三线合一专题练习
等腰三角形性质：三线合一”专题
1 / 4分析：如图1, AB 二AC, BD 丄AC 于D,作底边BC E 为垂足，则可知ZEAC=ZEAB=-a ,又Z2E4C = 90° - ZC, Zp = 90° - ZC,所以 ZEAC = p, P = *cc 。
例四.已知：如图 2, A ABC 中，AB 二 AC, CE 丄 AE 于 E, CE = - BC , E 在△/（：外，求证：ZACE 二 ZB 。
2分析：欲证ZACE=ZB,由于AC 二AB,因此只需构造一个与RtAACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是 著爼的等腰三角形“三线台一”性质。
"三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】 例1・ 如图所示，在等腰AABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。
求证:BE=CEo 变式练习1-1如鮒 在Z\ABC 中，AB 二AC D 是形外一点 且BD 二CD 变式练习1-2已知，如图所示，AD 是△ABC, DE 、DF 分别 求证：AD 垂直平分EF 。
求证：AD 垂直平分BC 。
是Z\ABD 和ZXACD 的髙。
例二：如图ZkABC 中，AB=AG ZA=36° , BD 平分ZABC, 4,且ABDC 周长为24,求AE 的长度。
例三.等腰三角形顶角为ou —腰上的高与底边所夹的角 DE 丄AB 于E,若CD=系式为P二 是（3,则p 与a 的关上的高AE,/?2 / 4证明：作AD 丄BC 于D, VAB=AC, ••• BD = -BC2又-CE = -BC. •••BD=CE°在 RtAABD 和 RtZkACE 中，AB=AC> BD 二CE, /.RtAABD^RtAACE (HL)。
等腰梯形三线合一专项综合练习
等腰梯形三线合一专项综合练习等腰梯形是指具有两边长度相等的梯形，三线合一是指将等腰梯形的面积、周长和内切圆半径联系在一起进行综合练的题目。
下面介绍一些常见的练内容。
一、求等腰梯形的面积等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算。
假设底边长度为$a$，高为$h$，则等腰梯形的面积$S$可以计算为：$S = \frac{(a + b)h}{2}$二、求等腰梯形的周长等腰梯形的周长可以通过各边长度来计算。
假设底边长度为$a$，上底边长度为$b$，两个斜边的长度分别为$c$，则等腰梯形的周长$C$可以计算为：$C = a + b + 2c$三、求等腰梯形的内切圆半径等腰梯形的内切圆半径可以通过底边长度和高来计算。
假设底边长度为$a$，高为$h$，则等腰梯形的内切圆半径$r$可以计算为：$r = \frac{h}{2}$四、综合练题示例以下是一个综合练题示例：已知一个等腰梯形的底边长度$a = 8$ cm，上底边长度$b =6$ cm，高$h = 5$ cm，请计算这个等腰梯形的面积、周长和内切圆半径。
解答：- 面积$S = \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(8 + 6) \times 5}{2} =35$ 平方厘米- 周长$C = a + b + 2c = 8 + 6 + 2 \times c$- 内切圆半径$r = \frac{h}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ 厘米综上所述，该等腰梯形的面积为35平方厘米，周长为$a + b +2c$，内切圆半径为2.5厘米。
以上是等腰梯形三线合一专项综合练习的简要介绍和示例题目。
通过练习这些题目，可以更好地理解和应用相关的概念和计算方法。
初二第二讲---三线合一
“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
例1． 如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。
求证：BE=CE 。
变式练习1-1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是形外一点，且BD=CD 。
求证：AD 垂直平分BC 。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF 。
例2． 如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。
【巩固练习】1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。
2、 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。
ABC E D3、 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。
4、 已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ）（A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 21° 5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。
(完整)数学北师大版八年级下册三线合一
专题训练(六)__“三线合一”好解题►类型之一证明线段相等1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.图6－ZT－1[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝1∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E2＝30°.由此可得结论．证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)∴∠DBE＝12∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，∴∠CDE＋∠E＝60°.∴∠CDE＝∠E＝30°.又∵∠DBE＝30°，∴BD＝DE.(等角对等边)2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.图6－ZT－2[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．证明：过点A作AF⊥BC于点F.图ZT－6－1∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)又∵BD＝CE，∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.►类型之二证明两线垂直3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.图6－ZT－3[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD ＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.图ZT －6－24．如图6－ZT －4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上一点，∠DBC ＝12∠BAC.求证：AC ⊥BD.图6－ZT －4[解析] 首先过点A 作AE ⊥BC 交BC 于点E ，交BD 于点F.由AB ＝AC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE ＝12∠BAC ，又由∠DBC ＝12∠BAC ，在△ADF 与△BEF中，易证得∠ADF ＝∠BEF ＝90°，即可得AC ⊥BD.证明：如图ZT －6－3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.图ZT －6－3∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠CAE ＝12∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)又∵∠DBC ＝12∠BAC ，∴∠CAE ＝∠DBC.∵∠1＝∠2，∠ADF ＝180°－∠2－∠CAE ，∠BEF ＝180°－∠1－∠DBC ， ∴∠ADF ＝∠BEF.∵AE ⊥BC ，∴∠BEF ＝90°. ∴∠ADF ＝90°.∴BD ⊥AC.► 类型之三 证明角的倍分关系5．已知：如图6－ZT －5所示，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，AE ＝ED ，PB 分别与线段CF ，AF 相交于点P ，M ，∠F ＝∠MCD.求证：∠BAC ＝2∠MPC.图6－ZT －5[解析] 先由AF 平分∠BAC 证明∠BAE ＝12∠BAC ，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明∠CDE ＝∠BAE.从而∠CDE ＝12∠BAC.然后在△MDC 和△MPF中证明∠MDC ＝∠MPF.进而得∠MPF ＝∠MDC ，∠MPC ＝∠CDE ＝12∠BAC 即可．证明：∵AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， ∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ，CE ＝BE.∵CE ⊥AE ，AE ＝ED ， ∴AC ＝CD.∴∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∵BC ⊥AF ，CE ＝BE ， ∴CM ＝BM. ∴∠CMA ＝∠BMA. 又∵∠BMA ＝∠PMF ， ∴∠CMD ＝∠PMF.又∵∠F ＝∠MCD ，∠MPF ＝180°－(∠F ＋∠PMF)，∠MDC ＝180°－(∠MCD ＋∠CMD)，∴∠MPF ＝∠MDC.∴∠MPC ＝∠CDE ＝∠CAE ＝12∠BAC.∴∠BAC ＝2∠MPC.► 类型之四 证明线段的倍分关系6．如图6－ZT －6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 为BC 上一点，ED ⊥BC 于点E ，交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.图6－ZT－6[解析] 方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.图ZT－6－4方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行线的性质证明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.进而可得结论．证明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.∴∠F＝∠BDE.∵∠ADF＝∠BDE，∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.(方法二)如图ZT－6－4，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三线合一”)∵AG⊥BC，ED⊥BC，∴AG∥EF.∴∠F ＝∠CAG ，∠ADF ＝∠BAG . ∴∠F ＝∠ADF. ∴AD ＝AF.7．[2013·五河期末改编] 如图6－ZT －7所示，过等边三角形ABC 的边AB 上一点P ， 作PE ⊥AC 于点E.Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连接PQ 交AC 边于点D. 求证：(1)PD ＝DQ ； (2)DE ＝12AC.图6－ZT －7[解析] (1)过点P 作BC 的平行线交AC 于点F ，通过证明△PDF 和△QDC 全等，可推出PD ＝DQ ；(2)由△APF 是等边三角形和PE ⊥AC ，可推出AE ＝EF ＝12AF.由△PDF 和△QDC 全等，可得出FD ＝CD ＝12FC ，进而可得DE 的长．证明：(1)过点P 作PF ∥BC ，交AC 于点F.图ZT －6－5∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°. 又∵PF ∥BC ，∴∠APF ＝∠AFP ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∴△APF 是等边三角形．∴PA ＝AF ＝PF. 又∵PA ＝CQ ，∴PF ＝CQ. ∵PF ∥BC ，∴∠FPD ＝∠Q. 在△PFD 和△QCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FPD ＝∠Q ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PDF ≌△QDC.(AAS) ∴PD ＝QD.(2)由(1)知PA ＝AF ，又∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF ＝12AF.(等腰三角形的三线合一)由(1)知△PDF ≌△QDC ，∴FD ＝CD ＝12FC.∴DE ＝EF ＋FD ＝12AF ＋12FC ＝12(AF ＋FC)＝12AC.。
初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总
初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。
并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。
题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。
求证：PA^2=AB^2-PBPC。
证明：作高AD。
则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。
变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。
（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。
求证：PA^2=AB^2+PBPC。
（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第07讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (9)【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (20)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =．求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明(SAS)AED AFD △≌△，进而可得结论．【详解】证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，EAD FAD ∴∠=∠，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，DE DF ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（2023上·宁夏吴忠于点E ，DF AC ⊥于点(1)求证：DE DF =；(2)若60,A BE ∠=︒=【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）连接AD （2）根据已知条件证明【详解】（1）证明：连接∵AB AC =，D 为BC 边的中点，∴AD 平分BAC ∠，∴∠∠EAD FAD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴90AED AFD ∠=∠=︒又AD AD =，=；(1)DE DF(2)BG CH=．【答案】(1)见解析(2)见解析AB AC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM CN =练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中【详解】解：如图，作PC PM PN = ，PC OB ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，90PCO ∠=162OC OP ∴==，5OM = ，65CM OC OM ∴=-=-1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形ABCD 中，1013125AB BC CD AD ====，，，，AD CD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【答案】ABCD S =四边形【分析】连接AC ，过点的性质得出AE BE =得出结论．∵AD CD ⊥，∴90D Ð=°．在Rt ACD △中，AD =∴22AC AD CD =+=∵13BC =，(1)如图1，若ADC △是直角三角形，①当AD BC ⊥时，求AD 的长；②当AD AC ⊥时，求CD 的长．(2)如图2，点E 在AB 上（不与点A ，B 重合），且ADE ∠=∵10AB AC ==，16BC =，∴182CD BD BC ===，Rt ADC 22AD AC =由①得6AH =，8CH =，在Rt AHD △中，2AD AH =在Rt ADC 中，22AD CD =-(1)BC边上的高的长度为；(2)如图1，若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒t值，使得APC△为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把APB△沿着直线AP翻折，点B的对应点为点F，PF交边AC于点E，当的长度．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴116322BD BC ==⨯=由勾股定理，得()22221332AD AB BD =-=-=，∴BC 边上的高的长度为2．则2BP t =，62AP CP t ==-，由(1)知∶3BD =，2AD =，∴23DP t =-，由勾股定理，得()()22262223t t -=+-，由（1）知，2AD =，3BD =，由折叠知：F B ∠=∠，13AF AB ==，又∵90AGF ADB ∠=∠=︒，∴()AAS AGF ADB ≌，∴3GF BD ==，2AG AD ==，(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．①猜想y 与x 的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，CA CE =，请直接写出DAE ∠的度数．【答案】(1)见解析（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，则90AMC ANC ∠=∠=∴90CAN ACB '∠+∠=∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠∴FAE DAE ∠=∠，在FAE 和DAE 中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FAE DAE ≌，∴FE DE=，∴BE FE BF CD DE =+=+．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点B 的直线l 折叠，得到图2，DAC ∠的度数．（2）如图3，90A D ∠=∠=︒，BD 平分ABC ∠【拓展提升】【答案】【情景建模】见解析；（1）60︒；（2）102；（3）至少需要围挡40米．【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证ABP ACP ≌（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题．（2）延长BA 和CD 相交于点F ，利用勾股定理和第一问的结论得出12CD CF =,即可解题．90BAC ∠=︒ ，225BC AC AB ∴=+=，BD Q 平分ABC ∠，BD CF ⊥，5BF BC ∴==，541AF ∴=-=，OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABC ∠，OM OA ⊥，ON OB ⊥，由“情境建模”的结论得：AOM AOD △△≌，BON BOE △△≌，OM OD ∴=，ON OE =，在MON △和DOE 中，OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MON DOE SAS ∴ ≌，MN DE ∴=，90ACB ∠=︒ ，50AC =米，120BC =米，130AB ∴=米设AM x =，BN y =，则50CM x =-，120CN y =-，AOM AOD ≌，BON BOE △△≌，AD AM x ∴==，BE BN y ==，130DE AD BE AB x y =+-=+-，130MN DE x y ∴==+-，()()()5012013040CM CN MN x y x y ++=-+-++-=，CMN ∴ 的周长40=答：至少需要围挡40米．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．。
圆形三线合一专项综合练习
圆形三线合一专项综合练习
1.引言
本文档旨在介绍圆形三线合一专项综合练的内容和目标。
通过此练，学员将能够深入理解圆形三线合一的概念、原理和应用，并通过实际练提升解题能力。
2.练内容
圆形三线合一专项综合练主要涵盖以下内容：
2.1 圆的基本概念
圆的定义
圆心和半径的性质
弧长和扇形面积的计算方法
2.2 圆角和圆周角
圆角和圆周角的定义
各类角的关系和计算方法
2.3 圆的三线合一
圆的三条特殊线（半径、切线和法线）的定义和性质
圆的三线合一原理
三线合一的应用例题
3.研究目标
通过完成圆形三线合一专项综合练，学员将能够达到以下目标：
掌握圆的基本概念和性质
熟练计算圆的弧长和扇形面积
理解圆角和圆周角的概念，能够计算各类角的度数
熟悉圆的三条特殊线的定义和性质
理解圆的三线合一原理，并能够应用解决实际问题
4.练建议
为了取得最好的研究效果，建议学员在进行圆形三线合一专项综合练时，注意以下几点：
充分理解圆的基本概念和性质，确保掌握基础知识
注重实际应用，通过解题训练提升解题能力
注意技巧和方法，善于总结归纳
遇到难题时不要轻易放弃，可以寻求帮助或查找相关资料
5.结语
本文档介绍了圆形三线合一专项综合练习的内容和目标，希望学员能够通过此练习提升自己的解题能力，并对圆形三线合一有更深入的理解。
祝愿大家学有所成，取得好成绩！。
2024八年级数学上册提练第10招等腰三角形“三线合一”的七种常见题型习题课件新版冀教版
1
2
3
4
5
6
7
8
【证明】过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，如图所示.
∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ BC .
又∵ CE ＝ BC ，∴ BD ＝ CE .
＝，
在Rt△ ABD 和Rt△ ACE 中，ቊ
＝，
∴Rt△ ABD ≌Rt△ ACE (HL).
∴∠ ACE ＝∠ B .
1
2
3
4
5
6
7
8
【点方法】
先根据△ BDC 的周长求出 AB 的长，再根据等腰三角
形“三线合一”的性质求出 AE 的长.
返回1Biblioteka 2345
6
7
8
利用“三线合一”证角相等
4. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， CE ⊥ AE 于点 E ， CE
＝ BC ，点 E 在△ ABC 外.
求证：∠ ACE ＝∠ B .
7. 如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，
∠ BAC ＝90°， BF 平分∠ ABC ， CD ⊥ BF 交 BF 的延长
线于点 D . 求证： BF ＝2 CD .
1
2
3
4
5
6
7
8
【证明】如图，延长 BA ， CD 交于点 E .
∵ BF 平分∠ ABC ， CD ⊥ BD ，
解题过程.
返回
如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于点 D . 求
证：∠ DBC ＝ ∠ BAC .
等腰三角形“三线合一”的性质是证线段或角的倍
专题6 妙用三线合一巧解题（含答案）
专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。
即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系 【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。
等腰三角形三线合一典型题型
等腰三角形三线合一专题训练例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。
求证：CE⊥BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.CEA D变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．DBCF AEM N D C BA M ND CB A(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。
专题13 等腰三角形中三线合一的应用(原卷版)
七年级数学下册解法技巧思维培优专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．题型六利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，试说明：AB+BD＝CD．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．（1）求线段EF的长；（2）求四边形AFDE面积．。
初中数学三线合一专题试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 在等腰三角形ABC中，顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则下列说法正确的是（）A. AD=BDB. AD=CDC. BD=CDD. AD=BC2. 在等腰三角形ABC中，若底边BC上的高为h，则顶角A的角平分线与底边BC 相交于点D，则AD的长度为（）A. h/2B. hC. 2hD. 3h3. 在等腰三角形ABC中，若底边BC上的中线为m，则顶角A的角平分线与底边BC 相交于点D，则AD的长度为（）A. m/2B. mC. 2mD. 3m4. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD与BC 的关系是（）A. AD=BCB. AD=BDC. AD=CDD. AD是BC的中线ABD与三角形ACD的关系是（）A. 相似B. 全等C. 不确定D. 无法判断6. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的面积关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定7. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的周长关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定8. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的高关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定ABD与三角形ACD的中线关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定10. 在等腰三角形ABC中，若顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则三角形ABD与三角形ACD的角平分线关系是（）A. 相等B. 不相等C. 无法判断D. 无法确定二、填空题（每题3分，共30分）1. 在等腰三角形ABC中，顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD=______。
2. 在等腰三角形ABC中，底边BC上的高为h，则顶角A的角平分线与底边BC相交于点D，则AD=______。
【北师大版】八年级数学下册《活用“三线合一”巧解题》专题考点试卷(附答案)
专训3活用“三线合一”巧解题名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．利用“三线合一”求角1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB 于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC 的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：DE＝DF.(第3题)利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E 是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.(第4题)利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC ＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.(第5题)利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD.(第6题)答案1．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，∴∠B ＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.2．解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，∴BD＋CD＝14.∵AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14. ∴AB＝AC＝14.∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝EB＝12AB＝7.3．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，∴∠B＝∠BAD.∴BD＝AD.又∵BD＝CD，∴AD＝CD.∴∠DAC＝∠C＝45 °.∴∠B＝∠DAF.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．∴DE＝DF.(第3题4．证明：如图，过点E作EF⊥AC于F.∵AE＝EC，∴AC ＝2AF.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.(第4题) 5．证明：如图，延长BA，CD交于点E.由BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，易得△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.(第5题)6．证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD 于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB.故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.(第6题)。
等腰三角形三线合一典型题型
专题训练等腰三角形三线合一姓名上。
在AD、∠BCD，且点EDC中，AB∥，BE、CE分别平分∠ABC例1：如图，四边形ABCD BC=AB+DC求证：。
AD边中点。
求证：CE⊥BE1，E是。
，，A＝90°AB＝2，BC＝3CD＝，∠：如图，变1AB∥CD变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.ADECBDNDM⑴若D为BC的中点，过D作,AB=AC.变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90。
°分别交⊥＝，求证：（1）DMDNMAB、AC于、N AMNCDB⊥DN分别和BA、AC延长线交于MDM、N。
问DM和DN有何数量关系。
⑵若M AC DBN(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．AEBCDFEF，且D为延长线上一点，且，EF交BC于点DACAB=AC(2)已知：如图，，E为AB上一点，F是求证：BE=CF．的中点．AECBDF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF ⊥相等吗？与于ABF，那么PD+PECF的关系又怎样，请你作变与CFPE点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、1：若P图，证明。
ＦＦ）41、已知等腰三角形的两边长分别为、9，则它的周长为（1322 C 17或 D A 17 B 22根据等腰三角形的性质寻求规律11的大小BOC相交于点中，例1．在△ABCAB=AC，∠O，如图，∠BD2=∠ACB，1=与∠CEABC，∠22A与∠的大小有什么关系？11∠ABC，∠2=∠ACB若∠ 1=，则∠BOC与∠A大小关系如何？3311若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？nn会用等腰三角形的判定和性质计算与证明两部分，15和6，一腰上的中线ABC中，AB=ACBD?将这个等腰三角形周长分成例2．如图，等腰三角形求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。
2025年九年级中考北师大版数学复习练案(等腰三角形“三线合一”的常见题型)
题型1 利用“三线合一”求角度
1.如图，在△ ABC中，∠ABC = 50∘ ,点 E和点F分别在BA和BC边上，且 BE = BF,连接EF并延长交AC的延长线 于点G,∠G = 20∘ ,取EF的中点O,连接 BO并延长交AC于点D.
△ DEF仍是等腰直角三角形.理由：连接AD. ∵ ∠BAC = 90∘ ，AB = AC，D为BC的中点， ∴ ∠EAF = 90∘ ，∠ABC = 45∘ ,∠BAD = 45∘ ,AD ⊥ BC. ∴ ∠DBE = 135∘ ,∠DAF = ∠BAD + ∠EAF = 135∘ , ∠BAD = ∠ABC,∠ADB = 90∘ . ∴ ∠DBE = ∠DAF,BD = AD. 又∵ BE = AF，∴△ DBE ≌△ DAF.
3.如图，在△
ABC中，AB
=
AC,CE
⊥
AE于点E，CE
=
1 2
BC,
点E在△ ABC外.求证：∠ACE = ∠B.
【证明】如图，过点A作AD ⊥ BC于点D.
∵
AB
=
AC,∴
BD
=
1 2
BC.
又∵
CE
=
1 2
BC,∴
BD
=
CE.
∵ AD ⊥ BC，CE ⊥ AE,∴ ∠ADB = ∠E = 90∘ .
题型6 利用“三线合一”证线段的和差关系
6.[2024北京东城区模拟] 如图，在△ ABC 中，BA = BC，BE平分∠ABC，AD ⊥ BC于 点D，且AD = BD，BE与AD相交于点F，请 探索线段AB，BD，DF之间的数量关系，并 证明你的结论.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三线合一专题练习
一、直接运用三线合一证题
1、如图，在Rt ABC △中，ο
90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知ο10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ．ο30 B ．ο40 C ．ο50 D ．ο60
2、已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF
3、如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3
二、做辅助线利用三线合一
4、如图3，在∆ABC 中，∠=A 90ο，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F
求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥
5、如图，在等腰梯形ABCD 中，G 为对角线交点，△ADG 、△GBC 为正三角形。
F 、E 、H 为AG 、BG 、DC 的中点。
连接CE BF
（1）求证：△EFH 为正三角形；
（2）若AD=2，BG=3，求S △EFH ；
6、如图4，已知四边形ABCD 中，∠=∠=ACB ADB 90ο，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN CD ⊥
7、如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。