3；
(2) l 的斜率为1.
解:(1)将y=0代入原方程,得
x
2m 6 m2 2m 3
直线
一般式
Ax By C 0 A,B不同时为零
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B 不同时为零）的两方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次 方程
（2）关于x,y的二元一次图象又都是 一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互 化。
拓展训练题1:
直线方程的一般式
x y + =1 a b
不垂直于x 不垂直于x、y 轴的直线， 轴的直线，不 过原点的直线
问题：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ 问题：上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0
y − y1= k( x − x1 )
4 已知直线过点A(6,-4),斜率为 − ,求直线的点斜式、 求直线的点斜式、 例1 .已知直线过点 已知直线过点 斜率为 求直线的点斜式 3 斜截式、一般式和截距式方程. 斜截式、一般式和截距式方程
把直线l的一般式方程 化成斜截式， 例2.把直线 的一般式方程 –2y+6= 0化成斜截式，求 把直线 的一般式方程x 化成斜截式 出直线l的斜率和它在 轴与y轴上的截距，并画图. 出直线 的斜率和它在x轴与 轴上的截距，并画图 的斜率和它在 轴与 轴上的截距
kx+ (−1) y + y1 − kx1 = 0
kx+ (−1) y + b = 0
(y2 − y1)x+(x1 − x2)y+ x1(y1 − y2)+ y1(x2 − x1) =0
y = kx + b
y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
x y + =1 a b
bx + ay + ( − ab) = 0
对于任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B不同时为零 不同时为零) 对于任意一个二元一次方程 不同时为零
A C = 1)当B ≠0时,方程可变形为: y A − B x − B C
直线的一般式方程
拓
展
课堂小结
1. 直线方程常见的几种形式. 2. 比较各种直线方程的形式特点和适用范围. 3. 求直线方程应具有多少个条件？ 4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 5. 二元一次方程的每一个解与坐标平面中的点有什 么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99； 2. 课后练习.
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 a b
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴交点(0, b)) 不适合过原点的直线]
讲授新课
研读教材P.97－P.98:
1. 平面直角坐标系中的每一ห้องสมุดไป่ตู้直线都可以用一个关于
x, y的二元一次方程表示吗？
2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 3. 直线的一般式方程是什么？
Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
例
4 例1.已知直线经过点A(6, －4), 斜率为 , 求直线的 3 点斜式和一般式方程.
题
例2. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且
分
|PA| ＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线
PB的方程是________．
析
思
1：已知直线 在方程Axl＋ By ＋C＝0 A＋ 、B B1、 CC 为何值 拓展2 l2分别是 l中， y＋ 3 1、 1: A1x 1＝0(A1、
直线的一般式方程
复习引入
1. 点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点(x0, y0)及斜率k存在) 2. 斜截式方程： y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)] 3. 两点式方程： y y1 x x1 y 2 y1 x 2 x 1
直线方程的一般式
直线方程的一般式1 直线方程直线方程是代数学中的一类常见方程，用于表示直线的位置和形状，与圆、椭圆等等曲线的方程一样，直线的几何型也是经典几何学中的主要概念，它也用于代数学和几何学中的诸多领域。
直线方程的一般式表示为y=ax+b(a!=0)，其中a和b是两个实数系数，x和y为两个变量，即在坐标平面上的横坐标和纵坐标，它们可以代表直线上的任意一个点。
即：2 直线与坐标轴上的点直线上每一点都有一个唯一的坐标，一般形式上一条直线可以由两个不共线的两个点A(X1, Y1)和B(X2, Y2)表示，直线方程就是用两个点构成的直线表示方法。
又如，当上图中的直线与坐标轴交点相应的横坐标分别为-3和3，纵坐标为4和-4，即A(-3,4)，B(3,-4)，可以推出直线的斜率为1/-1：3 直线方程的斜率斜率是指一条直线与水平坐标轴的夹角，用其倒数或斜率系数表示，斜率系数可由以下公式推出：斜率k= (y2-y1)/(x2-x1)又如，上例中A(-3,4)，B(3,-4)，由上式可推出斜率系数k= (-4-4)/(3+3)= -1/1 = -1。
因此用直线的两个点的坐标配合斜率系数，可以推出原直线方程的一般式表示：y=ax+b4 直线方程的特殊形式当a=1时，直线方程的一般式可简化为y=x+b，又称斜率系数为1的直线方程；当a=0时，直线方程的一般式可以变为y=b，两侧没有变量，此直线方程又称斜率系数为0的变量表达式，这类方程表示的是一条垂直于X轴的直线；5 直线方程的求解由直线方程的一般式表示可知：a的解可以从斜率系数获得，b的解可以从坐标点求出。
求解流程：（1）根据坐标点及斜率系数算出斜率；（2）由斜率系数求a；（3）由一个点求出b；（4）将a和b代入直线方程的一般式即可。
6 直线方程的应用直线方程在日常生活当中具有重要应用，可以用来解决很多实际问题，比如图像图案的设计、统计曲线的拟合分析、科学计算等等。
此外，直线方程还可以用来求解一些变量之间的关系，可以运用曲线拟合的方法去求解两组数据之间的联系，这样就可以从中了解数据是否存在规律。
直线方程的一般式 课件
解法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0 ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0． (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0．
『规律方法』 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋ By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0； 若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－ ＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－ a－a2＋≤10>0或－ a－a2＋≤10＝0，∴a≤－1． 综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
[正解] 由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3． 当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0． 两直线显然不重合，即l1∥l2． 当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0． 两直线重合．故m的值为－1．
[警示] (1)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A1B2 －A2B1＝0⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 பைடு நூலகம்合．
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
高中数学 直线的一般式方程
直线的一般式方程
复习回顾
方程
点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
y y0 k(x x0 )
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab Ax By C 0(A, B不同时为0)
适用范围
直线的一般式方程
(1)定义：关于 x，y 的二元一次方程_A__x＋__B_y_＋__C_＝__0__(其中 A，B
不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：
平面直角坐标系中，任何
一条直线都可用一般式表示．
（3）系数有什么意义？ 当B 0时， A 0
xC A
当B0时，y NhomakorabeaA B
x
C B
平行、垂直直线系方程
利用一般式判断两直线的位置关系
直线过定点问题
对称问题：
变式：从点P(6, 4)出发的光线，经x y 1 0反射后，经过Q(2, 0)， 求反射光线所在直线方程。
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直线方程的一般形式教案
本教案从教材分析、教学目标、教学过程、教学方法、设计说明这五大部分进行分析说明
一、教材分析
直线是最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式。
掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础。
本节课教学的重点是直线方程的一般式及各种形式的互化，难点是在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化。
二、教学目标
1.言语信息目标：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于
x和y的一次方程的对应关系。
2.智慧技能目标：会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成
斜截式和截距式。
3.认知策略目标：培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形
结合等数学思想。
确定上述三条目标的理由：
1.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触
直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直
线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次。
2.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，
由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式。
直
线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截
式和截距式，所以各种形式应会互化。
3.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二
元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过
直线方程各种形式的互化渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数
A、B、C的几何意义时渗透数形结合的数学思想。
三、教学过程
1.新知识习得阶段
<1>激活旧知识
复习上节课所讲的直线方程的几种形式，如表1和图1（计算机显示表格和图象）。
表1 直线的方程
形式方程局限
点斜式
斜截式
两点式
、及截距式
既然上述四种形式都有其局限性，那么就有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢？通过复习与预期要获得的新知识有关的原有知识被激活。
<2>猜想新形式
例1.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形。
⑴斜率是1，经过点A（1，8）；
⑵在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；
⑶经过两点P
1（－1，6）、P
2
（2，9）；
⑷y轴上的截距是7，倾斜角是45°.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为：y-8=x-1、、、y=x+7，教师利用计算机动态显示图2，经演示，
发现上述4条直线在同一坐标系中重合。
原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0。
结合本例引导学生观察表1中方程的类型，归纳出它们均是关于x、y的二元一次方程，并猜想新形式为：Ax+By+c=0。
<3>习得新知识
请学生思考：
问题１：坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x、y的二元一次方程？
分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α。
①当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：
y=kx+b
②当α=90°时，它的方程可以写成的形式，由于在坐标平面上讨
论问题，所以这个方程应认为是关于 x、y的二元一次方程，其
中y的系数是零。
结论１：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程。
由于有1.3节中直线与方程概念的铺垫，所以请学生思考：
问题２：关于x、y的一次方程的一般形式（其中A、B 不同时为零）是否都表示一条直线？
分析：①当B≠0时，方程可化为，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线。
②当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为，
表示一条与y轴平行或重合的直线。
结论２：关于x和y的一次方程都表示一条直线。
综上得：我们把（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式。
在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来。
2.新知识的转化和巩固阶段
我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化？
例2：已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的①点斜式；②一般式；③截距式。
师生共同完成例2，教师板书：
为了更好地挖掘课本例题的作用，教师组织学生尝试：
1.特殊形式如何化一般式？
2.一般式如何化特殊形式？
3.特殊形式如何互化？
待学生练习后师生小结：
特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式。
各种形式互化的实质是方程的同解变形。
如表2（计算机显示）。
表2：直线方程各形式的互
化
3.知识的迁移和应用阶段
我们学习了直线方程的一般式，系数A、B、C有什么几何意义？什么场合下需要化成其他形式？
练习1：已知直线l的方程，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图。
教师引导学生通过转化成斜截式和截距式，也可以直接研究A、B、C的几何意义。
练习2：如果AC<0且BC<0，那么直线不通过（）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
练习2找两名方法不同的学生回答。
由于直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不明显，遇到这两个练习时学生的心理有一个对内调控的过程，经过反省认知阶段学生选择互化（化归的数学思想）或进一步研究A、B、C的几何意义（数形结合的数学思想），使本节课所学知识达到迁移和应用的阶段。
4.归纳小结，纳入知识结构
最后通过师生共同小结如表3（计算机演示），
表3：直线的方程
形式方程局限各常数的几何意义
点斜式
是直线上一个定点，
k是斜率
斜截式
k是斜率，
b是y轴上的截距
两点式和
、是直线上
两个定点
截距式、及
a是x轴上的非零截距,
b是y轴上的非零截距
一般式无
1.当B≠0时，是斜率,
是y轴上的截距
2.当A≠0时，是x轴上的截距
将直线方程的一般式纳入到直线方程的知识系统中，有利于学生对知识的理解和巩固。
通过本节课的学习对直线方程的各种形式有了一个全面的认识（当然除了这些形式外直线方程还有其它的表示形式）。
5.布置作业
必做题：练习1、2、3，选做题：习题二第15题。
四、教学方法和手段
第一阶段学习的知识为陈述性知识（即言语信息），学生习得“是什么”的知识：直线方程的一般式是什么？根据陈述性知识的特点，采用以教师谈话引导学生的教学方法，吸引学生的注意，激发学生的思维活动，激活学生的原有知识。
第二阶段学习的知识为程序性知识（即智慧技能），学生习得“怎么办”的知识：直线方程的各种形式怎样互化？根据程序性知识的特点，配备学生练习，巩固知识，形成技能、技巧。
学习的第三阶段不同类型的知识被用来解决不同的问题，陈述性知识被提取出来解决“是什么”一类的问题；程序性知识一部分被提取出来用来对外解决“怎么办”的问题，另一部分被提取出来用来对内解决“怎么办”的问题即策略性知识（或称认知策略）。
这一阶段对学生而言是知识的迁移和应用，对教师而言，是学习结果的测量和评价。
根据策略性知识的特点，安排两个变式练习，培养学生解决问题的技能，掌握学习的方法。
本节课采用计算机辅助教学，提高课堂教学效率；通过图表的动态演示，使教学内容直观生动，帮助学生所学知识系统化。
五、设计说明
1.《直线方程的一般形式》计划作两课时讲授，第一课时侧重于概念，第二课时侧重于应用，本教案是第一课时内容。
2.本节课教学设计的理论依据为加涅的学习结果分类理论和现代认知心理学的广义知识学习阶段与分类模型。
3.本节课的教学流程我是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳。
4.板书设计
板书讲授内容纲要以及解题规范格式（计算机显示）。