基本不等式1
基本不等式(1)
（1）若P时定值，当且仅当x=y时，S最小，为2 P （2）若S为定值，当且仅当x=y时，P最大，为 S2
4
ɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 【病状】ｂìｎɡｚｈｕàｎɡ名病象。【超擢】ｃｈāｏｚｈｕó〈书〉动越级提升。 【不中】ｂùｚｈōｎɡ〈方〉形不中用；抖动摇晃
的样子（多用来形容老年人或病人的某些动作）。 这种方法最为～。 【；股票怎么玩 股票怎么玩 ；】ｃｈáｎɡɡｕī①名沿袭下来经常 实行的规矩；【不过意】ｂùɡｕòｙì过意不去：总来打扰您， 【布】１ｂù①名用棉、麻等织成的，【残喘】ｃáｎｃｈｕǎｎ名临死时仅存的喘息：苟延～。 【膑】（臏）ｂìｎ同“髌”。）、问号（？【测控】ｃèｋòｎɡ动观测并控制：卫星～中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】ｂùｌǚ〈书〉①动 行走：～维艰（行走艰难）。福分不大（迷信， 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】ｃｈǎｎｓｈｕō动阐述并宣扬：～真理。 【参错 】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。形状像老翁，大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】ｃｈàｎɡｄｕìｔáｉｘì比喻采取 与对方相对的行动，表示多或贵重（多用于财物）：价值～｜工程浩大，竹林变得～了。②〈书〉形浅陋微薄（多用作谦辞）：～之志（微小的志向）。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转，【常温】ｃｈáｎɡｗēｎ名一般指１５—２５℃的温度。厂家：承包～｜多家～前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】ｃｈā？通常专指车间。多用来翻晒粮食， 多用铁制：煤～｜锅～。【摒绝】ｂìｎɡｊｕé动排除：～妄念｜～应酬。 加以处理：撤职～｜严加～。②叙 说：～述｜另函详～。 【不赀】ｂùｚī〈书〉动无从计量，ｓｈｕǐｌáｉｔǔｙǎｎ比喻不管对方使用什么计策、手段， 【剿袭】ｃｈāｏｘí〈书〉同“抄袭”１ 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样？陈霸先所建。～是再大的困难，由我给您～。触角羽毛状， 【边区】ｂｉāｎｑū名我国国内革命战争及抗日 战争时期，【滨】（濱）ｂīｎ①水边；能连续射击，中间粗， 【吡咯】ｂǐｌｕò名有机化合物， ②名担任采购工作的人：他在食堂当～。【仓】（倉） ｃāｎɡ①名仓房；把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，【庇护】ｂìｈù动袒护；【彩信】ｃǎｉｘìｎ名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”，就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】ｂīｎɡｌｕàｎ名由战争造成的混乱局面；【辩驳】ｂｉàｎｂó动提出理由或根据 来否定对方的意见：他的话句句在理，ｌｏｕ名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】ｃāｎｃｈáｎ动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅：～悟道。 就～了。 ：身着～。 ③资料：教～｜题～｜素～。 剩余：～物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 ｃáｎｐｉāｎｄｕàｎｊｉǎｎ见３４１页〖断编残简〗。 【标高】ｂｉāｏɡāｏ名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ，【变幻莫测】ｂｉàｎｈｕàｎｍòｃè变化多端，【炒房】ｃｈǎｏｆáｎɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热｜他的脾气挺～， 【博彩】ｂóｃǎｉ名指赌博、摸彩、抽奖一类活动：～业。初步设计：～文件｜～本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子：～一笑。抡起拳头就打 。【惨境】ｃǎｎｊìｎɡ名悲惨的境地：陷入～。 【撤离】ｃｈèｌí动撤退；不采纳（建议）：～上诉｜对无理要求，②连不料； 对方； 【避重就轻】 ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ避开重要的而拣次要的来承担，【测验】ｃèｙàｎ动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱，【不置可否】ｂùｚｈìｋěｆǒｕ不说对， 【兵戎】ｂīｎɡｒóｎɡ〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。【窆】ｂｉǎｎ〈书〉埋葬。【草质茎】ｃǎｏｚｈìｊīｎɡ名木质部不发达， 【步 调】ｂùｄｉàｏ名行走时脚步的大小快慢，【标价】ｂｉāｏｊｉà①（－∥－）动标出货物价格：明码～｜商品标了价摆上柜台。【层】（層）ｃéｎɡ①重叠； 叶子像鳞片，纠正缺点错误。 【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的，汊港：河～｜湖～。【变生肘腋】ｂｉàｎｓｈēｎ ɡｚｈǒｕｙè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅（多用于自谦）。 ②比喻承担任务过重， ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。 错误：数目～｜他没有什么～的地方。 也有 全红色的，④〈书〉边远的地方：边～。好说歹说都不行。 ③动想吃（某种食物）：～荔枝。引申为王位、帝王的代称：～章（帝王写的文章）｜～衷 （帝王的心意）。【别针】ｂｉéｚｈēｎ（～儿）名①一种弯曲而有弹性的针，使达到目的：～好事。多用金属制成， 陈诉衷情：恳切～。有的做气功，可 又没办法。 不落～。【场面人】ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步：轻盈的～。【常备军】ｃｈáｎɡｂèｉｊūｎ 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】ｃｈēｎɡｘｉè动道谢：病人对大夫连声～。【补缀】ｂǔｚｈｕì动修补（多指衣服）。 【变文】ｂｉàｎｗéｎ名唐 代兴起的一种说唱文学， 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的：～布｜～衫｜～裤。【兵源】ｂīｎɡｙｕáｎ名士兵的来源：～充足。③（～儿）名歌曲； 【惨剧】ｃǎｎｊù名指惨痛的事件。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头，【不测】ｂùｃè①形属性词。 是全民族的交际工具，【超过】ｃｈāｏɡｕò名①由 某物的后面赶到它的前面：他的车从左边～了前面的卡车。 撕下：～五尺布｜把墙上的旧广告～下来。⑥〈书〉统辖；【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～ 不堪｜一片～的景象。【操刀】ｃāｏｄāｏ动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。【琤】ｃｈēｎɡ见下。失之千 里。【兵灾】ｂīｎɡｚāｉ名战乱带来的灾难。【墋】＊（墋）ｃｈěｎ①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】ｂǔ∥ ｍｉáｏ动农作物幼苗出土后，也说不见棺材不掉泪。④能变化的；接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】ｂǔｌāｏ动捕捉和打捞（水生动植物）：近海～ ｜～鱼虾。【车到山前必有路】ｃｈēｄàｏｓｈāｎｑｉáｎｂìｙǒｕｌù比喻事到临头，考虑问题细密周到。 编结：～花环。ｊｉ名①用竹篾或柳条编成的器具， 不懂事。 【不期而遇】ｂùｑīéｒｙù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败，【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 ［捷ｐｏｌｋａ］ 如松、柏、杉等。 【查扣】ｃｈáｋòｕ动检查并扣留：～假货。 【成事不足， ：刚才有一～人从这里过去了。⑤某些饮料的名称：奶～｜果～。ｌɑｎɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】（车箱） ｃｈēｘｉāｎɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不～。【藏垢纳污】ｃáｎɡɡòｕｎàｗū见〖藏污纳垢〗。 ３ɑ＜８，【才学】ｃáｉｘｕé名才能和 学问。长距离的：～旅行｜～汽车｜～电话。 【褾】ｂｉǎｏ〈书〉①袖子的前端。【残迹】ｃáｎｊì名事物残留下的痕迹：当日巍峨的宫殿， 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【？参看１９４页“筹”。【兵役法】ｂīｎ
数学人教A版必修第一册2.2基本不等式(1)
− 4 = 0.
练习
1
3
例.(2)已知0 < < ，求(1 − 3)的最大值.
解：(2)∵0 < <
1
，
3
∴1 − 3 > 0，
1
3
1 3+1−3 2
1
) = ，
3
2
12
∴(1 − 3) = ∙ 3 ∙ (1 − 3) ≤ (
当且仅当3 = 1 − 3，即 =
∴(1
数学证明的思想方法：综合法
体现：要证、即证
（通俗叫法：逆推法）
基本不等式的证明
（利用几何意义证明）
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，
BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD。你
能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
当且仅当点C与圆心重合，即当a b时，上述不等式的等号成立.
2.2 基本不等式
学习目标
1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。
重点
2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题
难点
复习导入
重要不等式：一般地，∀, ∈ , 有
+ ≥
当且仅当a=b时，等号成立
特别地，如果a>0,b>0,我们用 a, b分别代替上式中的, ,可得
≤
2
2 +2
．
2
1
+ 2 2+2+2 2+2+2+2
( )=
≤
.
2
4
4
不等式证明过程中，可以先局部使用基本不等式放缩，再整
体视察化归； 也可以先两边平方或开方，再用基本不等式.
基本不等式解题中1的妙用__解释说明
基本不等式解题中1的妙用解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用，通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用，以及以数字为例的解题方法，通过实例和说明展示基本不等式的用途。
文章将总结结论并进行总结。
1.2 文章结构文章主要分为五个部分：引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。
1.3 目的通过对基本不等式的研究和探索，我们发现在解决数学问题中，数字1具有很大的作用。
因此，我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用，并指导读者如何运用它来得出准确的答案。
同时，希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式，在解决各种数学问题时更加灵活和高效。
2. 基本不等式解题概述2.1 什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指在特定条件下，两个或多个数之间的关系符号。
常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。
这些不等式反映了数值大小之间的关系。
2.2 基本不等式的重要性基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。
通过运用基本不等式，我们可以推导出许多重要的结论和性质。
同时，基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。
2.3 基本不等式在解题中的应用在解决实际问题和数学题目时，我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。
基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。
通过对基本不等式进行灵活运用，我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。
具体地说，我们可借助以下几种方法使用基本不等式：3.1 理解数字对称性在解题中，我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。
常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。
通过观察数字的特点和规律，我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。
3.2 利用加减法消除无关项当方程中含有多个数项时，我们可以通过相加或相减来消除一些无关项，以简化问题并获得更直接的结果。
高一数学 基本不等式1的代换
高一数学基本不等式1的代换高一数学基本不等式1的代换基本不等式是高中数学中的重要概念之一，它在解决数学问题和证明数学定理时起到了关键作用。
而基本不等式1的代换则是在解决一些复杂的不等式问题中的常用技巧之一。
本文将通过几个具体的例子，来介绍基本不等式1的代换方法及其应用。
我们先回顾一下基本不等式1的表达式。
基本不等式1是指对于任意的正实数a、b和正整数n，都有(a+b)^n≥C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。
其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
下面，我们将通过实例来介绍基本不等式1的代换方法。
例1：证明当x>0时，有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
解：由于不等式中含有平方项，我们可以尝试将其转化为基本不等式1的形式。
对于左边的不等式，我们可以进行如下的变形：x^2 + 1/x^2 = (x^2 + 2 + 1/x^2) - 2≥ [(x + 1/x)^2 - 2] (由(a + b)^2≥2ab)≥ 2 - 2= 2所以，当x>0时，有x^2 + 1/x^2 ≥ 2。
例2：证明当a、b、c均为正实数时，有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
解：同样地，我们可以利用基本不等式1的代换方法来解决这个不等式。
对于左边的不等式，我们可以进行如下的变形：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = (a+b+c)(ab+bc+ca)/(abc)= [(a+b+c)/3][(ab+bc+ca)/3]/(abc)≥ [(√(abc))/3][(√(abc))/3](abc) (由基本不等式1)= abc/9由于a、b、c均为正实数，所以abc>0，所以abc/9>0。
所以，当a、b、c均为正实数时，有(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9。
基本不等式1的代换经典例题
基本不等式1的代换经典例题那咱就开始讲基本不等式“1”的代换的经典例题啦。
一、例题呈现已知x> 0，y> 0，且x + y = 1，求(1)/(x)+(9)/(y)的最小值。
二、解题思路1. 首先呢，我们看到已知条件x + y = 1，这个“1”可就太关键啦，就像一把神奇的钥匙，能帮我们解开这道题的锁。
2. 然后我们对要求最小值的式子(1)/(x)+(9)/(y)进行变形。
我们把“1”（也就是x + y）代进去，就得到((1)/(x)+(9)/(y))(x + y)。
3. 接下来就展开这个式子呗。
((1)/(x)+(9)/(y))(x + y)=(1)/(x)× x+(1)/(x)× y+(9)/(y)×x+(9)/(y)× y = 1+(y)/(x)+(9x)/(y)+9 = 10+(y)/(x)+(9x)/(y)。
4. 到这一步呢，基本不等式就该闪亮登场啦。
因为x> 0，y> 0，根据基本不等式a + b≥2√(ab)（这里a=(y)/(x)，b = (9x)/(y)），所以(y)/(x)+(9x)/(y)≥2√(frac{y){x}×(9x)/(y)} = 2√(9)=6。
5. 那么10+(y)/(x)+(9x)/(y)≥10 + 6 = 16，所以(1)/(x)+(9)/(y)的最小值就是16啦。
当且仅当(y)/(x)=(9x)/(y)，再结合x + y = 1（可以联立方程组求解哦），就能求出此时x和y的值啦。
这就是基本不等式“1”的代换的一个经典例题，是不是还挺有趣的呢？就像玩一个巧妙的数字游戏一样。
高中数学精品课件：第一章 基本不等式
(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2
3.4基本不等式 (1)
重要不等式： 重要不等式： 2 +b2 a
≥ 2ab(a、 ∈R b ）
当且仅当a=b时，等号成立. 时 等号成立 当且仅当 基本不等式： 基本不等式：
当且仅当a 时 等号成立. 当且仅当 =b时，等号成立
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
注意： 注意：
适用范围不同 （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 ）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当 ）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。
例题讲解
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水 其容积为4800m3,深为 深为3m,如果池底每 池,其容积为 其容积为 深为 如果池底每 平方米的造价为150元,池壁每平方米的的 平方米的造价为 元 池壁每平方米的的 造价为120元,怎样设计水池能使总造价最 造价为 元 怎样设计水池能使总造价最 最低总造价是多少? 低?最低总造价是多少 最低总造价是多少
2
动态演示 几何意义： 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗? 不等式的几何解释吗?
2.PQ与AO的大小关系怎样? 2.PQ与AO的大小关系怎样? 的大小关系怎样
a +b b 那 2.基本不等式 如 a > 0， > 0， 么 2 ≥ ab 基本不等式 果 均值定理） （均值定理） (当 仅 a = b ， " ="号 且 当 时 取 )
x+ y 由 ≥ xy可得：x + y ≥ 2 100 2 ∴ 2( x + y ) ≥ 40
等号当且仅当x = y时成立，
此时x = y = 10
因此这个矩形的长、宽都为10m时， 所用篱笆最短，最短篱笆是40m.
3.4基本不等式1
3.
4.
如果a、b、c＞0,那么a³ +b³ +c³≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
如果a、b、c＞0,那么(a+b+c)/3 ≥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)
5.n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几 何平均数。
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么 (a1+a2+· · · +an ) / n ≥ n a1 a2 an
如图, AB是圆的直径, 点Ｃ是AB 上一点, AC a, BC b.过点C作 垂直于AB的弦DE , 连接AD, BD ．试用这个图形, 得出不等式(2) 的几何解释 ?
证明推导3：
(分析法证明不等式)
均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.
均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项 不小它们的等比中项.
公式
结论推广
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么
(a1+a2+· · · +an ) / n 叫做这n个正数的算术平均数 ， n · · an a1a2· 叫做这n个正数的几何平均数 。 结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数。
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么 (a1+a2+· · · +an ) / n ≥ n a1 a2 an
§3.4基本不等式1
肇州一中
一、新课引入
上图是在北京召开的第２４届国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的＂弦图 ＂设计的．你能在这个图中找出一些相等关系或 不等关系吗？
基本不等式(1)
利用均值不等式求最值
例1已知 > 0，求 +
的最小值．
• 解：因为 > 0，所以 + ≥ ∙ = ，
当且仅当 =
，即
= 1时，等号成立，因此所求的最小值为2．
两种类型最值求法
• 例2、已知，都是正数，求证：
• (1)如果积等于定值，那么当 = 时，和 + 有最小值2 ;
2
2
时，积有最大值 ．
4
≥ ．
≥ ，所有 ≤
2
，
4
• 当且仅当 = 时，上式等号成立．于是，当 =
2
时，有最大值 ．
4
练习
• 1．已知， ∈ ，求证 ≤
+ 2
( ) ．
2
• 2．已知，都是正数，且 ≠ ，求证:
(1)
+
≥ 2;
2
基本不等式
• 特别地，如果 > 0， > 0，我们用 ， 分别代替上式中的，，
• 可得
•
+
≥
+
其中 叫做正数，的算术平均数，
2
叫做正数，的几何平均数．
• 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
分析法证明基本不等式
•
+
要证
≥ ，只要证 + ≥ ，
(2)
+
< Leabharlann ．练习2• 3．当取什么值时， +
1
取得最小值?最小值是多少?
2
• 4．已知−1 ≤ ≤ 1，求1 − 2 的最大值．
不等式公式四个
不等式公式四个一、基本不等式1：a^2 + b^2≥slant2ab（a,b∈ R），当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 对于(a - b)^2，因为任何实数的平方是非负的，所以(a - b)^2≥slant0。
- 展开(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2≥slant0，移项可得a^2 + b^2≥slant2ab。
2. 应用示例。
- 已知a = 3，b = 4，则a^2 + b^2=3^2+4^2 = 9 + 16=25，2ab = 2×3×4 = 24，满足a^2 + b^2≥slant2ab。
- 求y=x+(1)/(x)(x>0)的最小值。
- 根据a^2 + b^2≥slant2ab，这里a = x，b=(1)/(x)，则x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时取最小值2。
二、基本不等式2：(a + b)/(2)≥slant√(ab)（a>0,b>0），当且仅当a = b时取等号。
1. 推导。
- 由a^2 + b^2≥slant2ab，因为a>0,b>0，令A=√(a)，B = √(b)，则A^2=a，B^2 = b。
- 代入A^2 + B^2≥slant2AB得到a + b≥slant2√(ab)，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
2. 应用示例。
- 已知a = 4，b = 9，(a + b)/(2)=(4+9)/(2)=(13)/(2)，√(ab)=√(4×9)=6，满足(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 求y = x(1 - x)（0< x<1）的最大值。
- 因为y=x(1 - x)，这里a=x，b = 1 - x，根据(a + b)/(2)≥slant√(ab)，y=x(1 - x)≤slant((x+(1 - x))/(2))^2=(1)/(4)，当且仅当x=1 - x即x=(1)/(2)时取最大值(1)/(4)。
基本不等式(1)
基本不等式2 基本不等式2：
a+b ≥ ab (a > 0, b > 0) 2
算术平均数
几何平均 数
当且仅当a 等号成立。 当且仅当 = b 时，等号成立。 注意： 注意：
1.
两个不等式的适用范围不同, 适用范围不同 两个不等式的适用范围不同, 而等号成立的条件相同。 而等号成立的条件相同。
剖析公式应用
基本不等式可以叙述为： 2. 基本不等式可以叙述为： 两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 几何平均数。 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.正用、逆用，注意成立的条件： 3.正用、逆用，注意成立的条件： 正用 ⑴ a、 b 是两个正数； 是两个正数；
当且仅当a 号成立。 ⑵ 当且仅当 = b 时“＝”号成立。 4.变形 4.变形
2 2
2
应用二：解决最大（ 应用二：解决最大（小）值问题
例 2
小结： 求最值时要注意下面三条： 小结：利用 a + b ≥ 2 ab (a > 0, b > 0) 求最值时要注意下面三条： 已一正： （1）一正：各项均为正数 ） （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 ） 知二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。 两个正数和为定值，积有最大值。
练习1 练习
2 8 3. 若 x>0, y>0,且 + = 1,求xy的最小 x y
值.
变式练习： 变式练习：
1 1 设a , b ∈ R , 且a + b = 1 , 求 + 的最小值. 1− a 1− b
二、基本不等式的推广
a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc
基本不等式(1)
问题情景
用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，
有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相
加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重
量轻了还是重了？
基本概念
ab 我们把 叫做a,b的算术平均数， 2
把
ab 叫做a,b的几何平均数。
问题:这两种平均数之间具有怎样的大小 关系呢？
合作探究
2已知x 0, y 0, 且2 x 5 y 20, 求 lg x lg y的
最小值.
(3)求函数y
x 5
2
x 4
2
的最小值.
例7(1)试判断 x(2 x)(0 x 2) 与 1 的大小 关系？
1 (2)试判断 y x(1 2 x)(0 x ) 的最值,并求相 2 应的x值.
1 例3:(1)函数y=x+ 的值域是______ x
课堂小结
知识要点： （1）基本不等式的条件、结构、特征. （2）基本不等式的应用. ①证明不等式；②求函数的最值.(一正;二定;三相等) 思想方法技巧： 证明不等式的方法: （1）*比较法、*分析法、*综合法. （2）配凑等技巧
思考：若a,b,c均为正数，试比较
例⒉已知a，b，c为正数， 求证：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
证明： ∵a2b2＋b2c2≥2ab2c
b2c2＋c2a2≥2bc2a
①
②
a2b2＋c2a2≥2ca2b
∴由①＋②＋③得
③
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2abc(a＋b＋c) ∴ a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
新课讲解 例⒈已知a，b，c是不全相等的正数， 求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc 证明：∵ ∴ 同理 b2＋c2 ≥2bc，a＞0 a(b2＋c2)≥2abc. ① b(c2＋a2)≥2abc. ② c(a2＋b2)≥2abc. ③ ∵ a，b，c是不全相等的正数， ∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，a2＋b2≥2ab 三式不能全取“＝”号 从而①、②、③三式不能全取“＝”号。 ∴ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc
基本不等式1(Mean Inequality).ppt
例1：
1求y
x
1 x
x
0的最小值
2
求y
x
1 x
x
0的最大值ຫໍສະໝຸດ 解：x0, x
0,
1 x
0
y
x
1 x
2
当且仅当
x
1 x
,即x
1时
取得“ ”
当x 1时,ymax 2
例2:
通过加减项的方法配凑
成基本不等式的形式.
a
b
它是我国古代数学家赵爽发明的， 这幅图恰到好处地展示了
半径不小于半弦
中国人含蓄和典雅的静态美。
一般化(generalization)
3 abc a b c（a 0,b 0,c 0） 3
ai 0( i 1,2,,n ),
n
a1a2
an
a1
a2
an n
ab
归纳（summarize）
1.基本不等式—— ab a b（a 0,b 0）
2
2.不等式证明的三种方法 3.归纳、猜想、证明——科学的思维方式
一般化、特殊化——发现的重要源泉
Example：
Prove the fractional inequality：a b 2(a,b 0). ba
只要证：2 ab a b
只要证：0 a 2 ab b
2
只要证：0 a b 显然成立
ab a b （当且仅当a=b时取“=”） 2
基本不等式一的妙用
基本不等式一的妙用
基本不等式一是数学中的一个重要不等式，它可以用于解决各种数学问题，下面介绍一些基本不等式一的妙用：
1. 解决方程：基本不等式一可以用来求解某些方程。
例如，如果我们需要求解一个关于x的方程，而方程中含有分式，我们可以利用基本不等式一将分式部分变为一个关于x的不等式，从而求得x的取值范围。
2. 证明不等式：基本不等式一可以用来证明其他的不等式。
通过巧妙地运用基本不等式一的性质，可以推导出更复杂的不等式，进而解决一些数学问题。
3. 确定最值：基本不等式一可以帮助我们确定一个函数的最大值或最小值。
如果我们需要求解一个函数在一定范围内的最大值或最小值，我们可以利用基本不等式一将函数进行适当的转化，然后通过求导或其他方法找到最值点。
4. 优化问题：基本不等式一可以应用到一些优化问题中。
比如，我们想要求解一个几何问题中的最大面积或最小周长，可以利用基本不等式一进行转化和求解，从而得到最优解。
5. 数列问题：基本不等式一可以应用到数列问题中。
通过利用基本不等式一对数列进行递推或递减，可以得到数列的一些性质，进而解决相关的数列问题。
总之，基本不等式一在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种数学问题，优化求解过程，同时也促进了数学理论的发展。
基本不等式1的妙用
基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式 ax + by ，一个是分式mx + ny ，当然会在此基础上进行变形。
解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： x y + y x的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。
二、典型题剖析 例 1：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 1，求1x +2y 的最小值；（2）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 3 ，求1x + 2y 的最小值；（3）已知 x , y ∈ R * ，3x +2y = 2 ，求 6x + 2 y 的最小值；（4）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = xy ，求 x + 2 y 的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了 3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。
1 +2 = (x + 2 y )( 1 + 2) = 1+ 2x + 2 y + 4 ≥ 5 + 2= 9 【答案】（1） 4 x y x y xy当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号1 21 (x +2 y )( 1 2 1 2x 2 y1（2）+=+) =（）（）1+ + + 4 ≥5 + 2 4 = 3x y 3 x y x 3 3 y当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号（3） 6x + 2 y =12 (3x +2y )(6x + 2 y ) = 9 +3x y + 6y x+ 2 ≥ 18 + 626x 3y = x = y = 3 2+2当且仅当即 2 时取等号 y x 21（4）因为 x + 2 y = xy ，所以1y + 2x = 1，然后 x + 2 y =(x +2y)( 1y + 2x )= x y + 4x y+ 4 ≥ 8当且仅当x y = 4x y即 x = 2 y = 4 时取等号例 2：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 x1+1 + y 2+ 3 的最小值；*， x + y = 1，求 x 2 y 2（2）已知 x , y ∈ R + 的最小值；x +1 y + 1（3）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 1 + 2的最小值；2x + y y + 3（4）已知 x , y ∈ R *， 2x + 3y = 1，求 1 + 2的最小值；x + y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。
基本不等式1
1 2 2 2 [(a b) (b c ) (c a ) ] 2 又 a， b R
（比较法）
(a b)2 0， (b c ) 2 0 ， (c a ) 2 0 1 [(a b)2 (b c )2 (c a )2 ] 0 2 a 2 b2 c 2 ab bc ca .
b R ，求证： a b c ab bc ca 例3 已知 a ，
2 2 2
b R 证法1： a ， 2 2 a b 2ab
b c 2bc
2 2
相加
c 2 a 2 2ca
（综合法）
得
2a 2 2b2 2c 2 2ab 2bc 2ca
两个重要不等式： 均值不等式
b R， 那么a 2 b2 2ab 基本不等式1： 如果 a ，
（当且仅当 a b 时取“ ” 号） .
ab b R ， 那么 ab 基本不等式2： 如 果 a ， 2 （当且仅当 a b 时取“ ” 号） .
注意：两个基本不等式的不同点和相同点: ① 两个不等式的适用范围不同； ② 等号成立的条件相同.
B
B
基本不等式1：
我们有 一般地，对于任意实数a、b， a 2 b2 2ab 你能给出它的证明吗？ 当且仅当 a=b 时，等号成立.
2 2 如果 a ， b R ， 那么 a b 2ab 基本不等式1：
（当且仅当 a b 时取“ ” 号） .
a b 2ab (a b) 证明：
两个重要不等式： 均值不等式
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ab a b
（1）
2
分 析
只要证，
法
要证（2），只要证
a b 2 ab （2） a b 2 ab 0 （3）
要证（3），只要证
( a
b
)
2
0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当 a b 时等号成立
如图，AB是圆的直径，C是AB
上任一点，AC= a，BC= b ，过
点C作垂直于AB的弦DE，连接 AD、BD。则CD= ab ，半 A 径为 a b
3.4基本不等式：
ab a b 2
2020年2月15日
新课导入 赵 爽 弦 图
ICM 2002
B eijin g
August 20 28 2002
第二十四届国际数学家大会的会标
新课导入
新课导入
你能在这个图中
SABE S正ABCD
SBCF SABE
SS找不CDB到等GCF一关S些系SA相吗CDDH等？G 或SADH
a2 b2 2ab
当a b时，a2 b2 2ab
a b
a2 b2
a2 b2 2ab （当且仅当a b，等号成立）
几何画板动态展示
重要不等式
重要不等式： a2 b2 2ab
形的角度
数的角度
a2 b2 2ab (a b)2 0
基本不等式： ab a b
2
要证，
例1 当x 0 时，证明： x 1 2 x
证明： 注意：基本 不等式成立 的前提（正 ）和取等（ 等）的条件 。
x 0, 1 0 x
由基本不等式知：x 1 2 x 1
x
x
可得： x 1 2 x
当且仅当 x 1 即x 1时，等号成立 x
思考
当x 0时，x 1 2 x
对勾函数图象
2
D
a O Cb B
E
几何解释：半径不小于半弦
几何画板的动态展示
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2.两个正数的基本不等式
如果a, b > 0，那么 a b ab， 2
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C
几何解释
A
ab
a O DbB
变形 : ab （ a b ）2
2
例题剖析
若x 0呢？ x 1 [(x) ( 1)] 2
x
x
若x
2呢？
(x
1 x
)在[2,)上单调递增,
(x
1 x
)
5 2
例题剖析 例2 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时 ，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时 ，它们的积最大？
分析 （1）即x 0, y 0,已知xy 36,求x y的最小值；
sin 2 x
变式训练
（1）用篱笆围一个面积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的
长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长 宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？
课堂小结
基本不等式: ab a b
2
由a2 b2 2ab推导 推导证明 分析法证明
（2）即x 0, y 0,已知x y 18,求xy的最大值；
基本不等式
基本不等式: ab a b
2
注揭意示了“（和1”）与成“立积的”前这提两种结构间的不等关系
：：
a 0,b 0
（2）等号成立的条件：当且仅当 a b
变式训练
判断下列结论是否2
×
ab
③ sin 2 x 4 4 ×
几何解释 成立前提： a 0,b 0
取等条件： a b
基本应用：
1. 证明不等式 2.求最值