2019学年安徽省等高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
安徽省部分重点中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷含答案
姓名______座位号______（在此卷上答题无效）高一数学（答案在最后）（人教版A ）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}250A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.5A∉ C.{}5A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】用列举法表示出集合A ，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.【详解】依题意，{0,5}A =，所以0A ∈，5A ∈，B 错误，D 正确；显然{}0A ⊆，{}5A ⊆，AC 错误.故选：D2.12+=（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.【详解】因为1222122log3log3log2==，所以22l11lo3og3g2223622++==⨯=⨯=.故选：B3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x=-与0y=B.y=与y=C.y x=与z=D.2y x x=+与32x xyx+=【答案】C【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.【详解】对于A，函数01y x=-的定义域为{R|0}x x∈≠，函数0y=的定义域为R，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数y=的定义域为{|2}x x≥，函数y=的定义域为{|2x x≤-或2}x≥，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数y x=的定义域为R，函数z=R，且z y==，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数2y x x=+的定义域为R，函数32x xyx+=的定义域为{R|0}x x∈≠，两个函数定义域不同，D不是.故选：C4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(1,P在角α的终边上，则5πsin(2)6α+=（）A.14 B.14- C.12D.12-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正切函数定义求出tan α，再利用二倍角公式结合齐次式法及和角的正弦公式求解即得.【详解】依题意，tan α=，则2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 12ααααααααα====-++，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 12ααααααααα--=-===-++所以5π5π5π111sin(2sin 2cos cos 2sin (66622222ααα+=+=-⨯--⨯=.故选：C5.已知“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A.506a >-B.506a -≥ C.506a -≤ D.506a <-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【详解】“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则“0x ∃∈R ，20020242024a x x >-”为真命题，而2020012024()506506422022024x x x =≥----，当且仅当012x =时取等号，则506a >-，所以实数a 的取值范围为506a >-.故选：A6.函数()4e xf x x =-在[]3,3-上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性，结合(0)1f =-即可判断得解.【详解】依题意，||||()()4||e 4||e x x x f x x f x -=-=---=，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AB ；又(0)1f =-，选项C 不满足，D 符合题意.故选：D7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的弦AB =，扇形的圆心角为2π3，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（）A.16π13-B.8π13--C.16π132-D.8π132--【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点O 到弦AB 的距离并求出 AB l ，再由弧长公式求出 AB 的实际值即可计算得解.【详解】取弧AB 的中点C ，连接OC 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，且OC AB ⊥，在等腰AOB中，2π3AB AOB =∠=，则π6OAB ∠=，圆O 半径124πcos 6ABR OA ===，122OD R ==，2CD R OD =-=，因此 2212AB CD l AB R=+=，而扇形弧长的实际值为2π8π33R =，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为8π13-.故选：B8.定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，则不等式()()160x f x +-≤的解集是（）A.(][],11,11-∞-B.(],11-∞C.[]1,11- D.(][),111,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性与单调性得到()f x 在(0,)+∞上单调递增与()50f =，再分类讨论1x +的取值范围，结合偶函数的性质()()fx f x =即可得解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()()550f f =-=，因为()()160x f x +-≤，当10x +>，即1x >-时，()60f x -≤，即()()65fx f -≤，所以65x -≤，即565x -≤-≤，解得111x ≤≤，故111x ≤≤；当10x +≤，即1x ≤-时，()60f x -≥，即()()65fx f -≥，所以65x -≥，即65x -≤-或65x -≥，解得1x ≤或11x ≥，故1x ≤-；综上：1x ≤-或111x ≤≤.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质()()fx f x =，从而简化运算得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知a b c >>，则下列结论错误的是（）A.33b c >B.22a c > C.> D.a c b->【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A ；举例说明判断BCD.【详解】由b c >及3y x =在R 上单调递增，可得33b c >，A 正确；取1,2a c ==-，满足a c >，而2214a c =<=，B 错误；由a b >，知,a b 是否是非负数不确定，当0b <>C 错误；取3,2,1a b c ===，满足a b c >>，而2a c b -==，D 错误.故选：BCD10.已知集合{}29A x x =<，A B ⊆，则（）A.集合A B B ⋃=B.{}33A B x x ⋂=-<<C.集合A B ⋃可能是{}22x x -<<D.{}44x x -<<可能是B 的子集【答案】ABD 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，由已知结合集合运算逐项判断即得.【详解】集合29{|}{3}3|A x x x x ==<<<-，A B ⊆，则A B B ⋃=，{|33}A B A x x ==-<< ，AB 正确；显然()A A B ⊆ ，即{|33}()x x A B -<<⊆ ，而{}22x x -<<是{|33}-<<x x 的真子集，C 错误；由于{|33}x x B -<<⊆，{}{|33}44x x x x -<<⊆-<<，因此{}44x x -<<可能是B 的子集，D 正确.故选：ABD11.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.1A =B.()g x 的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心D.()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】先利用三角函数的图象求得()f x 的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.【详解】依题意，由图象可知1A =，3π5π3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故A 正确；因为0ω>，所以2ππω=，则2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 21π3ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，则π6ϕ=-，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到2πsin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，纵坐标变为原来的2倍，得到2π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，向左平移3π4个单位长度，得到函数()23ππ2π2sin 2sin 34633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；因为7π27ππ8π2sin 2sin 023233g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；令3π2ππ2π2π,Z 2332k x k k -+≤+≤-+∈，解得11π5π3π3π,Z 44k x k k -≤≤-∈，所以()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎣⎦，Z k ∈，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数21,0(),0ax x f x x bx x -≤⎧=⎨+>⎩，则下列结论中正确的是（）A.若函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，则0a >且2b ≤-B.若函数()f x 有2个零点，则a<0且0b <C.若函数()f x 有1个零点，则a<0且0b ≥D.若函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则a<0且32b ≤-【答案】AB 【解析】【分析】分类探讨分段函数()f x 的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.【详解】当0x ≤时，()1f x ax =-，当a<0时，()f x 单调递增，函数值集合为(,1]-∞，当0a =时，()1f x =，当0a >时，()f x 单调递减，函数值集合为[1,)+∞；当0x >时，2()f x x bx =+，当0b ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0b <时，()f x 在(0,)2b -上单调递减，在[,)2b-+∞上单调递增，对于A ，由函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，得012a b >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >且2b ≤-，A 正确；对于B ，当0x >时，2()f x x bx =+，函数()f x 在(0,)+∞上最多一个零点，由函数()f x 有2个零点，得函数()f x 在(,0]-∞上有一个零点，在(0,)+∞上有一个零点，因此a<0且0b <，B 正确；对于C ，当0a ≤时，()1f x ax =-在(,0]-∞上无零点，当0b <时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点，则当0a ≤且0b <时，函数()f x 也只有1个零点，C 错误；对于D ，由于函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则()f x 在(,0]-∞上不能单调递减，即0a ≤，且(0)1f =，当0b ≥时，()f x 在(0,2]上单调递增，(2)424f b =+≥，不符合题意，当0b <时，若22b-≥，即4b ≤-，则()f x 在(0,2]上单调递减，()0f x <，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此4b ≤-，若22b -<，即40b -<<，则()f x 在(0,]2b -上单调递减，在[,2]2b-上单调递增，必有(2)421f b =+≤，解得32b ≤-，则342b -<≤-，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此342b -<≤-，综上所述，函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则0a ≤且32b ≤-，D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点1(243,)3，那么()f x 的解析式为______；不等式(|)3|f x ≤的解集为______.【答案】①.15()f x x-=②.11(,[,)243243-∞-+∞ 【解析】【分析】利用幂函数过的点求出()f x 的解析式，再利用单调性解不等式即可.【详解】设幂函数()f x x α=，依题意，12433α=，即5133α-=，因此51α=-，解得15α=-，所以函数()f x 的解析式为15()f x x -=；显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且1()3243f =，于是不等式(|)3|f x ≤为：2(||)1()43f f x ≤，解得|4|123x ≥，即1243x ≤-或1243x ≥，所以不等式(|)3|f x ≤的解集为11(,][,)243243-∞-+∞ .故答案为：15()f x x -=；11(,][,)243243-∞-+∞ 14.若π02α<<，02βπ<<，()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则cos()4πα+=______.【答案】232130-##【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解.【详解】由π02α<<，02βπ<<，得0παβ<+<，而()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则4sin()5αβ+==，12sin 13β==，因此3541233cos cos[()]51351365ααββ=+-=-+=，56sin 65α==，所以πππ23356232cos()cos cos sin sin (44426565130ααα+=-=-=-.故答案为：130-15.已知函数())f x x =，若0m >，0n >，且41()(1)(0)f f f m n+-=，则16m n +的最小值为______.【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的奇偶性及单调性，由此求出,m n 的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】函数())f x x =中，R x ∀∈||x x >≥，则函数()f x 的定义域为R ，而()()))ln10f x f x x x -+=++-==，则函数()f x 是奇函数，显然函数y y x ==-在(,0]-∞上都单调递减，则函数t x =-在(,0]-∞上单调递减，而函数ln y t =在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减，于是函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，因此函数()f x 在R 上单调递减，(0)0f =，由41((1)(0)f f f m n +-=，得411()(1)(1)f f f m n n =--=-，则411m n=-，即411m n +=，于是441616(16)2020236n m m n n m n m n m +++=+=+≥+，当且仅当64n mm n=，即812m n ==时取等号，所以16m n +的最小值为36.故答案为：3616.已知直线y a =与函数()()tan f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为()1,1-，则函数()y f x =的图象与函数223y x =-（3922x -<<）的图象所有交点的横坐标之和为______.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出()f x ，确定函数()y f x =与223y x =-共同具有的性质，再借助图象求解即可.【详解】依题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的最小正周期为2，则π2ω=，解得π2=ω，于是π()tan()2f x x ϕ=+，由π(1)tan()12f ϕ=+=-，得π3ππ,Z 24k k ϕ+=+∈，而π02ϕ<<，取π0,4k ϕ==，因此ππ()tan()24f x x =+，显然33ππ()tan()0244f =+=，则函数()y f x =的图象关于点3(,0)2成中心对称，又函数223y x =-的图象关于点3(,0)2成中心对称，在同一坐标系内作出函数()y f x =和223y x =-的图象，观察图象知，两个函数在39(,)22-的图象共有4个公共点，且关于点3(,0)2成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为3462⨯=.故答案为：6【点睛】思路点睛：给定)t )a ()(n(0f x x ωϕω=>＋的性质求解解析式，一般是求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）1105448132()()πlog 816243-++-；（2）2log 33810log log 274lglg303-⋅---.【答案】（1）52；（2）212-.【解析】【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.【小问1详解】2421111045355448132333335(()πlog 8[(][()]1log 2116243222222-++-=++-=+-=.【小问2详解】2log 3810log log 274lglg303-⋅---2312312log 332232310log 3log 3log 22lg(30)3=-⋅--⨯2log 32232)23321log 3log 2(2lg10013222=-⋅--=---=-.18.已知3πtan()74α-=.（1）求sin 2cos sin 3cos αααα+-的值；（2）若π(π,)2α∈--，求sin 2cos 2αα+的值.【答案】（1）119-；（2）24102510+.【解析】【分析】（1）利用差角的正切公式求出tan α，再利用齐次式法计算即得.（2）利用同角公式求出sin ,cos αα，再利用二倍角公式计算即得.【小问1详解】由3πtan()74α-=，得tan tantan 17n 3π1tan 1ta π4n 3t 4a αααα-+==-+，解得3tan 4α=，所以32sin 2cos tan 21143sin 3cos tan 3934αααααα+++===----.【小问2详解】由π(π,)2α∈--，得ππ(,)224α∈--，则sin 0,cos 0,cos 02ααα<<>，由3tan 4α=，得3sin cos 4αα=，而22sin cos 1αα+=，解得34sin ,cos 55αα=-=-，于是3424sin 22sin cos 2(()5525ααα==⨯-⨯-=，又21cos 1cos 2210αα+==，则cos 210α=，所以0sin 2cos224251αα++=.19.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立.若1x >时，()0f x <.（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求解关于x 的不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；（2）利用赋值法求出164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于x 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】()f x 在()0,∞+上单调递减，证明如下：因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，当1x >时，()0f x <，12,0x x ∀>，且12x x <，则211x x >，则()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.【小问2详解】因为因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，所以()()x f f y f x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()()f x f y f xy +=，因为132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1116422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭可化为3144x f f x ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎡⎤⎣⎦⎭⎥，所以31440304x x x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，解得1x >.所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.20.已知函数()22f x x ax =+-.（1）若关于()f x 的不等式()0f x <的解集为(),2b ，求a ，b 的值；（2）已知当[]1,2x ∈-时，()336xxf -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-，1b =-（2）43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用换元法将问题转化为41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用对勾函数的性质求得max4t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而得解.【小问1详解】因为()22f x x ax =+-，且()0f x <的解集为(),2b ，所以b 和2是方程220x ax +-=的两个不等实根，且2b <，由韦达定理可得222b a b +=-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，故1a =-，1b =-.【小问2详解】因为()22f x x ax =+-，所以()()23332x xx f a ⋅=+-，则()336xxf -≤可化为()233362x x x a ≤+--⋅，整理可得()()21334xx a +⋅≤-，令3x t =，[]1,2x ∈-，所以1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则上式可化为()241t a t ≤+-⋅在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为44t t +≥=，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，所以由对勾函数的性质可知4y t t =+在1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,9上单调递增，而当13t =时，7313343y +==⨯；当9t =时，485999y +==；所以max 4373t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3713a -≥，所以343a ≤-，所以实数a 的取值范围为43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.21.某学校校园内有一个扇形空地AOB （πAOB ∠<），该扇形的周长为10π203+，面积为50π3，现要在扇形空地AOB 内部修建一矩形运动场馆CDEF ，如图所示.（1）求扇形空地AOB 的半径和圆心角；（2）取CD 的中点M ，记MOD θ∠=.（i ）写出运动场馆CDEF 的面积S 与角θ的函数关系式；（ii ）求当角θ为何值时，运动场馆CDEF 的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3；（2）（i）π200sin(23S θ=+-π(0,6θ∈；（ii ）π12θ=，200-【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.（2）（i ）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii ）利用正弦函数的性质求解最值.【小问1详解】设扇形空地AOB 所在圆半径为r ，扇形弧长为l ，依题意，10π2203150π23r l rl ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩或5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，圆心角12ππl AOB r ∠==>，不符合题意，当1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩时，圆心角ππ3l AOB r ∠==<，符合题意，所以扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3.【小问2详解】（i ）由（1）知，π3AOB ∠=，则π(0,6θ∈，在Rt MOD △中，10cos ,10sin OM DM θθ==，则10sin EN DM θ==，在Rt EON △中，π6EON ∠=，tan ENON EONθ==∠，于是10cos MN OM ON θθ=-=-，所以220sin (10cos )S EN MN θθθ=⋅=-2200sin cos 100sin 2cos 2)θθθθθ=-=--π100(sin 22)200sin(23θθθ=+-=+-，π(0,)6θ∈.（ii ）由（i ）知，当π(0,)6θ∈时，ππ2π2(,)333θ+∈，则当ππ232θ+=，即π12θ=时，max 200S =-所以当π12θ=时，运动场馆CDEF 的面积最大，最大面积为200-【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.22.已知函数4(2)4log af x x xb -=+（0a >，1a ≠，2b ≠-）是定义在(2,2)-上的奇函数.（1）求(0)f 和实数b 的值；（2）若()f x 满足2(2)(32)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围；（3）若01a <<，问是否存在实数m ，使得对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立？【答案】（1）(0)0f =，2b =；（2）当01a <<时，01t <<，当1a >时，413<<t ；（3）存在，116m =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得.（2）按01,1a a <<>分类，利用单调性解不等式即得.（3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解.【小问1详解】依题意，420(0)log log 1004aa fb -⨯===⨯+，又()f x 是(2,2)-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即42()42log log ()44a a x xb x bx ---=--++，亦即424log log 442aa x bx bx x++=-+-，整理得22216416x b x -=-，于是24b =，而2b ≠-，所以2b =.【小问2详解】由（1）知，424288()log log log (1)(0,1)242424a a a x x f x a a x x x ---+===->≠+++，显然函数8124y x =-+在(2,2)-上单调递减，由奇函数性质及2(2)(32)0f t f t -+-<，得2(2)(32)(23)f t f t f t -<--=-，当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，则()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为222232t t -<-<-<，解得01t <<，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(2,2)-上单调递减，不等式化为222322t t -<-<-<，解得413t <<，所以当01a <<时，01t <<；当1a >时，413<<t .【小问3详解】假定存在实数m ，对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立，即2(1(2)()2)f mt f t f t +>-+=--恒成立，当01a <<时，由（2）知函数()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为2212212222mt t mt t ⎧+>--⎪-<+<⎨⎪-<--<⎩，整理得22303140mt t mt t ⎧++>⎪-<<⎨⎪-<<⎩，于是有231mt -<<对任意40t -<<恒成立，则2231m t t-<<，当40t -<<时，223311(,),(,)1616t t -∈-∞-∈+∞，因此311616m -≤≤；有230mt t ++>对任意40t -<<恒成立，设2()3g t mt t =++，①当0m >时，函数2()3g t mt t =++的图象开口向上，对称轴102t m=-<，（i ）当1120m ∆=->，即112m <时，必有(4)1610142g m m-=-≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，则111612m ≤<；（ii ）当1120m ∆=-=，即112m =时，2211()3(6)01212g t t t t =++=+>在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m =；（iii ）当1120m ∆=-<，即112m >时，()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m >；②当0m ≤时，(4)16110g m -=-≤-<，不满足()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，综上得311616m -≤≤且116m ≥，所以存在116m =使得对定义域内的一切t ，都有()2(2)10f t f mt +++>恒成立.。
2020-2021学年安徽省合肥十中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年安徽省合肥十中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5}B. {2,4，6}C. {2,3，4，5，6}D. {1,2，3，4，5，6，8}2. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则￢p( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +1≤0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0C. ∃x ∈R ，x 2−x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥03. 设α的终边上一点(−3,4)，则sinα=( ) A. 4 B. −3 C. 45 D. −354. 若幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，则实数m 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. −2或1 5. 函数y =√log 12(5x −2)的定义域为( )A. (−∞,35]B. (25,35)C. (25,35]D. [35,+∞) 6. 智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y =Asin(x +φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2，经过点(π6,√3)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( )A. y =2sin(x +π6)B. y =−2sin(x +π6) C. y =2sinxD. y =−2sinx 7. 函数f(x)=x−x −12|x|+x 2的大致图象为( )A. B.C. D.8.已知函数f(x)=3−4||x−1|−1|，则函数y=f(x)−lg|x|的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 以上都不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.“xx−2≤0”的充分条件有()A. 0<x<2B. −1<x<2C. 0≤x<2D. 0≤x≤210.已知函数f(x)=cos(2x+π3)，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 当x=kπ−π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)D. 将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y=cos4x11.下列说法不正确的是()A. 函数f(x)=1x在定义域上是减函数B. 函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点C. 已知x>0，y>0，且1x +1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则−4<m<1D. 若f(x)={−x 2+(3a−1)x−8,x≤1ax,x>1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是[1,+∞)12.若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，都有f(x+T)=f(x)+T，则称f(x)为类周期函数，T为f(x)的类周期.则()A. 函数f(x)=x是类周期函数B. 函数f(x)=2x是类周期函数C. 若函数f(x)是类周期为T 的类周期函数，则函数y =f(x)−x 为周期函数D. 若f(x)=sinx +kx 为类周期函数，则k =1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的圆心角为23π，半径为2，则该扇形的面积为______ ．14. 已知函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1，其中a >0，a ≠1.若f(f(−12))=2，则实数a 的值是______ ． 15. 已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x −x ，则f(0)的值为______ ：若函数ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为______ ．16. 已知函数f(x)=x 2+2ax +8(a >0)，集合A ={x|f(x)≤0}，B ={x|f(f(x))≤8}，若A =B ≠⌀，则a 的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|(x +2)(x −3)<0}，B ={x|k +2<x <3−k}．(1)当k =−3时，求A ∪B ；(2)若A ∪B =B ，求实数k 的取值范围．18. 在①tan(π+α)=2，②sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，③2sin(π2+α)=cos(3π2+α)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知_______，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)的值．19.已知函数f(x)=log a(1+x)+log a(1−x)(a>0,a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明：f(x)为偶函数；(3)求关于x的不等式f(x)≥log a(x2+x)的解集．20.已知函数f(x)=2sin(12x+π6)，x∈R．(1)用“五点法”画出函数f(x)一个周期内的图象；(2)求函数f(x)在[−π,π]内的值域；(3)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π,π]内的单调增区间．21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0<t<4)；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=−x23，记窗户的高(点O到BC边的距离)为f(t)．(1)求函数f(t)的解析式；(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？(3)要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？22. 已知函数f(x)=(12)x ，g(x)=f(x)+af(x)是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值(2)用单调性的定义证明：g(x)是减函数；(3)若函数ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2．(ⅰ)求实数m 的取值范围；(ⅰ)求证：x 1+x 2>log 2(2+√3)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，∴A ∩B ={2,4，6}．故选：B ．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号>变为≤即可．故选：A ．命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵x =−3，y =4，∴|OP|=√(−3)2+42=5，∴sinα=y |OP|=45，故选：C ．直接利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题． 4.【答案】A【解析】解：因为幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，所以有{m 2+m −1=0m +1>0， 解得m =1．故选：A ．直接利用幂函数的定义以及幂函数的单调性列出关于m的关系，求解即可．本题考查了幂函数的应用，涉及了幂函数的定义以及幂函数的单调性，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质．5.【答案】C【解析】解：由题意得：0<5x−2≤1，解得：25<x≤35，故选：C．根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】B【解析】解：因为振幅为2，所以A=2，又经过点(π6,√3)，则有2sin(π6+φ)=√3，所以sin(π6+φ)=√32，因为0≤φ<π2，所以φ=π6，故噪音的声波曲线为y=2sin(x+π6)，又反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，所以反向波曲线为y=−2sin(x+π6)．故选：B．利用振幅求出A，然后利用特殊点求出φ，从而得到噪音的声波曲线，再利用反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解，此类问题的一般解法是：利用最值可以求A的值，周期可以求ω的值，特殊点可以求φ的值．7.【答案】D【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=− x+x−12|−x|+(−x)2=−x−x−12|x|+x2=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x>1时，f(x)>0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，结合当x>1时，函数值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值的对应性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为函数y=f(x)−lg|x|的零点个数即为y=f(x)与y=lg|x|的交点个数，在同一直角坐标系中画图可得：即有4个不同的交点，故有4个零点，故选：C．可化为函数y=f(x)与y=lg|x|有几个不同的交点，作函数的图象求解．本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由xx−2≤0，得{x−2<0x≥0，解得：0≤x<2，故xx−2≤0”的充分条件有(0,2)，[0,2)，故选：AC．根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．10.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos(2x +π3)，对于A ：函数f(x)的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：当x =kπ−π6(k ∈Z)时，f(x)取得最大值1，故B 正确；对于C ：函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)，故C 错误；对于D ：将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y =cos4x ，故D 错误；故选：AB ．直接利用余弦型函数的性质的应用判定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 11.【答案】ABD【解析】解：对于A ：函数f(x)=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)为单调减函数，故A 错误；对于B ：当x =2和4时，函数f(x)=2x −x 2满足f(2)=f(4)=f(x 1)=0，如图所示：故函数有且只有三个零点，故B 不正确；对于C ：已知x >0，y >0，且1x +1y =1，若x +y >m 2+3m 恒成立，只需满足(x +y)min =4>m 2+3m ，整理得m 2+3m −4<0，解得−4<m <1，故C 正确；对于D ：若f(x)={−x 2+(3a −1)x −8,x ≤1ax,x >1，在R 上是增函数，故{3a−12≥1a >0a ≥−1+3a −1−8，解得a ∈[1,5]，故D 错误． 故选：ABD ．直接利用函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A ，因为对于非零常数T ，f(x +T)=x +T =f(x)+T 对任何x ∈R 成立，函数f(x)=x 是类周期函数，则A 对；对于B ，假设函数f(x)=2x 是类周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， 2x+T =2x +T ⇒2x ⋅2T =2x +T ⇒2x(2T−1)=2x +T ⇒2T −1=1+T 2x 令x →+∞得：2T −1=0⇒T =0，与假设矛盾，则B 错；对于C ，令f(x)=x ，由A 知f(x)是类周期函数，F(x)=f(x)−x =0，假设非零常数T ，为F(x)的类周期，所以，F(x +T)=F(x)+T ⇒0=0+T ⇒T =0，与假设矛盾，则C 错；对于D ，因为f(x)=sinx +kx 为类周期函数，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， ⇒sin(x +T)+k(x +T)=sin(x)+kx +T ⇒sin(x +T)−sin(x)=(1−k)T ⇒2cos(x +T 2)sin(T 2)=(1−k)T ，由x ∈R ，所以sin(T 2)=0⇒(1−k)T =0⇒1−k =0⇒k −1，则D 对；故选：AD ．由类周期函数定义判断AB ，用举反例法判断C ，用三角函数公式判断D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦函数和差化积公式，理解新定义解题关键，属难题． 13.【答案】4π3【解析】解：由扇形的圆心角为23π，半径为2，所以该扇形的面积为S =12αr 2=12×2π3×22=4π3． 故答案为：4π3．由扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：因为函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1， 所以f(−12)=(14)−12+6=2+6=8， 所以f(f(−12))=f(8)=log a (8+1)=log a 9=2，所以a 2=9，又中a >0，a ≠1，所以a =3．故答案为：3．先利用分段函数的解析式求出f(−12)，再利用f(f(−12))=2，求出a 的值即可．本题考查了函数求值问题，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般会运用分类讨论或是数形结合法求解． 15.【答案】1 −1或12【解析】解：因为g(x)是定义在R 上的奇函数，所以有g(0)=0，因为f(x)+g(x)=2x −x ，所以f(0)+g(0)=1，所以f(0)=1，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以F(−x)=2|−x|−λf(−x)−2λ2=2|x|−λf(x)−2λ2=f(x)，所以F(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2=F(x −2021)，所以ℎ(x)的图象关于x =2021对称，因为ℎ(x)有唯一零点，所以ℎ(2021)=0，即1−λf(0)−2λ2=0，即1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或12．故答案为：1，−1或12．由奇函数的性质可得g(0)=0，从而可求得f(0)，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，可得F(x)为偶函数，可得ℎ(x)的图象关于x=2021对称，由题意可知ℎ(2021)=0，从而可解得λ的值．本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，属于中档题．16.【答案】[2√2,4]【解析】解：因为函数f(x)=x2+2ax+8(a>0)，集合A={x|f(x)≤0}，A≠⌀，所以函数f(x)=x2+2ax+8与x轴有交点，△=(2a)2−4×8≥0，解得a≤−2√2或a≥2√2，B={x|f(f(x))≤8}，令t=f(x)，f(f(x))=f(t)≤8，而f(0)=f(−2a)=8，根据二次函数的对称性有−2a≤t≤0，即−2a≤f(x)≤0，所以B={x|−2a≤f(x)≤0}，而A=B，所以−2a≤(x2+2ax+8)min=f(−a)=8−a2，解得：−2≤a≤4，而a≤−2√2或a≥2√2，所以a的取值范围为[2√2,4]．故答案为：[2√2,4]．根据集合A非空可求出a的一个范围，然后令t=f(x)，可求出f(x)的值域，最后根据A=B建立关系式，即可求出所求．本题主要考查了二次函数的值域，以及复合函数的性质，解题的关键是化简集合B，同时考查了学生的推理能力和换元的思想．17.【答案】解：(1)A={x|−2<x<3}，k=−3时，B={x|−1<x<6}，∴A∪B={x|−2<x<6}；(2)∵A∪B=B，∴A⊆B，∴{k+2≤−23−k≥3，解得k≤−4，∴实数k的取值范围为：(−∞,−4]．【解析】(1)可求出A={x|−2<x<3}，k=−3时求出集合B，然后进行并集的运算即可；(2)根据A∪B=B可得出A⊆B，然后即可得出{k+2≤−23−k≥3，从而解出k的范围即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)若选①，tan(π+α)=tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；若选②，sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，可得：sinα−cosα=cosα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8； 若选③，2sin(π2+α)=cos(3π2+α)，可得2cosα=sinα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；(2)当α为第三象限角时，tanα=2，sin 2α+cos 2α=1，解得sinα=−2√55，cosα=−√55， 所以sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)=−sinα+cosα+sinαcosα=2√55−√55+(−2√55)×(−√55) =2+√55．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)若选①或②或③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，利用诱导公式化简即可求解． 19.【答案】(1)解：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)中，令{1+x >01−x >0，解得−1<x <1； 所以函数f(x)的定义域为(−1,1)．(2)证明：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)，定义域为(−1,1)；任取x ∈(−1,1)，都有f(−x)=log a (1−x)+log a (1+x)=f(x)，所以函数f(x)是定义域(−1,1)上的偶函数．(3)解：不等式f(x)≥log a (x 2+x)等价于log a (1−x 2)≥log a (x 2+x)，当a >1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≥x 2+x， 解得−1<x ≤12，所以不等式的解集为(−1,12].当0<a <1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≤x 2+x ，解得12≤x<1，所以不等式的解集为[12,1)．综上知，a>1时，不等式的解集为(−1,12]；0<a<1时，不等式的解集为[12,1)．【解析】(1)利用对数的定义列不等式组求出解集即可．(2)根据偶函数的定义证明f(−x)=f(x)即可．(3)不等式等价于log a(1−x2)≥log a(x2+x)，讨论a>1和0<a<1时，求出不等式的解集即可．本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．20.【答案】解：(1)列表如下：1 2x+π6π2π3π22πx−π32π35π38π311π3y=2sin(12x+π6)020−20描点连线，可得函数图象如下：(2)∵x∈[−π,π]，∴12x+π6∈[−π3,2π3]，∴f(x)=2sin(12x+π6)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π,π]内的值域为[−√3,2]．(3)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin[12(x−π6)+π6]=2sin(12x+π12)的图象，令2kπ−π2≤12x+π12≤2kπ+π2，可解得4kπ−7π6≤x≤4kπ+5π6，k∈Z，又x∈[−π,π]，可得函数f(x)的单调增区间是[−π,5π6].【解析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．(1)根据已知中函数的解析式，描出函数图象上几个关键点的坐标，进而可得函数f(x)一个周期内的图象；(2)根据已知先求得12x+π6∈[−π3,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解；(3)利用三角函数的平移变换可求函数g(x)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知，2|CD|+|BC|=8，∴|CD|=8−2t2=4−t，∵BC边的长为2t厘米，且点D在抛物线y=−x23上，∴D(t,−t23)，∴f(t)=t23+(4−t)=t23−t+4(0<t<4)．(2)由(1)知，f(t)=t23−t+4=13(t−32)2+134，∵0<t<4，∴当t=32，即2t=3时，f(t)取得最大值，为134，故要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米．(3)f(t)|BC|=t23−t+42t=t6+2t−12≥2√t6⋅2t−12=2√33−12，当且仅当t6=2t，即t=2√3，也即2t=4√3时，f(t)|BC|最小，故要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成4√3厘米．【解析】(1)推导出|CD|=4−t，D(t,−t23)，再写出函数f(t)的解析式，即可；(2)利用配方法对(1)中的函数f(t)进行整理，即可得解；(3)f(t)|BC|=t6+2t−12，再结合基本不等式，即可得解．本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：g(x)是R上的奇函数，则有g(0)=0，所以有f(0)+a f(0)=1+a=0，解得a=−1；(2)证明：g(x)=f(x)+af(x)=12x−2x，设x 1<x 2，则g(x 2)−g(x 1)=(12x 2−2x 2)−(12x 1−2x 1)=(2x 1−2x 2)⋅(122+1)，因为x 1<x 2，所以2x 1−2x 2<0，12x 1+x 2+1>0，则g(x 2)−g(x 1)<0，即g(x 2)<g(x 1)，所以函数g(x)是减函数．(3)(i)解：ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)=122x +22x −2m(12x −2x )=(2x −12x )2+2m(2x −12x )+2，令t =2x −12x ，x >0，则t >0，令μ(t)=t 2+2mt +2，由(2)知g(x)为减函数，令t =−g(x)，则−g(x)为增函数，t 与x 一一对应，故ℎ(x)在(0,+∞)上有2个不同的零点x 1，x 2，即μ(t)在(0,+∞)上有2个不同的零点t 1，t 2，则t 1=−m −√m 2−2，t 2=−m +√m 2−2，故△=4m 2−8>0，−m −√m 2−2>0，解得m <−√2；(ii)证明：由(i)可知t 1+t 2=2m ，t 1t 2=2，又t 1=2x 1−121，t 2=2x 2−122，则t 1t 2=(2x 1−12x 1)(2x 2−12x 2)=2x 1+x 2+12x 1+x 2−(2x 22x 1+2x 12x 2)， 因为2x 22x 1>0，由x 1≠x 2， 所以2x 22x 1+2x 12x 2>2，则t 1t 2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，所以2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，故(2x 1+x 2)2−4⋅2x 1+x 2+1>0，解得2x 1+x 2>2+√3或2x 1+x 2<2−√3，由x 1+x 2>0，则2x 1+x 2>1>2−√3，故2x 1+x 2>2+√3，所以x 1+x 2>log 2(2+√3)．【解析】(1)直接利用奇函数的性质g(0)=0，求解即可；(2)利用函数单调性的定义的步骤进行证明即可；(3)(i)利用换元，令t=2x−1，x>0，则t>0，令μ(t)=t2+2mt+2，转化为μ(t)在(0,+∞)上有2个2x不同的零点t1，t2，求解即可；(ii)利用(i)中的结论，结合基本不等式进行分析证明即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性、单调性的应用，同时考查了函数的零点问题以及不等式的证明，综合性强，属于中档题．。
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
人教版数学高三期末测试精选(含答案)8
【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（ ）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________． 【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题
2022-2023学年安徽省皖南十校高一上学期期末考试数学试卷(解析版)
2022-2023学年安徽省皖南十校高一上学期期末考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂里：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章一第五章第3节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合5{1,3,5,7},02x A B x x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∣，则A B =（ ） A. {1，3} B. {3，5}C. {5，7}D. {1，7}【答案】B 【解析】 【详解】由502x x -≤-，得(2)(5)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得25x <≤， 所以{}25B x x =<≤， 因为{}1,3,5,7A =所以{3,5}AB =．故选：B ．2. 函数()f x =的定义域为（ ）A. [0，1)B. (－∞，1)C. (1，+∞)D. [0，+∞)【答案】A 【解析】【详解】已知()f x则()1210log 10x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x ≤<，即函数()f x 的定义域为[)0,1.故选：A3. 已知角α的终边过点P (4，－3)，则sinα＋cosα的值是（ ） A.15B. 15-C.75D. 75-【答案】A 【解析】【详解】∵知角α的终边经过点P （4，-3）， ∴sin α35-==，cos α45=， ∴sin α+cos α15=． 故选：A ．4. 已知R α∈则“1cos 2α=-”是“22,Z 3k k παπ=+∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】因为1cos 2α=-，解得22,3k k παπ=±∈Z ， ∴“1cos 2α=-”是“22,3k k παπ=+∈Z ”的必要不充分条件. 故选：B .5. 已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（ ）A. 2或1-B.1-C. 4D. 2【答案】D 【解析】【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足．故选：D ． 6. 设12a =，2log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】C 【解析】【详解】根据对数函数2log yx =和5log y x =在()0,∞+都是单调递增函数可知，22log 3log 21>=，即1b >；551log log 104=<，即0c <； 可得c a b <<. 故选：C7. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP 翻两番的目标的年份为（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）（ ） A. 2032 B. 2035 C. 2038 D. 2040【答案】D 【解析】【详解】设2022年我国GDP （国内生产总值）为a ，在2022年以后，每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n 年以后的GDP （国内生产总值）为()18%na +， 由题意，经过n 年以后的GDP （国内生产总值）实现翻两番的目标，则()18%4na a +=， 所以lg 420.301020.301027lg1.083lg 32lg 5lg 25n ⨯⨯===-20.301020.301020.30100.6020183lg32(1lg 2)3lg32lg 2230.477120.301020.0333⨯⨯⨯===≈--+-⨯+⨯-=，所以到2040年GDP 基本实现翻两番的目标. 故选：D.8. 已知函数ln ,0()21,0xx x f x e x ⎧>=⎨-≤⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A.(]0,1B. [1,)+∞C. (,1)-∞D.()1,0-【答案】D 【解析】【详解】作出函数ln ,0()21,0xx x f x e x ⎧>=⎨-≤⎩的图象如下，由图可知，当10a -<<时，直线y a =与()f x 的图象仅有一个交点， 即关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数根，所以10a -<<. 故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【解析】【详解】解：由已知得2222k k ππθπ-<<，Z k ∈，所以4k k ππθπ-<<，Z k ∈，当k 为偶数时，θ在第四象限，当k 为奇数时，θ在第二象限，即θ在第二或第四象限．故选：BD ．10. 命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（ ） A. 74-B. 32-C. 2D.52【答案】B 【解析】【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，所以命题：x ∀∈R ，210x bx ++>是真命题，也即对x ∀∈R ，210x bx ++>恒成立， 则有240b ∆=-<，解得：22b -<<，根据选项的值，可判断选项B 符合， 故选：B . 11. 若函数()x f x a b =-(0a >且1a ≠)的图像经过第一、二、三象限，则（ ）A. 01b a <<B. 01a b <<C. 1b a >D. 1a b >【答案】BC 【解析】【详解】解：因为函数()x f x a b =-(0a >且1a ≠)的图像经过第一、二、三象限，所以1a >，()()010,101f b b =-∈⇒<<，所以x ya =是增函数，x yb =是减函数，则01b a a >=，101a b b <<<， 故选：BC. 12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4xf x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+D. ()f x x =【解析】【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x +--+===-+---，由于704x≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立. 对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u =，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径和圆心角都是π3的扇形的面积为____________． 【答案】3π54【解析】【详解】解：扇形的面积23211πππ223354S r α⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故答案：3π5414. 已知函数()3log 26x f x x =+-的零点为，则()(),1N a n n n ∈+∈，则n =______．【答案】2 【解析】【详解】∵函数()3log 26x f x x =+-，函数在()0,∞+上单调递增，又()()233332log 226log 220,3log 32630f f =+-=-<=+-=>，∴()2,3a ∈，即2n =.故答案为：2. 15. 若111(0,0)a b a b+=>>，则2a b +的最小值为___________.【答案】3+ 【解析】 【详解】由111(0,0)a b a b+=>>，得11222(2)21323a b a a b a b a b b a b ⎛⎫+=++=++++=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b b a =，即22a +=，1b =时，2a b +取得最小值3+故答案：3+.16. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()32()0x f x x x =+≥，若()()1f m f m -≥，则实数m 的取值范围是________________________． 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【详解】因为3,2x y x y ==在[0,)+∞上递增，所以()f x 在[0,)+∞上递增.因为()f x 为偶函数，所以()()1f m f m -≥等价于()()|1|f m f m -≥，即1mm -≥，解得12m ≤， 故答案为: 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}1128x A x +=≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a R ∈.（1）若1B ∈，求实数a 取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）01a <<；（2）[1,1]-. 【解析】【详解】（1）若1B ∈，则()10aa --<，得01a <<；（2）由1128x +≤≤，得013x ≤+≤，即12x -≤≤，所以{}12A x x =-≤≤，()(){}{}101B x x a x a x a x a =---<=<<+， 因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，即112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤.即实数a 的取值范围是[]1,1-.18.已知cos α=，α是第三象限角,求： （1）tan α的值；（2）3sin cos()tan()2cos(2)sin()tan()παπααππαπαα⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭---的值. 【答案】（1）2 （2）12 【解析】【详解】（1）由题意，α是第三象限角，则sin 0α<，又cos α=，sin α∴== sin tan 2cos ααα∴== （2）由诱导公式 原式cos (cos )(tan )cos sin (tan )αααααα-⋅-⋅-=⋅⋅-cos sin αα=12=19. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()f x x mx =+，函数()f x 在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论关于x 的方程()0f x a -=的根的个数．【答案】（1）222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩；（2）具体见解析．【解析】【详解】解：（1）由图可知2(2)(2)(2)0f m -=-+⨯-=，解得2m =．设0x >，则0x -<，∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴22()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=， ∴2()2(0)f x x x x =->．∴222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩．（2）作出函数()f x 的图象如图所示：min ()(1)(1)1f x f f =-==-．由图可知，当1a <-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为0； 当0a >或1a =-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为2； 当10a -<<时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为4； 当0a =时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为3． 20. 已知函数()()()log 1log 1a a f x bx x =+--（0a >且1,0a b ≠>）为奇函数.（1）求()f x 的定义域；（2）求关于的不等式()0f x >的解集.【答案】（1）()1,1-；（2）当1a >时，解集为()0,1；当01a <<时，解集为()1,0-； 【解析】【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()()()log 1log 1log 1log 1aa a a bx x bx x --+=-++-，所以22211b x x -=-，得21b =，又因为0b >，所以1b = 根据解析式可得，1010x x +>⎧⎨->⎩，所以11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-，（2）解不等式()()()log 1log 10a a f x x x =+-->，即解1log 01axx+>- 当1a >时，1log 01ax x +>-等价于111x x +>-，即201xx >-，解得01x <<； 当01a <<时，1log 01ax x +>-等价于111x x +<-，即201xx<-，解得0x <或1x >， 又因为11x -<<，所以解集为10x -<<. 综上，当1a >时，解集为()0,1；当01a <<时，解集为()1,0-；21. 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到()100.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价供货价格.（1）求每套丛书利润y 与售价的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）()100200100100y x x x=--<<-，总利润为110(万元)；（2）当90元时，每套利润最大为60元.【解析】【详解】（1）∵0100.10x x >⎧⎨->⎩∴0100x <<()1010020200100100.1100y x x x x x ⎛⎫=-+=--<< ⎪--⎝⎭当80x =时，10080205510080y =--=-(元) 此时销量为100.1802-⨯=(万件)总利润为255110⨯=(万元)（2）10020100y x x=--- ∵0100x <<∴1000x ->∴()100100808060100y x x ⎡⎤=-+-+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当100100100x x=--，即x =90元时，每套利润最大为60元.． 22. 已知e 是自然对数的底数，()e e1x x f x =+． （1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的； （2）记()(){}ln 3()e 1ln 32x g x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析 （2）[1,3]【解析】【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <， 则()()12121211e e e e x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥， 所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->， 故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln32x g x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >， 首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,x a a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩ 因为[0,)x ∈+∞，则1334e x <+≤，所以03a <≤. 其次，ln (3)e 1ln32x a a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x x a a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10x x a +-≥成立, 因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立， 即max1e x a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以1a ≥. 综上，实数的取值范围为[1,3].。
安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误．．的是( )A. 直线a上的点到平面α的距离相等B. 直线a平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【解析】【分析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是故选【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题。
3.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，判断两直线是否垂直，由此判断充分性，当两直线垂直时，根据两直线垂直的性质求出的值，由此判断必要性，从而得到答案【详解】充分性：当时，两条直线分别为：与此时两条直线垂直必要性：若两条直线垂直，则，解得故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选【点睛】本题是一道有关充分条件和必要条件的题目，需要分别从充分性和必要性两方面分析，属于基础题。
安徽省A10联盟2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷含答案
2023—2024学年第一学期高一年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{2,1,0,1,2}M =--，{(1)(3)0}N xx x =+->∣，则M N ⋂=（）A.{2,1,0,1}-- B.{2}- C.{2,1}-- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{(1)(3)0}N xx x =+->∣解得：{3N x x =>∣或1}x <-，因为{2,1,0,1,2}M =--，所以M N ⋂={2}-.故选：B 2.“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.【详解】若π2π,6k k α=+∈Z ，则ππ1sin sin 2πsin ,662k k α⎛⎫=+==∈ ⎪⎝⎭Z 成立；若1sin 2α=，则π2π,6k k α=+∈Z 或5π2π,6k k α=+∈Z ，故π2π,6k k α=+∈Z 不一定成立；综上所述：“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的充分不必要条件.故选：A.3.计算55log 42log 10-=（）A.2B.1- C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式可得答案.【详解】555552log 42log 10log 4log 1100l 5og 2-===--.故选：C.4.已知正数x ，y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）A.6B.16C.20D.18【答案】D 【解析】【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为正数x ，y 满足811x y+=，则()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当16y xx y=，即12,3x y ==时等号成立.故选：D5.计算sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=（）A. B.32C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=sin 50cos10cos50sin10︒︒︒︒+()sin 5010=sin 602︒︒︒=+=.故选：B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =-上，则πtan 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17-B.17C.7D.7-【答案】C 【解析】【分析】先求解tan θ的值，结合倍角公式和和角公式可得答案.【详解】由题意tan 3θ=-，所以22tan 63tan 21tan 194θθθ-===--，所以πtan 21tan 2741tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.7.将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A.()cos g x x =-B.()cos g x x=C.π()cos 3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()πcos 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，得到()2ππcos 2cos 2πcos 233y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-=- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()cos y g x x ==-的图象.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，2(2)f x x bx c =++．若(3)(2)6f f -=，则752f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94B.32C.74-D.52-【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()2286f x x x =-+，进而利用周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()02f f c =-=，由②得：()()312f f b c ==++，因为(3)(2)6f f -=，所以26b c c +++=，即24b c +=，令0x =，由①得：()()()111020f f f b c =-⇒=⇒++=，解得：8,6b c =-=，所以()2286f x x x =-+．又因为()()()()()221111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-+=--+=--+=-⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，所以75331114911222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115246242f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭．75522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：（1）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a -+=+；（2）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a -+=-+.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）9.已知a ，b 为实数，且a b <，则下列不等式恒成立的是（）A.sin sin a b <B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b <D.()()22ln 1ln 1a b +<+【答案】BC 【解析】【分析】利用函数单调性和反例可得答案.【详解】对于A ，π2π23<，而π2πsin sin 23>，故A 不正确；对于B ，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，a b <，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3y x =为增函数，a b <，所以33a b <，故C 正确；对于D ，21-<，而()()ln 41ln 11+>+，故D 不正确.故选：BC.10.高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数[]()f x x =称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，[3]3=.下列结论正确的是（）A.对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则()()12f x f x ≤B.函数()f x 是R 上的奇的数C.对任意实数m ，(2)2()f m f m =D.对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A ；通过举例来判断BC ；设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，r 为m 的小数部分，01r ≤<，分102r ≤<，112r ≤<讨论计算来判断D .【详解】对于A ：对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则[][]12x x ≤，即()()12f x f x ≤，故A 正确；对于B ：例如()[]1.5 1.51f ==，()[]1.5 1.52f -=-=-，即()()1.5 1.5f f -≠-，故函数()[]f x x =不是奇函数，故B 错误；对于C ：取12m =，()[]121112f f ⎛⎫⨯=== ⎪⎝⎭，1122022f⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不满足(2)2()f m f m =，故C 错误；对于D ：设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，,n m n ≤∈Z ，r 为m 的小数部分，01r ≤<，则[][]1122m m n r n r ⎡⎤⎡⎤++=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222m n r =+，若102r ≤<，可得[]122m m n ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，[]22m n =，若112r ≤<，可得[]1212m m n ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，[]221m n =+，所以对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：AD.11.已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.4ab ≤B.228a b +≥ C.228a b +≥ D.22log log 2a b +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形式，结合指数运算判断ABC ，举反例根据对数函数的单调性判断D.【详解】对于A ：因为4=+≥a b 4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，A 正确；对于B ：因为222222228a b a b ++≥=⋅=⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；对于C ：因为()2222162a b a b ab ab +=+-=-，4ab ≤，所以221621688a b ab +=-≥-=，当且仅当2a b ==时取等号，故C 正确；对于D ：当10,30a b =>=>时，满足4a b +=，但是222222log log log 1log 3log 3log 42a b +=+=<=，故D 错误；故选：ABC.12.已知函数()cos(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线7π12=-x 对称，则（）A.(0)2f =B.函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.函数()f x 在区间5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.【详解】因为()f x 的图象关于直线7π12=-x 对称，所以7ππ6k ϕ-=，即7ππ6k ϕ=+，Z k ∈；因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()cos(2π6=+f x x .π(0)cos 62f ==，故A 正确；2π3π(cos 032f ==，所以函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；令π26t x =+，由19π,π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得21π13π,126t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为21π13π2π126<<，所以函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，故C 不正确；令π26t x =+，由5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得11,36t ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以cos 1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()1,2f x ⎡∈-⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．13.命题“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是_________．【答案】()2R,ln 10x x ∃∈+≤【解析】【分析】利用全称命题的否定方法可得答案.【详解】因为“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是“()2R,ln 10x x ∃∈+≤”故答案为：()2R,ln 10x x ∃∈+≤.14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】2-【解析】【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案.【详解】因为()f x 是周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为当01x <<时，()4x f x =，所以1()22f =，所以522f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，若()2log 0f m >，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性得到22log 2m -<<，利用对数函数单调性求解即可.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，()20f =，所以()2log 0f m >等价于()()2log2f m f >，所以2log 2m <，所以22log 2m -<<，解得144m <<.所以实数m 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,44⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y f x =在区间[,]a b 上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间[,]a b 中，b a -的最小值为_________．【答案】55π6##55π6【解析】【分析】通过整体代换求解函数的零点通式，求出相邻零点之间的距离，即可求出满足零点个数的最小区间长度．【详解】令π()2sin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得πx k =或ππ6x k =+，k ∈Z ，即()y f x =的相邻两零点间隔为π6或5π6，故若()y f x =在[],a b 上至少含有20个零点，则b a ﹣的最小值为π5π55π109666⨯+⨯=．故答案为：55π6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()(2)2f x x k x k =++++，设集合{}122xA x=<<∣，集合{()0}B x f x =<∣．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】17.[]2,2-18.5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意可得()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，即0∆≤求解；（2）化简()0,1A =，由题意A B ⊆得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩求得答案.【小问1详解】由B =∅，即()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，()()22420k k ∴∆=+-+≤，解得22k -≤≤.所以实数k 的取值范围为[]22-,.【小问2详解】由{}()1220,1xA x =<<=，x A ∈是xB ∈的充分条件，所以A B ⊆，得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即20250k k +≤⎧⎨+≤⎩，解得52k ≤-.所以实数k 的取值范围为5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.18.已知函数π()2sin 6g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭周期为π，其中0ω>．（1）求函数()g x 的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数()g x 在[0,]π上的简图．【答案】（1）πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；（2）利用五点法画图可得答案.【小问1详解】由题意可得2ω=，所以π()2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】π26x -π6-π2π3π211π6x 0π12π37π125π6π()g x 1-022-1-描点，连线，其简图如下19.已知函数2()141x a f x =-+是奇函数．（1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式()()412250x x f f t ++-⋅+<在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =，减函数（2）5t >-【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出a ，再根据复合函数单调性可判定单调性；（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.【小问1详解】因为2()141x a f x =-+是奇函数，所以(0)0f =，解得1a =；当1a =时，214()14141xx x f x -=-=++，定义域为R ，又1441()41)4(1x x x x f x x f ---+-==-+=-符合题意.所以1a =，因为41x y =+为增函数，所以()f x 为减函数.【小问2详解】()()412250x x f f t ++-⋅+<等价于()()41225x x f f t +<--⋅+，即()()41225x x f f t +<-+⋅-；因为()f x 为减函数，所以41225x x t +>-+⋅-，即4226x x t ⋅+->-；令20x m =>，则上式化为226m m t ⋅+->-，即()215m t -+>-；所以5t >-.20.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本()C x （万元），当年产量不足70台时，21()602C x x x =+（万元）；当年产量不小于70台时，8100()1212180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】20.2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩21.90台时利润最大.【解析】【分析】（1）分070x <<、70x ≥两种情况分别求出函数关系式即可；（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可知当070x <<时，2211120605006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当70x ≥时，8100810012012121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；【小问2详解】当070x <<时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，则60x =时，y 有最大值1300（万元）；当70x ≥时，81001680y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0x >时，8100180x x +≥=，当且仅当8100x x =，即90x =时取等号，所以8100168016801801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，所以当90x =时，y 有最大值1500（万元）；综上，年产量为90台时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.21.已知函数2())2cos 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=+-+><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()()sin cos h x f x x x =+-的最小值.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到依次为1231,,,,,n n x x x x x - 试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【答案】21.2-22.85π12【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再根据周期及奇偶数性求出()f x 的解析式，再令sin cos t x x =-，利用二次函数性质求解最小值即可；（2）根据三角函数图像变换求得()g x ，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得n 以及1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【小问1详解】()()22cos 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()()πcos 2sin 6x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，所以ππ,6k k ϕ-=∈Z ，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()2sin2f x x =.所以()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =+-=+-，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则22sin 24sin cos 22x x x t ==-，故原函数最小值为222,y t t t ⎡=-++∈⎣的最小值，其对称轴为14t =，在14t ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，在14t ⎡∈⎢⎣单调递减，且(222222-⨯+>--，所以t =222y t t =-++有最小值2-，所以()()sin cos h x f x x x =+-的最小值为2-.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()π22sin 433g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则π1sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4,5π33x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y t =在π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，由图可知，sin y t =与13y =共有6个交点，所以方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上共有6个根，即6n =，因为()()()123456162345222222t t t t t t t t t t t t +++++=+++++5π3π7π2222225π222=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以1234562222x x x x x x +++++()1234561π222210412t t t t t t =++++++⨯85π12=.22.对于函数()()f x x D ∈，D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.（1）若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围；（2）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22,π∞⎛-- ⎝⎦（2）存在，且4T ≥【解析】【分析】（1）由()()f x T f x +≤恒成立，分离常数k ，结合三角函数的最值来求得k 的取值范围.（2）结合()f x 的图象以及图象变换的知识求得T 的取值范围.【小问1详解】因为函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，则()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以ππsin cos 24k x x x ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，即πsin π4k x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于πsin 14x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以πk ≤-.所以k的取值范围是,π∞⎛-- ⎝⎦.【小问2详解】存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x --≤-⎧⎪=---++=-<<⎨⎪-+≥⎩，画出()f x的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，所以存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，且4T ≥.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 扫描版含答案
宿州市十三所重点中学2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一数学试卷（参考答案）CBCCB ABDDA CA 3 452)4323sin(+-=πx y 17.解:原式=)cos (tan sin )cos (322θθθθ-⋅⋅-=θθθ222cos tan sin ⋅-=1.................10分19. f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6………………………………4分(1)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )………8分 （1）函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像如图所示：列表：略………………………………10分……………………………… 12分20.（1）)0(f =0， ………………………………………………………………2分证明奇函数…………………………………………………………5分 （2）令2121,,x x x x x y x >==+且，由)()()(y f x f y x f +=+得)()()(2121x x f x f x f -=-， 当0>x 时，0)(<x f 且021>-x x 0)(21<-∴x x f ，)()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即，分平行与时，分分平行时与）当（分时分时当分解：12...............)()(110...............13628. (11)232)()(26.).........()(11012634..........0)1,3()12,2()()(2...).........1,3()12,2()1,2()2,1()1(.18k k k k k k k k k k k k k k k b a b a k b a k k k b a k -+-=∴-=∴+=-∴+=--+-⊥+=∴=∴=++-∴=⋅+--⊥+=-+-=-+=+)(x f ∴为减函数.……………………………………………………………12分21.（1）51)sin(,53)sin(=-=+B A B A ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ，⎪⎩⎪⎨⎧==∴51sin cos 52cos sin B A B A 2tan tan =∴BAB A tan 2tan =∴…………………………………………………5分 （2）,53)sin(,2=+<+<B A B A ππ43tan tan 1tan tan ,43)tan(-=-+∴-=+∴B A B A B A ，由B A tan 2tan =∴得01tan 4tan 22=--B B ，62tan 2tan ,262tan +==∴+=∴B A B .…………………………9分 设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=,623tan tan +=+CDB CD A CD .623+=∴=CD AB ， …………………………………………………12分22.（1）∵tan 7α=，α∈[0,2π],∴ , ,1010cos sin αα==∵OA 与OC 的夹角为α,OA OCOA OC⋅=, ∵OC mOA nOB =+,|OA |=|OB |=1,|OC |=,∴10=,①…………………………………………………3分 又∵OB 与OC 的夹角为45°,OB OC OB OC⋅==,②…………………………………5分 又()345 45 455cos AOB cos cos cos sin sin ααα∠=︒+=︒-︒=- ∴3cos 5OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-, 将其代入①②得313,1555m n m n -=-+=,从而57,44m n ==， 故5577log log n m -=55777log log 15n m ==-…………………………………7分 （2）由（1）得57,44m n ==，又()()22112188f x ax ax a x a =-+=-+-，0a <，故()f x 在57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5224f a ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭…………………………12分。
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案
六安2023年秋学期高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知命题P ：0x ∃∈R ，0302xx >，则它的否定形式为（）A.0x ∃∈R ，0302x x ≤ B.x ∀∈R ，32>x x C.0x R ∃∉，0302x x ≤ D.x ∀∈R ，32≤xx 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0:P x R ∃∈，0302xx >”的否定为：“:P x R ⌝∀∈，32≤x x ”.故选：D.2.π3α=是1cos 2α=的（）条件A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值判断充分性，通过举反例说明不满足必要性即可.【详解】若π3α=，故可得1cos 2α=，满足充分性；若π3α=-，显然满足1cos 2α=，但无法推出π3α=，故必要性不成立；故π3α=是1cos 2α=的充分不必要条件.故选：C .3.函数2()log f x x x =+的零点所在区间为（）A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.【详解】2,log y x y x ==在()0,+∞上都是单调增函数，故()y f x =在()0,+∞上是单调增函数；又21111log 308888f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 204444f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 102222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()211log 110f =+=>；故()f x 的零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.4.设2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，sin37c =︒，则a ，b ，c 之间的大小关系是（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】通过三个数与0，1的关系即可解出.【详解】由题意，22log 0.3log 10a =<=，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，0sin 37sin 451c <=︒<︒<，∴01a c b <<<<.故选：D.5.函数()sin ln ||f x x x =⋅的大致图象是A. B.C. D.【解析】【详解】函数()=sin ln f x x x ⋅是奇函数，图像关于原点对称，故排除,A B 当2x =时，()2sin 2ln 20f =⨯>，故排除D 故选C点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；（3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．6.若43m =，则3log 12=（）A.1m m+ B.21m m+ C.2m m+ D.212m m+【答案】A 【解析】【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m=得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+=故选：A7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，OA AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.32BC B.34BC uu u r C.32BC-D.34BC - 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得出BC 为外接圆的直径，且AOC 是等边三角形，从而求出向量BA 在向量BC上的投影向量.【详解】∵ABC 的外接圆的圆心为O ，且2AO AB AC =+，∴O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，∴90BAC ∠=︒．∵OA AC = ，∴AOC 是等边三角形.设D 为OC 的中点，则34BD BC =.∴向量BA 在向量BC上的投影向量为3cos 4BD BC BA ABC BC BC BC BC∠⋅=⋅=.故选:B.8.已知函数()cos ]2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的值域为{0,1}C.()f x 为周期函数，且最小正周期2T =D.()f x 与7|1og |l y x =-的图像恰有一个公共点【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值排除AC ，根据余弦函数的性质可求出函数的值域进而判断B ，根据函数的值域判断D .【详解】对于A ，由于1cos 012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1πcos 022f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()y f x =不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()ππZ 22x k k =⋅∈，而πcos 2k ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-，故B 错误；对于C ，由于()[]()π1.1cos 1.1cos 12f π⎛⎫-=⨯-=-=-⎪⎝⎭，()[]π0.9cos 0.9cos 012f ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，()()1.10.9f f -≠，故C 错误；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标.令7log 11x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点.令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.）A.sin15cos15︒+︒B.222cossin 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1tan151tan15+︒-︒D.2sin15cos15︒︒【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可.【详解】对于A 选项，原式45)2=︒+︒=，故A 选项错误；对于B 选项，原式2cosπ6==，故B 选项正确；对于C 选项，原式tan 45tan15tan 601tan 45tan15︒+︒==︒=-︒︒C 选项正确；对于D 选项，原式1sin 302=︒=，故D 选项错误.故选：BC.10.若0a b >>，0c <，则下列不等式中正确的是（）A.c c a b< B.ac bc< C.b c ba c a +>+ D.2b a a b+>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质看判断B 选项；利用作差法可判断ACD 选项.【详解】因为0a b >>，0c <，对于A 选项，()0c b a c c a b ab--=>，所以，c c a b >，A 错；对于B 选项，由不等式的基本性质可得ac bc <，B 对；对于C 选项，()()()()()a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==+++，a c +的符号不确定，无法得出b c a c ++与ba的大小关系，C 错；对于D 选项，()222220a b b a a ab b a b ab ab--++-==>，则2b a a b +>，D 对.故选：BD.11.如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列结论正确的是（）A.CB OA=B.0OA OB OC ++=C.OF OD OC OB+=-D.OA FA DE BC⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】利用相等向量的定义可判断A 选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项；利用平面向量线性运算可判断C 选项；利用平面向量数量积的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正六边形的几何性质可知，60AOB OBC BOC ABO ∠=∠=∠=∠= ，所以，//OA BC ，//AB OC ，则四边形OABC 为平行四边形，故CB OA =，A 对；对于B 选项，因为四边形OABC 为平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得20OA OB OC OB ++=≠，B 错；对于C 选项，由正六边形的几何性质可知，OF OD DE EF ===，则四边形ODEF 为菱形，所以，OF OD OE += ，OC OB BC -=，易知ODE 为等边三角形，则OE DE BC == ，故OF OD OC OB +=-，C 对；对于D 选项，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，易知CB EF =，则21cos 602OA FA AO AF AO AF a ⋅=⋅=⋅=，21cos1202DE BC DE CB DE EF ED EF ED EF a ⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=- ，所以，OA FA DE BC ⋅≠⋅，D 错.故选：AC.12.已知函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.若1ω=，则()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.若()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则232966ω<≤C.若把()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的函数为偶函数，则ω的最小值为2D.若2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()()sin f x x ωϕ=+与()()tan g x x ωϕ=+有3个交点【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件求出π6ϕ=，利用正弦型函数的单调性可判断A 选项；利用函数()f x 在()0,π上的零点个数可得出关于实数ω的不等式，解出ω的取值范围，可判断B 选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，解方程()()f x g x =，可判断D 选项.【详解】因为函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 20==f φ，又因为ππ22ϕ-<<，所以，π6ϕ=，对于A 选项，若1ω=，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π5π,36x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则πππ26x <+<，所以，函数()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，A 对；对于B 选项，因为()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω<+<+，因为()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则π4ππ5π6ω<+≤，解得232966ω<≤，B 对；对于C 选项，把()f x 的图象向左平移π6个单位，可得到函数ππππsin sin 6666y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，则()ππππ662k k ω+=+∈Z ，可得()62k k ω=+∈Z ，因为0ω>，故当0k =时，ω取最小值2，C 对；对于D 选项，因为2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且0ω>，则πππ262x ω-<+<，由πsin ππ6sin tan π66cos 6x x x x ωωωω⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，可得πsin 06x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π06x ω+=，故当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()πta 6n g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭只有1个交点，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）【答案】2π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可.【详解】设圆心角为α，扇形半径为r ，依题可得6πr α=，2127π2r α=，解得2π3α=，9r =.故答案为：2π314.已知简谐运动ππ()2sin ||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(0,1)，则该简谐运动初相ϕ为________．【答案】π6##1π6【解析】【分析】将点代入函数中，结合所求量范围求解即可.【详解】将(0,1)代入函数中，可得()12sin ϕ=，解得π2πZ 6k k =+∈，ϕ，已知π||2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=.故答案为：π615.求值：()cos 40110︒+︒=__________．【答案】1【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】()sin10cos10cos 40110cos 401cos 40cos10cos10︒︒+︒⎛⎫︒+︒=︒+=⨯︒ ⎪︒︒⎝⎭()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒．故答案为：1．16.已知方程12sin π01x x-=-，则当[2,4]x ∈-时，该方程所有实根的和为________．【答案】8【解析】【分析】作出1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和.【详解】方程12sin π01x x -=-，即12sin π1x x=-，令1()1f x x =-，()2sin πg x x =，1()1f x x =-的图象可由1y x=-的图象向右平移1个单位得到，故关于点(1,0)对称，同时(1,0)也是()2sin πg x x =的一个对称中心；作图可得()f x ，()g x 的图象，观察它们在[2,4]x ∈-时的图象，可知二者的图象都关于(1,0)点成中心对称且()f x ，()g x 图象在[2,4]-上共有8个交点，这8个交点两两成对关于点(1,0)对称，每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2，故所有8个交点的横坐标的和为248⨯=，即方程12sin π01x x-=-所有实根的和为8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程12sin π01x x-=-的根的问题，转化为1()1f x x =-，()2sin πg x x=的图象的交点问题；（2）数形结合：作出函数1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，判断其对称性，从而求解问题.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{30}A x x =-≤<，集合{}22B x x x =->．（1）求A B ⋂；（2）若集合{}22C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}20A B x x ⋂=-<<（2）{}2a a >【解析】【分析】（1）计算{}21B x x =-<<，再计算交集得到答案.（2）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，根据集合的包含关系得到答案.【小问1详解】{}{}2221B x x x x x =->=-<<，{}20A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】当C =∅时，22a a >+，即2a >，满足条件；当C ≠∅时，22a a ≤+且2220a a >-⎧⎨+<⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围{}2a a >.18.如图，以Ox 为始边作角α与(0π)<<<ββα，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3sin()5sin 22cos()cos 2ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）若5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin()αβ+的值．【答案】（1）32（2）3365【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可.（2）利用两角和的正弦公式处理即可.【小问1详解】由题得3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-，所以433sin()5sin 353sin 5cos 3255342cos sin 22cos()cos 2255ααααααααπ⎛⎫⎛⎫π-+-⨯+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===π+⎛⎫⎛⎫--+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由题得，5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13β=，所以4123533sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭19.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；23x π-3π-2ππ32π53πx6π512π23π1112ππ()f x 1211-12（2）将()y f x =的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移π2个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．【答案】（1）表格及图象见解析（2）ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【解析】【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；（2）先通过图象变换得到()cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令πππ62x k +=+可得对称中心．【小问1详解】π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：π23x -π3-π2π3π25π3xπ65π122π311π12π()f x 1211-012图象如图：【小问2详解】()f x 的图象横坐标扩大为原来的2倍得πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位后，得()cos cos 236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πππ62x k +=+，()k ∈Z ，得ππ3x k =+，()k ∈Z ，所以函数()g x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，()k ∈Z ．20.已知函数2()2sin cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）π，π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎣⎦()k ∈Z ；（2）[1,2].【解析】【分析】（1）将()f x 化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果；（2）根据x 的取值范围，求得23x π+的范围，结合正弦函数单调性，即可求得结果.【小问1详解】2π()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期为22ππ=；由ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，解得单调递减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问2详解】当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，又sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；则π5π236x +=，即π4x =时，()f x 取得最小值1，ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2，故当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]．21.六安一中新校区有一处矩形地块ABCD ，如图所示，50AB =米，BC =米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE ，EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且π2EOF ∠=．（1）设BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试将OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE 和OF 上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m 元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求α大小（备注：7πsin124+=）【答案】（1）25(1sin cos )sin cos l αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）π4【解析】【分析】（1）分别在Rt BOE 和Rt AOF △中，表示出,OE OF ，即可求出EF ，从而求得OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）结合（1）可得出OE OF +的表达式，利用三角代换，令sin cos t αα+=，化简OE OF +的表达式，即为501t tOE OF +=-，再结合函数1y t t =-的单调性，即可确定OE OF +何时取得最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知50AB =，O 是边AB 的中点，在Rt BOE 中，由BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得25cos OE α=，由于π2EOF ∠=，故在Rt AOF △中，π2AOF α∠=-，AFO α∠=，可得25sin OF α=，又在Rt EOF △中，由勾股定理得25sin cos EF αα===，所以25252525(1sin cos )cos sin sin cos sin cos l αααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】根据题意，要使费用最低，只需OE OF +最小即可，由（1）得25(sin cos )sin cos OE OF αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，得2225(sin cos )25505011sin cos 12t t OE OF t t t t αααα++===---=，由于πsin cos )4t ααα=+=+，5ππ7π12412α≤+≤，而5π7πsinsin 12124+==，故312t +≤≤，令1()f t t t=-，则1()f t t t=-在(0,)+∞上为增函数，则max 2()2f t f ==，所以当t =时，501t tOE OF +=-最小，此时π4α=，即当新加装的智能照明装置的费用最低时，π4α=．22.已知函数1()log 1a x f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当12a =时，函数()()g x f x b =-在()1,∞+有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.,1(),)1(-∞-⋃+∞23.()0,+∞24.存在，03a <<-【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知()f x b =在(1,)+∞上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得01a <<，且1m n <<，结合单调性分析可知2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【小问1详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-．所以()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞．【小问2详解】令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在()1,∞+上为增函数，可得()()10t x t >=，且()1t x <，可知()t x 的值域为()0,1，因为12a =，则12log y x =在定义域内为减函数，可得()12log 10f x >=，所以函数()f x 在()1,+∞上的值域为()0,+∞，又因为函数()()g x f x b =-在()3,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()3,∞+上有且只有一个解，所以b 的范围是()0,+∞．【小问3详解】存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log 1log +<+a a n m ，可得01a <<，且1m n <<．令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在(1,)+∞上为增函数，因为01a <<，则log a y x =在定义域内为减函数，所以()f x 在(1,)+∞上为减函数，可得()()()()1log log 11log log 1a a aa m f m am m n f n an n -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，可知11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根，可得2(1)10ax a x +-+=，即2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根．则()()2Δ14011210a a a a h ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-，所以实数a的取值范围(0,3-.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
安徽省宣城市2014-2021学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
安徽省宣城市2022-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）sin42°cos18°+cos42°sin18°=（）A．B．C．D．2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A．y=e x+e﹣x B．y=|x| C．y=sinx D．y=﹣x33．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O ，若+=，则λ的值为（）A．2B．1C．D．﹣14．（5分）下列函数中，表示同一函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=B．f（x）=lg（x（x+1）），g（x）=lgx+lg（x+1）C．f（x）=x﹣1（x∈R），g（x）=x﹣1（x∈N）D．f（x）=x2+x﹣1，g（x）=t2+t﹣15．（5分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=lnx ﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）7．（5分）已知a=log34，b=log43，c=log53，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知α为第一象限角，sinα=cosα，则tan为（）A．2+B．2﹣C．﹣±2 D．±2 9．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象如图所示，其中A，B两点的间距为5，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=10．（5分）已知函数f（x）=ln （﹣3x）+1，若f（lg（log210））=m，则f（lg（lg2））=（）A．﹣m B．m C．m+2 D．2﹣m二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）函数y=的定义域为．12．（5分）函数f（x）=，则f[f（16）]=．13．（5分）已知=（a＞0），则a=．14．（5分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．15．（5分）设α∈（0，π），且α≠，当∠xOy=α时，定义坐标系xOy为α﹣仿射坐标（如图），在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的坐标这样定义“，分别是与x轴，y轴方向同向的单位向量，若向量=x +y，则记=（x，y），下列结论正确的是（写上全部正确结论的序号）①设向量=（m，n），=（s，t），若=，则有m=m，s=t；②设向量=（m，n），则||=；③设向量=（m，n ）=（s，t），若，则有mt﹣ns=0；④设向量=（m，n ）=（s，t），若，则有mt+ns=0；⑤设向量=（1，2）=（2，1），若与的夹角为，则有．三、解答题16．（12分）集合A={x|x2﹣px+15=0}和B={x|x2﹣ax﹣b=0}，若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值．17．（12分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），（x＜0），且cosα=x．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12分）已知向量，是夹角为的两个单位向量，=2+，=k +2，（1）若，求实数k的值；（2）若k=﹣3，求与的夹角θ．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）的单调性并证明你的结论．20．（13分）设向量=（2sin（x+），﹣1），=（2cosx ，），设函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期（2）若2f（x）﹣m+1=0在[0，]内有两个相异的实根，求实数m的取值范围．21．（14分）依据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t∈N*）（1）分别写出图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间．安徽省宣城市2022-2021学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）sin42°cos18°+cos42°sin18°=（）A．B．C．D ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和的正弦公式可得sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin（42°+18°），计算可得．解答：解：由两角和的正弦公式可得：sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin（42°+18°）=sin60°=故选：B点评：本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A．y=e x+e﹣x B．y=|x| C．y=sinx D．y=﹣x3考点：函数奇偶性的推断；函数单调性的推断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性和单调性的定义分别进行推断即可．解答：解：A．y=e x+e﹣x为偶函数，不满足条件．B．y=|x|为偶函数，不满足条件．C．y=sinx是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，满足条件．D．y=﹣x3是奇函数，在区间（﹣1，1）上是减函数，不满足条件．故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的推断，要求娴熟把握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O ，若+=，则λ的值为（）A．2B．1C．D．﹣1考点：向量的三角形法则．专题：平面对量及应用．分析：画出图形，依据题意得出+==2，从而求出λ的值．解答：解：如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴+==2，∴λ=2．故选：A．点评：本题考查了平面对量的加法运算的几何意义，是基础题目．4．（5分）下列函数中，表示同一函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=B．f（x）=lg（x（x+1）），g（x）=lgx+lg（x+1）C．f（x）=x﹣1（x∈R），g（x）=x﹣1（x∈N）D．f（x）=x2+x﹣1，g（x）=t2+t﹣1考点：推断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：依据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，推断它们是同一函数．解答：解：对于A，f（x）==，与g（x）=的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=lg（x（x+1））（x＜﹣1或x＞0），与g（x）=lgx+lg（x+1）=lg（x（x+1））（x＞0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x﹣1（x∈R），与g（x）=x﹣1（x∈N）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=x2+x﹣1（x∈R），与g（x）=t2+t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．故选：D．点评：本题考查了推断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．5．（5分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．解答：解：由于﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排解选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排解选项D，故选A．点评：本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要把握．6．（5分）函数f（x）=lnx ﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数零点的推断条件，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx ﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B点评：本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件推断零点所在的区间是解决本题的关键．7．（5分）已知a=log34，b=log43，c=log53，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log34＞1，1＞b=log43=＞=log53=c，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）已知α为第一象限角，sinα=cosα，则tan为（）A．2+B．2﹣C．﹣±2 D ．±2考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由α为第一象限角，确定出的范围，进而确定出tan大于0，已知等式整理求出tanα的值，利用二倍角的正切函数公式化简求出tan的值即可．解答：解：∵α为第一象限角，∴2kπ≤α≤2kπ+，k∈Z，即k π≤≤kπ+，k∈Z，∴tan＞0，已知等式sinα=cosα，整理得：tanα=，∴=，即tan 2+2tan﹣1=0，解得：tan=2﹣，故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的正切函数公式，娴熟把握基本关系是解本题的关键．9．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象如图所示，其中A，B两点的间距为5，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．依据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵0≤φ≤，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．故选：C．点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式等学问，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=ln （﹣3x）+1，若f（lg（log210））=m，则f（lg（lg2））=（）A．﹣m B．m C．m+2 D．2﹣m考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：设g（x）=ln （﹣3x），则g（x）+g（﹣x）=ln[（﹣3x）•（﹣3x）]=ln1=0，从而f（x）+f（﹣x）=2，再由lg（log210）=﹣lg（lg2），得到f（lg（log210））+f（lg（lg2））=2，由此能求出f（lg（lg2））．解答：解：∵设g（x）=ln （﹣3x），∴g（﹣x）=ln （+3x），∴g（x）+g（﹣x）=ln[（﹣3x）•（﹣3x）]=ln1=0，∴g（x）=ln （﹣3x）是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=2，∵lg（log210）=﹣lg（lg2），∴f（lg（log210））+f（lg（lg2））=2，∴f（lg（lg2））=2﹣f（lg（log210））=2﹣m．故选：D．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意函数的奇偶性和对数运算法则的合理运用．二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）函数y=的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数y的解析式，列出不等式组，求出解集即可．解答：解：∵函数y=，∴，解得，即x≥2且x≠3；∴函数y的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．故答案为：[2，3）∪（3，+∞）．点评：本题考查了依据函数的解析式求函数定义域的问题，是基础题目．12．（5分）函数f（x）=，则f[f（16）]=8．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由16＞7，得f（16）==4，由4＜7，得f[f（16）]=f（4）=2×4=8．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（16）==4，f[f（16）]=f（4）=2×4=8．故答案为：8．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意分段函数的性质的合理运用．13．（5分）已知=（a ＞0），则a=．考点：对数的运算性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由=（a＞0），两边取以为底的对数即可得出．解答：解：∵=（a＞0），则a==2，∴a=．故答案为：．点评：本题考查了对数的运算法则，属于基础题．14．（5分）函数y=cos （2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin （2x+）的图象重合，则φ=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题；三角函数的图像与性质．分析：依据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+）=的图象与y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．解答：解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．点评：本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等学问，属于基础题．15．（5分）设α∈（0，π），且α≠，当∠xOy=α时，定义坐标系xOy为α﹣仿射坐标（如图），在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的坐标这样定义“，分别是与x轴，y轴方向同向的单位向量，若向量=x +y，则记=（x，y），下列结论正确的是③⑤（写上全部正确结论的序号）①设向量=（m，n），=（s，t），若=，则有m=m，s=t；②设向量=（m，n），则||=；③设向量=（m，n ）=（s，t），若，则有mt﹣ns=0；④设向量=（m，n ）=（s，t），若，则有mt+ns=0；⑤设向量=（1，2）=（2，1），若与的夹角为，则有．考点：平面对量的基本定理及其意义．专题：平面对量及应用．分析：．①利用向量相等可得，m=s，n=t，即可推断出正误；②利用向量是数量积运算性质即可推断出正误；③利用向量共线定理即可推断出；④利用向量垂直与数量积的关系即可推断出正误；⑤利用向量数量积运算及其向量夹角公式即可推断出．解答：解：．①设向量=（m，n），=（s，t），若=，则有m=s，n=t，因此不正确；②设向量=（m，n），则||=≠，因此不正确；③设向量=（m，n），=（s，t），若，则有mt﹣ns=0，因此正确；④设向量=（m，n），=（s，t），若，则有ms+nt=0，因此不正确；⑤设向量=（1，2），=（2，1），与的夹角为，则==，==，==2+2+5=4+5cosα．∴==，化为，则正确．综上可得：正确的结论为：③⑤．故答案为：③⑤．点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、向量相等，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题16．（12分）集合A={x|x2﹣px+15=0}和B={x|x2﹣ax﹣b=0}，若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：由于A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a，b，从而解决问题．解答：解：由于A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，所以A={3，5}（4分）又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，，所以B={2，3}．（6分）所以方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a=5，b=﹣6综上可知p=8，a=5，b=﹣6..（10分）点评：本题考查同学的等价转化力量，将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答案，正确进行转化是解决该题的关键．17．（12分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），（x＜0），且cosα=x．（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数定义，依据P坐标表示出cosα，代入已知等式求出x的值，确定出P坐标；（1）依据P坐标求出tanα的值即可；（2）依据P坐标求出sinα的值，原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后把sinα与tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：由条件知cosα=x=，解得：x=﹣2，即P（﹣2，﹣1），（1）tanα==；（2）∵P（﹣2，﹣1），∴sinα=﹣，∴原式===2sinαtanα=﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及任意角的三角函数定义，娴熟把握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知向量，是夹角为的两个单位向量，=2+，=k +2，（1）若，求实数k的值；（2）若k=﹣3，求与的夹角θ．考点：平面对量数量积的运算．专题：计算题；平面对量及应用．分析：（1）运用向量的数量积的定义和向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到k；（2）运用向量的夹角公式，首先分别求出向量a，b的模和数量积，计算即可得到．解答：解：（1）•=||•||•cos =，若，则=0，即（2+）•（k +2）=0，即有2k +2+（k+4）=2k+2+（k+4）=0，解得k=﹣；（2）若k=﹣3，则=﹣6+2+（﹣3+4）=﹣6+2+=﹣，||2=4++4=4+1+2=7，||2=9+4﹣12=9+4﹣6=7，则cosθ===﹣，由0≤θ≤π，解得θ=．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量垂直的条件，以及向量的夹角的求法，考查运算力量，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）的单调性并证明你的结论．考点：函数奇偶性的推断；函数单调性的推断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）依据函数奇偶性的定义即可判定函数f（x）的奇偶性；（2）依据函数单调性的定义进行判定函数f（x）的单调性并证明．解答：解：（1）函数的定义域为R，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣==，若a＞1，则＜，则f（x1）＜f（x2），此时函数f（x）为单调递增函数，若0＜a＜1，则＞，则f（x1）＞f（x2），此时函数f（x）为单调递减函数．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数单调性的推断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．20．（13分）设向量=（2sin（x+），﹣1），=（2cosx ，），设函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期（2）若2f（x）﹣m+1=0在[0，]内有两个相异的实根，求实数m的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由平面对量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由三角函数的周期性及其求法即可得解．（2）由已知可转化为方程f（x）=两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=图象有两个交点，结合函数图象，有＜2或﹣2＜≤﹣1，即可解得m的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）==4sin（x+）cosx ﹣…1分=2sinxcosx+2cos2x ﹣…2分=sin2x+cos2x=2sin（2x+）…4分∴T=π…6分（2）2f（x）﹣m+1=0在[0，]内有两个相异的实根，即有方程：f（x）=两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=图象有两个交点，…8分结合函数图象，当＜2或﹣2＜≤﹣1，即m∈[2+1，5）∪（﹣3，﹣1]时原方程有两个相异的实根，故m∈[2+1，5）∪（﹣3，﹣1]…13分点评：本题主要考查了平面对量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，考查了转化思想，属于中档题．21．（14分）依据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t∈N*）（1）分别写出图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间．考点：依据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接通过图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．注明函数的定义域．（2）利用函数的解析式，通过平方，分别求出函数的最值，取得最值的时间．解答：（本小题满分8分）解：（I ）…（2分）…（3分）（II）当1≤t＜20时，．∵t∈N*，∴t=10或11时，S的最大值为176 …（5分）当20≤t＜40时，为减函数．∴t=20时，S的最大值为161，…（7分）∴t=10或11时，S的最大值为176．…（8分）点评：本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的力量．。
高中数学-高一上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析72
2018-2019学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，集合，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，集合，根据集合的交集的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，，，，根据样本的频数分布估计，大于或等于的数据约占A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到大于或等于的频数，除以总数即可.【详解】由题意知，大于或等于的数据共有：则约占：本题正确选项：【点睛】考查统计中频数与总数的关系，属于基础题.3.秦九韶算法是中国古代求多项式的值的优秀算法，若，当时，用秦九韶算法求A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】通过将多项式化成秦九韶算法的形式，代入可得.【详解】由题意得：则：本题正确选项：【点睛】本题考查秦九韶算法的基本形式，属于基础题.4.下列四组函数中，不表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相同函数对定义域和解析式的要求，依次判断各个选项.【详解】相同函数要求：函数定义域相同，解析式相同三个选项均满足要求，因此是同一函数选项：定义域为；定义域为，因此不是同一函数本题正确选项：【点睛】本题考查相同函数的概念，关键在于明确相同函数要求定义域和解析式相同，从而可以判断结果.5.执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的A. 28B. 10C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】的变化遵循以为公差递减的等差数列的变化规律，到时结束，得到，然后代入解析式，输出结果.【详解】时，每次赋值均为可看作是以为首项，为公差的等差数列当时输出，所以，即即：，本题正确选项：【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合对数真数大于零，求出定义域；再求出在定义域内的单调递减区间，得到最终结果.【详解】或在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查求解复合函数的单调区间，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，易错点在于忽略了函数自身的定义域要求.7.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个质地、大小、颜色无差别小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定所有可能的基本事件总数，再列出标号和为的所有基本事件，根据古典概型可求得概率. 【详解】有放回的摸出两个小球共有：种情况用表示两次取出的数字编号标号之和为有：，，，四种情况所以，概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的相关知识，对于基本事件个数较少的情况，往往采用列举法来求解，属于基础题.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化成对数的形式，然后根据真数相同，底数不同的对数的大小关系，得到结果.【详解】由题意得：又本题正确选项：【点睛】本题考查对数大小比较问题，关键在于将对数化为同底或者同真数的对数，然后利用对数函数图像来比较.10.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，A.错误，令定义域为，由：，所以是非奇非偶函数；B错误，令定义域为，由：即：，所以是偶函数；C.错误.令定义域为，由：，所以为非奇非偶函数；D.正确.令定义域为，由，即，所以为偶函数，正确.综上，答案为D.考点：1.函数的奇偶性；2.奇偶函数的定义域.11.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在上是减函数，根据不等式在上恒成立，可得：在上恒成立，可得的范围.【详解】为偶函数且在上是增函数在上是减函数对任意都有恒成立等价于当时，取得两个最值本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.12.设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值.【详解】由题意得：，①当时，则，此时，，，则②当时，，，，.③当时，则，此时，，，则综上所述：的值域为本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，解题关键在于能够明确新定义运算的本质，易错点在于忽略与的彼此取值影响，单纯的考虑与整体的值域，造成求解错误.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是_______________【答案】【解析】由题要使函数有意义须满足14.小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______豆子大小可忽略不计【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15.若函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】【分析】为定义域上的偶函数，所以利用特殊值求出的值.【详解】是定义在上的偶函数即解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值，对于定义域明确的函数，常常采用赋值法来进行求解，相较于定义法，计算量要更小.16.已知函数，若存在实数a，b，c，满足，其中，则abc的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据解析式，画出的图像，可知函数与每段的交点位置，由此可得，再求出的范围后，可确定整体的取值范围.【详解】由解析式可知图像如下图所示：由图像可知：又且时，可知即又本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像及方程根的问题，关键在于能够通过函数图像得到的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.18.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件所以点落在区域内的概率为（2），表示如图的正方形区域，易得面积为若方程有两个不同实数根，即，解得为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为则方程有两个不同实数根的概率【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．19.计算：；若a，b分别是方程的两个实根，求的值．【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出；（2）根据题意，是方程的两个实根，由韦达定理得，，利用对数换底公式及其运算性质即可得出．【详解】（1）原式（2）根据题意，是方程的两个实根由韦达定理得，原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位：岁．国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼阿富汗59 巴基斯坦巴林阿联酋马来西亚朝鲜东帝汶孟加拉国韩国柬埔寨塞浦路斯老挝卡塔尔沙特阿拉伯蒙古科威特哈萨克斯坦缅甸菲律宾印度尼西亚日本黎巴嫩土库曼斯坦65吉尔吉斯斯泰国尼泊尔68坦乌兹别克斯约旦土耳其坦越南75 伊拉克也门中国以色列文莱伊朗74 新加坡叙利亚印度根据这40个国家的样本数据，得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：，，，，，请根据上述所提供的数据，求出频率分布直方图中的a，b；请根据统计思想，利用中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数保留一位小数．【答案】（1），；（2）平均寿命71.8，中位数71.4.【解析】【分析】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中，国民平均寿命在的频数是，频率是，由此能求出，同理可求；（2）由频率分布直方图能估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数．【详解】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中国民平均寿命在的频数是，频率是国民平均寿命在的频数是，频率是，计算得，由频率分布直方图可知，各个小矩形的面积各个区间内的频率转换为分数分别是：，，，，，以上所有样本国家的国民平均寿命约为：前三组频率和为中位数为根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为岁，寿命的中位数约为岁【点睛】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份年 1 2 3 4 5维护费万元Ⅰ求y关于t的线性回归方程；Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．参考公式：，【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.【解析】【分析】（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．【详解】（Ⅰ），，，，，所以回归方程为（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元）若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元）所以甲更有道理【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．22.已知，．求在上的最小值；若关于x的方程有正实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）得到，令，问题转化为在有实根，求出的范围即可．【详解】（1）当时，在上单调递减故最小值当时，是关于的二次函数，对称轴为当时，，此时在上单调递减故最小值当时，对称轴当，即时，在单调递减，在单调递增故最小值当时，即时，在上单调递减故最小值综上所述：（2）由题意化简得令，则方程变形为，根据题意，原方程有正实数根即关于的一元二次方程有大于的实数根而方程在有实根令，在上的值域为故【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想．关键是通过换元的方式将问题转化为二次函数在区间内有实根的问题，可以用二次函数成像处理，也可以利用分离变量的方式得到结果.。
2023—2024学年安徽省蚌埠市高一上学期期末学业水平监测数学试卷
2023—2024学年安徽省蚌埠市高一上学期期末学业水平监测数学试卷一、单选题1. 设集合，则下列选项中正确的是（）A．⫋B．⫌C．D．2. 已知实数、满足，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．3. 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下：在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（）A．036B．341C．328D．6935. 已知函数满足：，则的解析式为（）A．B．C．D．6. 如果，是互斥事件，下列选项正确的是（）A．事件与不互斥B．C．与互斥D．7. 函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．8. 若函数存在零点，则实数的值为（）A．4B．3C．2D．1二、多选题9. 函数，则下列选项正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数10. 在某次调查中，利用分层抽样随机选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为，则下列选项正确的是（）A．女生得分的平均数小于75B．女生得分的方差大于6C．女生得分的分位数是71.5D．25名学生得分的方差为11.211. 下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．12. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么三、填空题13. 命题“，有”的否定为 ______ ．14. 写出一个具有性质①②③的幂函数 __________ ．①是奇函数；②在上单调递增；③．15. 计算 __________ ．16. 已知实数且，则的最大值为__________ ，最小值为 __________ ．四、解答题17. 已知集合．(1)求和；(2)定义且，求和．18. 某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”．(1)以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件；(2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率.19. 已知函数．(1)设，判断并证明函数的奇偶性；(2)求关于的不等式的解集．20. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下．(1)求实数的值；(2)估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3)估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）．21. 为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（）值的2倍．（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）（1）写出运输总费用元与汽车速度的函数关系，并求汽车的速度为每小时50千米，运输的总费用．（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围．（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？22. 已知函数，.(1)若，求函数的值域；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．。
安徽省淮南市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷含答案
数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}23,1,1,3,202A B x x x ⎧⎫=--=+-<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A.{}1 B.{}1,1- C.3,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ D.3,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，然后利用交集概念运算即可.【详解】因为{}220{21}B xx x x x =+-<=-<<∣∣，又3,1,1,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，所以3,12A B ⎧⎫⋂=--⎨⎬⎩⎭.故选：C .2.()sin 120tan210-的值为（）A.12B.12-C.6D.6-【答案】B 【解析】【分析】由诱导公式化简直接得出答案.【详解】()()1sin 120tan210sin120tan 180+30sin120tan30232-=-=-=-⨯- ．故选：B ．3.已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠），若点()11,A x y ，()22,B x y 都在()f x 的图象上，则下列各点一定在()f x 的图象上的是（）A.()1212,x x y yB.()1212,x x y y +C.()1212,x x y y ++ D.()1212,x x y y +【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算求解.【详解】解：因为点()11,A x y ，()22,B x y 都在()f x 的图象上，所以1212,xxy a y a ==，则121212x x x x a a a y y +=⋅=⋅，故选：D4.若实数a ，b 满足110b a>>>，则下列结论正确的是（）A.1ab >B.222a b +> C.a b ab+< D.12a b a+>【答案】D 【解析】【分析】利用不等式性质判断AD ，举反例判断BC.【详解】因为实数a ，b 满足110b a>>>，所以01a <<，所以01ab <<，故选项A 错误；当11,22a b ==时，满足110b a >>>，但是221112222⎛⎫⎛⎫+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足222a b +>，故选项B 错误；当11,22a b ==时，满足110b a >>>，但是11111122224+=>⨯=，不满足a b ab +<，故选项C 错误；1111122a b a a+=+>+=>，即12a b a +>，故选项D 正确.故选：D5.将函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()f x 的图象，则()f x 图象的一条对称轴方程是（）A.π6x =B.5π6x =C.4π3x =D.3π2x =【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用余弦函数图象的对称性求出对称轴，逐个检验即可求解.【详解】由题意得()πππcos cos 636f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ,6x k k +=∈Z ，得ππ,6x k k =-∈Z ，取1k =，得曲线()f x 的一条对称轴的方程为5π6x =.故选：B .6.数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的x ∈R ，函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数；记[]x 为不超过x 的最大整数，则称()[]f x x =为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（）A.()()1D f x =B.()()1D x D x +=C.()()0f x f x +-=D.()()f D x 的值域为{}0,1【答案】C 【解析】【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.【详解】由高斯函数的定义知，()[]R,x f x x ∀∈=都是整数，即都是有理数，所以()()1D f x =，A 正确；若x 为有理数，则1x +也是有理数，()()11D x D x +==；若x 为无理数，则1x +也是无理数，()()10D x D x +==，B 正确；取0.5x =-，则()()()()0.50,0.51,0.50.51f f f f =-=-+-=-，C 错误；()D x 的值域是{}()()0,1,00,11f f ==，所以()()f D x 的值域为{}0,1，D 正确．故选：C7.若函数y t =与函数()2231x x f x x -+=-的图象有两个不同的交点()()11,A x f x ，(()22,B x f x ，则1212x tx x x +-的取值范围是（）A.,44⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B.,00,44⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.(- D.()(0,-⋃【答案】B 【解析】【分析】由题意方程2231x x t x -+=-有两个不同的解12,x x ，利用韦达定理得()()12112x x --=，则1212x t x x x +-转化为求1t-的范围即可.【详解】()2232111x x f x x x x -+==-+--，作出函数图象如图：因为函数y t =与函数()2231x x f x x -+=-的图像有两个不同的交点，所以t >或t <-，且方程2231x x t x -+=-即()()21120x t x ---+=有两个不同的解12,x x .故()()12112x x --=，所以()()1212121111x x x x x x t t t---+-==-，因为t >或t <-，所以1204t <<或2104t-<<，所以12121,00,44x x x x t t ⎛⎫⎛⎫+-=-∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B 8.若sin 41tan 3αα=+，则sin cos αα+=（）A.3B.3C.3D.13【答案】A 【解析】【分析】利用sin cos sin cos αααα+，之间的关系和题给条件即可求得分别求得sin cos sin cos αααα+，的值，进而得到sin cos αα+的值.【详解】因为sin sin cos 41tan cos sin 3αααααα==++，设sin cos =t αα+（0t ≠），则21sin cos 2t αα-=，所以21423t t -=，28103t t --=，即()1303t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以13t =-或3t =（舍）所以21s 24in cos 09t αα-==-<，sin cos 3αα+=．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.()tan 0αβ+=的充要条件可以是（）A.()πk k αβ+=∈Z B.()1π2k k αβ+=∈Z C.()sin 0αβ+= D.tan tan 0αβ+=【答案】AC 【解析】【分析】利用正切函数知识及同角三角函数关系，结合充要条件的概念分析判断即可.【详解】对于A ,因为()tan 0αβ+=，所以()πk k αβ+=∈Z ，故()πk k αβ+=∈Z 是()tan 0αβ+=的充要条件；对于B ,当()2k n n =∈Z 时，()πn n αβ+=∈Z ，则()tan 0αβ+=，当()21k n n =+∈Z 时，()ππ2n n αβ+=+∈Z ，则()tan αβ+无意义，所以()1π2k k αβ+=∈Z 是()tan 0αβ+=的必要不充分条件；对于C ,因为()tan 0αβ+=，所以()()sin 0cos αβαβ+=+，即()sin 0αβ+=，故()sin 0αβ+=是()tan 0αβ+=的充要条件；对于D ，由tan tan 0αβ+=可得()tan tan tan 01tan tan αβαβαβ++==-，取π2αβ==，可得()tan 0αβ+=，但tan tan αβ+无意义，所以tan tan 0αβ+=是()tan 0αβ+=的充分不必要条件.故选：AC .10.已知函数()2212x x xf x =+--，则下列结论正确的是（）A.()f x 的定义域为RB.()f x 是奇函数C.()f x 是偶函数D.对任意的()(),00,x ∈-∞⋃+∞，()2f x >-【答案】CD 【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可.【详解】A ：由2100x x -≠⇒≠，所以该函数的定义域为()(),00,∞-+∞U ，因此本选项结论不正确；B ：因为()()222021221221x x x xx x x x x xf x f x x --⋅---=----+=-=---，所以有()()f x f x -=，因此()f x 是偶函数，所以本选项不正确；C ：由上可以确定本选项正确；D ：()()()()212212221xx x x x x f x +--=+=--，当(),0x ∈-∞时，0221210x x <=⇒-<，而20x >，于是有()()()()2120212221x xxx x x f x +--=+=>--，当()0,x ∈+∞时，0221210x x >=⇒->，而20x >，于是有()()()()2120212221x xx x x x f x +--=+=>--，综上所述：对任意的()(),00,x ∈-∞⋃+∞，()2f x >-，因此本选项正确，故选：CD11.若存在m ，()1n m n <-，使得20x ax b c x ≤++≤-的解集为{1x m x m ≤≤+或}x n =，则下列结论正确的是（）A.20x ax b ++≥的解集为{1x x m ≤+或}x n ≥B.2x ax b c x ++≤-的解集为{}1x m x n +≤≤C.c n=-D.2244a a b c +>-【答案】AD 【解析】【分析】AB 选项，根据不等式解集得到2x ax b c x ++≤-的解集为{}x m x n ≤≤，20x ax b ++≥的解集为{1x x m ≤+或}x n ≥；C 选项，根据韦达定理得到mn b c =-，()1m n b +=，得到n c =；D 选项，根据1n m ->和n m -=，得到答案.【详解】AB 选项，因为1m n <-，故1m n +<，由题意得2x ax b c x ++≤-的解集为{}x m x n ≤≤，20x ax b ++≥的解集为{1x x m ≤+或}x n ≥，A 正确，B 错误；C 选项，()210x a x b c +++-=的两个根为,m n ，20x ax b ++=的根为1,m n +，故1m n a +=--，mn b c =-，()1,1m n a m n b ++=-+=，由于mn b c =-，()1m n b +=，故b c n b -+=，所以n c =，C 错误；D 选项，因为1n m ->，n m -==，1>，两边平方得2244a a b c +>-，D 正确.故选：AD12.函数()()7π5ππcos 2sin sin 018189f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0,π上有3个零点，则（）A.ω的取值范围是811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.()f x 在()0,π取得2次最大值C.()f x 的单调递增区间的长度（区间右端点减去左端点得到的值）的取值范围是()1,3D.已知t ∈R ，若存在t ，ω，使得()f x 在[](),0t t s s +>上的值域为[]1,1-，则3π11s ≥【答案】ABD 【解析】【分析】化简()f x πcos 6x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，由题意得5π7ππ262πω<-≤，求解即可判断A ；()f x 在()0,π上取得2次最大值，可判断B ；()2π6π3π,,114T f x ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭的单调递增区间的长度为2T ，可判断C ；由题意min3π211T s ⎛⎫≥=⎪⎝⎭，可判断D ．【详解】()7π5ππ5ππ5ππ5ππ5ππ5πππcos 2sin sin cos 2sin sin cos cos sin sin cos cos 181891891891891891896f x x x x x x x x x ωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=----=---=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω-<-<-，所以5π7π811π,26233πωω<-≤<≤，A 正确；由A 选项分析可知当()0,πx ∈时，有πππ5ππ6662x ωω-<-<-<，所以当6π0x ω-=或2π6πx ω-=时，()f x 在()0,π上取得2次最大值，B 正确；由A 选项可知811,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以周期2π6π3π,114T ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，所以3π3π,2118T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()f x 的单调递增区间的长度范围为3π3π,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错误；若存在811,,33t R ω⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦，使得()f x 在[](),0t t s s +>上的值域为[]1,1-，则min 3π211T s ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，D 正确．故选：ABD ．【点睛】易错点睛：本题易错的地方在于C 选项中对区间长度的定义没有理解正确，从而错选C 选项导致错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,∞+上单调递减，则m =______.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 值，再根据在()0,∞+上单调递减求值即可.【详解】因为()()224122m m f x m m x-+=--为幂函数，所以2221m m --=；解得1m =-或3m =，又因为()f x 在()0,∞+上递减，所以2410m m -+<，故3m =.故答案为：314.将函数()32log f x x =+图象上所有点的横坐标变化到原来的()0m m >倍，纵坐标保持不变，得到()3log g x x =的图象，则m =______.【答案】9【解析】【分析】设()32log f x x =+图象上点(),x y ，变换后得到(),mx y ，代入()3log g x x =中，从而得到方程，求出答案.【详解】设函数()32log f x x =+图象上点(),x y ，横坐标变化到原来的()0m m >倍得到(),mx y ，又(),mx y 在()3log g x x =，故3log y x m =，又32log y x =+，即332log log x x m +=，即33l g 9o log x x m =，故9m =.故答案为：915.正五角星是一个有趣的图形，如图，顺次连接正五角星各顶点，可得到一个正五边形，正五角星各边又围成一个小的正五边形，则大五边形与小五边形的边长之比为___________．（参考数据1sin184-︒=）【答案】32+【解析】【分析】画出图形，根据题意得到12cos36ABAD =︒，21cos 72DE AD︒=，再结合二倍角公式求解即可.【详解】如图，ABD △为等腰三角形36BAD ∠=︒，12cos36ABAD =︒，ADE V 为等腰三角形，72ADE ∠=︒，21cos 72DEAD ︒=，所以2cos3612sin 185135cos72sin1822AB DE ︒-︒+====︒︒．故答案为：32+16.已知函数()cos2sin x af x x+=，若对任意()0,x π∈恒有()3f x ≤，则a 的取值集合为________．【答案】{}1-【解析】【分析】由绝对值不等式解得3sin cos23sin cos2a x xa x x≤-⎧⎨≥--⎩对()0,x π∈恒成立，再结合二次函数的图象和单调性即可得到答案.【详解】因为()0,π,sin 0x x ∈>，所以()33sin cos23sin f x x x a x ≤⇔-≤+≤⇔3sin cos23sin cos2a x xa x x ≤-⎧⎨≥--⎩，因为223173sin cos 23sin 2sin 12sin 48x x x x x ⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为sin 0x >，则23sin 2sin 11x x +->-，2223173173sin cos22sin 3sin 12sin 2014848x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=--<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a -≤≤-，故1a =-，所以a 的取值集合为{}1-．故答案为：{}1-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合(){}2log 2,{1}A xy x B x x a ==-=-<∣∣.（1）若2a =-，求A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）{31}xx -<<-∣（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）由题意得化简集合，结合交集的概念即可得解.（2）由题意B A ⊆，即问题转化为12a +≤恒成立，由此即可得解.【小问1详解】(){}2log 2{2}A x y x x x ==-=<∣∣，由21x +<解得31x -<<-，所以2a =-时，{31}B x x =-<<-∣，所以{31}A B xx =-<<- ∣.【小问2详解】若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，由（1）知{2},{11}A xx B x a x a =<=-<<+∣∣，所以对任意x B ∈，有x A ∈，所以问题转化为12a +≤恒成立，所以1a ≤，即a 的取值范围为(],1-∞.18.（1）已知π02α-<<1cos 2sin 21cos 2sin 2αααα-++++；（2）已知πsin 25αβ++=，1tan 27β=，α，()0,πβ∈，求2βα+的值．【答案】（1）1cos α；（2）π24βα+=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.（2）利用同角公式求出tan 2αβ+，利用二倍角的正切求出tan()αβ+，再利用差角的正切求解作答.【详解】（1）因为π02α-<<，则cos 0α>，sin 0α<，1sin 0α->，221cos 2sin 22sin 2sin cos 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααααα-++=+++()()1sin 2sin sin cos 1sin sin 1cos 2cos cos sin cos cos cos ααααααααααααα-+-=+=+=+．（2）因为α，()0,πβ∈，即有0π2αβ+<<，而π25sin cos 225αβαβ+++==，因此π022αβ+<<，sin 25αβ+==，5sin152tan 22cos 2αβαβαβ++===+，于是()2212tan2422tan 311tan 122αβαβαβ+⨯+===+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又1tan 27β=，则()()()41tan tan372tan tan 141221tan tan 1237βαβββααββαβ-+-⎛⎫⎡⎤+=+-=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+++⨯，而π022αβ+<<，π022α<<，即有0π2βα<+<，所以π24βα+=．19.已知函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()πcos ,02g x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，与()f x 的最大值相同，最小值相同，单调递增区间相同，求()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】19.()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z20.1,224⎡--⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角和正、余弦公式化简函数，然后代入正弦函数单调递减区间求解即可；（2）先根据函数性质求得()1πcos 2264g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后根据π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，确定ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数的性质求解即可.【小问1详解】()2π111πsin cos sin cos sin 22sin 232423f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+==+-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为()π7ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】ππππsin 2cos 2cos 23236x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意知()1πcos 2264g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos 262x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以1πcos 2264x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,224⎡∈--⎢⎣⎦，故π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()g x的值域为1,224⎡--⎢⎣⎦.20.已知2()1x b f x a b =+-（0a >且1a ≠）是R 上的奇函数，且()325f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()22(2)0f mx x f mx -++≥对x R ∈恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）2()121x f x =-+（2）{|66m m -≤≤+【解析】【分析】(1)根据奇函数性质()0=0f ，再根据()325f =，列方程即可求出答案.(2)首先判断()f x 的单调性，根据复合函数内外函数与单调性关系列出不等式计算.【小问1详解】∵()f x 是R 上的奇函数，∴()0=0f ．由21+=01231+=5bbb a b --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可得1b =-，24a =，∵0a >，∴1b =-，=2a ．经检验，此时221()12121x x xf x -=-=++为奇函数，满足题意．∴2()121xf x =-+【小问2详解】∵2()121x f x =-+，∴()f x 在R 上单调递增，又()f x 为R 上的奇函数．∴由()22(2)0f mx x f mx -++≥，得()22(2)(2)f mx x f mx f mx -≥-+=--，∴222mx x mx -≥--，即2(2)20mx x m +-+≥恒成立，当0m =时，不等式220x -+≥不可能对R x ∈恒成立，故0m =不合题意；当0m ≠时，要满足题意，需2>0Δ=()80m m x m --≤⎧⎨⎩，解得66m -≤≤+．∴实数m的取值范围为{|66m m -≤≤+．21.甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪.（1）甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P （元/kg ）与月份t 近似满足关系4843P t =--，月交易是Q （单位：吨）与月份t 近似满足关系3009000Q t =-+，求月交易额y （万元）与月份t 的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大；（2）乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格()f x （单位：元/kg ）与月价x 之间的函数关系：①()xf x ka =（0a >，且1a ≠）；②()2f x x bx c =++；③()πcos4f x A x B =+.①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数并说明理由；②若()48f =，()84f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数的定义域是[]1,11，其中1x =表示1月份，2x =表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg 以下的月份有几个.【答案】（1）2240160012000,484011202400,14t t t y t t t ⎧-+≤≤=⎨-++≤<⎩；4月（2）①应选③，理由见解析；②π()2cos 64f x x =-+，估计有4个月价格在5元/kg 以下【解析】【分析】（1）求出关于y 的解析式即可求解；（2）①根据各函数的性质即可求解；②先求出()f x ，列出不等式求解即可.【小问1详解】由题意得：48431000(3009000)10000t y t --=-+⋅，所以2240160012000,484011202400,14t t t y t t t ⎧-+≤≤=⎨-++≤<⎩，当48t ≤≤时，根据二次函数的性质得4t =时取最大月交易额为6240万元，当14t ≤<时，同理可得3t =时取得最大月交易额为5400万元，所以估计4月的月交易额最大；【小问2详解】①①函数()xf x ka =是单调函数，不符合题意，②二次函数()2f x x bx c =++的的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，③当0A >时，函数()πcos4f x A x B =+在[1,4]上的图象时下降的，在[4,8]上的图象是上升的，在[8,11]上的图象是下降的，满足条件，应选：③；②因为()48f =，()84f =，所以cos π8cos 2π4A B A B +=⎧⎨+=⎩，所以2A =-，6B =，所以π()2cos 64f x x =-+，令πcos 4x t =，所以2[1,2t ∈-，()26f t t =-+，由一次函数图象易知12t >时价格在5元/kg 以下，即1月、6月、7月、8月价格在5元/kg 以下,所以有4个月价格在5元/kg 以下.22.（1）已知(),3,a b ∈+∞，若对任意()1,x ∈+∞，都有2331xa b ab x ≥+--，求a b +的最小值；（2）解关于x 的不等式()()()21log 200xx a a -<>.【答案】（1）6+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）2331x a b ab x ≥+--恒成立，转化为2min331x a b ab x ⎛⎫≥+- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求2min41x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得334a b ab +-≤，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即可得到a b +的最小值；（2）不等式()()()21log 200xx aa -<>可化为()()()211+log 00x x a a -<>，讨论二次项系数2log 0a >，2log 0a =，2log 0a <，再讨论方程()()211+log 0x x a -=的两根1,log 2a -的大小关系，即可得到结论.【详解】（1）因为对任意()1,x ∞∈+，都有2331x a b ab x ≥+--，所以只需要2min 331x a b ab x ⎛⎫≥+- ⎪-⎝⎭，又因为()21122411x x x x =-++≥=--，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，所以334a b ab +-≤，又因为(),3,a b ∞∈+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()233342a b a b a b ab +⎛⎫+-≤+-≤ ⎪⎝⎭，所以()2342a b a b +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得6a b +≥+或6a b +≤-当且仅当3a b ==+a b +的最小值为6+.（2）不等式()()()21log 200xx aa -<>可化为()()()211+log 00x x a a -<>当1a >时，2log 0a >，方程()()211+log 0x x a -=的两根分别为1,log 2a -，且1log 2a >-，不等式的解集为{}log 21a x x -<<；当1a =时，不等式()()211+log 0x x a -<可化为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当112a <<时，2log 0a <，方程()()211+log 0x x a -=的两根分别为1,log 2a -，且1log 2a <-，不等式的解集为{log 2a x x >-或}1x <；当12a =时，不等式()()211+log 0x x a -<可化为()210x ->，不等式的解集为{}1x x ≠；当102a <<时，2log 0a <，方程()()211+log 0x x a -=的两根分别为1,log 2a -，且1log 2a >-，不等式的解集为{log 2a x x <-或}1x >；综上所述，当1a >时，不等式的解集为{}log 21a x x -<<；当1a =时，不等式的解集为{}1x x <；当112a <<时，不等式的解集为{log 2a x x >-或}1x <；当12a=时，不等式的解集为{}1x x≠；。
四川省宜宾市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
四川省宜宾市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题。
1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求解一元一次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】，．故选：C．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元一次不等式的解法，是基础题．2.下列函数中与表示同一函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数.【详解】A项中的函数与已知函数的值域不同，所以不是同一个函数；B项中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，所以是同一个函数；C项中的函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一个函数；D项中的函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数；故选B.【点睛】该题考查的是有关同一函数的判断问题，注意必须保证三要素完全相同才是同一函数，注意对概念的正确理解.3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的角的终边上的一点P的坐标，利用三角函数的定义，求得其余弦值，用诱导公式将式子进行化简，求得最后的结果.【详解】因为在角的终边上，所以，从而求得，所以，而，故选A.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，正确使用公式是解题的关键.4.函数的定义域是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得：，所以函数的定义域为（。
考点：函数的定义域；对数不等式的解法。
点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手：（1）分母不为零；（2）偶次根式的被开方数非负；（3）对数中的真数部分大于0；（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 ；（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等；( 6 )中。
2022-2023学年安徽省皖北地区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年安徽省皖北地区高一（上）期末数学试卷1. 已知集合U ={0,1,2,3,4,5,6}，A ={x ∈N|1≤x <4}，B ={3,4,5,6}，则A ∪(∁U B)=( ) A. [2,6)B. {1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}2. 命题“∀x ∈(0,+∞)，x +sinx >0“的否定是( ) A. ∀x ∈(−∞,0],x +sinx >0 B. ∀x ∈(−∞,0],x +sinx ≤0 C. ∃x ∈(0,+∞)，x +sinx >0 D. ∃x ∈(0,+∞)，x +sinx ≤03. 若幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+1在区间(0,+∞)上单调递减，则m =( )A. 3B. 1C. −1或3D. 1或−34. 已知sin(π−α)+sin(α−π2)=12，则cos(32π+α)1+tan(−α)的值为( ) A. −34B. 34C. −316D. 3165. 神舟十五号载人飞船搭载宇航员费俊龙、邓清明和张陆进入太空，在中国空间站将完成为期6个月的太空驻留任务，期间会进行很多空间科学实验．太空中的水资源极其有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，则至少需要过滤的次数为(参考数据lg2=0.3010)( )A. 17B. 19C. 21D. 236. 若a =log 32，b =log 43，c =tan π81−tan 2π8，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c7. 已知函数f(x)=Acosωx −√3sinωx(ω>0)的部分图象如图，f(x)的对称中心是(kπ2+π6,0)(k ∈Z)，则f(π3)=( )A. 2√3B. −2√3C. 3D. −38. 函数f(x)=(x −1)−1−sin[π(x +1)]在(−2,4)内的零点之和为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 29. 下列命题为真命题的是( )A. A∩B≠⌀是A⊆B的必要条件B. x>√2是x>1的充分不必要条件C. m≠0是mn≠0的充分条件D. a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c10. 设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]=2.令函数f(x)=x−[x]，以下结论正确的有( )A. f(−1.7)=0.3B. f(x+1)=f(x)C. f(x)的值域为[0,1]D. F(x)=f(x)+x−1的零点有2个11. 若x>0，y>0，且2x+y=xy，则( )A. 2x +2y>1B. x+2y+xy≥9+6√2C. xy≤8D. 1x−1+2y−2≥212. 已知函数f(x)=√3sin|x|+|cosx|，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数B. 函数f(x)在[−7π6,−2π3]上单调递增C. 若方程f(x)=m在区间[0,π]内有4个不同的根，则√3<m<2D. 函数f(x)在区间[−10,10]内，共有6个零点13. 杭州2022年第19届亚运会会徽(图1)象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前．图2是会徽抽象出的几何图形．设AD⏜的长度是l 1，BC ⏜的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2=3，则S1S 2=______.14. 已知函数y =(m +1)x 2−mx +m −1(m ∈R)，若不等式y <0的解集非空，则m 的取值范围是______.15. 计算：2cos70∘+tan20∘2=______.16. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意x ∈(0,+∞)都满足：f(f(x)−3log 2x)=5，则满足不等式f(x)−2<log 2(3x)的x 的取值范围是______.17. 计算下列各式的值．(1)823+lg2+lg50−√(−9)24； (2)设2a =3b =18，求2a+bab. 18. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 3−3x +4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)①证明函数f(x)在(0,1)上是单调递减函数； ②判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性(不要证明)； (3)根据你对该函数的理解，作出函数f(x)(x ∈R)的图象． (不需要说明理由，但要有关键特征，标出关键点) [本题可能使用到的公式：a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)]19. 已知tan(π4+α)=2,sin(α−β)=1√5,α∈(0,π4),β∈(−π4,0).(1)求12sinαcosα+cos 2α的值； (2)求2α−β的值．20. 在①不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，②当x =1时，f(x)取得最大值4，③f(x +1)=f(1−x)，f(0)=3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知函数f(x)=ax 2+2x −c ，且_____. (1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在[m,n](m <n)上的值域为[n −3,7−2m]，求m +n 的值．21. 已知函数f(x)=√3sin(ωx +φ)−2cos 2(ωx+φ2)+1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈[−π4,π2]时，求f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y =g(x)的图象，记方程g(x)=43在x ∈[π6,4π3]上的根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ，试确定n 的值，并求x 1+2x 2+2x 3+…+2x n−1+x n 的值．22. 已知函数f(x)=log 2(4x +1)+kx 为偶函数．(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式f(2m +1)>f(m −1)；(3)设g(x)=log 2(a ⋅2x +a)(a ≠0)，若函数f(x)与g(x)图象有2个公共点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U ={0,1,2,3,4,5,6}，A ={1,2,3}，B ={3,4,5,6}， ∴∁U B ={0,1,2}，A ∪(∁U B)={0,1,2,3}. 故选：D.可求出集合A ，然后进行补集和并集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于简单题．2.【答案】D【解析】解：命题“∀x ∈(0,+∞)，x +sinx >0“的否定是∃x ∈(0,+∞)，x +sinx ≤0， 故选：D.含有一个量词的命题的否定，要将“∀”变成“∃”，同时对命题再作否定． 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+1在区间(0,+∞)上单调递减，则{m 2−2m −2=1m 2−4m +1<0， 解得m =3或m =−2(舍). 故选：A.由已知结合幂函数的定义及性质即可求解． 本题主要考查了幂函数的定义及性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为sin(π−α)+sin(α−π2)=sinα−cosα=12， 两边平方，可得1−2sinαcosα=14，可得sinαcosα=38， 所以cos(32π+α)1+tan(−α)=sinα1−tanα=sinα1−sinαcosα=sinαcosαcosα−sinα=38−12=−34.故选：A.利用诱导公式化简已知等式可得sinα−cosα=12，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得sinαcosα=38，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设过滤的次数为n ，原来水中杂质为1， 则由题意得(1−20%)n <1%， 即0.8n <1100， 所以lg0.8n <−2，所以n >−2lg0.8=21−3lg2≈20.6， 因为n ∈N ∗，所以n 的最小值为21， 则至少要过滤21次． 故选：C.由指数、对数的运算性质求解即可．本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：∵24<33，∴2<334， ∴log 3√3<log 32<log 3334，∴12<a <34，∵b =log 43>log 42√2=34， c =tan π81−tan 2π8=12×2tan π81−tan 2π8=12×tan π4=12，∴c <a <b ， 故选：B.利用对数函数和指数函数的性质求出12<a <34，b >34，利用二倍角公式求出c =12即可． 本题考查对数函数和指数函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：f(0)=A >0，f(x)=Acosωx −√3sinωx =√A 2+3cos(ωx +φ)， 由f(x)的对称中心是(kπ2+π6,0)(k ∈Z)， 可得f(x)的最小正周期T =π，即ω=2，可得f(π6)=Acos π3−√3sin π3=12A −32=0，解得A =3， 所以f(π3)=3cos 2π3−√3sin 2π3=3×(−12)−√3×√32=−3.故选：D.由题意可得f(x)=√A2+3cos(ωx+φ)，由f(x)的对称中心可求最小正周期，利用周期公式可求)=0，解得A的值，即可得解．ω，由f(π6本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式，三角函数的图象与性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)在(−2,4)内的零点为方程(x−1)−1=sin[π(x+1)]在(−2,4)的根，与y=sin[π(x+1)]在(−2,4)的交点，即函数y=1x−1与y=sin[π(x+1)]在(−2,4)的图象都关于(1,0)对称，又函数y=1x−1与y=sin[π(x+1)]在(−2,4)的图象，作出函数y=1x−1由图象可知f(x)在(−2,4)上有4个零点，所以零点之和为4，故选：C.与y=函数f(x)在(−2,4)内的零点为方程(x−1)−1=sin[π(x+1)]在(−2,4)的根，即函数y=1x−1sin[π(x+1)]在(−2,4)的交点，函数y=1与y=sin[π(x+1)]在(−2,4)的图象都关于(1,0)对称，x−1与y=sin[π(x+1)]在(−2,4)的图象，即可得出答案．作出函数y=1x−1本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：A：当A={0,1}，B={1,2}，此时A∩B={1}，但是A⊈B，故充分性不成立，当A=⌀时，B={1}时，A⊆B，但是A∩B=⌀，故必要性不成立，故A错误，B：当x>√2时，x>1一定成立，故充分性成立，当x=1.2时，x<√2，故必要性不成立，故B 正确，C：当m≠0，n=0时，mn=0，所以充分性不成立，故C错误，D：当a2+b2+c2=ab+bc+ac时，2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0，所以a=b=c，故充分性成立，当a=b=c时，a2+b2+c2=ab+bc+ac，故必要性成立，故D正确，故选：BD.利用充分，必要条件的定义对各个选项逐个判断即可求解．本题考查了充分，必要条件的定义的应用，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：选项A，f(−1.7)=−1.7−[−1.7]=−1.7−(−2)=0.3，即A正确；选项B，f(x+1)=x+1−[x+1]=x+1−([x]+1)=x−[x]=f(x)，即B正确；选项C，由选项B可知，f(x)是周期为1的周期函数，当x=0时，f(0)=0−[0]=0，当0<x<1时，f(x)=x−[x]=x−0=x∈(0,1)，当x=1时，f(1)=1−[1]=0，综上，f(x)的值域为[0,1),即C错误；选项D，由选项C，可知f(x)={0,x=0x,0<x<10,x=1，且f(x)的周期为1，令F(x)=f(x)+x−1=0，则f(x)=1−x，原问题转化为函数y=f(x)与函数y=1−x的交点个数，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如下所示，由图可知，交点个数有2个，所以F(x)=f(x)+x−1的零点有2个．故选：ABD.选项A，直接计算f(−1.7)的值，即可；选项B，根据高斯函数的含义，可得f(x+1)=x+1−([x]+1)=f(x)，从而得解；选项C ，由上可得f(x)是周期为1的周期函数，再分析函数f(x)在[0,1]上的解析式，即可得解； 选项D ，原问题可转化为函数y =f(x)与函数y =1−x 的交点个数，再在同一坐标系中作出这两个函数的图象，得解．本题考查函数的综合问题，理解高斯函数的含义，函数的零点与函数图象的交点个数之间的联系，熟练掌握分段函数的图象是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，若x >0，y >0，且2x +y =xy ，则有2x+y xy=2y+1x=1，则2y+2x>2y+1x=1，A 正确；对于B ，x +2y +xy =3x +3y =3(x +y)(2y+1x )=9+6x y +3yx≥9+6×√2x y ×yx=9+6√2，当且仅当y =√2x 时等号成立，B 正确；对于C ，xy =2x +y ≥2√2xy ，即xy ≥2√2xy ，解可得xy ≥8，当且仅当y =2x 是等号成立，C 错误；对于D ，若x >0，y >0，且2x +y =xy ，变形可得(x −1)(y −2)=2，则有x −1>0，y −2>0， 则1x−1+2y−2≥2√1x−1×2y−2=2√2(x−1)(y−2)=2，当且仅当1x−1=2y−2时等号成立，D 正确； 故选：ABD.根据题意，由基本不等式的性质依次分析选项是否成立，即可得答案． 本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的变形，属于基础题．12.【答案】BCD【解析】解：根据题意，函数f(x)=√3sin|x|+|cosx|，其草图如图： 依次分析选项：对于A ，f(−π2)=√3sin|−π2|+|cos(−π2)|=√3，而f(3π2)=√3sin|3π2|+|cos(3π2)|=−√3，则2π不是函数f(x)的周期，A 错误；对于B ，在区间[−7π6,−2π3]上，cosx <0，此时f(x)=√3sin(−x)−cosx =−√3sinx −cosx =−2sin(x +π6)，由于x ∈[−7π6,−2π3]，则x +π6[−π,−π2]，此时y =sin(x +π6)为减函数，则函数f(x)在[−7π6,−2π3]上单调递增，B 正确；对于C ，在区间[0,π2]上，f(x)=√3sinx +cosx =2sin(x +π6)，在区间(π2,π]上，f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，若方程f(x)=m 在区间[0,π]内有4个不同的根，即函数y =f(x)与直线y =m 在区间[0,π]上有4个不同的交点，易得√3<m <2，C 正确；对于D ，因为函数f(x)=√3sin|x|+|cosx|，满足f(−x)=√3sin|−x|+|cos(−x)|=√3sin|x|+|cosx|，所以f(x)是偶函数，由函数的图象，在区间[0,10]上，f(x)有3个零点，则f(x)在区间[−10,10]内，共有6个零点，D 正确； 故选：BCD.根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查三角函数的图象和性质，涉及函数与方程的关系以及函数零点的判断方法，属于中档题．13.【答案】8【解析】解：设∠BOC =α，由l 1l 2=3，得|OA|⋅α|OB|⋅α=|OA||OB|=3，即|OA|=3|OB|，则S 1S 2=12α⋅|OA|2−12α⋅|OB|212α⋅|OB|2=|OA|2−|OB|2|OB|2=9|OB|2−|OB|2|OB|2=8.故答案为：8.由弧长比可得|OA|=3|OB|，结合扇形面积公式得答案．本题考查扇形弧长与面积公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】(−∞,2√33) 【解析】解：当m +1=0，即m =−1时，不等式y <0化为：x −2<0，解得x <2满足题意， 当m +1>0，即m >−1时，不等式(m +1)x 2−mx +m −1<0的解集非空， 只需Δ=m 2−4(m +1)(m −1)>0，解得−1<m <2√33， 当m +1<0，即m <−1时，不等式(m +1)x 2−mx +m −1<0解集非空一定成立， 综上，实数m 的范围为m <2√33， 故答案为：(−∞,2√33).分别讨论m +1=0，m +1>0，m +1<0三种情况，然后根据二次函数的性质分别求解即可． 本题考查了一元二次不等式的解法，涉及到二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于基础题．15.【答案】√32【解析】解：2cos70∘+tan20∘2=2sin20∘+sin20∘2cos20∘=2sin40∘+sin20∘2cos20∘=2sin(60∘−20∘)+sin20∘2cos20∘=√3cos20∘−sin20∘+sin20∘2cos20∘=√32.故答案为：√32.由已知结合同角基本关系，二倍角公式及两角差的正弦公式进行化简即可求解．本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及两角差的正弦公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．16.【答案】(0,√3)【解析】解：因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意x ∈(0,+∞)都满足：f(f(x)−3log 2x)=5，故可设f(x)−3log 2x =t ，t >0，则f(x)=t +3log 2x ，f(t)=t +3log 2t =5， 解得t =2，则不等式f(x)−2<log 2(3x)可化为3log 2x <log 2(3x)， 所以{x >0x 3<3x ，解得0<x <√3. 故答案为：(0,√3).由已知结合函数的单调性可先求出f(x)，然后结合对数函数的单调性即可求解． 本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，解题的关键是求出函数的解析式．17.【答案】解：(1)823+lg2+lg50−√(−9)24=(23)23+lg100−√344=22+2−3=3；(2)2a =3b =18，则a =log 218，b =log 318， 所以1a =log 182，1b =log 183， 所以2a+b ab =2b +1a=2log 183+log 182=log 18(32×2)=1.【解析】(1)由对数的运算性质、指数幂及根式的运算求解即可； (2)由指数与对数的互化公式及对数的运算性质即可求解．本题主要考查对数的运算性质，指数与对数的互化，指数幂及根式的运算，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)设x <0，则−x >0，∴f(−x)=−x 3+3x +4，又f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴−f(x)=−x 3+3x +4， ∴f(x)=x 3−3x −4，(x <0)，又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)=0， 综合得f(x)={x 3−3x +4,x >00,x =0x 3−3x −4,x <0；(2)∵x >0时，f(x)=x 3−3x +4， ①证明：∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 13−3x 1+4−(x 23−3x 2+4)=x 13−x 23−3(x 1−x 2)=(x 1−x 2)(x 12+x 1x 2+x 22−3)，又x 1<x 2，∴x 1−x 2<0， ∵x 1，x 2∈(0,1)，∴x 12<1，x 1x 2<1，x 22<1， ∴x 12+x 1x 2+x 22<3， ∴x 12+x 1x 2+x 22−3<0，∴f(x 1)−f(x 2)>0， ∴f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(0,1)上是单调递减函数； ②当x ∈[1,+∞)时，由①易知：f(x)在∈[1,+∞)上是单调递增函数； (3)f(x)的图象，如图所示：【解析】(1)根据化归转化思想，奇函数的性质，即可求解； (2)①根据导函数的符号即可证明；②根据导函数的符号即可判断；(3)根据(1)的函数解析式及奇函数的性质，即可作图．本题考查奇函数的解析式的求解，奇函数的单调性，奇函数的图像性质，属中档题．19.【答案】解：(1)由于tan(π4+α)=2,α∈(0,π4)，所以tan π4+tanα1−tan π4tanα=2，解得tanα=13，所以12sinαcosα+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sinαcosα+cos 2α=tan 2α+12tanα+1=23；(2)由于α∈(0,π4),β∈(−π4,0)，所以α−β∈(0,π2)，由于sin(α−β)=√5cos(α−β)=2√55，故tan(α−β)=12，所以tan(2α−β)=tan[α+(α−β)]=tanα+tan(α−β)1−tanαtan(α−β)=12+131−13×12=1，由于α∈(0,π4),β∈(−π4,0)， 故2α−β∈(0,3π4)； 所以2α−β=π4. 【解析】(1)直接利用和角的正切值的关系式的变换求出tanα的值，进一步利用同角三角函数关系式的变换求出结果；(2)利用角的恒等变换和角的正切值求出2α−β的值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．20.【答案】解：(1)选①，不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，即−1，3是方程ax 2+2x −c =0两个实数根， 则{−1+3=−2a −1×3=−c a ，解得a =−1，c =−3，故f(x)=−x 2+2x +3；选②，由题意可得，{−1a =1f(1)=−a +2−c =4，解得a =−1，c =−3，故f(x)=−x 2+2x +3； 选③，f(x +1)=f(1−x)，则f(x)图象的对称轴方程为x =1，即−1a=1，解得a =−1， ∵f(0)=3， ∴c =−3，故f(x)=−x 2+2x +3；(2)f(x)=−x 2+2x +3在R 上的值域为(−∞,4], 则7−2m ≤4，解得m ≥32， ∵f(x)图象的对称轴方程为x =1， ∴f(x)在[m,n]上单调递减，∴{f(m)=−m 2+2m +3=7−2m f(n)=−n 2+2n +3=n −3，解得m =2，n =3， 故n +m =5.【解析】(1)选①，根据已知条件，结合韦达定理，即可求解； 选②，根据已知条件，结合当x =1时，f(x)取得最大值4，即可求解； 选③，结合二次函数的性质，即可求解．(2)根据已知条件，先求出m 的取值范围，再结合二次函数的性质，即可求解． 本题主要考查二次函数的性质，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=2sin(ωx +φ−π6)，因为f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T =π=2πω，∴ω=2， 又由f(x)为奇函数，可得f(0)=2sin(φ−π6)=0，∴φ−π6=kπ，k ∈Z ， ∵0<φ<π，∴φ=π6，∴函数f(x)=2sin2x ，令π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π4+kπ≤x ≤3π4+kπ，k ∈Z ， 则f(x)的单调递减区间为：[π4+kπ,3π4+kπ]，k ∈Z ，又x ∈[−π4,π2]， 可得f(x)的单调递减区间为[π4,π2]；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y =2sin(2x −π3)的图象， 再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y =g(x)的图象， g(x)=2sin(4x −π3)，由方程g(x)=43，即2sin(4x −π3)=43，sin(4x −π3)=23， ∵x ∈[π6,4π3]，可得4x −π3∈[π3,5π]，设θ=4x −π3，其中θ∈[π3,5π]，即sinθ=23， 结合正弦函数y =sinθ的图象，可得方程sinθ=23在区间[π3,5π]有5个解，即n =5， 其中θ1+θ2=3π，θ2+θ3=5π，θ3+θ4=7π，θ4+θ5=9π，即4x 1−π3+4x 2−π3=3π，4x 2−π3+4x 3−π3=5π，4x 3−π3+4x 4−π3=7π，4x 4−π3+4x 5−π3=9π，解得x 1+x 2=11π12，x 2+x 3=17π12，x 3+x 4=23π12，x 4+x 5=29π12， 所以x 1+2x 2+2x 3+…+2x n−1+x n =20π3. 【解析】(1)利用二倍角公式将f(x)化简，根据周期，奇偶性确定函数f(x)的解析式；(2)先根据三角函数变换得到g(x)解析式，从而根据方程g(x)=43，根据三角函数的对称性，找到x 1，x 2，x 3，…，x n 的数量关系．本题考查二倍角公式，三角函数周期，奇偶性，平移变换，对称的性质，方程的零点问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数的定义域为R ，因为函数f(x)=log 2(4x +1)+kx 为偶函数．所以f(−x)=f(x)，即log 2(4−x +1)−kx =log 2(4x +1)+kx ， 所以2kx =log 2(4−x +1)−log 2(4x +1)=log 24x +14x4x+1=log 24−x =−2x ，所以k =−1；(2)因为f(x)=log 2(4x+1)−x =log 2(4x +12x )=log 2(2x +12x)， 当x ≥0时，2x ≥1，y =2x +12x单调递增， 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，又函数f(x)为偶函数， 所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0]上单调递减；因为f(2m +1)>f(m −1)，所以|2m +1|>|m −1|，解得m <−2或m >0， 所以所求不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,+∞)； (3)因为函数f(x)与g(x)图象有2个公共点，所以g(x)=log 2(a ⋅2x+a)=f(x)=log 2(4x+1)−x =log 2(4x +12x )，即a ⋅2x+a =4x +12x=2x +12x，a ⋅2x +a >0，设t =2x >0，则at +a =t +1t ，即(a −1)t 2+at −1=0， 又t =2x 在R 上单调递增，所以方程(a −1)t 2+at −1=0有两个不等的正根；所以{a −1≠0Δ=a 2−4(a −1)×(−1)>0−a a−1>0−1a−1>0，解得2√2−2<a <1，所以a 的取值范围为(2√2−2,1).【解析】(1)根据偶函数的定义及性质直接化简求值；(2)判断x≥0时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；(3)由函数f(x)与g(x)图象有2个公共点，可得a⋅2x+a=2x+1有两个实数根，再利用换元法2x转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围．本题考查了函数的奇偶性，不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和方程思想，属中档题．。
2021-2022学年安徽省合肥一中高一(上)期末数学试卷
2021－2022学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题： ①A ∩B ＝A ； ②A ∪B ＝A ； ③A ∩（∁I B ）＝A ； ④A ∩B ＝I ．中与命题A ⊆B 等价的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．函数y ＝sin （−x 2＋π4）的最小正周期为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．π23．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为（ ）A ．24B ．32C ．20D ．284．已知tanα＝13，则sin2α＝（ ） A ．45B ．35C ．310D ．1105．给出下列命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关； （3）若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； （4）若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限角． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列各组函数f （x ）与g （x ）的图象相同的是（ ） A ．f （x ）＝x ，g （x ）＝（√x ）2 B ．f （x ）＝|x |，g （x ）＝{x(x ≥0)−x(x ＜0)C ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．f （x ）＝x 2，g （x ）＝（x ＋1）27．已知函数f （x ）＝log 3x 的图象与函数g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，函数h （x ）是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，h （x ）＝g （x ）－1，若函数y ＝k •f （x ）＋h （x ）有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（1，2log 73） B ．（－2，－2log 53）C ．（－2log 53，－1）D ．（－log 73，−12）8．设函数f （x ）＝{3x −2，x ＞0−3−x ＋2，x ＜0，则下列结论错误的是（ ）A ．函数f （x ）的值域为RB ．函数f （x ）是奇函数C ．f （|x |）是偶函数D ．f （x ）在定义域上是单调函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. （多选）9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．tan4⋅cos2⋅sin(−23π4)的符号为正B ．函数y ＝√cosx ⋅tanx 的定义域为[2kπ，2kπ＋π2)∪(2kπ＋π2，2kπ＋π]，k ∈Z C ．若θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝√3−12，则tan θ＝−√3或tan θ＝−√33 D ．cos(α−π)sin(π−α)tan （π＋α）＝－1（多选）10．以下函数在区间(0，π2)上为单调增函数的有（ ） A ．y ＝sin x ＋cos x B ．y ＝sin x －cos xC ．y ＝sin x •cos xD ．y ＝sinxcosx（多选）11．给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A ．函数y ＝(12)−x2＋1的最大值为12B ．已知函数y ＝log a （2－ax ）（a ＞0且a ≠1）在（0，1）上是减函数，则实数a 的取值范围是（1，2）C ．函数f （x ）满足f （x ）－2f （－x ）＝2x －1，则f （3）＝3D ．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在（－∞，0）内有1010个零点，则函数f （x ）的零点个数为2021 （多选）12．已知f （x ）为R 上的奇函数．且当x ＞0时，f （x ）＝lg x ．记g （x ）＝sin x ＋f （x ）•cos x ，下列结论正确的是（ ）A ．g （x ）为奇函数B ．若g （x ）的一个零点为x 0，且x 0＜0，则lg （－x 0）－tan x 0＝0C ．g （x ）在区间（−π2，π）的零点个数为3个D ．若g （x ）大于1的零点从小到大依次为x 1，x 2，…，则2π＜x 1＋x 2＜3π 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上. 13．已知α，β均为锐角，tan α＝15，tan β＝23，则α＋β的值为15．已知函数f （x ）定义域为D ，若满足①f （x ）在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[a2，b 2]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f(x)＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则t 的取值范围为 ．16．函数f （x ）＝A cos （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （1）＋f （2）＋f （3）＋⋯＋f （2020）＋f （2021）＝ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）设U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |x−2x−4＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1，a ∈R }．（1）分别求A ∩B ，A ∪（∁U B ）； （2）若B ∩C ＝C ，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数f （x ）＝b •a x （a ，b 为常数，a ＞0且a ≠1）的图象经过点A （1，8），B （3，32）． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若不等式(1a )x ＋(1b )x −m ≥0在x ≤1时恒成立，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）＝4cos x sin （x ＋π6）－1． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin2x ＋2，g （x ）＝f （x ）＋2√3cos 2x −√3． （Ⅰ）若角θ满足tan θ＋1tanθ＝3，求f （θ）；（Ⅱ）若圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为L ，且g （θ）＝2，θ∈（0，π），求L ．21．（12分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为y＝{169−2x−1，0≤x≤316−2x−3，3＜x≤7．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3，lg15≈1.17）（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中0＜1≤3．①求g（t）的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x＋a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2－2e f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）＋ln（2x－k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；（Ⅲ）设m＞0，若对于任意x∈[1m，m]，都有g（x）＜－ln（m－1），求m的取值范围．2021－2022学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题： ①A ∩B ＝A ； ②A ∪B ＝A ； ③A ∩（∁I B ）＝A ； ④A ∩B ＝I ．中与命题A ⊆B 等价的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解：由A 、B 是全集I 的真子集，得： 对于①，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故①正确， 对于②，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，故②错误，对于③，A ∩（∁I B ）＝A ⇔A ⊆（∁I B ），故③错误，对于④，∵A 、B 是全集I 的真子集，∴A ∩B ＝I 不成立，故④错误． 故选：B ．2．函数y ＝sin （−x2＋π4）的最小正周期为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．π2解：y ＝sin （−x2＋π4）＝－sin （x2−π4），由角函数的周期公式可得函数的周期T ＝2π12＝4π，故选：C ．3．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为（ ）A ．24B ．32C ．20D ．28解：∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝（x ＋2＋y ＋2）－4＝6(1x ＋2＋1y ＋2)（x ＋2＋y ＋2）－4＝6(2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2)−4≥6×(2＋2√x ＋2y ＋2⋅y ＋2x ＋2)−4＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取等号． ∴x ＋y 的最小值为20． 故选：C ．4．已知tanα＝13，则sin2α＝（ ） A ．45B ．35C ．310D ．110解：已知tanα＝13，所以sin2α＝2sinαcosαsin 2α＋cos 2α＝2tanα1＋tan 2α＝2319＋1＝35； 故选：B ． 5．给出下列命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关； （3）若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； （4）若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限角． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：（1）因为－210°是第二象限角，10°是第一象限角，但－210°＜10°，故（1）错误， （2）根据角的定义可判断（2）正确，（3）当α＝π6，β＝5π6时，sin α＝sin β，此时α，β的终边关于y 轴对称，故（3）错误， （4）当θ＝π时，cos θ＝－1＜0，此时θ的终边在x 轴的负半轴上，故（4）错误， 故选：A ．6．下列各组函数f （x ）与g （x ）的图象相同的是（ ） A ．f （x ）＝x ，g （x ）＝（√x ）2 B ．f （x ）＝|x |，g （x ）＝{x(x ≥0)−x(x ＜0)C ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．f （x ）＝x 2，g （x ）＝（x ＋1）2解：选项A ：f （x ）＝x ，定义域为R ，图象为一条直线，g （x ）＝（√x ）2＝x 定义域为[0，＋∞），图象为一条射线，故选项A 不对； 选项B ：f （x ）＝|x |，g （x ）＝{x(x ≥0)−x(x ＜0)=＝|x |，f （x ）与g （x ）的定义域和对应关系都是一样的，所以函数的图象是相同的，故选项B 是对的；选项C ：f （x ）＝1，g （x ）＝x 0＝1，（x ≠0），两函数的定义域不同，f （x ）的图象不一条直线，g （x ）的图象为一条直线上除去一点（0，1），∴两函数的图象不相同，故选项C 不对；选项D ：将f （x ）＝x 2，的图象向左平移一个单位得到g （x ）＝（x ＋1）2的图象，所以两函数的图象是不一样的，故选项D 不对． 故选：B ．7．已知函数f （x ）＝log 3x 的图象与函数g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，函数h （x ）是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，h （x ）＝g （x ）－1，若函数y ＝k •f （x ）＋h （x ）有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（1，2log 73） B ．（－2，－2log 53）C ．（－2log 53，－1）D ．（－log 73，−12）解：由函数f （x ）＝log 3x 的图象与函数g （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，得g （x ）＝3x ， 函数h （x ）是最小正周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，h （x ）＝g （x ）－1＝3x －1， 函数y ＝k •f （x ）＋h （x ）有3个零点，即k log 3x ＝－h （x ）有3个不同根， 画出函数y ＝k log 3x 与y ＝－h （x ）的图象如图：要使函数y ＝k log 3x 与y ＝－h （x ）的图象有3个交点，则 k ＜0，且{klog 33＞−2klog 35＜−2，即－2＜k ＜－2log 53．∴实数k 的取值范围是（－2，－2log 53）． 故选：B ．8．设函数f （x ）＝{3x −2，x ＞0−3−x＋2，x ＜0，则下列结论错误的是（ ）A ．函数f （x ）的值域为RB ．函数f （x ）是奇函数C ．f （|x |）是偶函数D ．f （x ）在定义域上是单调函数解：x ＞0时，f （x ）单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝－1； x ＜0时，f （x ）单调递增，所以f （x ）＜f （0）＝1，故f （x ）的值域为（－∞，1）∪（－1，＋∞）＝R ，故A 正确； 当x ＞0时，－x ＜0，∴f （x ）＝3x －2，f （－x ）＝－3x ＋2＝－（3x －2）＝－f （x ）； 当x ＜0时，－x ＞0，∵f （x ）＝－3－x ＋2，f （－x ）＝3－x －2＝－（－3－x ＋2）＝－f （x ），∴x ≠0时，恒有f （－x ）＝－f （x ），所以f （x ）为奇函数，故B 正确；∵f （|－x |）＝f （|x |），且定义域关于原点对称，所以f （|x |）为偶函数，故C 正确； ∵x ＜0时，f （x ）单调递增，x ＞0时，f （x ）单调递增，且－30＋2＞30－2，所以D 错误． 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. （多选）9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．tan4⋅cos2⋅sin(−23π4)的符号为正B ．函数y ＝√cosx ⋅tanx 的定义域为[2kπ，2kπ＋π2)∪(2kπ＋π2，2kπ＋π]，k ∈Z C ．若θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝√3−12，则tan θ＝−√3或tan θ＝−√33 D ．cos(α−π)sin(π−α)tan （π＋α）＝－1解：对于A ，∵π＜4＜3π2，∴tan4＞0，∵π2＜2＜π，∴cos2＜0，∵sin （−23π4）＝sin （－6π＋π4）＝sin π4＞0，∴tan4⋅cos2⋅sin(−23π4)的符号为负，故A 错误； 对于B ，由cos x tan x ≥0，得sin x ≥0，且x 不为y 轴上的角， ∴2kπ≤x ＜2kπ＋π2或2k π＋π2＜x ≤2kπ＋π，k ∈Z ，∴函数y ＝√cosx ⋅tanx 的定义域为[2k π，π2＋2kπ）∪（π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，由sin θ＋cosθ＝√3−12，得（sin θ＋cos θ）2＝（√3−12）2，得sin θcos θ＝−√34， ∵θ∈（0，π），sin θ＞0，∴cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝√(sinθ−cosθ)2＝√1−2sinθcosθ＝1＋√32＝√2＋√32＝√4＋2√34＝√3＋12，∴sin θ＝√3−12＋√3＋122＝√32，cos θ＝√3−12−√3＋122＝−12，∴tan θ＝sinθcosθ＝−√3，故C 错误；对于D ，cos(α−π)sin(π−α)tan （π＋α）＝−cosαsinα⋅tanα＝−1，故D 正确． 故选：B D ．（多选）10．以下函数在区间(0，π2)上为单调增函数的有（ ） A ．y ＝sin x ＋cos x B ．y ＝sin x －cos xC ．y ＝sin x •cos xD ．y ＝sinxcosx在区间(0，π2)上，由于x ＋π4∈（π4，3π4），故y ＝sin x ＋cos x ＝√22sin （x ＋π4） 没有单调性，故排除A ； 在区间(0，π2)上，由于x −π4∈（−π4，π4），故y ＝sin x －cos x ＝√22sin （x −π4） 单调递增，故B 满足条件；在区间(0，π2)上，由于2x ∈（0，π），故y ＝sin x •cos x ＝12sin2x 没有单调性，故排除C ； 在区间(0，π2)上，由于 故y ＝sinxcosx＝tan x 单调递增，故D 满足条件， 故选：B D ．（多选）11．给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A ．函数y ＝(12)−x2＋1的最大值为12B ．已知函数y ＝log a （2－ax ）（a ＞0且a ≠1）在（0，1）上是减函数，则实数a 的取值范围是（1，2）C ．函数f （x ）满足f （x ）－2f （－x ）＝2x －1，则f （3）＝3D ．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在（－∞，0）内有1010个零点，则函数f （x ）的零点个数为2021 解：对于A ，函数y ＝(12)−x 2＋1中，若令t ＝－x 2＋1∈（－∞，1]，即有y ＝(12)t ∈[12，＋∞），所以函数y ＝(12)−x2＋1的最小值为12，故A 错误；对于B ，函数y ＝log a （2－ax ）（a ＞0且a ≠1）在（0，1）上是减函数，知：1＜a ＜2x，即有a ∈（1，2]，故B 错误；对于C ，因为函数f （x ）－2f （－x ）＝2x －1①， 所以f （－x ）－2f （x ）＝－2x －1②，由①②消去f （－x ）可得：f （x ）＝23x ＋1，所以f （3）＝3，故C 正确；对于D ，定义在R 上的奇函数f （x ）在（－∞，0）内有1010个零点，由函数的对称性可知f （x ）在（0，＋∞）内有1010个零点，即函数f （x ）的零点个数为2021，故D 正确． 故选：C D ．（多选）12．已知f （x ）为R 上的奇函数．且当x ＞0时，f （x ）＝lg x ．记g （x ）＝sin x ＋f （x ）•cos x ，下列结论正确的是（ ） A ．g （x ）为奇函数B ．若g （x ）的一个零点为x 0，且x 0＜0，则lg （－x 0）－tan x 0＝0C ．g （x ）在区间（−π2，π）的零点个数为3个D ．若g （x ）大于1的零点从小到大依次为x 1，x 2，…，则2π＜x 1＋x 2＜3π 解：由题意可知，g （x ）的定义域为R ，关于原点对称．∵g （－x ）＝sin （－x ）＋f （－x ）•cos （－x ）＝－sin x －f （x ）•cos x ＝－g （x ）， ∴g （x ）为奇函数，故A 正确；假设cos x ＝0，即x ＝π2＋kπ，k ∈Z 时，sin x ＋f （x ）•cos x ＝sin （π2＋kπ）＝cos k π≠0，∴当x ＝π2＋kπ，k ∈Z 时，g （x ）≠0，当x ≠π2＋kπ，k ∈Z 时，sin x ＋f （x ）•cos x ＝0⇔tan x ＝－f （x ）， 当x 0＜0时，－x 0＞0，则f （x 0）＝－f （－x 0）＝－lg （－x 0），由于g （x ）的一个零点为x 0，则tan x 0＝－f （x 0）＝lg （－x 0）⇒lg （－x 0）－tan x 0＝0，故B 正确； 当x ＞0时，令y 1＝tan x ，y 2＝－lg x ，则g （x ）大于0的零点为y 1＝tan x 与y 2＝－lg x 的交点， 由图可知，函数g （x ）在区间（0，π）上有2个零点，由于函数g （x ）为奇函数，则在（−π2，0） 上有1个零点，且g （0）＝sin0＋f （0）•cos0＝0，0是一个零点， ∴g （x ）在区间（−π2，π）的零点个数为4个，故C 错误； 由图可知，g （x ）大于1的零点π2＜x 1＜π，3π2＜x 2＜2π，∴2π＜x 1＋x 2＜3π，故D 正确． 故选：AB D ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上.13．已知α，β均为锐角，tan α＝15，tan β＝23，则α＋β的值为π4 解：已知α，β均为锐角，tan α＝15，tan β＝23，则：0＜α＋β＜π，所以：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1−tanαtanβ＝15＋231−215＝1， 故：α＋β＝π4．故答案为：π4． 15．已知函数f （x ）定义域为D ，若满足①f （x ）在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[a 2，b 2]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f(x)＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则t 的取值范围为 (−12，0)∪(0，12) ．解：∵函数f(x)＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，由a ＞1时，z ＝a x ＋t 2在R 上递增，y ＝log a z 在（0，＋∞）递增，可得f （x ）为R 上的增函数；当0＜a ＜1时，z ＝a x ＋t 2在R 上递减，y ＝log a z 在（0，＋∞）递减，可得f （x ）为R 上的增函数；∴f （x ）为R 上的增函数，f （x ）＝log a （a x ＋t 2）＝12x ，∴a x ＋t 2＝a (12x)，令u ＝a (12x)，u ＞0，即有u 2－u ＋t 2＝0有两个不同的正根，可得Δ＝1－4t 2＞0，且t 2＞0，解得t ∈（−12，0）∪（0，12）， 故答案为（−12，0）∪（0，12）． 16．函数f （x ）＝A cos （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （1）＋f （2）＋f （3）＋⋯＋f （2020）＋f （2021）＝ 2＋√2 ．解：根据函数f （x ）＝A cos （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象，可得A ＝2，14×2πω＝4－2，∴ω＝π4．再结合五点法作图，π4×2＋φ＝0，∴φ＝−π2，f （x ）＝2cos （π4x −π2）＝2cos π4（x －2）． 函数f （x ）的最小正周期为2ππ4＝8，f （1）＋f （2）＋f （3）＋••＋f （8）＝0，∴f （1）＋f （2）＋f （3）＋⋯＋f （2020）＋f （2021）＝252×0＋[f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）＋f（5）]＝0＋（2＋√2）＝2＋√2，故答案为：2＋√2．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |x−2x−4＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1，a ∈R }． （1）分别求A ∩B ，A ∪（∁U B ）；（2）若B ∩C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝[1，3]，又由x−2x−4＜0，可得（x －2）（x －4）＜0，解得B ＝（2，4），∴A ∩B ＝（2，3]，∁U B ＝（－∞，2]∪[4，＋∞），∴A ∪（∁U B ）＝（－∞，3]∪[4，＋∞）．（2）∵B ∩C ＝C ，∴C ⊆B ，∵C ＝[a ，a ＋1]，B ＝（2，3），∴{a ＞2a ＋1＜4，解得2＜a ＜3， ∴a 的取值范围（2，3）．18．（12分）已知函数f （x ）＝b •a x （a ，b 为常数，a ＞0且a ≠1）的图象经过点A （1，8），B （3，32）． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若不等式(1a )x ＋(1b )x −m ≥0在x ≤1时恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）∵函数f （x ）＝b •a x ，（其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1）的图象经过点A （1，8），B （3，32）， ∴{a ⋅b ＝8a 3⋅b ＝32，解得a ＝2，b ＝4，∴f （x ）＝4•2x ＝2x ＋2． （2）设g （x ）＝（1a ）x ＋（1b ）x ＝（12）x ＋（14）x ， 若不等式（1a ）x ＋（1b ）x －m ≥0在x ∈（－∞，1]时恒成立， 则当x ∈（－∞，1]时，m ≤g （x ）m i n ，∵y ＝g （x ）在R 上是减函数，∴当x ≤1时，g （x ）m i n ＝g （1）＝34．m ≤34，即m 的取值范围是（－∞，34]． 19．（12分）已知函数f （x ）＝4cos x sin （x ＋π6）－1．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝4cos x sin （x ＋π6）－1，＝4cos x （√32sin x ＋12cos x ）－1 ＝√3sin2x ＋2cos 2x －1＝√3sin2x ＋cos2x＝2sin （2x ＋π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x ≤π4，∴−π6≤2x ＋π6≤2π3， ∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f （x ）取最大值2，当2x ＋π6＝−π6时，即x ＝−π6时，f （x ）取得最小值－1．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin2x ＋2，g （x ）＝f （x ）＋2√3cos 2x −√3．（Ⅰ）若角θ满足tan θ＋1tanθ＝3，求f （θ）；（Ⅱ）若圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为L ，且g （θ）＝2，θ∈（0，π），求L ．解：（Ⅰ）由tan θ＋1tanθ＝3得sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin 2θ＋cos 2θsinθcosθ＝112sin2θ＝3，得sin2θ＝2 3，则f（θ）＝sin2θ＋2＝23＋2＝83．（Ⅱ）g（x）＝f（x）＋2√3cos2x−√3＝sin2x＋2＋√3cos2x＝2＋2sin（2x＋π3），则g（θ）＝2＋2sin（2θ＋π3）＝2，则sin（2θ＋π3）＝0，得，2θ＋π3＝kπ，k∈Z，得θ＝kπ2−π6，k∈Z，∵θ∈（0，π），∴k＝1时，θ＝π3，k＝2时，θ＝5π6，则L＝2θ＝2π3或5π3．21．（12分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为y＝{169−2x−1，0≤x≤316−2x−3，3＜x≤7．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3，lg15≈1.17）（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中0＜1≤3．①求g（t）的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f(x)＝4y＝{649−2x＝4，0≤x≤3，4(16−2x−3)，3＜x≤7，则当0≤x≤3时，由649−2x−4≥4，可得x≥0，所以0≤x≤3；当3＜x≤7时，由4（16－2x－3）≥4，可得2x－3≤15，（x－3）lg2≤lg15，解得x≤6.9，所以3＜x≤6.9．综上所述，0≤x≤6.9，所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时；（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为2×[169−23−1]＝30（毫克/立方米），所以第二次喷洒t 小时后空气中净化剂浓度为g(t)＝329−2t −2＋2[16−2(t ＋3)−3]＝329−2t −2t ＋1＋30(0＜t ≤3)，②g(t)＝329−2t −2t ＋1＋30＝329−2t ＋18−2t ＋1＋12＝329−2t ＋2(9−2t )＋12≥2√329−2t ×2(9−2t )＋12＝28，当且仅当329−2t＝2(9−2t )，即t ≈2.3时取等号， 答：第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米．22．（12分）已知函数f （x ）＝ln （x ＋a ）（a ∈R ）的图象过点（1，0），g （x ）＝x 2－2e f （x ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数y ＝f （x ）＋ln （2x －k ）在区间（1，2）上有零点，求整数k 的值； （Ⅲ）设m ＞0，若对于任意x ∈[1m ，m]，都有g （x ）＜－ln （m －1），求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝ln （x ＋a ）（a ∈R ）的图象过点（1，0），∴ln （1＋a ）＝0，解得a ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝ln x ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y ＝ln x ＋ln （2x －k ）＝ln （2x 2－kx ），x ∈（1，2），令ln （2x 2－kx ）＝0，得2x 2－kx －1＝0，①对称轴x ＝k 4≥2即k ≥8时，h （x ）在（1，2）递减，故只需{ℎ(1)＝1−k ＞0ℎ(2)＝7−2k ＜0，无解， ②若1＜k 4＜2即4＜k ＜8时，函数在（1，2）先递减再递增，故{ℎ(x)min ＝ℎ(k 4)≤0ℎ(1)＞0，解得k ＜1，不符合题意，舍去，{ℎ(x)min ＝ℎ(k 4)≤0ℎ(2)＞0，解得k ＜72， 无解， ③若k 4≤1即k ≤4时，h （x ）在（1，2）递增， ∴{ℎ(1)＝1−k ＜0ℎ(2)＝7−2k ＞0，解得：1＜k ＜72， 综上所述：1＜k ＜72，∵k∈Z，∴k的取值为2，3．（Ⅲ）∵m＞0且m＞1m，∴m＞1且0＜1m＜1，∵g（x）＝x2－2e f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，∴g（x）的最大值可能是g（m）或g(1m )，∵g(m)−g(1m)＝m2−2m−(1m2−2m)＝m2−1m2−(2m−2m)＝(m−1m)(m＋1m−2)＝(m−1m)⋅(m−1)2m＞0，∴g(x)max＝g(m)＝m2−2m，只需g（x）max＜－ln（m－1），即m2－2m＜－ln（m－1），设h（m）＝m2－2m＋ln（m－1）（m＞1），h（m）在（1，＋∞）上单调递增，又h（2）＝0，∴m2－2m＋ln（m－1）＜0，即h（m）＜h（2），∴1＜m＜2，所以m的取值范围是（1，2）．。
2022-2023学年安徽省示范高中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年安徽省示范高中高一（上）期末数学试卷1. 下列函数中与y =x 是同一个函数的是( ) A. y =(√x)2B. v =uC. y =√x 2D. m =n 2n2. 设集合M ={1,3,5,7,9}，N ={x|2x >7}，则M ∩N =( ) A. {7,9}B. {5,7,9}C. {3,5,7,9}D. {1,3,5,7,9}3. 已知函数f(x +2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x)√3x−1的定义域为( ) A. (13,4)B. (13,2)C. (13,6)D. (13,1)4. 函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是( )A. 54，√3，13，12 B. √3，54，13，12 C. 12，13，√3，54D. 13，12，54，√35. 将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有( ) (1)曲线Γ不是等宽曲线；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； (3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； (4)在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； (5)若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知函数f(x)={a+a x,x≥03+(a−1)x,x<0(a>0且a≠1)，则“a≥3”是“f(x)在R上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设a=log53，b=log85，c=log138，则( )A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b8. 设函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是( )A. [83,16 3)B. [4,163)C. [4,203)D. [83,20 3)9. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax−1)(x+1)<0的解集可能是( )A. {x|−1<x<1a}B. {x|x≠−1}C. {x|1a<x<−1}D. R10. 已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是( )A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B=⌀，则a≤−6或a≥6D. 若B⫋A时，则−6<a≤−3或a≥611. 已知函数f(x)=sin4x+cos2x，则下列说法正确的是( )A. 最小正周期是π2B. f(x)是偶函数C. x=π8是f(x)的一条对称轴D. f(x)在(−π4,0)上递增12. 已知x>0，y>0且3x+2y=10，则下列结论正确的是( )A. xy的最大值为625B. √3x+√2y的最大值为2√5C. 3x +2y的最小值为52D. x2+y2的最大值为1001313. 若x>−1，则x+3x+1的最小值是__________.14. 已知sinα=2cosα，则sin2α+2sinαcosα=______.15. 已知函数y=lg(√x2−x+1+ax)的定义域是R，则实数a的取值范围是______.16. 若x，y∈R+，(x−y)2=(xy)3，则1x +1y的最小值为______.17. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x.(1)求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式；(2)当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<π)的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)首先将函数f(x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π2]内的值域．19. 在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y(元)与时间x(天)的关系在ABC 段可近似地用函数y =asin(ωx +φ)+20(a >0,ω>0,0<φ<π)的图象从最高点A 到最低点C 的一段来描述(如图)，并且从C 点到今天的D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF 段所示，且DEF 段与ABC 段关于直线l ：x =34对称，点B 、D 的坐标分别是(12,20)、(44,12).(1)请你帮老张确定a 、ω、φ的值，写出ABC 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围； (2)请你帮老张确定虚线DEF 段的函数表达式，并指出此时x 的取值范围；(3)如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？20. 已知_____，且函数g(x)=x+b.2x2+a①函数f(x)=x2+(2−a)x+4在定义域[b−1,b+1]上为偶函数；②函数f(x)=ax+b(a>0)在[1,2]上的值域为[2,4]；在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题．(1)判断g(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)设ℎ(x)=−x−2c，对∀x1∈R，总∃x2∈[−2,2]，使得g(x1)=ℎ(x2)成立，求实数c的取值范围．21. 已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数．(1)当x≥0，函数y=f(x)−x+a存在零点，求实数a的取值范围；(2)设函数ℎ(x)=log3(m⋅3x−2m)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)，g(x)=4x+2x+1m−m+1.2(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若存在两不相等的实数a，b，使f(a)+f(b)=0，且g(a)+g(b)≥0，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于A ，y =(√x)2的定义域为[0,+∞),与y =x 的定义域为R 不同，故A 错误； 对于B ，函数v =u ，与函数y =x 为同一函数，故B 正确； 对于C ，y =√x 2=|x|与y =x 的对应关系不同，故C 错误； 对于D ，m =n 2n =n(n ≠0)与y =x 的定义域不同，故D 错误． 故选：B.直接利用同一函数的概念判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：同一函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为N ={x|2x >7}={x|x >72}，M ={1,3,5,7,9}， 所以M ∩N ={5,7,9}. 故选：B.直接根据交集的运算性质，求出M ∩N 即可． 本题考查了交集及其运算，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x +2)的定义域为(−3,4)，即−3<x <4， ∴x +2∈(−1,6)，即f(x)的定义域为(−1,6).又3x −1>0，∴x >13，取交集可得函数g(x)的定义域为(13,6). 故选：C.由已知求得f(x)的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g(x)的定义域． 本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ， 由√3>54>12>13， 故选：C.只需明确直线x =1与函数图象的交点的纵坐标大小，即可得出答案． 本题考查指数函数的图象，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12， (1)根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误； (2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； (3)根据(2)得(3)错误；(4)曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； (5)正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S′=π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误． 综上，正确的有2个． 故选：B.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12，根据定义逐一判断即可得出结论． 本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：若f(x)在R 上单调递增， 则{a >1a −1>0a +1≥3， 所以a ≥2，由“a ≥3”可推出“a ≥2”，但由“a ≥2”推不出“a ≥3”， 所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A.先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了三个数大小的判断，对数的运算，属于中档题．根据a b，可得a <b ，然后由b =log 85<0.8和c =log 138>0.8，得到c >b ，再确定a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵a b =log 53log 85=log 53⋅log 58<(log 53+log 58)24=(log 5242)2<1，∴a <b ； ∵55<84，∴5<4log 58，∴log 58>1.25，∴b =log 85<0.8； ∵134<85，∴4<5log 138，∴c =log 138>0.8，∴c >b ， 综上，c >b >a. 故选：A.8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合解题思想，是难题． 令函数f(x)=0得sin(ωx +φ)=12，根据正弦函数y =sinx 的图象与性质，得出函数y =sinx 相邻4个零点满足的条件，求出相邻三个零点和相邻四个零点占区间长度的最小值，由此求得ω的取值范围． 【解答】解：令函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1=0，解得sin(ωx +φ)=12， y =sin(ωx +φ)是由y =sinx 图象变换得到的，且最小正周期为T =2πω， 在[0,2π]内，sin π6=sin5π6=12，所以函数y =sinx 相邻4个零点x 1、x 2、x 3、x 4满足：x2−x1=x4−x3=5π6−π6=2π3，x3−x1=x4−x2=2π，x3−x2=(x3−x1)−(x2−x1)=2π−2π3=4π3，相邻三个零点占区间长度为d1=2π，即区间长度为2π时至少有2个零点，相邻四个零点占区间长度最短为d2=x4−x1=(x4−x3)+(x3−x1)=2π3+2π=8π3，x∈[π4,3π4]时，ωx∈[π4ω,3π4ω]，区间宽度为(3π4−π4)ω=π2ω，d1≤π2ω<d2，即2π≤π2ω<8π3(π2ω=d1至少有2个零点，π2ω=d2至少有4个零点)，解得4≤ω<163，所以ω的取值范围是[4,163).故选：B.9.【答案】AB【解析】解：关于x的一元二次方程(ax−1)(x+1)=0的两根为1a，−1，当a>0时，1a >−1，故不等式的解集为(−1,1a)，当a<0时，②若a=−1，则1a=−1，∴不等式解集为{x|x≠−1}，②若−1<a<0，则1a <−1，∴不等式的解集为(−1,+∞)∪(−∞,1a)，③若a<−1，则1a >−1，∴不等式的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)，故选：AB.先求出关于x的一元二次方程(ax−1)(x+1)=0的两根为1a，−1，再对a进行讨论，解不等式即可．本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，中档题．10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．【解答】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，当a=−3时，A=B，故D错误，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B =⌀时，a 2−4(a 2−27)≤0，解得a ≤−6或a ≥6，故C 正确. 故选：ABC.11.【答案】ABD【解析】解：函数f(x)=sin 4x +cos 2x =sin 4x +1−sin 2x =(sin 2x −12)2+34=(1−cos2x 2−12)2+34=cos 22x 4+34=cos4x+18+34=cos4x+78. 对于A ：函数的最小正周期为T =2π4=π2，故A 正确；对于B ：函数f(−x)=cos(−4x)+78=f(x)，函数为偶函数，故B 正确；对于C ：当x =π8时，f(π8)=78，故函数的对称中心为(π8,78)，故C 错误；对于D ：由于x ∈(−π4,0)，所以4x ∈(−π,0)，函数f(x)在该区间上单调递增，故D 正确； 故选：ABD.直接利用三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查了基本不等式的应用以及二次函数求最值，属于中档题．A 选项，直接运用基本不等式，即可求解；B 选项，平方后再利用基本不不等式，即可求解；C 选项，运用巧用“1”，即可求得结果；D 选项，首先代入消元，再利用二次函数求最值即可． 【解答】解：对于A 选项，∵3x +2y =10， ∴3x +2y ≥2√6xy ，∴√6xy ≤102=5，∴xy ≤256，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时等号成立．选项A 错误； 对于B 选项，∵(√3x +√2y)2=3x +2y +2√6xy ≤10+10=20，∴√3x +√2y ≤2√5，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时等号成立．故选项B 正确； 对于C 选项，3x +2y =110×(3x +2y )(3x +2y)≥110(13+2√36)=52， 当且仅当6yx =6x y ，即x =y =2时等号成立．故C 选项正确； 对于D 选项，x 2+y 2=(10−2y3)2+y 2=13y 2−40y+1009(0<y <5)，当y=2013时，取得最小值为10013，因为y取不到5，所以无最大值；故D选项错误．故选BC.13.【答案】2√3−1【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．利用基本不等式，即可得解．【解答】解：因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√(x+1)⋅3x+1−1=2√3−1，当且仅当x+1=3x+1，即x=√3−1时，等号成立，所以x+3x+1的最小值是2√3−1.故答案为：2√3−1.14.【答案】85【解析】解：∵sinα=2cosα，即tanα=2，∴sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=22+2×222+1=85.故答案为：85.将已知等式左右两边同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后将所求的式子利用同角三角函数基本关系式化简后，把tanα的值代入即可求出值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数基本关系式是解本题的关键，属于基础题．15.【答案】(−√32,1]【解析】解：∵函数y=lg(√x2−x+1+ax)的定义域是R，∴√x2−x+1+ax>0对于任意实数x恒成立，即ax>−√x2−x+1对于任意实数x恒成立，当x=0时，上式化为0>−1，此式对任意实数a都成立；当x >0时，则a >−√x 2−x+1x=−√1x 2−1x +1，∵x >0，∴1x >0，则1x 2−1x +1=(1x −12)2+34≥34， 则−√1x 2−1x +1≤−√32，可得a >−√32； 当x <0时，则a <√x 2−x+1−x =√1x 2−1x +1，∵x <0，∴1x<0，则1x 2−1x+1=(1x−12)2+34>1，则√1x 2−1x +1>1，可得a ≤1. 综上可得，实数a 的取值范围是(−√32,1].故答案为：(−√32,1].问题转化为ax >−√x 2−x +1对于任意实数x 恒成立，然后对x 分类，再由配方法求最值，即可求得实数a 的取值范围．本题考查函数的定义域及其求法，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】2【解析】解：∵x ，y ∈R +，(x −y)2=(xy)3， ∴1x 2−2xy +1y 2=xy ，∴xy +4xy =(1x +1y )2，∴1x +1y =√xy +4xy ≥√2√xy ⋅4xy =2， 当且仅当xy =2时“=”成立， 故答案为：2.求出xy +4xy =(1x +1y )2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是基础题．17.【答案】解：(1)令x ∈(−∞,0)，则−x ∈(0,+∞)，由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x 2+2x ； (2)由m >0，|f(m)|=|m 2−2m|=1， 所以m 2−2m =±1，解得m =1或m =1+√2或m =1−√2(舍).【解析】(1)根据偶函数的性质，令x ∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解； (2)m >0，有|m 2−2m|=1，解方程即可得解． 本题考查了偶函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)由图象得A =2，13π12−π3=34T =34⋅2πω⇒ω=2，由2×13π12+φ=π2+2kπ， 可得φ=−5π3+2kπ(k ∈Z)， ∵0≤φ≤π， ∴φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3).(2)g(x)=2sin[4(x −π8)+π3]+1=2sin(4x −π6)+1， 当x ∈[0,π2]时，4x −π6∈[−π6,11π6]，sin(4x −π6)∈[−1,1]，∴g(x)∈[−1,3].【解析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换以及由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想和逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.(1)由图象可求A 的值，利用三角函数的周期公式可求ω的值，再代入点(13π12,2)计算出φ的值即可得解；(2)由题意根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可求g(x)的解析式，进而根据正弦函数的图象与性质即可得解．19.【答案】解：(1)由图及B 、D 的纵坐标可知，a =20−12=8，T 4=12，T =48，则ω=2π48=π24，由π24×24+φ=3π2，解得φ=π2，则ABC 段的函数表达式为f(x)=8sin(π24x +π2)+20=8cos π24x +20，x ∈[0,24]；(2)由题意结合对称性可知，DEF 段的函数解析式为y =8cos[π24(68−x)]+20，x ∈[44,68]； (3)由8cos[π24(68−x)]+20=24，解得x =60， ∴买入60−44=16天后，股票至少是买入价的两倍．【解析】(1)由已知图中B 与D 的坐标求得a 与T ，进一步求得ω，再由五点作图的第三点求解φ，则函数解析式可求，并求得x 的范围； (2)由对称性求解DEF 段的解析式；(3)由8cos[π24(68−x)]+20=24解得x =60，减去44得答案．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：选择条件①，(1)若函数f(x)=x 2+(2−a)x +4在定义域[b −1,b +1]上为偶函数， 则有{2−a =0b −1+b +1=0，解可得a =2，b =0，则g(x)=x2x 2+2，易知g(x)=x2x 2+2为奇函数，证明：g(x)的定义域为R ，有g(−x)=−x 2x 2+2=−g(x)，则g(x)为奇函数；(2)由(1)的结论，g(x)为定义域为R 的奇函数， 当x >0时，g(x)=12(x+1x )，设t =x +1x ，则有x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1时等号成立，则有t ≥2， 对于g(x)=12(x+1x )=12t .则有0<g(x)≤12×2=14，又由g(x)为奇函数，则g(0)=0， 当x <0时，有−14≤g(x)<0，综合可得：−14≤g(x)≤14，即函数g(x)的值域为[−14,14]； ℎ(x)=−x −2c ，在区间[−2,2]上，其值域为[−2−2c,2−2c]，对∀x ∈R ，总∃x 2∈[−2,2]，使得g(x 1)=ℎ(x 2)成立，则有{−2−2c ≤−142−2c ≥14， 解可得：−78≤c ≤78，故c 的取值范围为[−78,78]. 选择条件②，(1)函数f(x)=ax +b(a >0)在[1,2]上的值域为[2,4]； 有a >0，f(x)在[1,2]上为增函数，则有{f(1)=a +b =2f(2)=2a +b =4，解可得a =2，b =0， 则g(x)=x 2x 2+2，易知g(x)=x 2x 2+2为奇函数，证明：g(x)的定义域为R ，有g(−x)=−x2x 2+2=−g(x)， 则g(x)为奇函数；(2)由(1)的结论，g(x)为定义域为R 的奇函数， 当x >0时，g(x)=12(x+1x )，设t =x +1x ，则有x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1时等号成立，则有t ≥2， 对于g(x)=12(x+1x )=12t .则有0<g(x)≤12×2=14，又由g(x)为奇函数，则g(0)=0， 当x <0时，有−14≤g(x)<0，综合可得：−14≤g(x)≤14，即函数g(x)的值域为[−14,14]； ℎ(x)=−x −2c ，在区间[−2,2]上，其值域为[−2−2c,2−2c]，对∀x ∈R ，总∃x 2∈[−2,2]，使得g(x 1)=ℎ(x 2)成立，则有{−2−2c ≤−142−2c ≥14， 解可得：−78≤c ≤78，故c 的取值范围为[−78,78].【解析】(1)根据题意，由函数奇偶性的性质求出a 、b 的值，即可得函数g(x)的解析式，由函数奇偶性的定义分析可得结论；(2)结合函数的奇偶性求出函数g(x)的值域以及ℎ(x)在[−2,2]上的值域，分析可得关于c 的不等式，解可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即log 3(9−x +1)−kx =log 3(9x +1)+kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx =log 3(9−x +1)−log 3(9x+1)=log 39−x +19x+1=log 33−2x =−2x ，∴k =−1.即f(x)=log 3(9x +1)−x ，因为函数y =f(x)−x +a 有零点，即方程log 3(9x +1)−2x =−a 有实数根．令g(x)=log 3(9x +1)−2x ，则函数y =g(x)与直线y =−a 有交点，∵g(x)=log 3(9x +1)−2x =log 3(9x+1)−log 39x=log 39x +19x=log 3(1+19x)， 又1+19x>1，∴g(x)=log 3(1+19x)>0，∴−a >0，所以a <0，即a 的取值范围是(−∞,0).(2)解：因为f(x)=log 3(9x +1)−x =log 3(9x +1)−log 33x=log 3(9x +13x )=log 3(3x +3−x )，又函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x 的方程log 3(m ⋅3x −2m)=log 3(3x +3−x )只有一个解， 所以m ⋅3x −2m =3x +3−x ，令t=3x(t>0)，得(m−1)t2−2mt−1=0，①当m−1=0，即m=1时，此方程的解为t=−12，不满足题意，②当m−1>0，即m>1时，此时Δ=4m2+4(m−1)=4(m2+m−1)>0，又t1+t2=2mm−1>0，t1t2=−1m−1<0，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当m−1<0，即m<1时，由方程(m−1)t2−2mt−1=0只有一正根，则需{4m2−4(m−1)×(−1)=0−−2m2(m−1)>0，解得m=−1−√52，综合①②③得，实数m的取值范围为：{−1−√52}∪(1,+∞).【解析】(1)利用偶函数的定义f(−x)=f(x)，即可求出实数k的值，从而得到f(x)的解析式；令f(x)−x+a=0，得−a=f(x)−x，构造函数g(x)=f(x)−x，将问题转化为直线y=−a与函数y=g(x)的图象有交点，从而求出实数a的取值范围；(2)依题意等价于关于x的方程log3(m⋅3x−2m)=log3(3x+3−x)只有一个解，令t=3x，讨论(m−1)t2−2mt−1=0的正根即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的零点与方程的根、函数图象的交点与方程的根的相互转化，属难度较大的题型．22.【答案】解：(1)由{1−x>01+x>0，解得−1<x<1，所以函数的定义域为(−1,1)，又f(−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−[ln(1−x)−ln(1+x)]=−f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为f(a)+f(b)=0，且f(x)为奇函数，所以a+b=0，且a≠0，即b=−a，又f(x)的定义域为(−1,1)，所以a∈(−1,0)∪(0,1)，而g(x)=4x+2x+1m−m2+1=(2x)2+2m⋅2x−m2+1，所以g(a)+g(b)=g(a)+g(−a)=(2a)2+2m⋅2a−m2+1+(2−a)2+2m⋅2−a−m2+1，令k=2a，则k∈(12,1)∪(1,2)，所以g(a)+g(b)=k2+2mk−m2+1+1k2+2m⋅1k−m2+1=k2+1k2+2m(k+1k)−m+2=(k+1k )2+2m(k+1k)−m，令t=k+1k ，则t∈(2,52)，g(a)+g(b)=t2+2mt−m，故可将问题“存在两不相等的实数a ，b 使得g(a)+g(b)≥0“转化为t 2+2mt −m ≥0在t ∈(2,52)上有解， 即−m ≤t 22t−1在t ∈(2,52)上有解，设ℎ(t)=t 22t−1，t ∈(2,52)，则问题进一步转化为求ℎ(t)的最大值，因为ℎ(t)=t 22t−1=1−(1t )2+2⋅1t=1−(1t −1)2+1在t ∈(2,52)上单调递增，所以ℎ(t)max <ℎ(52)=1−(25−1)2+1=2516，所以−m ≤2516，即m ≥−2516， 故实数m 的取值范围为[−2516,+∞). 【解析】(1)先写出函数的定义域，再计算f(−x)，并判断与f(x)的关系，得解；(2)由f(x)为奇函数，推出b =−a 且a ∈(−1,0)∪(0,1)，再运用两次换元法，将原问题转化为t 2+2mt −m ≥0在t ∈(2,52)上有解，然后结合参变分离法与二次函数的性质，得解．本题主要考查函数的存在性问题，熟练掌握函数的奇偶性，灵活运用换元法是解题的关键，考查转化与化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019学年安徽省等高一上学期期末数学试卷【含答案
及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合，，则子集的个数为（）
A ． 0个___________________________________
B ． 1个
____________________________________ C ． 2个____________________________ D ． 3个
2. 下列说法正确的是（）
A．对于函数f：A→B，其值域是集合B
B ．函数y＝1与y＝x 0 是同一个函数
C．两个函数的定义域、对应关系相同，则表示同一个函数
D ．映射是特殊的函数
3. 如图所示，C 1 ，C 2 ，C 3 为三个幂函数y＝x k 在第一象限内的图像，则解析式中指数k的值依次可以是（）
A ．－1，，3
B ．－1，3，
C ．，－1，3
D ．，3，－1
4. 已知 f （ x ）是定义在 R 上的奇函数,且当时, ,则
的值为（）
A ． -3______________
B ．_________
C ．_________
D ． 3
5. 设，，，则（）
A ．
B ．
C ． ________
D ．
6. 使得函数有零点的一个区间是（）
A ．（ 0，1 ）________
B ．（ 1，2 ）___________
C ．（ 2，3 ）
______________ D ．（ 3，4 ）
7. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）
A ．若，垂直于同一平面，则与平行
B ．若，平行于同一平面，则与平行
C ．若，不平行，则在内不存在与平行的直线
D ．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
8. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A ． 6 ___________
B ． 9 ________________________
C ． 12
________________________ D ． 18
9. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形
是正三角形，是
的中点，则下列叙述正确的是（）
A ．与是异面直线
B ．平面
C ．平面
D ．，为异面直线，且
10. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（）
A．______________________
B ．或
C．_________________________________
D ．或
11. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）
A ．___________________
B ．_______________________
C ．
_________________________ D ．
12. 已知函数，则函数的零
点个数为（）
A ． 1个_________
B ． 2个___________________________________
C ． 3个
_________ D ． 4个
二、填空题
13. 函数的定义域是 _________ ．
14. 函数的递减区间为 _________ ．
15. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是
______________ ．
16. 如图所示，正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么
异面直线与所成的角的余弦值等于________________________ ．
三、解答题
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求集合；
（2）当时，求实数的取值范围．
18. 已知直线：与：的交点为．
（1）求过点且平行于直线：的直线方程；
（2）求过点且垂直于直线：的直线方程．
19. 已知函数，．
（1）求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；
（2）当时，函数的最大值是关于的函数求．
20. 如图所示，正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是AB，AA 1 的中
点．求证：
（1）E，C，D 1 ，F四点共面；
（2）CE，D 1 F ，DA三线共点．
21. 如图，三棱柱，底面，且为正三角形，
，为中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：直线平面．
22. 已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在上
单调递减；
（3）求不等式的解集：．
参考答案及解析第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】。