正弦型函数图像变换
中职数学课件6.3正弦型函数的图像和性质
就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像，
这里 A>0, ω>0．
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图 像可用五点法作出，也可由函数 y=sinx的图像经过平移、伸缩得到．
利用正弦函数的性质及正弦型 函数的图像，可以得到关于正弦型 函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0, ω>0)的 一些结论．
例1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
（1）y=sinx；（2）
y=sin2x
；（3）
y=sin(2x+
π 4
)
；（4）
y=2sin(2x+
π 4
)
．
解
（2）因为T=2ωπ=
2π 2
=π，所以函数y=sin2x的周期为π．作函数y=sin2x在
[0,π]上的简图．
描点作图，得到函数y=sin2x，x∈[0,π]的简图．
（2） y=sin
x+
π 3
；
（3）y=2sin
2x+
π 6
；
（4）y=2sin
1 2
x−
π 4
．
6.3 正弦型函数的图像和性质 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.说明怎样由函数y=sinx的图像得到下列函数的图像．
（1）y=13 sinx ；
（2） y=sin
x−
(2x+
π 4
)的周期为π．作函数
令2x+ π4= 0，π2，π， 32π， 2 π，并列表．
4.4正弦型函数的图像与性质
1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × ) (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ ) (4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8．2，12π，－π8答案 A2．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．3．(2015·湖南)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( )A.5π12B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6，故选D.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为________________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13B ．3C ．6D ．9 答案 (1)A (2)C解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N ＋)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N ＋)，∴ω＝6n (n ∈N ＋)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为__________．答案 (1)B (2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立． (2)由题图可知A ＝2， T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎫712π，－2为最小值点， ∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π， ∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝________.答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π， ∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30. 命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12，∴－2≤m <1， ∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确． ④：应平移π12个单位长度，错误． 4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值． 规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π3)，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分] (2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]， ∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分] ∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝a b)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[失误与防范]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D. 2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4. 3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．[－7π12，5π12] B ．[－7π12，－π12] C ．[－π12，7π12] D ．[－π12，5π12] 答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π， ∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ， ∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)， 其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D. 4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0等于( ) A.π12B.π6C.π3D.5π12答案 C解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0,0)中心对称；∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ， 又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10， ∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.答案 32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．答案 π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称， ∴x 1＋x 2＝π3或43π. 9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32 ＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是() A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[32，＋∞)答案 D解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2. 综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)． 12．(2014·天津)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2B.2π3 C ．πD ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)． 由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )． 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是______． 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32， 且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18， 即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18.14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________.答案 143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )， ∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
正弦型函数的图像性质
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。
你能得到y=Asinx与y=sinx 图象的关系吗？
1.y=Asinx（A>0, A1)的图象是由y=sinx的图 象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长 (当A>1 时)或压缩（当0<A<1时)A倍而成.
2.值域 【 -A, A 】最大值A,最小值-A
3、 的作用：研究 y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系
先观察y = sin（x+ ）、y = sin（x － ）
2
2
与 y=sinx 的图象间的关系
y
1
0
π
2π
x
-1
的作用：使正弦函数的图象发生位移变化。
你能得到y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系吗？
y sin(x ) ( 0)的图象，可以看
正弦型函数 y = A sin(ωx+ )
的图象
今日提问
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x
0
π
-1
2π
3π
4π
x
0
3
2
2
2
sinx 0
1
0
-1
0
复习
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x
0
π
2π
3π
4π
-1
定义域：R 当x 值2 域 2:[-时1，，y1m]ax 1 周期： 2π
当x
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
12.3正弦型函数的图像与性质课件
3 2
2
sin 2x 0 1
0
-1 0
2. 描点 作图： y=sin1 x
y
2
1
O
2
3
1
y=sinx
4 x
y
y=sin1 x
1
2
2
3
4
O
x
1
y=sinx
y=sin2x
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin 1 x
2
1
O
2
3
4
x
1
y=sin2x
y=sinx
y=sin
1 2
x的图象可以看作是把
4
0
1
0
-1
0
y 1
O
y sin( 2x )
6
4 1
2
y=sin2x
x
四、函数y=sinωx与 y=sin(ωx+φ)图象的关系
y
1
8
2
y sin(2x )
3
x
O
y sin( 2x )
6
4 1
y=sin2x
函数y=sin ( x +)( >0且≠1)的图象可以看
作 (当是把﹤y0=时sin)平移x 的图| 象个|向单左位(而当得到>0的时。)或向右
思考：函数y f (x)与函数y Af (x)的图象有何关系？
例2 1.
作函数 列表：
y
sin
2x
及
y
sin
1 2
x
的图象。
x
0
4
2
3
4
2x
0
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
正弦函数图象及其变换
π π π 2π 6 3 2 3 3 1 3 1 2 2 2
5π π 7π 4π 3π 5π11π 6 6 3 2 3 6 2π 3 3 10 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2
.
π/2
o1
A
.o
-1
. π
3π/2
2
.π
x
.
函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象 函数 ∈ π 的图象
五点画图法
A
y=
1 2
5π π 12
A
-A
0
5π π 6
x
(3) y=sin2x
解: x 2x 0 0
π 4 π 2 π 2 3π 4 π 3π 2π π 2
1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0
π
π 2
2π 3π 4π π π π
π
π
3π 2π π 2
sin2x 0 y 1 o -1
π/2
y=1+sinx, x∈[0,2π] ∈ π
.
π 3π/2
.
o
.
2π
实质: 实质:f(x)=sinx向左平 向左平 移π/2,即f(x+π/2)=sin , (x+ π/2)=cosx
y
1
π -4
π -3
π -2
-π
-1
o
π/2 π 3π/2 2 π
3 π
4 π
x
函数y=cosx x∈R的图象 函数 ∈ 的图象
变换后正弦函数的五点法作图
y=Asin(wx+φ)(A>0, w>0)中的常数 ,w, φ 中的常数A, , 中的常数 的作用 正数A决定了? 正数 决定了? 决定了
正弦型函数
解决问题: 解决问题:
我们由y=sinx的图象经过怎样的变换可以得 的图象经过怎样的变换可以得 我们由 到 y = 3sin(2 x + ) 的图象? 的图象
3
π
图象
y = sin x
平行移动 y = sin ( x + ϕ )
y = sin ( x + ϕ ) 周期变换 y = sin (ωx + ϕ ) y = sin (ωx + ϕ ) 振幅变换 y = A ⋅ sin (ωx + ϕ )
思考: 思考:
能否由函数y=sin2x的图像向左平移π/3个 能否由函数y=sin2x的图像向左平移π/3个 y=sin2x的图像向左平移π/3 单位得到函数的y=sin 2x+π/3）图像？ y=sin（ 单位得到函数的y=sin（2x+π/3）图像？ 为什么？ 为什么？
答案： 答案：
不能。因为由y=sin2x的图像向左平移π /3 的图像向左平移π 不能。因为由y=sin2x的图像向左平移 个单位是相对于变量x而言， 个单位是相对于变量x而言，而不是相对于 2x，所以得到的图像应是=sin（2x+2 π /3） 2x，所以得到的图像应是=sin（ /3） 的图像，而不是y=sin（ /3）的图像。 的图像，而不是y=sin（2x+ π /3）的图像。
例二. 例二
1 作出函数y = sin 2 x和y = sin x的简图 2
y 1
π
2
o -1
π
3π 2
2π
4π x
结论2 结论2
一般地，函数y=sinωx（ >0且 一般地，函数y=sinωx（ω>0且ω≠1)的图 y=sinωx 1)的图 像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐 像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐 y=sinx的图像上所有点的 标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来 标缩短( >1时 或伸长( 0<ω<1时 的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的。我们称这种 1/ω 纵坐标不变)而得到的。 变换为周期变换。 变换为周期变换。
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像
A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
解析 由图象的平移得 g(x)＝cosx＋2π＝－sin x.
答案 A
4．设 ω＞0，函数 y＝sinωx＋π3＋2 的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( )．
2 A.3
4 B.3
3 C.2
D．3
解析 y＝sinωx＋π3＋2 向右平移43π个单位后得到 y1＝sinωx－43π＋π3＋2＝sinωx＋π3－43πω＋2，又 y 与 y1 的图象
;
6
*10.函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线 x= 对称，则 φ 的最小值是
.
6
三. 解答题
11.写出函数 y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)
12.已知函数 log0.5(2sinx-1), (1)写出它的值域. (2)写出函数的单调区间. (3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.
(k∈Z)
π 3π C. [kπ-8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
D.
3π 7π [kπ+ 8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
3．函数
3π y=sin(x+ 2
)的图象是（
A. 关于 x 轴对称
C. 关于原点对称
）
B. 关于 y 轴对称
D.
关于
3 x=-2
π 对称
4．函数 f（x）=cos（3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ）
故43π＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以 φ＝2kπ－116π(k∈Z)．
人教B版(2019)数学必修第三册 7_3_2正弦型函数的性质与图像课件
3
2
3
2
又因为T＝ ≥ － ＝ ，所以ω≤12，又因为ω＞0，
ω 3 6 6
10
14
所以k＝1，即ω＝8－ ＝ .
3
3
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象
关于点M
3
( ,
4
0)对称，且在区间[0,
]上是单调函数，求φ和ω的值．
2
题型二
[例2]
已知函数图象求解析式
(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B(A>0, ω >0, |φ|<
象如图所示，则函数f(x)的解析式为(
x
4
A．y＝2cos ( − ) ＋4
2
C．y＝4cos
x
( − )
2
4
＋2
)
x
4
B．y＝2cos ( + ) ＋4
2
D．y＝4cos
x
( + )
象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝
3
2
；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练
2
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ )的
2
图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为 ，且图象上一个最低点
2
为M( , −2 )，求f(x)的解析式．
4
3
＋φ) ＝－1，故
2
＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，
题型三
三角函数图象与性质的综合应用
1.3.1正弦型函数图像
得y=3sin
2x+ 3
例3、试说明函数 y=-2sin2x+6 +2 图象与函数
y=sinx的图象的变换关系。
解：将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2
纵坐标不变，则得到y=sin2x的图象。
又将y=sin2x的图象沿x轴向左平移 个单位，则得到
方法二：先把函数 ys的inx图象上各点的横
坐标变为原来的 倍1 ，得到函数 ysinx
图移象| |；个再单把位长y度s，in得x到的函图数像向y左（si右n 的）x(图 平象)
然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，
就得到函数
y的图A 象s. i nx()
例1、作y=2sinx2+3的图象
-
-1
o 6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 ysinx,x [0,2] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：( ,1 )
2
最低点：(32 ,1)
与x轴的交点：( 0 , 0 ) ( , 0 ) (2 , 0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
36
13
2
2
7
x
2
思考1：一般地，函数 yAsi nx()
（A＞0，＞0）的图象，可以由函数
y sinx的图象经过怎样的变换而得到？
先把函数 y s的inx图象向左（右）平移| |
个单位长度，得到函数 y的si图nx象 (；)
正弦、余弦函数的图像与性质
正弦与余弦函数的图像与性质（内部使用）姓名： 日期：¤ 梳理知识★透视规律 ¤一、函数的周期性1、定义： 。
二、正弦与余弦函数的图像1、正弦函数的图像由单位圆中的正弦线的变化，推出sin y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像2、正弦函数的图像由单位圆中的余弦线的变化，推出cos y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像3、五点作图法：（1）概念： 。
（2） 步骤： → → 。
三、正弦与余弦函数的性质函数y sin x =y cos x =图像定义域 值域 周期性 奇偶性（对称性）单调性注：（1） ；（2） 。
¤ 拓展★提高 ¤一、正弦型函数sin y A x M =+()0A M ⋅≠的性质：（1）A 的作用：对最值的影响： ；正负对单调区间的影响： 。
（2）M 的作用：。
¤ 他山之石★可以攻玉 ¤【例1】用“五点法”画出下列函数的图像：（1）[]2sin ,0,2y x x π=-+∈；（2）[]2cos ,0,2y x x π=+∈。
【变式】用“五点法”画函数[]12sin ,0,2y x x π=-∈的图像。
我来记两笔：【例1】解下列不等式：（1）1sin 2x >； （2）3cos 2x ≤-。
【变式1】求函数2sin 1y x =+的定义域。
【变式2】求函数1lg 1cos y x=-的定义域。
题型一 “五点法”作图 题型二 利用正、余线函数图像解简单三角不等式我来记两笔：【例1】求下列函数的值域：（1）y sin sin x x =+； （2）cos 2y cos 1x x -=+。
【变式】求下列函数的值域：（1）y 2sin 2,,366x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）[]2cos sin 2,0,y x x x π=++∈。
我来记两笔：【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）()()sin f x x x π=+； （2）()3cos 12f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭。
正弦函数 的图象图像变换
函数)sin(ϕω+=x A y 的图象学案一、学习目标1.会用 “五点法”作出函数)(ϕ+=wx Asm y 以及函数)cos(ϕ+=wx A y 的图象的图象.2.能说出A W 、、ϕ对函数)sinϕ+=wx A y （的图象的影响. 3.能够将x y sin =的图象变换到)sin(ϕ+=wx A y 的图象，并会根据条件求解析式. 二、学习重点：由正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象.三、学习任务1、复习巩固：作出函数x y sin =在一个周期内的简图并回顾作图方法.2、阅读教材第49页至53页探究下列问题：问题一、阅读课本第53页例1，思考如何确定五个关键点？问题二：利用例1的五点作图法，在同一坐标系下，作出函数)3sin(π+=x y 和)6sin(π-=x y 的简图，观察它们与y x =sin 图象之间有什么关系呢？参数ϕ对sin()y x ϕ=+，x R ∈的图像有怎样的影响呢？概括由正弦曲线如何变换得到sin()y x ϕ=+，x R ∈的图像.练习1.完成课本第57页习题1-（1）.问题二、利用五点作图法，在同一坐标系下，作函数y x =sin2及y x=sin12的简图，观察它们与y x =sin 图象间有什么关系呢？参数)0(>ωω对x y ωsin =的图像有什么影响呢？概括由正弦曲线如何变换得到sin y x ω=，x R ∈的图像.练习2.完成课本第57页习题1-（2）.问题三、在同一坐标系中作出y x =2sin 及y x =12sin 的简图，并观察它们的图象与y x =sin 的图像有什么关系？参数)0(>A A 对x A y sin =的图像有什么影响呢？概括由正弦曲线如何变换得到sin y A x =，x R ∈的图像.练习3. 完成课本第57页习题1-（3）.问题四、利用五点作图法，作出函数)32sin(3π+=x y的图象，并说出它是由函数sin y x =的图象经过怎样的变换得到的？问题五、请归纳:得到函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有哪些方法？写出详细过程。
三角函数图像及变化
14
典例探究
例 3 将 y＝sin x 的图象怎样变换可得到函数 y 2sin(2x ) 1 的图象？
4 解法一：先伸缩后平移 ①把y＝sin x的图象上所有点的 纵坐标伸长到原来的2倍 ,得到y＝2sin x的图象；
②将所得图象y＝2sin x 上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到 y＝2sin 2x 的图像
兀
3
)1
- 3 o 4
y=sinx y=sin(x- 兀)
4
5
9
3
2 4
3
5
7
x
4
4
4
-1
6
知识梳理
y=sinx
0< ω<1时横坐标伸长为原来的 倍 ω >1时横坐标缩短为原来的 倍
y sinx（, x R0）
注意：纵坐标不变
y y=sin2x
1
y=sin
1 2
x
y=sinx
2
3
o 3
3
42 4
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象及应用
2
明确考纲
考纲概述
考查热点
考查频次 备考指导
(1)了解函数
函数
从近年的考题来看,函数
y=Asin(ωx+φ)的 物理意义,能画出
y=Asin(ωx+φ) 图象画法与变
★★★★
y=Asin(ωx+φ)图象变换以及通 过图象来确定 A,ω,φ 是高考中
y=Asin(ωx+φ)的 换
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得 y＝2sin2x＋π4＋1 的图象.
16
走进高考
1．（2016 全国Ⅰ）将函数 y 2sin(2x ) 的图象向右平移 1 个周期后，所得图象对应的
正弦函数图像的变换
小结： （1）三角函y=Asin(ѡx+φ ) 的五点作图法. （3）注意变换的语言叙述.
正弦函数图像的变换
方法二：先伸缩后平移 对 y=Asin(ѡx+φ )图像可以看作由 y=sinx图像上所有点的横坐标缩短（当 ѡ>1时)或伸长（当0< ѡ <1时)到原来的 1/ ѡ倍（纵坐标不变），再向左（当 φ >0时)或向右（当φ <0时)平移φ /ѡ个 单位，再把所得个点的纵坐标伸长(当 A>1时）或缩短（当0 <A < 1时）到原来 的A倍（横坐标不变）.
正弦函数图像的变换
正弦函数图像变换
1 两种变换方法
2例
3小
题
结
正弦函数图像的变换
方法一：先平移后伸缩 对 y=Asin(ѡx+φ )图像可以看作由 y=sinx图像上所有点先向左（当 φ >0时) 或向右（当φ <0时)平移φ 个单位，再把 所得个点的横坐标缩短（当ѡ>1时)或伸 长（当0< ѡ <1时)到原来的1/ ѡ倍（纵 坐标不变），再把所得个点的纵坐标伸 长(当A>1时）或缩短（当0 <A < 1时） 到原来的A倍（横坐标不变）.
正弦函数及其图像变换
周期变换
周期缩短：正弦函数的图像 在周期内进行平移，使得图 像的周期缩短。
周期延长：正弦函数的图像 在周期内进行平移，使得图 像的周期延长。
周期变换规律：正弦函数的 图像变换遵循一定的规律，
即周期变换规律。
周期变换的应用：周期变换 在信号处理、振动分析等领
域有着广泛的应用。
相位变换
相位变换的概念：通过改变正弦函数的相位，使其在时间上移动。
信号处理：正弦函数在信号处理领 域中用于滤波、调制和解调等操作， 提高信号质量和通信效率。
添加标题
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交流电：正弦函数用于描述交流电 的电压和电流，广泛应用于电力传 输和分配。
物理实验：在物理实验中，正弦函 数常用于测量、分析和建模各种物 理现象，如光干涉、衍射等。
在工程学中的应用
正添加弦副函标数题 及其图像 变换
汇报人：XX
目录
PART One
正弦函数的性质
PART Two
正弦函数的图像 变换
PART Three
正弦函数的应用
PART Four
正弦函数的扩展弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，其中x是角度，y是正弦值。
正弦函数的周期为360度，即每隔360度重复一次。
正弦函数的图像是一个周期性变化的波形，最高点为1，最低点为-1。 正弦函数的表达式可以表示为y=Asin(ωx+φ)，其中A是振幅，ω是角频 率，φ是初相。
周期性和振幅
正弦函数的周期性：正弦函数在一定周期内呈现规律性的变化，其周期为2π。 正弦函数的振幅：振幅是正弦函数图像在垂直方向上的最大或最小值，表示函数值的波动幅度。
三角函数的积化和差公式
三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法
1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。
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1.5正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计贺力光 2008212004教学目标：知识与技能目标：能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
过程与方法目标：通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
情感、态度价值观目标：通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。
教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。
这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。
学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。
所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。
教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。
因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。
教学环境：普通多媒体教室，电脑上需要装有几何画板软件，以及Flash播放器。
学情分析：本节课在高一第二学期，学生进入高中学习已经有一学期了，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。
关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。
教学内容分析：三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容。
本节为普通高中课程标准实验教科书（必修4），三角函数中的第五小节，涉及了三角函数图象与性质的重要内容，是一节函数图象探究的重要范例，同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。
本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。
观察函数、、、、图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象的变换方法。
鼓励学生大胆猜想，将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。
利用计算机操作相关的课件，直观展示图象的变化，细致观察图象变化的数量，使学生学会观察。
这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系，进而理解本质的规律。
首先对参数变化所引起的图象变化进行观察，获得参数对函数图象影响的大致感知，进而进行细致的量的变化的观察和分析，体现了对事物认识的螺旋式上升；从具体的函数出发，进而得出一般性的结论，体现了从特殊到一般，由感性到理性的过渡。
教学流程图：教学过程：整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。
（一）创设情境：1.动画演示：《用沙摆演示简谐运动的图象》2.根据你的知识，你能解决函数哪些方面的问题？学生分析：可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。
教师追问：作出它的图象还有其他的方法吗？【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。
（板书课题：函数的图象）问题1：函数和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢？学生思考，交流，正弦函数就是函数在A=1，ω=1，=0的特殊情况。
【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。
引导学生思考y=Asin(ωx+φ)与正弦函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨正弦曲线与函数y=Asin(ωx+φ)的图象的关系。
（二）建构数学自主探究：自主探究：由正弦曲线如何变化得到函数的图象？①问题提出：三种变换能否任意排序？②对于你们小组提出的变换方式，你要怎样解决你呢？【设计意图】观察函数解析式学生容易发现三个参数、、都发生了变化，自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？问题2：由正弦函数图象如何变换得到函数的图象？猜想（1）猜想（2）【设计意图】观察函数解析式，容易发现参数、都发生了变化，根据已有的知识基础，自然恰当地提出本节的核心问题：两种变换能否任意排序，最后确定研究方向。
A、自主实验，形成初步结论：小组合做，根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行研究：问题3：按照第一种方法由函数的图象如何变换到的图象？按照第二种方法由函数的图像如何变换到函数的图象？学生投影回答，结合自己画的函数图像，说明变换方法。
①.把的图象上的所有的点__左___平移 ___个单位长度，得到的图象。
②.再把的图象上各点的_横__坐标_缩短__到原来的__倍（_纵_坐标不变），得到的图象。
③.再把的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_到原来的__3_倍（__横_坐标不变）得到的图象。
学生总结上述变换过程：相位变换周期变换振幅变换①.把的图象上的所有的点向左或向右平行移动个单位长度，得到的图象。
②.再把的图象上各点的_横_坐标__缩短_或_伸长_到原来的__倍（_纵_坐标不变），得到的图象。
③.再把的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_或_缩短_为原来的_A_倍（_横_坐标不变）得到的图象。
B、深入探究，讨论分析：预设问题：教学的班级为普通班，根据以往的教学经验，如果只研究一种顺序，有的学生会错误地认为由的图象向左平移个单位得到的图象，说明学生没有真正理解函数图象的变化是看坐标（x,y）的变化量。
预想到学生会犯这个错误，为了让学生更好地理解图象变化的实质，我选择不同的小组汇报，进而追问：为什么会有这种不同呢？原因是什么？学生们可以通过观察坐标表格中横坐标的变化，发现平移量。
或者通过观察图象，发现平移量。
因为在方案ω—中，先进行了横向的伸缩，即横坐标变为了原来的倍，所以向左平移个单位；从坐标和解析式上来看，点和分别满足两个解析式，也可以得到这个结论。
把的图象上所有的点__向左_平移__个单位长度，得到函数的图象。
问题4：第二种变换方法，平移量是，还是，为什么？注意不同顺序中平移量的不同。
先相位变换后周期变换时，需向左平移个单位；先周期变换后相位变换时，需向左平移个单位而不是个单位。
平移量是由的改变量确定的。
学生总结第二种变换的规律：周期变换相位变换振幅变换把y=sinωx的图象上的所有的点向左或向右平行移动个单位长度，得到y=sin(ωx+φ)的图象。
对比两种变换过程说明：先相位变换后周期变换平移个单位长度。
先周期变换后相位变换平移个单位长度。
【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的不同方案有一个整体的认识，并在掌握图象变化实质的基础上，择优选择。
（三）知识运用，巩固强化练习：1、只需把函数的图象上所有点（A），可以得到函数的图象。
A、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。
B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
C、纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变。
D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变。
2、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（B ）A、向左平移个单位长度B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度D、向右平移个单位长度3、把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再把函数的图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象。
变式：把函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像。
【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固，通过学生的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。
（四）归纳交流1、学生谈本节课的学习体会。
2、正弦函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)的图象：顺序可任意，平移尺度要注意。
3、数学思想：数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。
（五）巩固作业课本P49/2（写在作业本上）,P50/1（写在书上）（六）学习效果评价设计1．在学生动手实践、观察、思考问题的过程中，关注学生发现问题、解决问题的能力；并在进一步的学习过程中，观察学生的类比学习能力；2．在各组共同学习、解决问题的过程中，观察学生合作交流、学习的能力；3．对不同方案的对比学习中，了解学生把握事物本质的能力；4．通过课堂活动与交流，了解学生对知识的掌握程度，通过反馈，对易错、易混的知识点，做出启发性的指导；5．通过课堂小结，学生说出自己的收获，与别人分享学习数学的体会，激发学习数学的积极性，建立自信心。