数字信号处理(大作业) - 答案

一、求下列问题（每题15分，共30分）

1.写出时不变系统的定义及判定公式。

答：时不变系统是指系统对信号的处理（运算）不随时间的改变而改变。 判定条件：若系统输入序列为)(n x 时，输出序列为)(n y 即：)]([)(n x T n y =，那么当系统输入为)(0n n x -时， 有：)()]([00n n y n n x T -=-成立，则该系统为时不变系统。

2.讨论()()n R n n h 3001

6002+⨯

=的因果性和稳定性，并计算该序列的首项非零值和末项非零值。

答：（1）讨论因果性 n <0时，ℎ(n )≠0，故此系统为非因果系统

（2）讨论稳定性：

（3）首项非零项和末项非零项

由于R N (n )={1 ， 0≤n ≤N −1

0 ， 其他n ，所以该序列的首项非零值为ℎ(1)，末项非零值为ℎ(N −1)，即ℎ(299)

二、（20分）x(n)是长度为N 的有限长序列,N 为偶数，X(k)=DFT[x(n)], 10-≤≤N k ,试用X(k)表示序列y(n)的离散傅里叶变换Y(k)。

()()⎪⎩

⎪⎨⎧-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n N n N n x n x n y 其他01202

答：

()()()()()()k

m n N n n N n n n y Y W W W W W W N N N

N n N n N n N n N n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑+

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++==2N -m 212m nk 2120n nk 2120n nk 2120n nk 2120n nk 2120n x x 2x x 2x x k 12

N k 0-≤≤ 三、（25分）已知某模拟滤波器的系统函数为：

()2122

a s H s s s +=++ 试用冲激响应不变法将其转换成数字滤波器的系统函数()H z 。 答：H a (s )=s+1

s 2+2s+1

=s +1(s +1)2−j 2 =12[2(s +1)(s +1+j )×(s +1−j )

] =12[2(s +1)(s +1+j )×(s +1−j )

] =12

[] =12[(s +1−j )(s +1+j )(s +1−j )+(s +1+j )(s1+j )×(s +1−j )

] =12[1(s +1j )+1(+1−j )

] 因为H a (s )的冲激相应ℎa 普拉斯反变换，则

根据常用函数换表可知，1s+a 对应 e −at ℎa (t )=12[e −(1+j )t +−(1−j )t ]u （t ）；

由冲激响应不变化得：

ℎ(n )=T ℎa (t ) ，其中t =nT

则ℎ(n )=T ℎa (nT )=T 2[e −(1+j )nT +e −(1−j )nT ]u （n ）;

再对ℎ(n )进行z 变换即可得H （z ），

根据z 变换的定义H (z )=∑ℎ(n )z −n ∞

n=0

=12[z z −e −(1+j )T +z z −e −(1−j )T

] =12[11−z −1e −(1+j )T +11−z −1e −(1−j )T

] =

所以H (z )=12[2−e −T z −1(e jT +e −jT )1−e −T z −1(e jT +e −jT )+e −2T z −2] =12[2−e −T z −12cos T 1−e −T z −12cos T +e −2T z −2

] =1−e −T z −1cos T 1−2e −T z −1cos T +e −2T z −2 四、（25分）试用矩形窗口函数设计一个FIR 线性相位数字低通滤波器。 已知17,5.0==N c πω，求h （n ），并计算出h （0）、h （9）的值，给出过渡带宽度ω∆。 答：此题给定的是理想线性低通滤波器，设低通特性的群延时为α，故

H d (e jω)={e −jωα ,−ωc ≤ω≤ωc 0 , ωc ≤ω≤π ,−π≤ω≤−ωc

在通带|ω|≤ ωc 范围内，H d (e jω)的幅度是均匀的，其值为1，相位为−ωα，则 其中α=

(N−1)2=(17−1)2=8 ωc =0.5π

故 ℎ(0)=-1.94908591625969e -17

ℎ(9)=0.318309886183791

过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度(0)∆ω=4πN =4π17