【湘教版】八年级数学上册第二章能力培优训练合集(含答案)
湘教版八年级上册数学第二章第二节练习题(含答案)
湘教版八年级上册数学第二章第二节练习题（含答案）一、单选题1．数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a，都有√a2＝a”是假命题，所列举反例正确的是（）A．a＝﹣2B．a＝12C．a＝1D．a＝√52．下列命题是真命题的个数为（）①一个角的补角大于这个角.②三角形的内角和是180°.③若a2=b2，则a=b.④相等的角是对顶角.⑤两点之间，线段最短.A．2B．3C．4D．53．要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（）A．a＝3，b＝2B．a﹣3，b＝2C．a﹣＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝34．能说明命题“对于任意实数a，都有a2＞0”是假命题的反例是（）A．a＝﹣2B．a＝1C．a＝0D．a＝√55．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（）A．两个角分别为13°，45°B．两个角分别为40°，45°C．两个角分别为45°，45°D．两个角分别为105°，45°6．对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（）A．∠1=80°，∠2=110°B．∠1=10°，∠2=169°C．∠1=60°，∠2=120°D．∠1=60°，∠2=140°7．下列说法中：①(−1，−x2)位于第三象限；②√81的平方根是3；③若x+y=0，则点P(x，y)在第二、四象限角平分线上；④点A(2，a)和点B(b，−3)关于x轴对称，则a+b的值为5；⑤点N(1，n)到x轴的距离为n．正确的有（）A．1B．2C．3D．48．下列说法中，错误的是（）A．对顶角相等B．三角形内角和等于180°C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．两直线平行，同旁内角互补9．下列命题中的真命题是（）A．内错角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．2−1=−2D．若|a|=1，则a=110．下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（）⑴全等三角形的对应边相等；⑴对顶角相等；⑴等角对等边；⑴全等三角形的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个11．下列语句是真命题的是（）．A．内错角相等B．若a2=b2，则a=bC．直角三角形中，两锐角∠A和∠B的函数关系是一次函数D．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么△ABC为直角三角形12．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（）A．a＝﹣1，b＝0B．a＝2，b＝﹣1C．a＝2，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣213．下列说法错误的是（）A．16的算术平方根是4B．三角形的一个外角等于任意两个内角之和C．一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过第三象限D．在平面直角坐标系中，若一个点的坐标为（3，0），则这个点在x轴上14．下列命题正确的是（）A．数轴上的每一个点都表示一个有理数B．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，则乙的成绩更稳定C．三角形的一个外角大于任意一个内角D．在平面直角坐标系中，点（4，﹣2）与点（4，2）关于x轴对称15．下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形16．下列命题为真命题的是（）A．同位角相等B．三角形的外角等于两个内角的和C．相等的角是对顶角D．全等三角形的对应角相等二、填空题17．给出下列语句：①延长线段AB到点C；②垂线段最短；③过点A画直线EF；④在⑴ABC 中，若AB＞AC，则⑴B＞⑴C.其中是命题的有（只填序号）.18．“同一平面内，若a⑴b，c⑴b，则a⑴c”这个命题的条件是，结论是，这个命题是命题．19．为说明命题“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命题，你举出的一个反例是.20．命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是.三、解答题21．阅读下列文字，回答问题.题目：在Rt⑴ABC中，⑴C=90°，若⑴A≠45°，所以AC≠BC．证明：假设AC=BC，∵⑴A≠45°，⑴C=90°，∴⑴A≠⑴B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.四、综合题22．探究问题：已知⑴ABC，画一个角⑴DEF，使DE⑴AB，EF⑴BC，且DE交BC于点P．⑴ABC与⑴DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现⑴ABC与⑴DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中⑴ABC与⑴DEF数量关系为；图2中⑴ABC与⑴DEF数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．答案1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B11．C 12．D 13．B 14．D 15．D 16．D17．②④ 18．同一平面内，若a⑴b，c⑴b；a⑴c；真19．a=1，b=−1（答案不唯一）20．如果两个三角形周长相等，那么这两个三角形全等21．解：有错误. 改正：假设AC=BC，则⑴A=⑴B，又⑴C=90°，所以⑴B=⑴A=45°，这与⑴A≠45°矛盾，所以AC=BC不成立，所以AC≠BC.22．（1）⑴ABC+⑴DEF＝180°；⑴ABC＝⑴DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．。
湘教版八年级上册数学第2章 三角形 复习检测(含答案)
湘教版八年级数学上第二章三角形期末复习及答案一、选择题1.能把一个三角形分成两个直角三角形的是三角形的（）A. 高B. 角平分线C. 中线D. 外角平分线2.如果等腰三角形有一条边长是6，另一条边长是8，那么它的周长是（）A. 20B. 20或22C. 22D. 243.下列命题正确的是（）A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B. 一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等D. 有两条边对应相等的两个直角三角形全等4.如图：△ABC中，D点在BC上，现有下列四个命题：①若AB=AC，则∠B=∠C．②若AB=AC，∠BAD=∠CAD，则AD⊥BC，BD=DC．③若AB=AC，BD=DC，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．④若AB=AC，AD⊥BC，则BD=DC，∠BAD=∠CAD．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图所示，△ABC≌△BDA，如果AB=6cm，BD=7cm，AD=4cm，那么BC的长为（）A. 6cmB. 4cmC. 7cmD. 不能确定6.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A. 44°B. 34°C. 54°D. 64°7.以下各命题中，正确的命题是（）（1）等腰三角形的一边长4 cm，一边长9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm；（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（4）等边三角形是轴对称图形；（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.A. （1）（2）（3）B. （1）（3）（5）C. （2）（4）（5）D. （4）（5）8.如图OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 50°.C. 45°D. 30°9.下列语句中，属于命题的是（）A. 直线AB和CD垂直吗B. 过线段AB的中点C画AB的垂线C. 同旁内角不互补，两直线不平行D. 连结A，B两点10.下列属于尺规作图的是（）A. 用刻度尺和圆规作△ABCB. 用量角器画一个300的角C. 用圆规画半径2cm的圆D. 作一条线段等于已知线段二、填空题11.已知等腰三角形的两边长是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是________ cm．12.锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC=________度．13.等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为________．14.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件________．15.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是________．16.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是________．17.如图．在△ABC中，点D在BC边上，BD=DC，点E在AD上，CF∥AB，∠BAD=∠DEF，若AB=5，CF=2．则线段EF的长为________．18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AC+CD=BD，若CD=1，则BD=________．三、解答题19.如图图形中哪些具有稳定性？20.如图△ABC中，BE是∠ABC的外角平分线，BE交AC的延长线于E，∠A=∠E，求证：∠ACB=3∠A．21.如图，已知A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．求证：△ACF≌△BDE．22.如图，△ABC中，AB=AC，点M.N分别在BC所在直线上，且AM=AN，BM=CN吗？说明理由.23.如图，已知：AO=BO，OC=OD．求证：∠ADC=∠BCD．四、综合题24.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的长．小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△BDE是________三角形．（2）BC的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD的长．参考答案一、选择题1. A2.B3.A4.D5.B6.A7.D8.A9.C10.D二、填空题11.15 12.45 13.15 14.AB=AC15.5cm16.（）n﹣1×75°17.3 18.3三、解答题19.解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（1）、（4）、（6）3个．20.证明：∵BE是∠ABC的外角平分线，∴∠EBD=∠EBC，∵∠A=∠E，∴∠EBD=∠EBC=∠A+∠E=2∠A，∵∠ACB=∠E+∠EBC，∴∠ACB=3∠A21.证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知），∴∠ACE=∠BDF=90°（垂直的定义），在Rt△ACE和Rt△BDF中，，∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），∴∠A=∠B（全等三角形的对应角相等），∵AE=BF（已知），∴AE﹣EF=BF﹣EF（等式性质），即AF=BE，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE（SAS）22.解：BM=CN，理由：过点A作AD⊥MN于点D，∵AB=AC∴BD=CD,∵AM=AN，∴MD=ND,则BM=CN.23.证明：在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADO﹣∠ODC=∠BCO﹣∠OCD，即∠ADC=∠BCD四、综合题24.（1）等腰（2）5.8。
八年级数学上册《第二章 全等三角形》练习题-含答案(湘教版)
八年级数学上册《第二章全等三角形》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.平移前后两个图形是全等图形，对应点连线( )A.平行但不相等B.不平行也不相等C.平行且相等D.不相等2.下列四个图形中用两条线段不能分成四个全等图形的是( )A. B. C. D.3.如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是( )A.这两个三角形的对应边相等B.这两个三角形都是锐角三角形C.这两个三角形的面积相等D.这两个三角形的周长相等4.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.40°5.如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是( )A.∠B＝∠CB.∠BDE＝∠CDEC.AB＝ACD.BD＝CD6.如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是( )A.两角及夹边B.两边及夹角C.两角及一角的对边D.两边及一边的对角7.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.下列结论不正确的有( )A.∠BAD＝∠CAEB.△ABD≌△ACEC.AB＝BCD.BD＝CE8.如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN 于点P，则∠APN的度数为( )A.60°B.120°C.72°D.108°二、填空题9.如图，四边形ABCD与四边形D′C′B′A′全等，则∠A′=_____，∠B=____，∠A=_____.10.如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm，则DE的长是 .11.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝，根据可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝ .12.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD ＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC ≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是13.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE长是 .14.如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是.三、作图题15.如图，请按下列要求分别分割四个正方形.①两个全等三角形；②四个全等的三角形；③两个全等的长方形；④四个全等的正方形.四、解答题16.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6.G 为AB延长线上一点.求：(1)∠EBG的度数；(2)CE的长.17.如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.18.如图，在△ABC和△DAE中，∠DAE＝∠BAC，AB＝AE，AD＝AC，连接BD、CE. 求证：BD＝CE.19.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED;(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．20.如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD，AG.求证：AG＝AD.参考答案1.C.2.D3.B4.B5.B.6.B.7.C8.D.9.答案为：120°，85°。
湘教版八年级数学上册第二章测试题(含答案)
湘教版八年级数学上册第二章测试题（含答案）(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间：120分钟，赋分：120分)分数：____________第Ⅰ卷(选择题共36分)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．下列长度的三条线段中能构成三角形的是(C)A．3 cm，10 cm，5 cm B．4 cm，8 cm，4 cmC．5 cm，13 cm，12 cm D．2 cm，7 cm，4 cm2．如图，图中∠1的度数为(D)A．40°B．50° C．60° D．70°3．下列命题中是假命题的是(B)A．实数与数轴上的点一一对应B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等C．对顶角相等D．三角形的重心是三角形三条中线的交点4．如图，△ABC≌△DEF，点A与点D对应，点C与点F对应，则图中相等的线段有(D)A．1组B．2组C．3组D．4组5．如图，AD∥BC，AC＝BC，∠BAD＝115°，则∠C的度数是(B)A．55°B．50°C．45°D．40°第5题图第6题图6．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为(C)A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为(A)A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°9．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD 翻折得到△AED，则∠CDE＝(B)A．10°B．20°C．40°D．60°第9题图第10题图10．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为(C)A．45°B．52.5°C．67.5°D．75°11．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ的周长是(D)A．8＋2aB．8＋aC．6＋aD．6＋2a12.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是(B)A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CADC．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性．第13题图第15题图14.“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是同一平面内，若a⊥b，c⊥b ，结论是a∥c ，这个命题是真命题．15．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO，你添加的条件是∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD(任一答案即可) ．16．用反证法证明“两直线相交，交点只有一个”，第一步假设为两直线相交，交点不止一个．17．如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，则h1和h2的大小关系是h1＝h2 .18．如图所示，△ABC，△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4时，则图形ABCDEFG外围的周长是15 ．19．(本题满分10分，每小题5分)把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题．(1)不相等的角不是对顶角；(2)等边三角形也是等腰三角形．解：(1)如果两个角不相等，那么它们不是对顶角．逆命题：不是对顶角的两个角不相等．(2)如果一个三角形是等边三角形，那么它也是等腰三角形．逆命题：等腰三角形也是等边三角形．20．(本题满分5分)已知：∠α，线段c，如图所示．求作：Rt△ABC，使∠A＝∠α，AB＝c，∠C＝90°.解：如图，△ABC即为所求．21．(本题满分6分)如图：(1)在△AEC中，AE边上的高是CD；(2)若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，求△AEC的面积及CE的长．解：∵AE＝3 cm，CD＝2 cm，∴S△AEC＝12AE·CD＝12×3×2＝3(cm2)．∵S△AEC＝12CE·AB＝3 cm2，AB＝2 cm，∴CE＝3 cm.22．(本题满分8分)(东阿县期末)如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，(1)求证：EF∥BC；(2)若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF.证明：(1)∵∠1＋∠FDE＝180°，∠1与∠2互为补角，∴∠2＝∠FDE，∴DF ∥AB ， ∴∠3＝∠AEF ， ∵∠3＝∠B ， ∴∠B ＝∠AEF ， ∴FE ∥BC . (2)∵FE ∥BC ，∴∠BCE ＝∠FEC ， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE ＝∠BCE ， ∴∠FEC ＝∠ACE ， ∴FC ＝FE ， ∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠B ，又∵∠B ＝∠AEF ， ∴∠A ＝∠AEF ， ∴AF ＝FE ，∴AF ＝CF .23．(本题满分8分)如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，满足AB ＝CD ，AE ＝DF ，CE ＝BF ，连接AF .(1)求证：∠B ＝∠C ；(2)若∠B ＝40°，∠DFC ＝30°，当AF 平分∠BAE 时，求∠BAF 的度数．(1)证明：∵CE ＝BF ， ∴CE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴BE ＝CF ，在△ABE 和△DCF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，AE ＝DF ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△DCF (SSS)，∴∠B ＝∠C .(2)解：由(1)得：△ABE ≌△DCF ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝30°，∴∠BAE ＝180°－∠B －∠AEB＝180°－40°－30°＝110°，∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝12∠BAE ＝12×110°＝55°.24．(本题满分8分)(洛阳期末)如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线OM 与边AC 的垂直平分线ON 交于点O ，分别交BC 于点D ，E ，已知△ADE 的周长为5 cm.(1)求BC 的长；(2)分别连接OA ，OB ，OC ，若△OBC 的周长为13 cm ，求OA 的长．解：(1)∵DM 是线段AB 的垂直平分线，∴DA ＝DB ，同理，EA ＝EC ，∵△ADE 的周长为5 cm ，∴AD ＋DE ＋EA ＝5，∴BC ＝DB ＋DE ＋EC ＝AD ＋DE ＋EA ＝5 cm.(2)∵△OBC 的周长为13，∴OB ＋OC ＋BC ＝13，∵BC ＝5，∴OB ＋OC ＝8，∵OM 垂直平分AB ，∴OA ＝OB ，∴同理，OA ＝OC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝4 cm.25．(本题满分11分)两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图②中的全等三角形，并说明理由(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)试说明：DC ⊥BE .解：(1)△BAE ≌△CAD .理由：∵△ABC ，△DAE 是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD ＝90°＋∠CAE .在△BAE 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD (SAS)．(2)由(1)得△BAE ≌△CAD .∴∠DCA ＝∠B ＝45°.∵∠BCA ＝45°，∴∠BCD ＝∠BCA ＋∠DCA ＝90°，∴DC ⊥BE .26．(本题满分10分)已知：△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1)如图①，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF .求证：△DEF 为等腰直角三角形；(2)如图②，若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，则△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．,①),②)(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝AD.∴∠B＝∠DAC＝45°.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．(2)解：△DEF仍为等腰直角三角形．证明如下：连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC.∴∠DAC＝∠ABD＝45°.∴∠DAF＝∠DBE＝135°.又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS)．∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB.∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°.∴△DEF仍为等腰直角三角形．。
2014年湘教版数学八上能力培优2.5全等三角形
2．5 全等三角形（附答案）专题一 全等三角形的性质和判定1．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，E 为垂足.则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，在等边△ABC 中，AD=BE=CF ，D 、E 、F 不是各边的中点，AE 、BF 、CD 分别交于P 、M 、H ，如果把三个三角形全等叫做一组全等三角形，那么图中全等三角形有（）MPHA ．6组B ．5组C ．4组D ．3组3. 如图，点A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE ，∠1=∠2=∠3，则DE 的长等于（ ）A ．DCB ．BC C ．ABD ．AC 4. 已知：如图AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于G ．求证：AG 平分∠BAC.5.如图AB ∥DC ，AD ∥BC ，聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从B 站、D 站出发沿垂直于AC 的路径BE 、DF 去寻找奶酪, 假设AC 上堆满了奶酪,哼哼和唧唧的速度相同,问它俩谁最先 寻找到奶酪?为什么?BAE FCD专题二 构造全等三角形解决求边或角的问题6.如图，过边长为3的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．1 B ．3 C ．1D ．不能确定 ___________．8.如图，D 为等边△ABC 内一点，DA=DC ，P 为△ABC 外一点，CP=CA ，CD 平分∠BCP ，求∠P 的度数是___________．9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．10.已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED=EC．（1）当点E在AB上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．状元笔记【知识要点】1．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．3．全等三角形的判定：（1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”．（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”．（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”．（4）三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”．【温馨提示】1．正确理解“完全重合”，面积相等的两个三角形不一定全等，周长相等的两个三角形也不一定全等．2．全等三角形中要注意边和角的对应．3．全等三角形的判定条件中至少要有一边，没有判定方法“AAA”、“SSA”．【方法技巧】1．全等三角形中对应边或对应角，可以通过“大边对大角”、“小边对小角”、“大角对大边”、“小角对小边”，找出对应顶点，写在对应的位置上．2．证明三角形全等需要三个条件，应用时要注意找准对应角．一般地，公共角、对顶角，同角的余角（或补角）都是相等的．解题时应注意挖掘题中的隐含条件．3．判定两个三角形全等的常规思路可分为如下三大类：第一类：已知两边SASSSS→⎧⎨→⎩找夹角找另一边；第二类：已知两角ASAAAS→⎧⎨→⎩找夹边找一角的对边第三类：已知一边和一角：AASASAAAS→→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩边为角的对边找一角找夹边的另一角边为角的邻边找边的对角找夹角的另一边SAS4．证明三角形全等，从而证出对应边相等、对应角相等，成为今后证明边相等和角相等的最常用方法．5．证明线段或角相等，当已知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助线，构造全等三角形，使欲证相等的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．参考答案：1. D 解析：①②③⑤四项正确．2. B 解析：△EBA≌△DAC≌△FCB（SAS）；△DBC≌△FAB≌△ECA（SAS）；△ADH≌△CFM ≌△BEP（ASA）；△BAP≌△ACH≌△CBM（SAS）；△DBM≌△FAP≌△ECH（AAS）．共5组．3. C 解析：由∠1=∠3可得∠ACB=∠ECD，再根据∠2=∠3证得∠D=∠B，然后利用“角角边”定理证明△ABC≌△EDC，根据全等三角形对应边相等即可.4.证明：因为AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，所以△ABE≌△ACD，所以∠AEB=∠ADC，∠B=∠C.又∠DGB=∠EGC,因AB-AD=AC-AE，所以BD=CE,所以△DGB≌△EGC，所以DG=GE.因为DG=GE，∠ADG=∠AEG，AD=AE，所以△ADG≌△AEG，所以∠1=∠2，所以AG平分∠BAC.5. 解：同时寻找到奶酪.因为AB∥DC，AD∥BC，所以∠CAD=∠ACB，∠ACD=∠CAB，又AC=AC，所以△ACD≌△CAB，所以AB=CD.又∠ACD=∠CAB，∠BEA=∠DFC，AB=CD，所以△ABE≌△CDF，故BE=DF.9.解：（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC.（2）如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．10.解：（1）证明：在CD上截取CF=AE，连接EF．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC．∴BF=BE，△BEF为等边三角形．∴∠EBD=∠EFC=120°．又∵ED=EC，∴∠D=∠ECF．∴△EDB≌△ECF （AAS），∴CF=BD．∴AE=BD．∵CD=BC+BD，BC=AC，∴AE+AC=CD；（2）在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．同（1）的证明过程可得AE=BD．∵CD=BC-BD，BC=AC，∴AC-AE=CD；（3）AE-AC=CD．（在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．证明过程类似（2））．。
湘教版八年级数学上册第2章测试题及答案
湘教版八年级数学上册第2章测试题及答案2.1 三角形一、选择题1.小明与小王家相距5km，小王与小邓家相距2km，则小明与小邓家相距（）A. 3kmB. 7kmC. 3km或7kmD. 不小于3km也不大于7km2.下列长度的各组线段首尾相接能构成三角形的是（）A. 3cm、5cm、8cmB. 3cm、5cm、6cmC. 3cm、3cm、6cmD. 3cm、5cm、10cm3.在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，则∠B的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 90°4.图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC= ∠BAC．其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短8.已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可以是（）A. 3B. 6C. 10D. 169.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，则A、B间的距离不可能是（）A. 5米B. 10米C. 15米D. 20米二、填空题10.在△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=1：2，则∠A=________ 度．11.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=______度．12.工人师傅砌墙的时候，常在长方形门框上斜定一根木条，他利用的原理是________ ．13.一个三角形的三个外角之比为5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是________度．14.一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40cm和50cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是________．15.在△ABC中，BD是AC边上的高，∠ABD=70°，∠DBC=40°，则∠ABC=________度．16.如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=________ 度．17.如图，由平面上五个点A、B、C、D、E连接而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．三、解答题18.已知三角形的一个外角等于60°，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大10°，则这个三角形的三个内角分别是多少？19.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于点D，求∠DBC的度数．20.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．21.如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．参考答案一、选择题1.D2. B3.A4.A5.B6.A7.A 8B 9. A二、填空题10.30 11.25 12.三角形的稳定性13.90 14.10＜x＜90 15.110或30 16.50 17. 180°三、解答题18.解：设三角形中与这个外角不相邻的两个内角中较小的为x，则另一个为x+10．x+x+10=60°，解得x=25°．所以三个内角分别是120°，35°，25° .19.解：因为∠C=∠ABC=2∠A，所以∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，所以∠A=36°．所以∠C=∠ABC=2∠A=72°．因为BD⊥AC，所以∠DBC=90°﹣∠C=18°．20.解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，所以∠DAC=∠BAD=30°．因为CE是△ABC的高，∠BCE=40°，所以∠B=50°，所以∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．21.解：如图，连接AD并延长AD至点E，因为∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C，所以∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C．因为∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，所以∠BDC=90°+21°+32°=143°．2.2 命题与证明一、选择题1.已知下列命题：（1）若a＞0，b＞0，则a+b＞0；（2）若a≠b，则a2≠b2；（3）是2的平方根；（4）近似数0.030万，精确到十位；（5）代数式+（3x﹣1）0中，x的取值范围是x≥ ．其中真命题的个数是（）A. 5B. 2C. 3D. 42.为了证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题，下列各数可以作为反例的是（）A. 32B. 16C. 8D. 43.下列语句，不是命题的是（）A. 对顶角相等B. 连接A,B两点C. 钝角大于D. 平角都相等4.下列定理有逆定理的是（）A. 直角都相等B. 同旁内角互补，两直线平行C. 对顶角相等D. 全等三角形的对应角相等二、填空题5.写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：________．6.命题“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式是 ________，它是 ________命题（填“真”或“假”）．7.命题“对顶角相等”的逆命题是________．8.命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是________．9.“等角对等边”的逆命题是________.10.将命题“互为相反数的两个数之和等于零”写成：如果________，那么________．三、解答题11.请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．（1）若a＞b，则a2＞b2；（2）两个无理数的和仍是无理数；（3）若一个三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则此三角形是等边三角形；（4）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．12.证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．13.写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．14.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．参考答案一、选择题1. C2. D3.B4.B二、填空题5.对顶角相等6.如果同旁内角互补，那么两直线平行真7.相等的角为对顶角8.如果两个角相等，那么这两个角的余角相等9.等边对等角10.两个数互为相反数这两个数之和等于0三、解答题11. 解：（1）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2；（2）两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣+=0，和是有理数；（3）若一个三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则此三角形是等边三角形，是假命题，例如：a=b，b≠c时，（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，此三角形是等腰三角形；（4）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．12.已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：作射线BD，过C点作CE∥AB，如图.∵CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，而∠C+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．∴命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．13.解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于点E，AD是∠CAB的角平分线，交BC 于点D，BE和AD相交于点O，且∠EOA=45°．求证：△ABC是直角三角形.证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=（∠CAB+∠CBA），∴180°﹣∠AOB=（180°﹣∠C），∴∠AOB=90°+∠C.又∵∠EOA=45°，∴∠AOB=135°=90°+∠C，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．14.解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；结论：这两个角相等.这个命题是真命题.已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角,∠4是∠2的余角.求证：∠3=∠4.证明：∵∠3是∠1的余角,∠4是的余角,∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2.又∵∠1=∠2,∴∠3=∠4．2.3 等腰三角形一、选择题1.设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°2.如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（）A. 25°B. 130°C. 50°或130°D. 25°或130°3.如图，AB∥CD，点E在BC上，CD=CE，若∠ABC=34°，则∠BED的度数是（）A. 104°B. 107°C. 116°D. 124°4.一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（）A. 17B. 20C. 22D. 17或225.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC＝6cm，则BD=（）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm6.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为（）A. 180°B. 220°C. 240°D. 300°7.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,则BD的长为（）.A. 3B. 4C. 1D. 78.若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A. 75°或15°B. 75°C. 15°D. 75°或30°9.如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB 交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6二、填空题10.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4cm，则AC=________．11.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=70°，则∠A=________°．12.已知一个等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是________ ．13.己知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=24°，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），直线________ 即为所求．14.等腰三角形顶角的度数为131°18′，则底角的度数为________．15.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为________．16.如图，在△ABC中,BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=12，BC=16，则线段EF的长为________．17.如图，已知△ABC是等边三角形，AB=5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD=________，∠ADF=________，BD=________，∠EDF=________．三、解答题18.如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．20.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．22.已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．参考答案一、选择题1.C2.D3.B4.C5.C6.C7.C8.A9. C二、填空题10.8cm 11.55 12.0＜a＜12 13.CD 14.24°21′ 15.8cm 16.2 17.30° 60° 2.5cm 120°三、解答题18.解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C==40°.∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=50°．19.解：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵BD=AD，∴∠B=∠DAB.∵AC=DC，∴∠DAC=∠ADC=2∠B，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B.又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．20.解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，∴∠ACB=∠CAD，∴AD=CD=20.又∵∠ABD=90°，∴AB=AD=10，∴树的高度为10米．21.证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.又∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°.∵∠C=30°,∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，∴AD=DB，∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD.22.解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC=BD，或AB=AC，或BE=CD，或∠B=∠C或∠BAD=∠CAE或∠BAE=∠CAD等．增加∠B=∠C证明过程如下：证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED,∴∠ADB=∠AEC,∴△ABD≌△ACE（AAS）,∴∠BAD=∠CAE.∵∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD（AAS）．2.4 线段的垂直平分线一、选择题1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线，过AB的中点E作AB的垂线交AC于点F，连接BF，若AB=5，CD=2，则△BFC的周长为（）A. 7B. 9C. 12D. 142.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3.如图，在△ABC中，△ADE的周长为8，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则BC的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 164.如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，且AC=8，BC=6，则△BDC的周长为（）A. 20B. 22C. 10D. 145.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（）A. 3B. 2C. 3D. 26.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD 的度数为（）A. 10°B. 15°C. 40°D. 50°7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于点E，若BC=6，则DE的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 38.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A. 13B. 15C. 17D. 199.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°10.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（）A. 12cmB. 10cmC. 7cmD. 5cm二、填空题11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC的中点．其中正确的命题是________（填序号）．12.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=________．13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠BCE 等于________ °．14.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.证明：∵点P是AB边垂直平分线上的一点，∴________ =________（________）．同理可得，PB=________，∴________ =________（等量代换），∴________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________），∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且________．15.线段的垂直平分线是________的点的集合．16.一条线段的垂直平分线必定经过这条线段的________点，一条线段只有________条垂直平分线．17.在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，若△BCD的周长为10cm，则底边BC的长为________cm．18.在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，BC=2+2，则AC=________．三、解答题19.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上．20.如图，在△ABC中，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=6 ，AE⊥BC于点E，求EC的长．21.已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠BAF=∠ACF．22.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．参考答案一、选择题1.B2.B3.C4. D5. B6.A7.D8.B9.C 10.B二、填空题11.①②③12.15 13.6014.PB PA 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等PC PA PC 点P在AC的垂直平分线上垂直平分线上PA=PB=PC 15.到线段两个端点距离相等16.中一17.2 18.2三、解答题19.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC.又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE.又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE,∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上.20.解：如图，连接AD，∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴BD=AD.∵DE=6，BD=6，∴AD=6，∴∠ADE=45°，∴∠B=22.5°.∵∠C=60°，∴∠BAC=97.5°.∵∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC，∴DE=AE=6.∵∠C=60°，∴∠CAE=90°﹣60°=30°，∴AC=2CE.在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，即4CE2=62+CE2，∴CE2=12，解得EC=2．21.证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2．∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）．∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF．22.解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，∴AD=CD，AC=2AE=2×3=6（cm），∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13（cm），∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19（cm）．2.5 全等三角形一、选择题1.如图，已知AB=AD，∠1=∠2=50°，∠D=100°，那么∠ACB的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°2.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙D. 只有丙3.已知△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，则∠F=（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 70°4.如图，点B、E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A. BC=FD，AC=EDB. ∠A=∠DEF，AC=EDC. AC=ED，AB=EFD. ∠ABC=∠EFD，BC=FD5.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为（）A. 3B. 5C. 7D. 3或76.已知△ABD≌△DEF，AB=DE，∠A=60°，∠E=40°，则∠F的度数为（）A. 30°B. 70°C. 80°D. 100°7.如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD 的是（）A. AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC8.如图，FD⊥AO于点D，FE⊥BO于点E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一条边对应相等B. 两条直角边对应相等C. 一个锐角对应相等D. 两个锐角对应相等10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题11.斜边和一条直角边分别 ________的两个三角形全等（可以简写成“________”或“HL”）．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为________ ．13.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE= ________.14.如图，△ABC和△A′B′C′是两个全等的三角形，其中某些边的长度及某些角已知，则x=______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是________ .16.如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是________（只填一个即可）.17.如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是________．18.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE 的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是________．（填写序号）三、解答题19.如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9 cm，BC=5 cm，求AB的长．20.如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．21.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于点E,若AD=3，BC=4，求△BDC的面积．22.如图，在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD，AG，则AG与AD有何关系？试给出你的结论的理由．23.如图,BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．参考答案一、选择题1. A2.B3.B4.C5.D6. C7.B8.D9.B 10.D二、填空题11.对应相等斜边、直角边12.8 13.60°14.60°15.16.OB=OD17.AC=AD（答案不唯一）18.①③④三、解答题19.解：∵△ACF≌△DBE，∴CA=BD，∴CA﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD，∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），∴AB=2cm．20.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD.在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E.21.解：因为∠A=90°,所以DA⊥AB.又BD是角平分线，且DE⊥BC于点E,所以DE=AD=3，所以易得△BDC的面积为6.22.解：AG=AD，AG⊥AD. 理由：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°，∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°.∵∠FPB=∠EPC，∴∠ACG=∠ABD.在△ABD和△GCA中，，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AG=AD，∠AGC=∠BAD.∵∠AFO=90°，∴∠BAD+∠AOF=90°，∴∠AGC+∠AOF=90°，∴∠GAD=180°﹣90°=90°，∴AG⊥AD．23.证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．2.6 用尺规作三角形一、选择题1.下列作图语言规范的是（）A. 过点P作线段AB的中垂线B. 过点P作∠AOB的平分线C. 在直线AB的延长线上取一点C，使AB=ACD. 过点P作直线AB的垂线2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG,交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A. 40°B. 55°C. 65°D. 75°3.某探究性学习小组仅利用一副三角板不能完成的操作是（）A. 作已知直线的平行线B. 作已知角的平分线C. 测量钢球的直径D. 作已知三角形的中位线4.如图，已知△ABC，∠ABC=2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F ，分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法不正确的是（）A. ∠ADB=∠ABCB. AB=BDC. AC=AD+BDD. ∠ABD=∠BCD5.已知线段a，求作等边三角形ABC，使AB=a，作法如下：①作射线AM；②连接AC、BC；③分别以点A和点B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB，使AB=a．其合理顺序为（）A. ①②③④B. ①④②③C. ①④③②D. ②①④③6.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（）A. 用尺规作一条线段等于已知线段B. 用尺规作一个角等于已知角C. 用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D. 不能确定8.观察图中尺规作图的痕迹，下列结论错误的是（）A. PQ为∠APB的平分线B. PA=PBC. 点A、B到PQ的距离不相等D. ∠APQ=∠BPQ9.按下列条件画三角形，能唯一确定三角形的形状和大小的是（）A. 三角形的一个内角为60°，一条边长为3cmB. 三角形的两个内角为30°和70°C. 三角形的两条边长分别为3cm和5cmD. 三角形的三条边长分别为4cm、5cm和8cm10.下列属于尺规作图的是（）A. 用刻度尺和圆规作△ABCB. 用量角器画一个30°的角C. 用圆规画半径2cm的圆D. 作一条线段等于已知线段二、填空题11.一个三角形木板，去了一个角，你能作出所缺角的平分线所在的直线吗？ ________（填“能”或“不能”）.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）请用直尺和圆规在边AC上作一点P，且使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）当∠B=________ 度时，PA：PC=2：1．13.下列语句是有关几何作图的叙述．①以点O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB ，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有________（填序号）.14.用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，用到的三角形全等的判定方法是________ .15.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是________ .16.如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D=116°，则∠DHB的大小为________度．17.如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 ________.18.已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．①以点B为圆心，c为半径画弧；②连接AB，AC；③作BC=a；④以C点为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是 ________ （填序号）.三、解答题19.如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）20.作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB．21.如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．22.如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：①过点E作直线CD，使CD∥AB；②过点E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；③请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．23.如图，已知∠α和∠β，线段c，用直尺和圆规作出△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法）24.按要求画图：（1）作BE∥AD交DC于点E；（2）连接AC，作BF∥AC交DC的延长线于点F；（3）作AG⊥DC于点G．参考答案一、选择题1.D2. C3.C4.B5.C6.C7.C8. C9.D 10.D二、填空题11.能12.60 13.③⑤14.SSS15.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线16.32 17.65°18.③①④②三、解答题19.解：如图.20.解：作法：①作∠DO'B'=∠AOB；②在∠DO'B'的外部作∠A'OD=∠AOB，则∠A'O'B'就是所求的角．21.（1）解：如图，AP为所作.（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAP=∠APB=55°.∵AP平分∠DAB，∴∠BAP=∠DAP=55°，∴∠ABP=180°﹣55°﹣55°=70°.22.解：①、②如图：③CD⊥EF．理由：∵CD∥AB，∴∠CEF=∠EFB.∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，∴∠CEF=90°，∴CD⊥EF．23.解：如图，△ABC就是所求作的三角形．24.解：（1）如图，BE即为所求.（2）如图,BF即为所求.（3）如图,AG即为所求．。
初中数学第2章《三角形》
2020-2021学年湘教版数学八年级上册培优冲关好卷第2章《三角形》一．选择题1．（2020秋•北京月考）如图，ABC ∆中，40EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则ABC ∠的度数为( )A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒【解答】解：设ABC α∠=，180A C α∴∠+∠=︒-，AFE AEF ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，2180A AFE ∠+∠=︒，2180C CFD ∠+∠=︒，22180AFE CFD α∴∠+∠=︒+，1902AFE CFD α∴∠+∠=︒+， 1180(90)402EFD α∴∠=︒-︒+=︒， 100α∴=︒，ABC ∴∠的度数为100︒，故选：B ．2．（2020春•洪山区期末）下列六个命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题；②两条平行线线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；⑤垂直于同一平面内的同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题； 故选：C ．3．（2020春•荔城区期末）下列命题真命题的个数有( )①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短③若a b >，则c a c b ->-④同位角相等A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解答】解：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，必须是同一平面内，过直线外一点，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；③若a b >，则c a c b -<-，原命题是假命题；④两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；故选：C ．4．（2020春•会宁县期末）如图，ABC ∆中，AD 是BC 上的中线，BE 是ABD ∆中AD 边上的中线，若ABC ∆的面积是20，则ABE ∆的面积是( )A ．10B ．6C ．5D ．4 【解答】解：AD 是BC 上的中线，12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆∴==，BE 是ABD ∆中AD 边上的中线，12ABE BED ABD S S S ∆∆∆∴==， 14ABE ABC S S ∆∆∴=， ABC ∆的面积是20，12054ABE S ∆∴=⨯=． 故选：C ．5．（2020春•云梦县期中）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，D 是线段AB 上一个动点，以BD 为边在ABC ∆外作等边BDE ∆．若F 是DE 的中点，则CF 的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．10【解答】解：如图所示，连接BF ，等边BDE ∆中，F 是DE 的中点，BF DE ∴⊥，BF 平分DBE ∠，30DBF ∴∠=︒，即点F 在DBE ∠的角平分线上运动，∴当点D 在CF 上时，90CFB ∠=︒，根据垂线段最短可知，此时CF 最短， 又30ABC ∠=︒，60CBF ∴∠=︒，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，6AC =，BC ∴==Rt BCF ∴∆中，sin 9CF BC CBF =⨯∠==， 故选：C ．6．（2020•上虞区校级一模）已知ABC ∆的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为( )A ．7B ．8C ．14D ．15【解答】解：如图，ABC ∆的三条中线AD 、BE 、CF 交于点O ，且5AD =，10BE =，延长OD 至G ，使DG OD =，则O 为AG 中点． O 是重心，2OB OE ∴=，10OB OE BE +==，11033OE BE ∴==， 同理，可得1533OD AD ==， 2023CG OE ∴==，1023OG OD ==， 20101033OC OG CG <+=+=，32CF OC =， 310152CF ∴<⨯=， 第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C ．7．（2020春•江阴市期中）如图，ABC ∆中，20A ∠=︒，沿BE 将此三角形对折，又沿BA '再一次对折，点C 落在BE 上的C '处，此时74C DB ∠'=︒，则原三角形的C ∠的度数为( )A ．27︒B ．59︒C ．69︒D ．79︒【解答】解如图，ABC ∆沿BE 将此三角形对折，又沿BA '再一次对折，点C 落在BE 上的C '处， 12∴∠=∠，23∠=∠，74CDB C DB ∠=∠'=︒，123∴∠=∠=∠，33ABC ∴∠=∠，在BCD ∆中，3180C CDB ∠+∠+∠=︒，318074106C ∴∠+∠=︒-︒=︒，在ABC ∆中，180A ABC C ∠+∠+∠=︒，2023(3)180C ∴︒+∠+∠+∠=︒，即2023106180︒+∠+︒=︒，327∴∠=︒，3381ABC ∴∠=∠=︒，1062779C ∠=︒-︒=︒，故选：D ．8．（2020春•泰兴市校级期中）如图，在ABC ∆中，48A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；⋯⋯；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，11118022A ACD ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠-∠11180()(180)22ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠ 12A =∠ 1482︒=； 同理可得21214822A A ︒∠=∠=，⋯ 482n nA ︒∴∠=． ∴要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为4，此时43A ∠=︒．故选：C ．二．填空题9．（2020秋•北京月考）如图，D 在BC 边上，ABC ADE ∆≅∆，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为 1902α︒-︒ ．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，BAC DAE ∴∠=∠，AB AD =，ADE B ∠=∠，EAC DAB α∴∠=∠=︒，ABD ∴∆中，11(180)9022B BAD α∠=︒-∠=︒-︒， 1902ADE B α∴∠=∠=︒-︒， 故答案为：1902α︒-︒． 10．（2020春•硚口区期末）如图，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，//DE BC ，交AC 于点E ，EF 平分AED ∠，交AB 于点F ，连接CF ，下列四个结论：①CDE DCE ∠=∠；②//CD EF ；③32CDE CFE ∠=∠；④ACF ADE S S ∆∆=，其中正确的结论有 ①②④ ．【解答】解：CD 平分ACB ∠，BCD DCE ∴∠=∠，//DE BC ，CDE BCD ∴∠=∠，CDE DCE ∴∠=∠，故①正确；//DE BC ，ACB AED ∴∠=∠，12ACD ACB ∠=∠，12AEF AED ∠=∠， ACD AEF ∴∠=∠，//CD EF ∴，故②正确；AEF ACF CFE ∠=∠+∠，AEF DCE ∠=∠，ECD ECF CFE ∴∠=∠+∠，EDC ECD ∠=∠，222EDC ECF CFE ∴∠=∠+∠，不能证明2ECF ∠与CFE ∠相等，∴不能证得32CDE CFE ∠=∠成立，故③错误； //CD EF ，EFC EFD S S ∆∆∴=，EFC AEF EFD AEF S S S S ∆∆∆∆∴+=+，ACF ADE S S ∆∴=，故④正确，故①②④，故答案为①②④．11．（2020春•潼南区期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B 到点C 的方向平移到DEF ∆的位置，10AB =，22ADH S ∆=，平移距离为6，则阴影部分的面积 38 ．【解答】解：根据题意得，6AD CF ==；//AD CF ．∴四边形ADFC 是平行四边形，61060ADFC S AD AB ∴=⋅=⨯=平行四边形，22ADH S ∆=，602238S ∴=-=阴影部分．故答案为38．12．（2020春•崇川区校级期末）如图，三角形纸片ABC 中66A ∠=︒，73B ∠=︒，将纸片一角折叠，使点C 落在ABC ∆的内部C '处，若255∠=︒，则1∠= 27︒ ．【解答】解：设折痕为EF ，连接CC '．2ECC EC C ∠=∠'+∠'，1FCC FC C ∠=∠'+∠'，ECF EC F ∠=∠'， 122ECF ∴∠+∠=∠，180667341C ∠=︒-︒-︒=︒，1825527∴∠=︒-︒=︒，故答案为27︒．13．（2019秋•青山区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，82BAC ∠=︒，38DBC ∠=︒，连接AD 、CD ，则ADB ∠的度数为 30︒ ．【解答】解：如图，作AB ∠ D ABD '=∠，B D BD '=，连接CD '，AD '，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，82BAC ∠=︒，49ABC ∴∠=︒，38DBC ∠=︒，11ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒，在ABD ∆和ABD ∆'中，AB AB ABD ABD BD BD =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，()ABD ABD SAS ∴∆≅∆'，11ABD ABD ∴∠=∠'=︒，ADB AD B ∠=∠'，AD AD ='，114960D BC ABD ABC ∴∠'=∠'+∠=+︒=︒，BD BD ='，BD BC =，BD BC ∴'=，∴△D BC '是等边三角形，D B D C ∴'='，60BD C ∠'=︒，在△AD B '和△AD C '中，AD AD D B D C AB AC ='⎧⎪'='⎨⎪=⎩，∴△AD B '≅△()AD C SSS '，1302AD B AD C BD C ∴∠'=∠'=∠'=︒， 30ADB ∴∠=︒，故答案为：30︒．14．（2020春•薛城区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，15BC cm =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为 5 cm ．【解答】解：连接AM 、AN 、过A 作AD BC ⊥于D ，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，15BC cm =，30B C ∴∠=∠=︒，7.5BD CD cm ==，cos30BD AB AC ∴===︒， AB 的垂直平分线EM ，12BE AB ∴=同理CF =， 5cos30BE BM cm ∴==︒， 同理5CN cm =，5MN BC BM CN cm ∴=--=，故答案是：5．15．（2020春•遂宁期末）如图，在ABC ∆中，ABC ACB ∠=∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC ∆的外角EAC ∠，内角ABC ∠，外角ACF ∠，以下结论：①//AD BC ；②ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠+∠=︒； ④1452ADB CDB ∠=︒-∠，其中正确的结论有 ①③④ ．【解答】解：①AD 平分EAC ∠，2EAC EAD ∴∠=∠，ABC ACB ∠=∠，EAD ABC ∴∠=∠，//AD BC ∴，故①正确；②//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，ABC ACB ∠=∠，2ABC ACB DBC ∴∠=∠=∠，2ACB ADB ∴∠=∠，故②错误；③在ADC ∆中，180ADC CAD ACD ∠+∠+∠=︒， CD 平分ABC ∆的外角ACF ∠，ACD DCF ∴∠=∠，//AD BC ，ADC DCF ∴∠=∠，ADB DBC ∠=∠，CAD ACB ∠=∠ACD ADC ∴∠=∠，2CAD ACB ABC ABD ∠=∠=∠=∠，222180ADC CAD ACD ADC ABD ADC ADC ABD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒， 90ADC ABD ∴∠+∠=︒，故③正确；④BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ADB DBC ∠=∠，ADB DBC ∴∠=∠，1902DCF ABC DBC BDC ∠=︒-∠=∠+∠， 902BDC DBC ∴∠=︒-∠，1452DBC BDC ∴∠=︒-∠， 故④正确；故答案是：①③④．16．（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，140BAD ∠=︒，AB CB ⊥于点B ，AD CD ⊥于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且70EAF ∠=︒，下列说法正确的是 ③⑤⑥ ．（填写正确的序号）①DF BE =，②ADF ABE ∆≅∆，③FA 平分DFE ∠，④AE 平分FAB ∠，⑤BE DF EF +=，⑥CF CE FD EB +>+．【解答】解：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，AB CB ⊥，AD CD ⊥，90D ABG ∴∠=∠=︒，在ADF ∆和ABG ∆中AD AB D ABG DF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF ABG SAS ∴∆≅∆，AF AG ∴=，G DFA ∠=∠，DAF BAG ∠=∠，70EAF ∠=︒，140DAB ∠=︒，1407070DAF EAB DAB FAE ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，70EAG EAB BAG EAB FAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，70FAE EAG ∴∠=∠=︒，在FAE ∆和GAE ∆中AE AE FAE EAG AF AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAE GAE SAS ∴∆≅∆，FEA GEA ∴∠=∠，G EFA ∠=∠，EF EG =，EF EB DF ∴=+，FAE EAB ∠≠∠，故⑤正确，④错误；G EFA DFA ∴∠=∠=∠，即AF 平分DFE ∠，故③正确；CF CE EF +>，EF DF BE =+，CF CE DF BE ∴+>+，故⑥正确；根据已知不能推出ADF ABE ∆≅∆，故①错误，②错误；故答案为：③⑤⑥．三．解答题17．（2020秋•北京月考）如图，已知：AD 平分BAC ∠，点F 是AD 反向延长线上的一点，EF BC ⊥，140∠=︒，15F ∠=︒．求：B ∠和C ∠的度数．【解答】解：EF BC ⊥，90DEF ∴∠=︒，15F ∠=︒，180ADE F DEF ∠+∠+∠=︒，75ADE ∴∠=︒， AD 平分BAC ∠，140∠=︒，22180BAC DAC ∴∠=∠=∠=︒，40DAC ∴∠=︒，180ADE C DAC ∠+∠+∠=︒，180407565C ∴∠=︒-︒-︒=︒，180B C BAC ∠+∠+∠=︒，180658035B ∴∠=︒-︒-︒=︒．18．（2020秋•北京月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AD BC =，DE AC ⊥于D ，AB AE =．求证：（1）AE AB ⊥；（2）CD DE BC =-．【解答】证明：（1）在Rt ADE ∆和Rt BCA ∆中，AD BC AE AB =⎧⎨=⎩， Rt ADE Rt BCA(HL)∴∆≅∆，BAC AED ∴∠=∠，90AED EAD ∠+∠=︒，90BAC EAD ∴∠+∠=︒，90EAB ∴∠=︒，即AE AB ⊥；（2）Rt ADE Rt BCA ∆≅∆，DE AC ∴=，CD AC AD =-，CD DE BC ∴=-．19．如图，四边形ABCD 中，E 是CD 上一点，EA EB =，2C D ∠=∠，90BAE D ∠+∠=︒，写出DE 、BC 、CE 之间的等量关系式，并证明．【解答】解：DE BC EC =+，理由如下：在DE 上截取EH BC =，连接AH ，AE EB =，EAB EBA ∴∠=∠，180EAB EBA AEB ∠+∠+∠=︒，2180BAE AEB ∴∠+∠=︒，90BAE D ∠+∠=︒，22180BAE D ∴∠+∠=︒，2AEB D ∴∠=∠，2C D ∠=∠，AEB C ∴∠=∠，180C CBE BEC ∠+∠+∠=︒，180AEB BEC AEH ∠+∠+∠=︒，AEH CBE ∴∠=∠，在BCE ∆和EHA ∆中，EB EA CBE AEHBC EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE EHA SAS ∴∆≅∆，EC AH ∴=，2C AHE D ∠=∠=∠，2AHE D DAH D ∠=∠+∠=∠，D DAH ∴∠=∠，DH AH EC ∴==，DE DH HE EC BC ∴=+=+．20．（2020春•宁化县期末）已知ABC ∆是等腰三角形．（1）若100A ∠=︒，求B ∠的度数；（2）若70A ∠=︒，求B ∠的度数；（3）若(4590)A αα∠=︒<<︒，过顶点B 的角平分线BD 与过顶点C 的高CE 交于点F ，求BFC ∠的度数（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）100A ∠=︒是钝角，1(180100)402B ∴∠=︒-︒=︒． 故B ∠的度数为40︒；（2）若A ∠为顶角，则(180)255B A ∠=︒-∠÷=︒；若A ∠为底角，B ∠为顶角，则18027040B ∠=︒-⨯︒=︒；若A ∠为底角，B ∠为底角，则70B ∠=︒；故55B ∠=︒或40︒或70︒；（3）(4590)A αα∠=︒<<︒，①当A ∠为顶角时，如图：AB AC =，1(180)2ABC C α∴∠=∠=︒-， BD 平分ABC ∠，11(180)24ABD CBD ABC α∴∠=∠=∠=︒-， 1190(180)13544BFC FEB FBE αα∴∠=∠+∠=︒+︒-=︒-； ②当A ∠为底角，B ∠为底角时，如图：1902BFC FEB FBE α∴∠=∠+∠=︒+； ③当A ∠为底角，B ∠为顶角时，如图：90BFC FBE∠+∠=︒，90A ABD∠+∠=︒，FBE ABD∠=∠，BFC Aα∴∠=∠=．故BFC∠的度数为：11354α︒-；1902α︒+；α．21．（2020春•碑林区期末）如图，已知点E，D，A，B在一条直线上，//BC EF，C F∠=∠，1AD=，2.5AE=， 1.5AB=．（1）试说明：ABC DEF∆≅∆．（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：//BC EF，B E∴∠=∠，1AD=， 2.5AE=，2.51 1.5DE AE AD∴=-=-=，1.5AB=，AB DE∴=，C F∠=∠，()ABC DEF AAS∴∆≅∆；（2）//DF AC．ABC DEF∆≅∆，BAC EDF∴∠=∠，180BAC DAC EDF ADF ∠+∠=∠+∠=︒，DAC ADF ∴∠=∠，//DF AC ∴．22．（2020春•盱眙县期末）如图①，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥，38B ∠=︒，64C ∠=︒．（1）求DAE ∠的度数；（2）如图②，若把“AE BC ⊥”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，B α∠=，()C βαβ∠=<，请用α、β的代数式表示DFE ∠．【解答】解：（1）38B ∠=︒，64C ∠=︒，78BAC ∴∠=︒， AD 平分BAC ∠，39BAD CAD ∴∠=∠=︒，77ADE B BAD ∴∠=∠+∠=︒，AE BC ⊥，90AEB ∴∠=︒，9013DAE ADE ∴∠=︒-∠=︒．（2）B α=，C β∠=，180BAC αβ∴∠=︒--， AD 平分BAC ∠，190()2BAD CAD αβ∴∠=∠=︒-+，190()2ADE B BAD ααβ∴∠=∠+∠=+︒-+，AE BC ⊥，90AEB ∴∠=︒，190()2DFE ADE βα∴∠=︒-∠=-．23．（2020春•盱眙县期末）直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数；（2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB ∠= 45 度（直接写出结果，不需说理）； ②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数；若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF ∆中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．【解答】解：（1）如图1中，MN PQ ⊥，90AOB ∴∠=︒，40OAB ∠=︒，9050ABO OAB ∴∠=︒-∠=︒， AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，1252IBA ABO ∴∠=∠=︒，1202IAB OAB ∠=∠=︒， 180()135AIB IBA IAB ∴∠=︒-∠+∠=︒．（2）如图2中，①9040130MBA AOB BAO ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，1652CBA MBA ∴∠=∠=︒，1202BAI BAO ∠=∠=︒， CBA D BAD ∠=∠+∠，45D ∴∠=︒，故答案为：45．②不变， 理由：11111()904522222D CBA BAD MBA BAO MBA BAO AOB ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒， ∴点A 、B 在运动的过程中，45ADB ∠=︒．（3）如图3中，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于点D 、F ，12DAO BAO ∴∠=∠，12FAO EAP ∠=∠， 11118090222DAF BAO EAP ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 1111()2222D POD DAO POB BAO POB BAO ABO ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠， ①当4DAF D ∠=∠时，22.5D ∠=︒，245ABO D ∴∠=∠=︒．②当4DAF F ∠=∠时，22.5F ∠=︒，67.5D ∠=︒，2135ABO D ∴∠=∠=︒（不合题意舍弃）． ③当4F D ∠=∠时，18D ∠=︒，236ABO D ∴∠=∠=︒．④当4D F ∠=∠时，72D ∠=︒，2144ABO D ∴∠=∠=︒（不合题意舍弃）． 综上所述，当45ABO ∠=︒或36︒时，在ADF ∆中，有一个角的度数是另一个角的4倍．24．（2020春•海淀区校级期末）已知//AB CD ，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，E 是平面内一点，AME ∠和CNE ∠的平分线所在的直线相交于点F ．（1）如图1，当E 、F 都在直线AB 、CD 之间且80MEN ∠=︒时，MFN ∠的度数为 140︒ ；（2）如图2，当E 在直线AB 上方，F 在直线CD 下方时，探究MEN ∠和MFN ∠之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E 在直线AB 上方，F 在直线AB 和CD 之间时，直接写出MEN ∠和MFN ∠之间的数量关系 ．【解答】解：（1）如图1，过E 作//EH AB ，//FG AB ，//AB CD ，//EH CD ∴，//FG CD ，BME MEH ∴∠=∠，DNE NEH ∠=∠，80BME DNE MEH NEH MEN ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，360()280AME CNE BME DNE ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒， MF ，FN 分别平分AME ∠和CNE ∠，12801402AMF CNF ∴∠+∠=⨯︒=︒，////AB FG CD ，AMF MFG ∴∠=∠，NFG CNF ∠=∠，140MFN MFG NFG AMF CNF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，故答案为：140︒；（2）2MEN MFN ∠=∠，理由：1EMH E ∠=∠+∠， MF 平分AME ∠，142AME HMG ∴∠=∠=∠， 180318013HMG MHG ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠，41803MHG ∴∠=︒-∠-∠，43E ∠=∠+∠，18033MHG E ∴︒-∠-∠=∠+∠，18023MHG E ∴∠=︒-∠-∠， FN 平分CNH ∠，152CNH ∴∠=∠， 18025DNH ∴∠=︒-∠，52F ∠=∠+∠，180222DNH F ∴∠=︒-∠-∠，//AB CD ，MHG DNH ∴∠=∠，180********E F ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，23∠=∠，2E F ∴∠=∠；（3）11802E MFN ∠+∠=︒， 证明：如图3，//AB CD ，MGE ENC ∴∠=∠， NF 平分ENC ∠，2MGE ENC FNG ∴∠=∠=∠， MF 平分AME ∠，212AME E MGE E FNG ∴∠=∠=∠+∠=∠+∠，112FMG E FNG ∴∠=∠=∠+∠， 11360360(1802)()18022E MFN FNG FMG EMG FNG E FNG E FNG E ∠+∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠-∠+∠=︒+∠，11802MFN E ∴∠+∠=︒．故答案为：11802E MFN∠+∠=︒．。
2018学年八年级数学湘教版上册【能力培优】第二章三角形全套练习题(含答案)
第2章 三角形2．1 三角形专题一 三角形的三边关系1．两根木棒的长分别是5㎝和7㎝，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么其长的取值情况有（ ）种 种 种 种2. 已知△ABC 的周长为19，且满足1,2a b c b =-=+，则a =___________.3.已知△ABC 的三边长b 、c 满足2(2)30b c -+-=，且42a -=.—求: (1) △ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由.4.一个等腰三角形的周长是15cm ，底边与腰长的差为3cm ，求这个三角形的各边长．|专题二 三角形的内角与外角5．已知△ABC 中，060B ∠=，,C A ∠>∠且222()()()C A B ∠=∠+∠，则△ABC 的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 |6.如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外角分别记为α，β，γ，若α：β:γ=3:4:5， 则∠A ：∠B ：∠C=( ):2:1 :2:3 :4:5 :4:37.如图是一个六角星，其中,60=∠AOE =∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A8.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．]（1）分别计算出当∠A为70°，80°时∠A1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A与∠A1之间等量关系；（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、A n，请写出∠A n与∠A的数量关系；,状元笔记【知识要点】1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．2．三角形的三线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，这个顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线；在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线；三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线．3．三角形的内角和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形存在的条件是最短的两边之和大于第三边．;2．三角形的高、角平分线、中线都是线段．3．三角形的内角和等于180°，外角和是360°．【方法技巧】1．解与三角形的边有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)，按边或角对三角形进行分类．2．解三角形中的面积的问题时，常利用同（等）底同（等）高的几个三角形的面积相等进3．解三角形的边与角问题时，常用的数学思想有转化思想、数形结合思想、方程思想等，把已知条件转化到某一三角形中进行思考或用方程模型来解决．参考答案：~1. Ｂ 解析：2㎝＜第三边长＜12㎝，又因为第三根木棒为偶数，所以第三边长为4㎝或6㎝、8㎝、10㎝，所以取值有4种情况，故选B.2. 5 解析：由题意可知：19a b c ++=，又因为1,2a b c b =-=+，所以1219b b b -+++=，解得6b =，所以5a =.3.4.解：设底边长为x cm ，则腰长是2-15xcm ， 当腰比底大时，2-15x－x=3， ∴x=3，2-15x＝6． （当腰比底小时，x －2-15x=3，∴x=7，2-15x=4． 答：这个三角形的三边长为3㎝，6㎝，6㎝或7㎝，4㎝，4㎝.5. A 解析：设x A x C -︒=∠=∠120,则，又因为222()()()C A B ∠=∠+∠，所以222)60()120(︒+-︒=x x ，解得ｘ＝７５°，所以︒=∠75C ，︒=-︒=∠45120x A ，所以此三角形为锐角三角形，故选A. 6. Ａ 解析：设α=3x ，β=4x ，γ=5x ，根据外角和为360°，所以345360x x x ++=︒，解得30x =︒，所以α=90︒，β=120︒，γ=150︒，所以∠A=90︒、∠B=60︒、∠C=30︒，所以∠A ：∠B ：∠C=90︒： 60︒：30︒=3：2：1，故选A.7. １２０°解析：由外角的性质可知2B F ∠=∠+∠，12D ∠=∠+∠，所以1B F D ∠=∠+∠+∠， 又因为160,AOE ∠=∠=所以160,AOE ∠=∠=所以︒=∠+∠+∠60D F B ，同理可证︒=∠+∠+∠60E C A ，所以︒=∠+∠+∠+∠+∠120E D C B A .、8.解：（1）∵A 1C 、A 1B 分别是∠ACD 、∠ABC 的角平分线， ∴∠A 1BC=∠ABC ，∠A 1CD=∠ACD ；由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD ﹣∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD ﹣∠A 1BC ， 即：∠A 1=（∠ACD ﹣∠ABC ）=∠A ； 当∠A=70°时，∠A 1=35°； 当∠A=80°，∠A 1=40°． （2）∠A 1=∠A ．)（3）同（1）可求得： ∠A 2=∠A 1=∠A ，∠A 3=∠A 2=∠A ，…，依此类推，∠A n =∠A ．￥2．2 命题与证明专题一 定义与命题1．下列语句中，定义的个数有 （ ） ①两点之间，线段最短；②过点M 作已知直线l 的平行线；③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；④两直线平行，同位角相等；⑤单项式和多项式统称为整式. —个 个 个 个 2．下列语句中属于命题的有 （ ） （1）两点确定一条直线；（2）不许大声喧哗！（3）连接线段MN ；（4）两个锐角的和一定是直角；（5）536+>；（6）不相交的两条直线叫作平行线. 个 个 个 个3. 下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是_________________________.①相等的角是对顶角；②内错角相等，两直线平行；③如果m 是自然数，那么m 是有理数；④如果5a =，那么5a =；⑤如果0a b +=，那么a 、b 互为相反数.4. 若规定“⊙”是一种运算符号，且2yx y x xy ⊕=-，试计算：(4)(32)-⊕⊕的值.'专题二 反证法与证明5．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（ ） A ．一个三角形中至少有两个钝角 B ．一个三角形中至多有一个钝角 ,C ．一个三角形中至少有一个钝角D ．一个三角形中没有钝角6．如图，OP ∥QR ∥若,ST ∠２＝110°，∠３＝120°，∠１＝ ．7． 有一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四名选手预测各自的名次．甲说：“我绝对不会得最后!”乙说：“我不能得第一，也不会得最后!”丙说：“我肯定得第一!”丁说：“那我是最后一名!”比赛揭晓后知道，四人没有并列名次，而且只有一名选手预测错误，这就是_______选手预测错了．8.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明理由．,状元笔记【知识要点】1．定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义．2．命题：对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句（陈述句）叫作命题．…3．命题的组成：命题由条件和结论组成，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．4.逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.5.真假命题：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.6.证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫作证明.7.举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不符合命题的结论，从而就可以判断这个命题为假命题，这种方法叫作举反例.8.互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.9.直接证明一个命题为真命题有困难时，可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明的方法称为反证法.10. 证明的一般步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程.,【温馨提示】1．命题是陈述句，疑问句、感叹句等不是命题.2．每一个命题都有逆命题，但一个命题的逆命题不一定是真命题．3. 定义不等同于真命题，定义一定是真命题，但真命题不一定是定义.4．每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理．【方法技巧】#1．定义中一般含有“叫作”或“统称”字眼．2．在新定义运算中一定要先将新定义运算转化为一般运算．3．定义、定理、公理是证明的依据，做到证明的每一步都有道理，证明时先要通过分析找到证明的途径，再进行证明．4. 反证法是一种间接的证明方法，当一个命题不易直接证明时才釆用.<[参考答案：】1. B 解析：③和⑤是定义.2. C 解析：（1）、（4）、（5）、（6）是命题.3. ②、⑤4. 解：∵2yx y x xy ⊕=-，∴2(4)(32)(4)(3232)(4)(3)-⊕⊕=-⊕-⨯⨯=-⊕-311(4)2(4)(3)24246464-=--⨯--=--=-. 5. A 解析：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．故选：A ． 6. 50 °7. 丙 解析：假设甲预测错，那么丁预测也错，不符合题意；假设乙预测错，那么乙得第一或最后，这与丙、丁所预测有矛盾，即不止一名选手预测错误，也不符合题意；假设丙预测错，他只可能得二、三、四名，那么其他三名预测皆正确，符合题意；假设丁预测错，因为其他三名皆预测不会得最后，所以也不成立的；所以只能是丙预测错． (8.解：∠AED=∠ACB ．理由：因为∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°． 所以∠2=∠4． 所以EF ∥AB ． 所以∠3=∠ADE ． 因为∠3=∠B ， 所以∠B=∠ADE ． 所以DE ∥BC ．所以∠AED=∠ACB ．2．3 等腰三角形专题一 等腰三角形的性质1．如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ )@A ．30° D ．32° C 36° D ．40°2.已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=AF ，BC=BE ，则∠ECF=（ ）A ．60°B ．45° C30° D ．不能确定3. 等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为_________.4. 若等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的顶角度数.、专题二 等腰三角形的判定5. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形. 其中真命题的个数是 （ ） 个 个 个 个6.如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线…OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为 （ ）B. 2014C.20122 D. 201327.如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC 绕顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．)8.如图,在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系写出你的判断过程．。
湘教版八年级数学上册第二章测试题(含答案)
湘教版八年级数学上册第二章测试题（含答案）(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间：120分钟，赋分：120分)分数：____________第Ⅰ卷(选择题共36分)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．下列长度的三条线段中能构成三角形的是(C)A．3 cm，10 cm，5 cm B．4 cm，8 cm，4 cmC．5 cm，13 cm，12 cm D．2 cm，7 cm，4 cm2．如图，图中∠1的度数为(D)A．40°B．50° C．60° D．70°3．下列命题中是假命题的是(B)A．实数与数轴上的点一一对应B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等C．对顶角相等D．三角形的重心是三角形三条中线的交点4．如图，△ABC≌△DEF，点A与点D对应，点C与点F对应，则图中相等的线段有(D)A．1组B．2组C．3组D．4组5．如图，AD∥BC，AC＝BC，∠BAD＝115°，则∠C的度数是(B)A．55°B．50°C．45°D．40°第5题图第6题图6．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为(C)A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为(A)A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°9．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD 翻折得到△AED，则∠CDE＝(B)A．10°B．20°C．40°D．60°第9题图第10题图10．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为(C)A．45°B．52.5°C．67.5°D．75°11．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ的周长是(D)A．8＋2aB．8＋aC．6＋aD．6＋2a12.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是(B)A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CADC．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性．第13题图第15题图14.“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是同一平面内，若a⊥b，c⊥b ，结论是a∥c ，这个命题是真命题．15．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO，你添加的条件是∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD(任一答案即可) ．16．用反证法证明“两直线相交，交点只有一个”，第一步假设为两直线相交，交点不止一个．17．如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，则h1和h2的大小关系是h1＝h2 .18．如图所示，△ABC，△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4时，则图形ABCDEFG外围的周长是15 ．19．(本题满分10分，每小题5分)把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题．(1)不相等的角不是对顶角；(2)等边三角形也是等腰三角形．解：(1)如果两个角不相等，那么它们不是对顶角．逆命题：不是对顶角的两个角不相等．(2)如果一个三角形是等边三角形，那么它也是等腰三角形．逆命题：等腰三角形也是等边三角形．20．(本题满分5分)已知：∠α，线段c，如图所示．求作：Rt△ABC，使∠A＝∠α，AB＝c，∠C＝90°.解：如图，△ABC即为所求．21．(本题满分6分)如图：(1)在△AEC中，AE边上的高是CD；(2)若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，求△AEC的面积及CE的长．解：∵AE＝3 cm，CD＝2 cm，∴S△AEC＝12AE·CD＝12×3×2＝3(cm2)．∵S△AEC＝12CE·AB＝3 cm2，AB＝2 cm，∴CE＝3 cm.22．(本题满分8分)(东阿县期末)如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，(1)求证：EF∥BC；(2)若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF.证明：(1)∵∠1＋∠FDE＝180°，∠1与∠2互为补角，∴∠2＝∠FDE，∴DF ∥AB ， ∴∠3＝∠AEF ， ∵∠3＝∠B ， ∴∠B ＝∠AEF ， ∴FE ∥BC . (2)∵FE ∥BC ，∴∠BCE ＝∠FEC ， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE ＝∠BCE ， ∴∠FEC ＝∠ACE ， ∴FC ＝FE ， ∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠B ，又∵∠B ＝∠AEF ， ∴∠A ＝∠AEF ， ∴AF ＝FE ，∴AF ＝CF .23．(本题满分8分)如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，满足AB ＝CD ，AE ＝DF ，CE ＝BF ，连接AF .(1)求证：∠B ＝∠C ；(2)若∠B ＝40°，∠DFC ＝30°，当AF 平分∠BAE 时，求∠BAF 的度数．(1)证明：∵CE ＝BF ， ∴CE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴BE ＝CF ，在△ABE 和△DCF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，AE ＝DF ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△DCF (SSS)，∴∠B ＝∠C .(2)解：由(1)得：△ABE ≌△DCF ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝30°，∴∠BAE ＝180°－∠B －∠AEB＝180°－40°－30°＝110°，∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝12∠BAE ＝12×110°＝55°.24．(本题满分8分)(洛阳期末)如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线OM 与边AC 的垂直平分线ON 交于点O ，分别交BC 于点D ，E ，已知△ADE 的周长为5 cm.(1)求BC 的长；(2)分别连接OA ，OB ，OC ，若△OBC 的周长为13 cm ，求OA 的长．解：(1)∵DM 是线段AB 的垂直平分线，∴DA ＝DB ，同理，EA ＝EC ，∵△ADE 的周长为5 cm ，∴AD ＋DE ＋EA ＝5，∴BC ＝DB ＋DE ＋EC ＝AD ＋DE ＋EA ＝5 cm.(2)∵△OBC 的周长为13，∴OB ＋OC ＋BC ＝13，∵BC ＝5，∴OB ＋OC ＝8，∵OM 垂直平分AB ，∴OA ＝OB ，∴同理，OA ＝OC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝4 cm.25．(本题满分11分)两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图②中的全等三角形，并说明理由(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)试说明：DC ⊥BE .解：(1)△BAE ≌△CAD .理由：∵△ABC ，△DAE 是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD ＝90°＋∠CAE .在△BAE 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD (SAS)．(2)由(1)得△BAE ≌△CAD .∴∠DCA ＝∠B ＝45°.∵∠BCA ＝45°，∴∠BCD ＝∠BCA ＋∠DCA ＝90°，∴DC ⊥BE .26．(本题满分10分)已知：△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1)如图①，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF .求证：△DEF 为等腰直角三角形；(2)如图②，若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，则△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．,①),②)(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝AD.∴∠B＝∠DAC＝45°.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．(2)解：△DEF仍为等腰直角三角形．证明如下：连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC.∴∠DAC＝∠ABD＝45°.∴∠DAF＝∠DBE＝135°.又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS)．∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB.∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°.∴△DEF仍为等腰直角三角形．。
湘教版八年级数学上册第2章测试卷(附答案)
第2章检测卷时间：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm2．如图，图中∠1的度数为( )A．40° B．50°C．60° D．70°第2题图3．下列命题是假命题的是( )A．全等三角形的对应角相等B．若|a|＝－a，则a>0C．两直线平行，内错角相等D．只有锐角才有余角4．已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC 全等的三角形是( )A．只有乙 B．只有丙C．甲和乙 D．乙和丙5．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数是( ) A．35° B．40° C．25° D．30°第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝20cm，AB＝12cm，则△ABD的周长为( ) A．20cm B．22cm C．26cm D．32cm7．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有( )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对第7题图第8题图第9题图8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH ＝EB＝1，AE＝2，则CH的长是( )A．1 B．2 C．3 D．49．如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为( )A．45° B．52.5° C．67.5° D．75°10．在等腰△ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A．7 B．11C．7或10 D．7或11二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的_________性．第11题图12．把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……，那么……”形式为：____________________________________________．13．如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需补充一个条件，则这个条件可以是__________．第13题图第14题图14．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为_________.15．如图，AD、BE是△ABC的两条中线，则S△EDC∶S△ABD＝________．第15题图第16题图16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，过点E作DE∥BC交AB于点D，若AE＝3cm，△ADE 的周长为10cm，则AB＝________．17．如图，已知AB∥CF，E为AC的中点，若FC＝6cm，DB＝3cm，则AB＝_________cm.第17题图第18题图18．如图，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4，则图形ABCDEFG外围的周长是15.三、解答题(共66分)19．(8分)如图：(1)在△ABC中，BC边上的高是；(2)在△AEC中，AE边上的高是；(3)若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．20．(8分)如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：AC∥DF.21.(8分)如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC交BC于D，∠ABD的平分线BE交AD于E，连接EC，求∠AEC的度数．22．(10分)如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD＝CE，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．23．(10分)如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．24．(10分)如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE ∥DF ，②AB ＝CD ，③CE ＝BF .(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗⊗，那么⊗”)；(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．25．(12分)两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)试说明：DC ⊥BE .参考答案与解析1．B 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.C 8.A9．C 解析：由题意知BC ＝BD ＝BE ，∠A ＝30°，所以∠BDE ＝∠BED ，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BDC ＝75°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBE ＝45°，所以∠BDE ＝12×(180°－45°)＝67.5°.故选C.10．D 解析：如图，设AB ＝AC ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝CD ＝12x .依题意可分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12x ＝15，y ＋12x ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12x ＝12，y ＋12x ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.两种情况都满足三角形的三边关系，所以这个等腰三角形的底边长为7或11.故选D. 11．稳定12．如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等 13．AB ＝AC (答案不唯一)14．70° 15.1∶2 16.7cm 17.918．15 解析：由题意知AB ＝BC ＝4，CD ＝DE ＝2，EF ＝FG ＝GA ＝1，故其外围周长为4＋4＋2＋2＋1＋1＋1＝15.19．解：(1)AB (2分) (2)CD (4分)(3)∵AE ＝3cm ，CD ＝2cm ，∴S △AEC ＝12AE ·CD ＝12×3×2＝3(cm 2)．(6分)∵S △AEC ＝12CE ·AB＝3cm 2，AB ＝2cm ，∴CE ＝3cm.(8分)20．证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC ＝∠DEF .(2分)又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC＝EF .(4分)在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS)，(7分)∴∠ACB＝∠DFE ，∴AC ∥DF .(8分)21．解：∵AD 垂直且平分BC ，∴∠EDC ＝90°，BE ＝EC ，∴∠DBE ＝∠DCE .(3分)又∵∠ABC ＝50°，BE 为∠ABC 的平分线，∴∠C ＝∠EBC ＝12×50°＝25°，∴∠AEC ＝∠C ＋∠EDC ＝90°＋25°＝115°.(8分)22．证明：∵∠1＝∠2，∴AD ＝AE ，∠ADB ＝∠AEC .(2分)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠ADB ＝∠AEC ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，(7分)∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．(10分) 23．解：(1)∵AD 垂直平分BE ，EF 垂直平分AC ，∴AB ＝AE ＝EC ，∴∠AED ＝∠B ，∠C ＝∠CAE .∵∠BAE ＝40°，∴∠AED ＝70°，(3分)∴∠C ＝12∠AED ＝35°.(5分)(2)∵△ABC 的周长为14cm ，AC ＝6cm ，∴AB ＋BE ＋EC ＝8cm ，(8分)即2DE ＋2EC ＝8cm ，∴DC ＝DE ＋EC ＝4cm.(10分)24．解：(1)如果①②，那么③.(2分)如果①③，那么②.(4分)(2)选择如果①②，那么③.证明如下：∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D .∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ，即AC ＝DB .(7分)在△ACE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ，∴△ACE ≌△DBF (AAS)，∴CE＝BF .(10分)25．解：(1)△BAE ≌△CAD .(2分)理由如下：∵△ABC ，△DAE 是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BA E ＝∠CAD .(4分)在△BAE 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD (SAS)．(7分) (2)由(1)得△BAE ≌△CAD .∴∠DCA ＝∠B ＝45°.(9分)∵∠BCA ＝45°，∴∠BCD ＝∠BCA ＋∠DCA ＝90°，∴DC ⊥BE .(12分)。
湘教版八年级上册数学第二章第一节练习题(含答案)
湘教版八年级上册数学第二章第一节练习题（含答案）一、单选题1．下列各组线段能构成三角形的是（）A．2cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cmC．2cm，2cm，5cm D．2cm，3cm，6cm2．如图中三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．43．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．观察下列图形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，BC边的对角是（）A．△A B．△B C．△C D．△D6．如图，在△ABC中，AD平分△BAC，点E在射线BC上，EF△AD于F，△B＝40°，△ACE＝72°，则△E的度数为（）A．68°B．56°C．34°D．32°7．四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（）A．18cm B．26cm C．27cm D．28cm8．如图，已知△A＝60°，△B＝40°，△C＝30°，则△D+△E等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．10．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（）A．∠P=2(∠B−∠D)B．∠P=12(∠B+∠D)C．∠P=12∠B+∠D D．∠P=∠B+12∠D二、填空题11．如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，△C所对的边是；在△ACD 中，△C所对的边是．12．如图，以点A为顶点的三角形有个，它们分别是．13．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3= 28：5：3，则∠α的度数为．14．如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为．15．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭个形状不同的三角形．16．一个三角形的两个内角分别为50°和75°，则这个三角形的外角是度．17．如图，直线a//b，将一个含30°角的直角三角板按如图所示的位置放置，若∠2=2∠1，则∠3的度数为．18．如图△ABC中，AD△BC于点D，AE平分△CAD交BC于E，若△C＝60°，则△DEA＝．19．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠α的度数为．20．用海伦公式求面积的计算方法是： S =√p(p −a)(p −b)(p −c) ，其中S 表示三角形的面积，a ，b ，c 分别表示三边之长，p 表示周长的一半，即 p =a+b+c 2.我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶式” .请你利用公式解答下列问题.在 △ABC 中，已知三边之长 a =6 ， b =7 ， c =5 ，则 △ABC 的面积为 .三、解答题21．如图，在 △ABC 中， CD 为 △ABC 的高， AE 为 △ABC 的角平分线， CD 交 AE 于点G ， ∠BCD =50° ， ∠BEA =110° ，求 ∠ACD 的大小.22．已知：如图，AB ∥CD ，点E 在AC 上.求证：∠A =∠CED +∠D .23．先化简，再求值：(a a+2+9−4a a 2−4)÷a−3a−2，其中a 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且a 是整数． 24．如图，在△ABC 中，CE 平分△ACB 交AB 于点E ，AD 是△ABC 边BC 上的高，AD 与CE 相交于点F ，且△ACB ＝80°，求△AFE 的度数．答案1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．AB；AD 12．4；△ABC，△ADC，△ABE，△ADE 13．80° 14．4 15．12 16．30或105或125 17．150° 18．75° 19．165° 20．6√621．解：∵CD为ΔABC的高，∴∠BDC=∠ADC=90°. ∴∠B=90°−∠BCD=90°−50°=40°.在△ABE 中，∠BAE=180°−∠B−∠BEA=180°−40°−110°=30°.∵AE为ΔABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=60°. ∴∠ACD=90°−∠BAC=30°. 22．证明：在△CDE中，∵∠C+∠CED+∠D=180°（三角形内角和定理），∴∠CED+∠D=180°−∠C（等式的性质），又∵AB//CD（已知），∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=180°−∠C（等式的性质），∴∠A=∠CED+∠D（等量代换）.23．解：(aa+2+9−4aa2−4)÷a−3a−2=[a(a−2)(a+2)(a−2)+9−4a(a+2)(a−2)]⋅a−2a−3，=a2−2a+9−4a(a+2)(a−2)⋅a−2a−3，=(a−3)2(a+2)(a−2)⋅a−2a−3，=a−3a+2，∵a是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3−2<a<3+2，即1<a<5，∵a为整数，∴a=2、3、4，由分式有意义的条件可知：a≠0、2、3，∴a=4，∴原式=4−34+2=1 6．24．解：∵CE平分△ACB，△ACB＝80°，∴△ECB=12∠ACB=12×80°=40°，∵AD是△ABC边BC上的高，AD△BC，∴△ADC=90°，∴△DFC=180°-△ADC-△ECB=180°-90°-40°=50°，∴△AFE=△DFC=50°．。
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课时评价10 2、1 定义（时量：40分钟，满分100分）考标要求1、通过具体的事例了解定义的含义；2、能正确叙述已学过数学概念的特征；重点、难点：弄清定义的含义，能掌握已学过的数学概念的特征性质。
一、选择题:（每小题5分，共25分）1、下列语句中属于定义的是（）A、对顶角相等B、三角形的内角和等于180°C、平行四边形的对角相等D、连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
2、下面对矩形的定义正确的是（）A、矩形的四个角都是直角，B、矩形的对角线相等，C、矩形是中心对称图形，D、有一个角是直角的平行四边形3、下面关于无理数的定义正确的是（）A、没有道理的数叫无理数B、无限小数叫无理数C、无限不循环小数叫无理数D、开不尽方的数叫无理数4、小明同学的笔记本上写出他对四个概念的定义，你认为正确的个数有（）（1）如果函数的解析式是自变量的一次式，那么这样的函数称为一次函数；（2）一样大的三角形叫全等三角形；（3）把一组数据从小到大排列，如果数据的个数是奇数，那么位于中间的数称为这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，那么位于中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；（4）在一组数据中，把出现次数最多的数据叫作这组数据的众数；A、1个B、2个C、3个D、4个5、下面四个定义中不正确的是（）A、数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值;B、有一组邻边相等的四边形叫菱形;C、有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形;D、两腰相等的梯形叫等腰梯形、二、填空题（每小题5分，共25分）6、关于“中华人民共和国公民”的定义是这样的：“具有中华人民共和国国籍的人叫中华人民共和国公民”这个定义描述的特征性质是：___________________________；7、等腰三角形的定义是：有____________相等的三角形叫等腰三角形；8、简洁的说，在随机现象中，一个事件发生的_____________叫概率。
9、有这样一个语句：“印花税就是开启帐簿（记载资金帐和其他帐簿）、书立产权转移书据（办产权、销售房屋等）、签立合同（不论合同是否兑现、不论合同几时兑现）、办理权利许可证照（如工商执照、商标注册证等）时缴纳的税”。
_____(填“是”或“不是”)印花税的定义；10、填写适当的概念：如果一个图形关于某一条直线做______，能够和另一个图形____，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
三、解答题（每个小题10分共50分）11、叙述下列概念的定义:(1)角平分线（2）三角形的角平分线12、下面语句是那个定义的特征？(1)连接三角形的顶点和对边中点的线段；（2）三角形一边的延长线和另一边组成的角（3）不等式组中各个不等式的解集的公共部分（4）点到直线的垂线段的长度；13、请你写出两个本考卷中没有的定义14、小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相的等角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义。
15、下面几个定义是否正确，如果不正确，请你正确的定义：(1)三条线段首尾相接组成的图形叫三角形；（2）多边形所有外角的和叫多边形的外角和16、拓展探究题（不计总分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地我们定义：至少有一组对边相等的三角形叫等对边三角形。
(1)请写出一个你学过的特除四边形中是等对边三角形的图形的名称；(2)如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上设CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A、请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中那个四边形是等对边四边形；(3)在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB、AC上且∠DCB=∠EBC=1 2∠A，探究满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
参考答案1、 D2、 D3、 C4、 C5、 B6、具有中华人民共和国国籍7、两条边相等8、可能性大小9、是10、轴反射，重合11、从角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成了相等的两部分，那么这条射线就叫这个角的平分线，三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的平分线12、（1）三角形的中线（2）三角形的外角（3）不等式组的解集（4）点到直线的距离13、略14、不正确，图略，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫对顶角。
15、（1）不正确，由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫三角形；（2）不正确，在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫这个多边形的外角和。
16、(1)平行四边形，等腰梯形;（2）与∠A相等的角是∠BOD(或∠EOC)，四边形DBCE是等对边四边形;（3）提示：分别过点B、C作CD、BE的垂线段BF、CG，证明△BCF≌△CBG得BF=CG，再证△BDF≌△CGE得BD=CEO课时评价11 2、2命题考标要求：1、 了解命题与逆命题的概念；知道命题有真假，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立；2、 能分清命题的条件和结论，能把一个命题写成“如果…、那么…、、”的形式 重点难点：重点：命题的定义和形式，区分命题的真假；难点： 判断命题的真假一、 选择题（每小题5分，共25分）1、下列语句中（1）四川地震让中国人众志成城；（2）中国加油！四川加油！（3）对顶角相等; （4）过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行、 是命题的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、 下列命题是真命题的是（ ）A 、 真命题的逆命题是真命题B 、 如果22a b 那么a>bC 、 如果 ac>bc ，那么a>b ;D 、 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半3、下列命题中，假命题的个数有（ ）(1)无限小数是无理数； （2（3） 三点确定一条直线； （4）多边形的边数越多，内角和越大。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、 下列命题中假命题是（ ）A 、 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；B 、对角线相等的平行四边形是矩形；C 、四条边相等的四边形是菱形 ；D 、 有一组对边平行的四边形是梯形。
5、 下列命题，真命题是（ ） A 、 如图：如果OP 平分∠AOB ，那么，PA=PB ； B 、 三角形的一个外角大于它的一个内角；C 、D 、有一组邻边相等的矩形是正方形。
二、 填空题(每小题5分，共25分) 6、 命题“对顶角”相等，的条件是_____________________，结论是：______________________________;7、把“同角或等角的余角相等”写成“如果…那么”的形式是______________________ _________________________________________;8、 命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是___________________________________________________;9、 命题：“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是______________ _______________________________________;10、 请你任写一个真命题:_______________________________ ____________;三、 解答题（每小题10分，共50分）11、 写出下列命题的条件和结论并指出它是真命题还是假命题：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）等腰三角形底边上的高和底边上的中线顶角的平分线互相重合；（3）各位上的数字和能被3整除的整数能被3整除；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；12、判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出反例。
(1)有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和一角对应相等的两个三角形全等；(3)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(4)有一边对应相等的两个等边三角形全等；13、 写出下列命题的逆命题：（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（3）若2r =a ，则r 叫a 的平方根;（4）如果a ≥0、14、“若a>b ，那么ac>bc ”是真命题还是假命题，如果是假命题举一个反例并添适当的条件使它成为真命题。
15、 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD=BE ，（1）请你再添一个条件，使得△BEA △BDC ，并给出证明，你添加到条件是____________;(2)根据你添加到条件，再写出图中一对全等三角形：_______________(只要写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程)E DC B AD CB参考答案1、 B2、 D3、 C4、 D 5 D6、 两个角是对顶角，这两个角相等7、如果两个角是同一个角或相等的角度余角，那么这两个角相等。
8、直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°9、 三角形中如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形， 11、（2）假命题，如图△ABC 与△ABD 中，AB=AB ，∠B=∠B ，AD=AC ，但△ABC 与△ABD 不全等、（3）真命题，（4）真命题，13、（1）两条平行线线被第三条直线所截，同位角相等;（2）到角两边的距离相等的点在角平分线上（3）若r 是a 的平方根，那么2r =a ，（4，那么a ≥0； 14、 假命题，如：2＞1，但2×（-1）＜1×（-1）如果增加条件：“C ＞0”，命题就成为真命题15、（1）答案不唯一，如：AB=BC 或∠BAE=∠BCD 或∠BDC=∠BEA ，（2）△DAC=△ECA课时评价12 2.3公理与定理考标要求：1. 了解公理与定理到概念，以及他们之间的内在联系；2. 了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；3. 掌握教材十条公理和已学过的定理。
一. 选择题:（每小题5分，共25分）1.下面命题中：（1）旋转不改变图形的形状和大小，（2）轴反射不改变图形的形状和大小（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三角形的内角和等于180°属于公理的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（）A. 公理和定理都是真命题，B.公理就是定理，定理也是公理，C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明3.推理：如图∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB，这个推理的依据是（）A.等量加等量和相等，B.等量减等量差相等C. 等量代换D. 整体大于部分O CBADCA4.推理：如图：∵∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，(已知) ∴AD=CD，CD=DB( 等腰三角形的性质)∴AD=DB( )括号里应填的依据是（）A. 旋转不改变图形的大小B. 连接两点的所有线中线段最短C.等量代换D. 整体大于部分5.下面定理中，没有逆定理的是（）A. 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 平行四边形的对角线互相平分D.对顶角相等二. 填空题（每小题5分，共25分）6.人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为____________，运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫_______;7.定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是：__________________________________________________________;8. ____________________________________________________是定理“两条直线被第三条E D C BA直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理9. 如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下面结论中（1） △ABC ≌△DEF ，（2）∠DEF=90°，(3) AC=DF (4) AC ∥DF (5) EC=CF 正确的是______________(填序号)，你判断的依据是____________________________.F E D C BA DC B A10. 要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的是_____________，依据是________________________________________.三. 解答题（3×12+14=50分） 11 仔细观察下面推理，填写每一步用到的公理或定理:如图：在平行四边形ABCD 中， CE ⊥AB ，E 为垂足，如果∠A=125°，求∠BCE.解：∵四边形ABCD 是平行四边形(已知)∴AD ∥BC （ ）∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）∵△BEC 是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°( )12. 如图将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ’OB ’若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ），你用到的依.据是__________________________________. 13.如图所示，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根据轴反射的定义和性质完成下面问题：(1)在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′；(2)写出点C 关于y 轴的对称点C ′的坐标.14.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC.BD相交于O，用所学公理.定理.定义说明:（1）△ABC≌△ADC;(2)OB=OD，AC⊥BD.参考答案1. C2. B3. A4. C5. D6. 公理定理7.有两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。