(完整版)一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程

基础知识

1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如

ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2，，分别叫做

一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 2

00++=≠（），2412

x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法

形如x m m 2

0=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直

接开平方法。 （2）配方法

通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥2

0（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。 配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。 （3）公式法

求根公式：方程ax bx c a 2

00++=≠（）的求根公式

x b b ac a

b a

c =-±--≥224240（）

步骤：

1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 2

00++=≠（），确定a 、b 、c 。 2）计算式子b ac 2

4-的值。

3）当b ac 2

40-≥时，把a 、b 和b ac 2

4-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法

把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当2

40b ac -≥时，才能直接开

平方得：

2b x a += 也就是说，一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里2

4b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

4、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由2

4b ac ∆=-确定．

设一元二次方程为

20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则

①0∆>⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．

②0∆=⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根

122b

x x a ==-． ③0∆<⇔方程

2

0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；

若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明：

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式2

4b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两

个

不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当2

40b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；

②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．

5、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

6、韦达定理

如果2

0(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-

，12c

x x a =．（隐含的条件：0∆≥）

特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程2

0x px q ++=的两个根，则

12x x p +=-，12x x q ⋅=．

7、韦达定理的逆定理

2

一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-

，12c

x x a =，那么1x ，2x 必定是2

0(0)ax bx c a ++=≠的

两个根．

8、韦达定理与根的符号关系

在2

4b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：

⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0

b a -<，

则此方程的正根小于负根的绝对值．

⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0

b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是

：

若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：

① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <

② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >

③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <

特殊地：当0m =时，上述就转化为

20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．

其他有用结论：

⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．

⑵若0ac <，则方程2

0(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则2

0(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则

20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．

9、韦达定理的应用

⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；

⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱

10、整数根问题

对于一元二次方程2

0ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式2

4b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程2

0ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：