2019成都市高三二诊数学理科试题及详细解析

〖解析〗
1、【考点】①集合的表示法；②全集，补集的定义与性质；③交集的定义，性质和运算方法。

【解题思路】根据集合的表示法，运用全集，补集的运算方法求出集合B 的补集，再利用交集的定义，性质和运算方法就可得出结果。

【详细解答】U=R ，B={x|x ≤-2或x ≥1}，∴U C B ={x|-2<x<1}，A={x|-1<x<3}，∴A （U C B ）={x|-1<x<1}，⇒A 正确，∴选A 。

2、【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线焦距的定义与性质；③双曲线渐近线的定义与求法。

【解题思路】根据双曲线焦距的定义与性质，运用双曲线实半轴a ，虚半轴B ，半焦距之间的关系先求出b 的值，再利用双曲线渐近线的基本求法，结合问题条件就可得出结果。

【详细解答】双曲线C 为：2
x -2
2y b =1（b>0）的焦距为4，∴2c=4，⇒c=2，a=1，2c =2a +
2b ，∴2b =4-1=3，⇒∴双曲线的渐近线方程为：y=±， ⇒D 正确，∴选D 。

3、【考点】①向量坐标表示的定义与性质；②向量数量积坐标运算的基本方法；③向量数量积的几何意义。

【解题思路】根据向量的坐标表示，运用向量数量积坐标运算的基本方法求出向量的数量积，在利用数量积的几何意义就可得出结果。

【详细解答】a =1），b =（-3，∴|b ，a .b =-3⨯
⨯
a .
b =|a |.|b |cos<a ，b >，∴|b |cos<a ，b >=.
||a b a ==-1，⇒C 正确，∴选C 。

4、【考点】①不等式的定义与性质；②充分条件，必要条件的定义与性质；③充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法。

【解题思路】运用充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法，结合不等式的定义与基本性质，通过判断就可得出结果。

【详细解答】由a>b>0，可以推出
1a <1b ，但由1a <1b
，不能推出a>b>0， ∴由条件甲可以推出条件乙，但由条件乙不能推出条件甲，⇒条件甲是条件乙的充分不必要条件，⇒A 正确，∴选A 。

5、【考点】①茎叶图的定义与性质；②一组数据中位数的定义与求法；③一组数据平均数的定义与求法；④一组数据标准差的定义与求法。

【解题思路】运用茎叶图的定义与性质，根据一组数据中位数的定义和求法分别求出甲，乙的中位数，可判断①的正确或错误；利用一组数据平均数的定义和求法分别求出甲，乙的平均数可判断②的正确或错误；再运用一组数据标准差的定义和求法分别求出甲，乙的标准差可判断③，④的正确或错误，从而得出结论。

【详细解答】甲的中位数=29，乙的中位数=30，29<30，∴在最近五场比赛中甲得分的
中位数低于乙得分的中位数，⇒①错误；
甲的平均数=25282931325++++=29，乙的平均数=28293031325
++++=30，29<30，∴在最近五场比赛中甲得分的平均数低于乙得
分的平均数，甲标准差
，乙的标准差，
，∴在最近五场比赛中甲得分的标准差高于乙得分的标准差，⇒③正确，④错误；⇒C 正确，∴选C 。

6、【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数差角公式及运用； ③三角函数运算中变角的基本方法。

【解题思路】根据同角三角函数基本关系分别求出cos α，cos(α-β)的值，结合β=α- (α-β)得到sin β=sin[α-(α-β)]，结合三角函数的差角公式通过运算就可得出结果。

【详细解答】sin α=5，α是锐角，∴cos α=5， sin(α-β)=10，
α，β都是锐角，∴-2π <(α-β)<2
π，⇒cos(α-β，∴ sin β=
sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=5⨯10-5⨯10=
10=2
⇒B 正确，∴选B 。

7、【考点】①异面直线的定义与判定；②直线与直线平行的定义与判定；③直线与直线垂直的定义与判定；④直线与平面垂直的定义与判定；⑤直线与平面平行的定义与判定。

【解题思路】根据直线与直线平行的定义与判定方法；直线与直线垂直的定义与判定方法；直线与平面平行的定义与判定方法；直线与平面垂直的定义与判定方法；结合各选项通过判定就可得出结果。

【详细解答】对A ，a ⊂ α时，a ⊥α不成立，∴A 错；对B ，当a ⊂ α时，由c ⊥b ，
能够推出b//α，但a//α不可能成立，∴B 错；对C ，当a ⊂α时，若c ⊥α，由c ⊥b ，
可以推出b // α， ⇒C 正确； ∴选C 。

8、【考点】①三角函数图像平移变换的定义与性质；②正弦型函数的定义，图像和性质，③根据随机函数的部分图像求三角函数解析式的基本方法。

【解题思路】运用由三角函数部分图像求三角函数解析式的基本方法，求出函数g(x)的解析式，再根据三角函数图像平移变换的定义与性质求出函数f(x)的解析式。

【详细解答】 由图知A=1，
2T = 3π-（-6
π）=2π，∴T=π，⇒ϖ=2ππ=2，⇒g (x)= sin (2x+ϕ)，点（- 6π，0）在函数g (x)的图像上，∴0= sin [2 ⨯（- 6
π）+ϕ]= sin （-3π +ϕ），⇒-3π +ϕ=k π， ⇒ϕ= k π+3π（k ∈Z ），|ϕ|<2π， ∴ϕ=3π， ⇒g (x)= sin (2x+3π)，∴f(x)= g (x+ 4π) =sin[2 (x-4π)+3π]= sin(2x-2π+3π)= cos(2x+3π)，⇒C 正确，∴选C 。

9、【考点】①奇函数的定义与性质；②轴对称图形的定义与性质；③函数值的定义与求法。

【解题思路】运用问题条件可得出函数f(x)的图像关于直线x=1对称，从而得到f(52)= f(2-52)= f(-12)=-f(12
)，代入解析式通过运算就可得到结果。

【详细解答】函数f(x)满足：f(32+x)=-f(12-x) ，∴函数 f(x)的图像关于直线x=1对称，⇒ f(52)=f(2-52)= f(-12)，函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴ f(-12)=-f(12
) =-31()2=-18
，⇒B 正确，∴选B 。

10、【考点】①圆的定义与性质；②直线与圆相交的定义与性质；③圆的垂径定理及运用；④函数最值的定义与求法。

【解题思路】根据圆的定义与性质，把圆的方程化为标准方程，得出点C 的坐标，结合∠ACB 最小时，实际上就是弦|AB|最小，将问题转化为弦|AB|最小的问题，依据圆径定理弦|AB|最小是直线CP 垂直直线l ，从而求出a 的值。

【详细解答】如图，设P （1，2）是圆C 内一点，连接CA ，
CB ，CP ，
圆C 化为标准方程为：2(1)x ++2()y a -=1+2a ，∴C （-1，a ），当∠ACB 最小，即|AB|最小时，直线CP 垂直直线l ，CP k = 21(1)a ---= 22a -，∴22
a -⨯正确，∴选B 。

11、【考点】①加法原理，乘法原理及运用；②排列的定义与性质；③组合的定义与性质；④排列数与组合数的计算公式和计算方法；⑤求解排列，组合综合问题的基本方法。

【解题思路】根据排列，组合的定义与性质，结合排列数，组合数的计算公式，将问题分为几种情况，分别求出各种情况符合问题条件的正整数，再把各种情况的结果相加就可得出结论。

【详细解答】①当4排在最高数位时，所得的正整数要比420789大，若万为数为2，千位数为0，则百位数是7，则十位数只能是9，个位数只能是8，这样的数只有1个；若万为数为2，千位数为0，则百位数只能在8，9之间选一个，剩下的二个数则可以任意排，这样
的数有2⨯2=4个；若万位数是2，千位数是7，8，9中选一个，剩下的三个数则可以任意排，这样的数有3⨯6=18个；若万位数是7，8，9中选一个，剩下的四个数则可以任意排，
这样的数有3⨯24=72个；∴当4排在最高数位时，比420789大的正整数共有1+4+18+72=95
个；②当最高数位是7，8，9中选一个时，剩下的五个数则可以任意排，这样的数有3⨯120=360个；∴综上所述用0，2，4，7，8，9组成没有重复数轴的六位数中，比420789大的正整数共有360+95=455（个），⇒C 正确，∴选C 。

12、【考点】①直角三角形的定义与性质；②等边三角形的定义与性质；③正弦定理及运用；④三角形面积公式与求法；⑤三角函数最值的定义与求法。

【解题思路】根据直角三角形的定义与性质，结合问题条件可求出BC ，∠A ，∠B ，设AD=x ，AF=y ，CE=z ，运用余弦定理得到关于x ，y ，z 的方程组，求解方程组得到DE 关于x 的式子，依据三角形的面积公式得出∆DEF 的面积关于x 的式子，再利用求函数最值的方法就可得到∆DEF 面积的最小值。

【详细解答】如图，设DE=EF=DF=x ，∠EDF= α，在Rt ∆ABC 中，AB=20m ，AC=10m ，
∴∠B=.30,⇒∠A=.60，在Rt ∆DCE 中，DB= xcos α，∴AD=10-xcos α，
∆DEF 是等边三角形，∴在∆ADF 中，∠AFD=
.180-.60-（.120-α）= α，.sin 60x =10cos sin x αα
-， A
∴⇒ DEF S ∆=122x sin .60 D F
=
2x ⨯= C E B
=f(α)=
24cos cos ααα+-α-
12 cos2α+72=72+72sin(2α-ϕ)，
∴min (f α）=72+72
=7，⇒min ()DEF S ∆=7,⇒D 正确，∴选D 。

13、【考点】①复数的定义与性质；②复数代数表示式的标准形式；③复数为纯虚数的条件；④复数运算的法则和基本方法。

【解题思路】根据复数的运算法则和方法对复数进行运算，把运算结果化为复数的代数表示式，运用复数为纯虚数的条件就可求出实数a 的值。

【详细解答】 Z=1a i i ++=()(1)(1)(1)a i i i i +-+-=(1)(1)2a a i ++-=(1)2a ++(1)2
a -i 为纯虚数，∴ a+1=0且1-a ≠0，⇒a=-1。

14、【考点】①三棱锥的定义与性质；②三棱锥外接球的定义与性质；③求三棱锥外接球半径的基本方法；④球表面积的计算公式与基本方法。

【解题思路】运用求三棱锥外接球半径的基本方法求出三棱锥外接球的半径，根据球表面积
的计算公式就可求出三棱锥外接球的表面积。

【详细解答】如图，取CD 的中点E ，连接BE ，AE ， A 设∆BCD 外接圆的圆心为1O ，三棱锥外接球的球心
为O ，半径为R ，连接A
1O ，BO ， BC=CD=BD= O
，∴BE=BCsin .60=2，⇒B 1O =23
BE=3 B 1O E D
在Rt ∆AB 1O 中，AB=1，B 1O ∴ A 1O ，在Rt ∆BO 1O 中，
B 1O O 1O -R ，BO=R ，∴2R =2R ）+23，⇒∴S 球表=4π2R =4π⨯34
=3π。

15、【考点】①新定义的理解与运用；②绝对值的定义与性质；③函数值域的定义与求法。

【解题思路】在理解新定义的基础上，运用新定义并结合问题条件求出x ，y 的取值范围，
的几何意义，根据x ，y
【详细解答】d （O ，C ）=|x-0|+|y-0|=1， ∴-1≤x ≤1，∴-1≤y ≤1，①当x=±1，y=0
或y=±1，x=0时，max ；②当x=y=±12
时，min
=2，∴当d （O ，C ）=1的取值范围是[2
，1]。

16、【考点】①抛物线的定义与性质；②直线与抛物线相交的定义与性质；③抛物线切线的定义与性质；；④设而不求，整体代入数学思想的运用；⑤函数在某点的导数的定义与几何意义；⑥函数在某点的导数的基本求法；⑦换元法的基本方法；⑧运用导数求函数最值的基本方法。

【解题思路】根据直线与抛物线相交的定义与性质，得出1x +2x ，1x .2x 关于参数m 的式子， 结合问题条件求出直线1l ，2l 方程，从而得到P 点的坐标，把|BF|,|AB|表示成关于参数m 的式子，再求函数f （m ）的最值就可得出结果。

【详细解答】如图，设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），P(0x ，0y )，F （0，1），直线l 过点F ，∴直线的方程为：x=my-m ，由 x=my-m ，⇒2m 2y -（22m +4）2x =4y ，y+2m =0,1y +2y
2+2
4m ，1y .2y =1，直线1l ，2l 分别是抛物线C 过点A ，B 的切线， ∴直线1l ，2l 的 方程分别是：1l ：y=12x (x-1x )+214x ，2l ：y=22
x (x-2x )+224x ,由 y=12x (x-1x )+214x ，⇒0x =12（1x +2x ）=12m （1y +2y -2）=2m ，⇒P （2m
，-1）， y=22x (x-2x )+224x ， 0y =124
x x =212(1)(1)4m y y --=[]21212()14m y y y y -++=-1，
|m |，224(1)m m
+，∴ f （m ）=
|PF|+32||AB =|m |+2281m m +,设t=||
m ，t ∈（1，+∞），⇒ f （t ）=2t+ 28t , f '（t ）=2-
316t
= 33216t t -,令f '（t ）=0得t=2，当t ∈（1，2）时，f '（t ）<0，当t ∈（2，+∞）时，f '（t ）>0，∴函数f （t ）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，⇒min ()f t = f （2）=2 ⨯2+2
82=4+2=6，∴|PF|+32||AB 的最小值是6. 17、【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列前n 项和公式与求法；④等比数列通项公式与求法；⑤对数的定义，性质和运算；⑥错项求和法的基本方法。

【解题思路】（1）运用等差中项的定义与性质，结合等比数列前n 和公式等比数列的首项和公比，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，运用对数的定义，性质与运算方法确定数列{n b }的通项公式，运用错项求和的基本方法求出数列{n b }的前n 项和n T 的值。

【详细解答】（1）
等比数列{n a } 满足：2a +1为1a ，3a 的等差中项，3S =14，∴ 2（1a q+1）=1a +1a 2q ，⇒1a =8，或1a =2，q>1，∴1a =2，∴n a =2⨯12n -=2n
； 3S =31(1)1a q q --=14， q=12
， q=2， q=2， （2）由（1）知，n b =2n .2log 2n =n..2n ，
∴n T =1⨯2+2⨯22+332⨯+-------+n ⨯2n ----①，
⇒2n T =1⨯22+2⨯32+3⨯42+-------+（n-1）⨯2n +n ⨯12n +-------②，①-②得：
-n T =2+22+32+--------+2n - n ⨯12n +=12n +-2- n ⨯12n +，∴n T =（n-1）12n ++2。

18、【考点】①2⨯2列联表的定义与性质；②相关系数的计算公式与求法；③判断两组数
据是否相关的基本方法；④函数值的定义与求法；⑤随机事件概率的定义与求法。

【解题思路】（1）运用2⨯2列联表，结合公式求出2K 的值，根据所求的值利用参数数据
得出结论；（2）根据方案甲，乙通过运算确定“A 类员工”的人数，再依据随机事件概率
的计算公式求出随机事件的概率。

【详细解答】（1）2
K =280(25301510)25101530⨯⨯-⨯++（）（）（25+15）（10+30）=807≈11.429> 6.635，∴有99%的把握认为该企业员工对新个税方案的满意程度与年龄有关系；
（2）①当积分为2分时，方案甲获得的补贴=1000+700⨯2=2400（元），方案乙获得的补贴
=3000（元），2400<3000，∴积分是2分的员工不属于“A 类员工”；② 当积分为3分
时，方案甲获得的补贴=1000+700⨯3=3100（元），方案乙获得的补贴=3000（元），3100>3000，
∴积分是3分的员工属于“A 类员工”；③ 当积分为6分时，方案甲获得的补贴=1000+
700⨯6=5200（元），方案乙获得的补贴=5600（元），5200<5600，∴积分是6分的员工
不属于“A 类员工”；④ 当积分为7分时，方案甲获得的补贴=1000+700⨯7=5900（元），
方案乙获得的补贴=5600（元），5900>3000，∴积分是7分的员工属于“A 类员工”；⑤
当积分为11分时，方案甲获得的补贴=1000+700⨯11=8700（元），方案乙获得的补贴=9000（元），8700<9000，∴积分是11分的员工不属于“A 类员工”；⑥ 当积分为12分时，
方案甲获得的补贴=1000+700⨯12=9400（元），方案乙获得的补贴=9000（元），9400>9000，
∴积分是12分的员工属于“A 类员工”； ∴综上所述，该企业8名需要解决实际困难的员
工中属于“A 类员工”的有5人，设从8名员工中随机抽取4名，恰好抽到3名“A 类员工”
的事件为B ，从8名员工中随机抽取4名的基本事件=48C =84(84)⨯-！！！
=70，从8名员工中随机抽取4名恰好有3名“A 类员工”的基本事件=13C .35C =
(31)⨯-3！1！！⨯(53)⨯-5！3！！ =3⨯10=30，∴P （B ）=
3070=37，即从8名员工中随机抽取4名，恰好抽到3名“A 类员工” 的概率为37。

19、【考点】①等腰梯形的定义与性质；②三棱台的定义与性质；③平面垂直平面的等腰与
性质；④直线垂直直线的判断方法；⑤空间直角坐标系的定义与建立方法；⑥空间向量的定
义与求法；⑦平面法向量的定义与求法；⑧二面角余弦值的求法。

【解题思路】（1）运用直线垂直直线的判定定理，结合问题条件证明直线垂直直线；（2）
建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，从而求出相应向量的坐标表示式，运用求平面法
向量的基本方法求出相应平面的法向量，借助公式求出二面角的余弦值。

【详细解答】（1）如图，四边形ABCD 是等腰梯形， A E B
AB//CD,E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ⊥AB, EF ⊥CD,
⇒ EF ⊥CF,EF ⊥DF ， CF DF=F ，CF ，DF ⊂平面DC
F ，∴ EF ⊥平面CDF, MC ⊂平面CDF ，∴EF ⊥MC ； D F C
（2）平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面
EFD=EF ，EF ⊥CF, ∴直线FC ，EF ，DF 两两互相垂直，
如图以F 为原点，FD ，FC ，FE 分别为X ，Y ，轴的正方向 建立空间直角坐标系F-xyz ，
AB=2，EF=2，CD=4，∴M （1，0，0），D （2，0，0），A （1，0，2），B （0，1，2），⇒MA =（0，0，2AB =（-1，1，0），DA =（-1，0，2）,设平面MAB ABD 的法向量分别为：n =（x ，y ，z ），m =（1x ，1y ，1z ），
由 n ⊥MA ，⇒ n .MA 0+0+2z=0⇒n =（1，1，0），由 m ⊥AB ，⇒m .AB =-1x
n ⊥AB ， n .AB -x+y+0=0， m ⊥DA ， m .DA =-1x
+1y +0=0，⇒m =（2，2，1），设平面MBA 与平面ABD 所成角为α，
平面BAP 与平+0+21z =0，面PCD 所成角为锐角，∴cos α =|.||||n m n m |=||= |3|=3，∴二面角M-AB-D 的余弦值为3。

20、【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③椭圆标准方程的定义与
求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线与椭圆相交的定义与性质；
⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑦求直线方程的基本方法。

【解题思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合椭圆离心率的定义与性质，求出a ，b 的值，
从而得到椭圆的标准方程；（2）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知
直线上两点求直线斜率的公式把1k ，2k 表示出来，从而得到关于参数M 的方程，求解方程
得出m 的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线1F M 的方程。

【详细解答】（1） 由题意有：2b=4，⇒2a =9,
c a =13
, 2b ∴椭圆C 的标准方程是：2
9x + 28y =1；（2）设M （1x ，1y ），D （2x ，2y ），N （0x ，0y ），由（1）知，1F （-1，0），2F （1，0），A （-3，0
B （3，0），如图，
直线M 1F 过点1F （-1，0），∴直线M 1F 的方程为：x=my-1,
由x=my-1, ⇒（82m +9）2y -16my-64=0，1y +2y =21689m m +，1y .2y =-26489
m +， 2
9
x + 28y =1，1F M//2F N, ∴点D 与点N 关于原点对称，⇒0x =-2x ，0y =-2y ，⇒ N （-2x ，-2y ），1K =113y x +，2K =223y x ---=223y x +，31K +22K =0，∴1133
y x += -2223
y x +，⇒31y （2x +3）=-22y （1x +3），⇒31y 2x +22y 1x +91y +62y =0，⇒31y （m 2y -1）+22y (m 1y -1) +91y +62y =0，⇒5m 1y 2y -31y +22y +1y +42y =0，⇒1y =212889
m m +, 2y =-211289m m +,1y >0，∴m>0，⇒1y .2y =-212889m m +.211289m m +=-26489
m +，⇒m=12， ∴直线M 1F 的方程是：x=12
，即：。

21、【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；
③参数分类的原则与方法；④已知关于x 的不等式在某区间上恒成立，求参数取值范围的基
本方法；⑤运用导数证明不等式的基本方法。

【解题思路】（1）运用导函数的定义与求法求出函数的导函数，由参数的分类法则和方法
分别确定导函数在（0，+∞）的正负，运用导函数与函数的单调性的定理判断函数的单调
性，确定不等式成立时，参数a 的取值范围；（2）构造函数g(x)，证明函数g(x) 在（0，
+∞）上的最小值大于或等于0，从而证明不等式在在（0，+∞）上恒成立就可得到结论。

【详细解答】（1）f '（x ）=
1x -2a x = 2x a x
-，①当a ≤0时，f '（x ）>0在（0，+∞）上恒成立，∴函数f(x) 在（0，+∞）上单调递增， f(1)=ln1+a （1-1）=0+0=0，∴ x ∈（0，1）时，f(x)<0与题意不符；②当a>0时，令f '（x ）=0的x=a ， x ∈（0，a ）时，
f '（x ）<0，x ∈（a ，+∞）时，f '（x ）>0，∴函数f(x) 在（0，a ）上单调递减，在，
（a ，+∞）上单调递增，⇒min ()f x = f(a)=lna+a （
1a
-1）=lna+1-a, f(x) ≥0在（0，+∞）上恒成立，∴ lna+1-a ≥0在（0，+∞）上恒成立,设g(x)=lnx-x+1, g '(x)= 1x
-1 =1x x -，令g '(x)=0得x=1, x ∈（0，1）时，g '(x)>0，x ∈（1，+∞）时，g '(x)<0，∴函数g(x) 在（0，1）上单调递增，在，（1，+∞）上单调递减，⇒max ()g x =
g(1)=ln1+1-1=0， ∴ g(x) ≤0在（0，+∞）上恒成立，⇒当a=1时，min ()f x =0，⇒ f(x) ≥0在（0，+∞）
上恒成立，∴综上所述，当f(x) ≥0在（0，+∞）上恒成立时，实数a 的取值集合为{1}；
（2）设h(x)= x
e +1x +lnx-2x -(e-2)x-2，由（1）知，当a=1时，f(x)=lnx+1x
-1 ≥0在（0，+∞）上恒成立，∴lnx ≥1-1x 在（0，+∞）上恒成立，⇒ h(x) ≥x e -2x -(e-2)x-1在（0，+∞）上恒成立，设G （x ）=x e -2x -(e-2)x-1，G '（x ）=x e -2x-e+2，令u （x ）
=x e -2x-e+2，u '（x ）=x e -2，由u '（x ）=0得x=ln2，, 当x ∈（0，ln2）时，u '（x ）
<0，当x ∈（ln2，+∞）时，u '（x ）>0，∴函数u （x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，
+∞）上单调递增，⇒G '（x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，G '
（0）= 1-0-e+2=3-e>0， G '（ln2）<G '（1）= e-2-e+2=0，∴存在0x ∈（0，ln2），使
G '（0x ）=0，当x ∈（0，0x ）时，G '（x ）>0，当x ∈（0x ，ln2）时，G '（x ）<0，∴函
数G （x ）在（0，0x ）上单调递增，在（0x ，ln2）上单调递减，∴当x ∈（1，+∞）时，
G '（x ）>0恒成立，⇒函数G （x ）在（1，+∞）上单调递增， G （0）=1-1=0，
G （1）=e-1-e+2-1=0，∴对任意的x ∈（0，+∞），G （x ）≥0恒成立，即x e -2x -(e-2)x-1≥0，
∴综上所述，x e +1x
≥2-lnx+2x +(e-2)x 成立。

22、【考点】①极坐标系的定义与性质；②参数方程化普通方程的基本方法；③参数方程化
极坐标方程的基本方法；④直线与曲线相切的定义与性质。

【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法，把直线l 和曲线C 的参数方程化
为普通方程，再依据直角坐标方程化极坐标方程的基本方法，把曲线l 的直角坐标方程化为
极坐标方程；（2）将曲线C 直角坐标方程化为极坐标方程，由直线l 与曲线C 的极坐标方
程联立得到方程组，解这方程组就可得出点P 的极坐标。

【详细解答】（1）直线l
的参数方程为：x=tcos α，曲线C 的参数方程为：
y=2sin β ,
y=tsin α, x=4+2cos β,
β ∈[0，
π],∴直线l 与曲线C 的普通方程分别为：l:y=xtan α,C ：2(4)x -+2y =4（y ≥0），⇒直线l 的极坐标方程为：l ：θ=α；
（2）由（1）知，曲线C ρ=4cos θ，直线l 的极坐标方程为：l ：θ=αθ=α，直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，ρ=4cos θ，如图， sin θ=24=12，∴θ=6
π⇒ρ，∴点P 的极坐标为P （。