大学物理角动量
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角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
大学物理 角动量 角动量守恒定律
z L mv
r
注意
L r mv
角动量 L在直角坐标系中各坐标轴的分量：
1. 质点的角动量与质点对固定点的矢径有关；同一质 点对不同的固定点角动量不同。 2. 讲角动量必须指明对哪一个固定点而言。
Lx ypz zp y Ly zpx xpz
角动量的单位：
例2.17 一质量为 m的质点t=0时位于 ( x1 , y1 )处，速度为 v0 v x 0 i v y 0 j ，质点受到恒力 f = f i 的作用，（1） 求t=0时相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力 的力矩（2）求2s后相对于原点的角动量的变化中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v 2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M ) v1 l (m M ) v2 sin
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M ) v1 (m M ) v2 k (l l0 ) 2 2 2 2
( x1mv y 0 y1mv x 0 )k
作用在质点上的力的力矩为
M 0 r0 f ( x1i y1 j ) ( f i )
y1 f k
t t （2） L Mdt (r f )dt t0 t0 f f f 2 a i x x1 vx 0t t m m 2m
k (l l0 ) 2 m2 2 v2 v0 (m M ) 2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m 2 v0 k (l l0 ) 2 (m M )
例 . 在光滑的水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系 一小球放在桌面上，另一端用手缓慢拉绳，开始时小球绕孔运动， 半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径变为 r2 时,求小球的速率 v2？
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
【大学物理】§5.2 角动量定理
棒上段、下段对轴O角动量方向相反
-l/2
O
线密度： 取质元：
m 2l
mdx 2l
dm dx
mv0 2l
质元角动量：
dm
v0
x
dL dm v0 x
xdx
3l/2
设垂直向外为正方向，总角动量：
L
3l 2 mv0 xdx 2l 0
mv0 xdx 2l -l 2
m2
ro m
m1
m 解：在地面参考系中，选取 m1 、 2 和滑轮为研究对 象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
10
T1
N
a
T2
T2
o
向里+
Ny
m1
m2 g
m2
m2 g
Nx
a
m1 g
T1
列方程如下：
可求解
m1 g - T1 m1a T2 - m2 g m2 a 1 (T1 - T2 ) r mr 2 2 a r
11
第五章 角动量 角动量守恒 习题课
例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
, 10 ;
m2 , R2
, 20
求：接触且无相对滑动时
1 ?
10
m1
2 ?
20
1 2
.o1
R1
.o2
R2
m2
o1.
o2.
12
解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则： J1 + J2 系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正：
1 m1 m2 m r 2
(4)
大学物理-(华科)牛顿运动定律-4-角动量定理_图文_图文
o
Ly
·
垂直黑板向内,故垂直于y轴.
所以沿y轴方向的力矩 My=0, 故角动量在y方向上的分量Ly守恒:
L0y = Ly
r L0
受力分析: y
N
L0= rmv0 sin90º= rmv0
x
L0y=L0sin0 = rmv0 sin0= mv0r0 F
r
Ly= rmv
mg
则:
(Ly = L)
11
又，机械能守恒: 三式联立解得：
角动量 力矩
19
2）功率 力在单位时间内所作的功，称为功率 。
平均功率 瞬时功率
21
例6、如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力 拉着质量为m的车沿半径为R的圆弧形路面极
缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为，
求:车由底端A被拉上顶端B时,各力对车所做的功。
解: 车受4个力的作用 拉力F、摩擦力f，沿切向 路面支持力N 指向圆心O 重力mg 竖直向下
手拉绳，开始时小球绕孔运动, 速率为v1, 半 径为r1, 当半径变为r2时, 求小球的速率v2.
解：小球受力
f拉
f拉 —— 有心力
显然:
10
例3. 将一个质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面水平地投 射,碗保持静止。设v0是质点恰好能达到碗口所需要的初速度。
试求出v0作为0的函数的表达式.
解：取球心o为参考点,并设开始时 质点在板面内,且速度垂直向外。
大学物理-(华科)牛顿运动定律-4-角动量定理_ 图文_图文.ppt
上节课的主要内容 作业：交到2-T11
动量定理 对单个质点或对质点系：
动量守恒定律成立条件 ：*系统根本不受外力或合外力为零。
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
大学物理-刚体绕定轴转动的角动量
M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
大学物理5.3角动量守恒定律解析课件
6.3kms1
➢ 增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
近地
h1 160.9km
v1 3.38104 kms1 t小很快掠过
远地
h1 2.03105 km v1 1225kms1 t大充分利用
第10页，共33页。
➢ 地球同步卫星的定点保持技术 卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
严格同步条件 轨道严格为圆形 运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
第24页，共33页。
回顾作业 P72 4 -11
CB
Ny o Nx
F轴 0
M轴 0
A
A、B、C系统
p不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
mA mB v1R mA mB mc vR
第25页，共33页。
练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒，绳 不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =?
“1987超新星事件” 杨桢
第32页，共33页。
解：内核坍缩过程不受外力矩作用， 对自转轴的角动量守恒
2 5
mR020
2 5
mR2
得坍缩后的角速度为：
R0 R
2
0
2 107 6 103
2
45
2
24 3600
17.9
rad s-1
第33页，共33页。
Lz 恒量
第15页，共33页。
例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1 , 10 ; m2 , R2
求：接触且无相对滑动时
1 ? 2 ?
, 20
10
20
m1
.o1
R1
大学物理第3章第2节-角动量定理及其守恒定律
用角动量定理和守恒定律处理问题 (i) 确定研究对象 (单一刚体、刚体系、刚 体+质点); (ii) 确定是对点还是对轴; (iii) 受力分析 (外力) 并求各力的力矩; (iv) 求初、末状态的角动量; (v) 用角动量定理和角动量守恒定律 (对 点或对轴) 列方程求解.
例3.9 一半径为 R 、质量为 m 的匀质圆 R 盘平放在粗糙的水平面 上. 设盘与桌面的摩擦因 数为 , 令圆盘最初以角 速度0 绕过其中心且垂直于盘面的轴旋转, 问它经过多少时间才停止转动? 解 圆盘与桌面间有摩擦, 在转动过程 中受到摩擦力矩的作用, 对圆盘上半径为 r 宽度为 d r 的圆环, 受到的阻力矩为
解 受力分析 N N 人: m M 重力 mg R 支持力 N1 mg 转台: 重力 Mg 支持力 N 2 Mg 合外力为零, 不产生力矩, 角动量守恒.
2 1
设转台沿逆时 M 针转动, 对地的角速 度为 , 人沿顺时针运 动, 人对转台的角速度为 , 则人对地的角速度为 . 转动惯量 2 I MR 2 转台: 2 I mR 人:
dM f rd f
f ( d m) g d r (d m) g m d S d r ( d S ) g
m
R
m r (2 rd r ) g 2 R
m R 2 , d S 2 rd r
m
R
角动量守恒
I I ( ) 0
M
R
m
MR mR2 ( ) 0 2
2
解得
2m M , M 2m M 2m
当人在转台上跑一周时
大学物理-角动量守恒定律
1 dA ( r sin )ds 2
4-3 角动量
角动量守恒定律
dA 1 ds 1 ( r sin ) r sin v dt 2 dt 2 1 1 r sin mv rp 2m 2m 而行星的角动量 r p 大小恒定，所以 dA 常量 dt
一般情形下， r 和 p 都是变化的，所以 L 没 有确定的方向，但任一时刻， L 总垂直于 r 和 p 所确定的平面。在直角坐标系下，L 的三个分量
为：
3
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xp y ypx
4-3 角动量
这就是开普勒第二定律。 如果一个力的方向始终指向某一点，这力称 为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力 矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心 的角动量守恒。 10
4-3 角动量
角动量守恒定律
质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 1. 质点系角动量
L l i ri 量
角动量守恒定律
3. 角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 0，则
dL 0 ，L 常矢量 dt
实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所 经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的 过程，都遵守角动量守恒定律。
13
4-3 角动量
角动量守恒定律
【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球， 开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时 打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向 获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过 程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。 解 系统：弹簧和小球 质心C点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。
必须指明是对哪个点而言的
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
大学物理角动量
o
r
P
F
y
y
y
x
理解等号右侧每一项的含义！
9
力对轴的力矩
ˆ(z ˆ ˆ M(y F z F ) i F x F ) j ( x F y F ) k z y x z y x M F F x y z z y F F M y z x x z F F z x y y x M
FzBiblioteka LzMz xF y yF x Lz xP y yP x xmv y ymv x d Mz Lz dt
Fy
m
Fx
v
r
x
O
y
22
质点对轴的角动量守恒定律 若质点所受力对轴的合力矩为 0，则质点对该轴的角动量守 恒：
L xP yP xmv ymv 常数 z y x y x 对于作圆周运动的质点： Fz F ˆ F R L M z (R F ) k z ˆ Lz (R mv ) k Rmv m F // d d R M z Lz Rmv Rma v O dt dt F
F
F
C
28
问题讨论： 合外力为零时，合外力矩必为零，对吗？ 错！如图：对于质心的合外力矩不为零，但系统合外力 为零。
M r f r fji i ij j ( r r f r f 0 i j) ij ij ij
o
f ij
ri
m
r ij
i
m
rj
j
f ji
i 1 , i j 即：质点组内力矩的矢量和恒为零，只需考虑外力矩。
大学物理角动量定理
dL
dt
ri Fi
ri f内i
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统 所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。
质点或质点系的角动量守恒定律：
当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零 时，质点或质点系对该点的角动量保持不变。
第三章 守恒定律
4
大学 物理
3-6 角动量定理
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内
扫过的椭圆面积相等 。
证： dS 1 r dr 2
dS 1 r dr 1 r v dt 2 dt 2
dr
r
dS 1 r mv 1 L 有心力作用下角动量守恒
dt 2m
2m
dS 恒矢量 dt
证毕
第三章 守恒定律
5
大学 物理
3-6 角动量定理
例.在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，其一端
3-6 角动量定理
竖直平面内. 一质量为 m 的小球
穿在圆环上, 并可在圆环上滑动.
小球开始时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的水平面上)，
然后从 A点开始下滑．设小球与
圆环间的摩擦力略去不计．求小
球滑到点 B 时对环心 O 的角动量
和角速度．
解 小球受力 P 、FN 作用, FN 的力矩为零，重力矩垂直
i 1
z F1 Fi
0
ri
dpi dt
ri
Fi f内i
dL
dt
ri Fi
ri f内i
r1
ri
O
x
r2
F2
y
第三章 守恒定律
3
大学
一对力对某一固定点的力矩
大学物理_角动量_转动惯量汇总
df dm g 2 gr dr
df
dM r df 2 2 gr dr
R
r O
2 3 M 2 gr dr gR 3 0
R
dr
2
问题： 若圆盘以ω0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止? (解答需要转动情况下的动能定理)
刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的特殊质点系）。 刚体的运动形式： 平动(translation)、 转动(rotation)。 平动： 刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变
特点：各点位移、速度、 加速度均相同。 刚体平动 质点运动
M ij
O
M rF sin θ Fd
Mij M ji
力矩的计算：
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。
计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。
转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。
刚体的平面运动：
例：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。
A点作圆周运动，B
点作直线运动，因此，
AB 杆的运动既不是平动
也不是定轴转动，而是
平面运动。
刚体的一般运动： 质心的平动 质心 ：刚体的质量分布的中心
二、质点的角动量定理 1、质点的角动量[旧称动量矩] (Angular Momentum) 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量定义为
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
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令
rF M ─力矩
于是有 M d L dt
可见: 引起转动状态改变的原 因是由于力矩的作用
M dL dt
—角动量定理的微分形式
对此式分离变量积分
t
t0Mdt LL0
—角动量定理的积分形式
比较
F dp dt
t
Fdt p p0
t0
与动量定理在形式、结构上一致。
在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的 力矩和角动量必须都是对同一固定点。
由于各三角形具有公共高线 OH ，
因此掠面速度相等:
dS
1 vt OH 2
1 vr sin
1 r 2
常量
dt
t
2
2
式中
v sin
r
ω 相当于质点绕O点转动的角速度。
由上式可得： m vrsin 常 量
写成矢量式： r p rm v常量
②再来看有心力场的简单情形。
质点在向心力的作用下作匀速圆周运动
Fdrcos0o
若 M0
则有：
L常 矢 量
若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩 的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。
—角动量守恒定律
例如：质点在有心力作用下角动量守恒。
例 题 ： 质m量 的为 圆 锥 摆 摆 球υ， 运以 动速 时率 对O参 考 点 的 角 动恒 量？ 是C对 否 参守 考 点 的 角动量是否守恒？
6370327
行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？
例题 ：
用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速
率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径
逐渐减小。(1)求当半径缩为 r 时的角速度。
(2)这一过程中绳子对木块的拉力所做的功。 v
解：以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
对C点 的 合 外 力 矩 不 角为 动零 量， 不 守 恒
例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。
解： 角动量守恒
v2
r1
且
近地点 v1 r1
远地点 v2 r2
v1
o
r2
则 mv2r2mv1r1
v2
r1 r2
v1
63701818.07 .8 3 k m /s
Fx Fy Fz
M x yFz zF y
M y zFx xFz
M
z
xF y
yF x
上式也称为力对轴的力矩。
③有心力对力心的力矩为零。
始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。
五、角动量守恒定律
law of conservetion of Angular momentum
由： M d L dt
二、质点系对固定点的角动量
质点系的角动量是各个质点对同一固定参 照点的角动量的矢量和。
L Li
i
三、角动量定理
类比质点的动量定理
dp d mv m d v F
dt dt
dt
考查质点角动量 Lrm v的变化率：
dLd（rmv）rd(m v)drm v
dt dt
dt dt
r F v m v rF
②当质点作圆周运动时，θ= π / 2
角动量大小为：
Lmvrmr2
当质点作一般平面运动时， 角动量为：
i jk L r p x y 0 (xpyypx)k
px py 0
③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：
i jk Lrp x y z
px py pz
Lx(ypzzpy) Ly(zpxxpz) Lz(xpyypx) ④角动量的单位为: kg ∙ m2/s
此时动量
pmv
因速度的方向一直在改变而不守恒，
但质点的位矢与动量的矢量积
rmv 是一个常矢量
它的大小为 mvr， 方向始终垂直于纸面向外。 rmv 就是质点的角动量，
因此角动量保持守恒。 显然，位矢 r 的掠面速度vr / 2在圆周上各点相等。
但在两种情况下，相对于某点 O的位矢的
掠面速度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是 角动量。因此我们引入角动量的概念。
我们已经看到，角动量概念与线动量类似， 但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物 理量。
也有时称其为动量矩。
定义： 角动量
Lrmv (矢量)
L 的大小为 ：
Lrmvsin
θ为 r 和 m的v 夹角， L 的方向为 r 和 m v的右旋。
L
0r
mv
讨论
关于角动量
①角动量与位矢有关，
谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。
l c
T
mR o υ
mg
解： 摆球受力如图
重1力矩以O为 M 参 R 考 点 mg
M Rmg 逆时针
张力矩
M RT
M R sT 9 i0 n 0 θRT coθs Rmg 顺时针
对O点的合力矩为零，量 角守 动恒。
2 以C为参考点
重力矩：
Mlmg
张力矩
Mlmsgin θ
M l T0 夹:角 π
在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适 用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
角动量与动量一样，是一个重要概念。
引例 ①对于作匀速直线运动的质点，既可以用动量也
可用角动量的概念进行描述。
设质点沿 AB 作匀速直线运 动，在相等的时间间隔Δt 内，走 过的距离 ΔS = vΔt 都相等。
选择O 为原点，从O 到质点 处引位矢 r 。 r 在单位时间内扫 过的面积，称为掠面速度。
教学基本要求
一 理解质点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ固定点的角动量、力 矩的概念。
二 理解角动量守恒定律及适应条件， 并能用该定律分析计算有关的问题。
5.1 质点的角动量定理
一、质点的角动量(Angular momentum of particl )
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心 运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星 绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等 等。
m r o r0
其力矩为零。
则小球对o 点的角动量守恒。
初态 末态 角动量守恒 所以 或
m v0r0m r02 0
m vrm r2
m r2m r020
r0 2 r2
0
v
r0 r
v0
计算一下这个力的的功，可用动能定理
WEk
1mv2 2
12mv02
12mv02[(rr0)2
1]
0
W
r
Fdr
r
四、力矩
M rF MrFsin
其中θ为 r 和 F的夹角
M r F s in
rF
M F rs in
r F
力对某一固定点
的力矩的大小等于此
力和力臂的乘积。
r
M
0r
F
r
F
F
讨论
关于力矩
①力矩的单位为： N∙m ②在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：
i jk M r F x y z