基本不等式1
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sin 2 x
变式训练
（1）用篱笆围一个面积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的
长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长 宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？
课堂小结
基本不等式: ab a b
2
由a2 b2 2ab推导 推导证明 分析法证明
若x 0呢？ x 1 [(x) ( 1)] 2
x
x
若x
2呢？
(x
1 x
)在[2,)上单调递增,
(x
1 x
)
5 2
例题剖析 例2 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时 ，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时 ，它们的积最大？
分析 （1）即x 0, y 0,已知xy 36,求x y的最小值；
几何解释 成立前提： a 0,b 0
取等条件： a b
基本应用：
1. 证明不等式 2.求最值
例1 当x 0 时，证明： x 1 2 x
证明： 注意：基本 不等式成立 的前提（正 ）和取等（ 等）的条件 。
x 0, 1 0 x
由基本不等式知：x 1 2 x 1
x
x
可得： x 1 2 x
当且仅当 x 1 即x 1时，等号成立 x
思考
当x 0时，x 1 2 x
对勾函数图象
ab a b
（1）
2
分 析
只要证，
法
要证（2），只要证
a b 2 ab （2） a b 2 ab 0 （3）
要证（3），只要证
( a
来自百度文库
b
)
2
0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当 a b 时等号成立
如图，AB是圆的直径，C是AB
上任一点，AC= a，BC= b ，过
点C作垂直于AB的弦DE，连接 AD、BD。则CD= ab ，半 A 径为 a b
a2 b2 2ab
当a b时，a2 b2 2ab
a b
a2 b2
a2 b2 2ab （当且仅当a b，等号成立）
几何画板动态展示
重要不等式
重要不等式： a2 b2 2ab
形的角度
数的角度
a2 b2 2ab (a b)2 0
基本不等式： ab a b
2
要证，
3.4基本不等式：
ab a b 2
2020年2月15日
新课导入 赵 爽 弦 图
ICM 2002
B eijin g
August 20 28 2002
第二十四届国际数学家大会的会标
新课导入
新课导入
你能在这个图中
SABE S正ABCD
SBCF SABE
SS找不CDB到等GCF一关S些系SA相吗CDDH等？G 或SADH
2
D
a O Cb B
E
几何解释：半径不小于半弦
几何画板的动态展示
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2.两个正数的基本不等式
如果a, b > 0，那么 a b ab， 2
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C
几何解释
A
ab
a O DbB
变形 : ab （ a b ）2
2
例题剖析
（2）即x 0, y 0,已知x y 18,求xy的最大值；
基本不等式
基本不等式: ab a b
2
注揭意示了“（和1”）与成“立积的”前这提两种结构间的不等关系
：：
a 0,b 0
（2）等号成立的条件：当且仅当 a b
变式训练
判断下列结论是否正确：
① 4a4
×
a
② ba2
×
ab
③ sin 2 x 4 4 ×
变式训练
（1）用篱笆围一个面积为100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的
长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长 宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？
课堂小结
基本不等式: ab a b
2
由a2 b2 2ab推导 推导证明 分析法证明
若x 0呢？ x 1 [(x) ( 1)] 2
x
x
若x
2呢？
(x
1 x
)在[2,)上单调递增,
(x
1 x
)
5 2
例题剖析 例2 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时 ，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时 ，它们的积最大？
分析 （1）即x 0, y 0,已知xy 36,求x y的最小值；
几何解释 成立前提： a 0,b 0
取等条件： a b
基本应用：
1. 证明不等式 2.求最值
例1 当x 0 时，证明： x 1 2 x
证明： 注意：基本 不等式成立 的前提（正 ）和取等（ 等）的条件 。
x 0, 1 0 x
由基本不等式知：x 1 2 x 1
x
x
可得： x 1 2 x
当且仅当 x 1 即x 1时，等号成立 x
思考
当x 0时，x 1 2 x
对勾函数图象
ab a b
（1）
2
分 析
只要证，
法
要证（2），只要证
a b 2 ab （2） a b 2 ab 0 （3）
要证（3），只要证
( a
来自百度文库
b
)
2
0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当 a b 时等号成立
如图，AB是圆的直径，C是AB
上任一点，AC= a，BC= b ，过
点C作垂直于AB的弦DE，连接 AD、BD。则CD= ab ，半 A 径为 a b
a2 b2 2ab
当a b时，a2 b2 2ab
a b
a2 b2
a2 b2 2ab （当且仅当a b，等号成立）
几何画板动态展示
重要不等式
重要不等式： a2 b2 2ab
形的角度
数的角度
a2 b2 2ab (a b)2 0
基本不等式： ab a b
2
要证，
3.4基本不等式：
ab a b 2
2020年2月15日
新课导入 赵 爽 弦 图
ICM 2002
B eijin g
August 20 28 2002
第二十四届国际数学家大会的会标
新课导入
新课导入
你能在这个图中
SABE S正ABCD
SBCF SABE
SS找不CDB到等GCF一关S些系SA相吗CDDH等？G 或SADH
2
D
a O Cb B
E
几何解释：半径不小于半弦
几何画板的动态展示
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2.两个正数的基本不等式
如果a, b > 0，那么 a b ab， 2
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C
几何解释
A
ab
a O DbB
变形 : ab （ a b ）2
2
例题剖析
（2）即x 0, y 0,已知x y 18,求xy的最大值；
基本不等式
基本不等式: ab a b
2
注揭意示了“（和1”）与成“立积的”前这提两种结构间的不等关系
：：
a 0,b 0
（2）等号成立的条件：当且仅当 a b
变式训练
判断下列结论是否正确：
① 4a4
×
a
② ba2
×
ab
③ sin 2 x 4 4 ×