1含参变量的常义积分
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0 0
lim
1 x
1
dx
2
cos x
源自文库
1
0 0 1
lim
1 x cos x
2
dx
1
1 1 x
2
0
dx
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定理2（积分次序交换定理）
设f ( x , y )在闭矩形 [a , b] [c, d ]上连续 ,则
dy
c
d
b
a
0
2 1
0
1 2
dt 1 2 1 t 1
I ( ) 1 2
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I ( ) 1 2 再对 积分得
2 I ( ) ln 1 1 C,
dI ( y ) dy
b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy
b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y
b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
1 1 b dy ln x dx a 1 y 1 a
y
b
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定理3（积分号下求导定理）
设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
则I ( y )
b
a
[c , d ]上 成 立 f ( x , y )dx在[c , d ]上 可 导并 ，且 在
第十五章 第一节 含参变量的常义积分
一、含参变量常义积分的定义 二、含参变量常义积分的分析性质
连续性定理
积分次序交换定理 积分号下求导定理
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一、含参变量常义积分的定义
设f ( x, y )是定义在闭矩形 [a, b] [c, d ]上的连续函数 , x的一 元 则对固定的 y [c, d ]，f ( x , y )是[a , b]上关 于
2
b
0
1
b a b
2
2
2
sin2 t dt b
0
1 k 2 sin2 t dt
含参变量ｋ的积分
二、含参变量常义积分的分析性质
定理１(连续性定理)
设f ( x , y )在闭矩形 [a , b] [c, d ]上连续 , 则函数
I ( y)
b
a
f ( x , y )dx ,
同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。 它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如： 计算 椭圆 1 (b a 0)的周 长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
y [c , d ]
在[c , d ]上 连 续 。
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例1 求 lim
0 0
1 x
1
dx
2
cos x
。
解： 由于函数
f ( x, ) 1 1 x 2 cos x
1 1 因此由连续性定理， 在 闭 矩 形 [0,1] , 上 连 续 ， 2 2
连续函数， 且积分值 因 此它 在 [a , b]上 的积 分 存 在，
b
a
也就是说， f ( x , y )dx 由 y 惟 一 确 定 ，
I ( y)
b
a
f ( x , y )dx ,
y [c , d ]
确 定了 一 个关 于 y的 一元 函 数 , 称为含参变量 y的积分。
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显然 f ( x, )和f ( x, )都在 [0, ] [a, a]上连续，
因此，由积分号下求导定理可知
I ( )
0
cos x 1 dx 1 cos x
0
1 1 dx 1 cos x
1
0
1 dx 1 cos x
f ( x , y )dx dx f ( x , y )dy
a c
b
d
例2 计算 I 解 由于
1 xb
0
xa dx ，其中 b a 0。 ln x
1 0
b a x x x y dy , a ln x
b
因此 I dx x dy
a
b
y
dy
a
b
1
0
例3 解
设F ( y )
y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )
0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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b( y )
a( y )
f y ( x , y )dx f (b( y ), y )b( y )
f (a( y ), y )a ( y )
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F ( y)
b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
由定理 4还 可 以 得 到 ： F ( y )在[c, d ]上 连 续 ！
周 长 4 ds
L
0 0
2
a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt a 2 sin2 t b 2 (1 sin2 t )dt
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2
2
0
a 2 sin2 t b 2 (1 sin2 t )dt
2
k
2
b2 a 2 b
例4
解
计 算 I ( )
ln(1 cos x)dx
0
(| | 1)。
必存在 0 a 1， 对于任意的 | | 1， 使 得 | | a， cos x 记 f ( x, ) ln(1 cos x )， 则 f ( x , ) ， 1 cos x
又设 a( y ), b( y ) 是在[c, d ] 上的可导函数，满足
a a( y) b, a b( y) b,
则函数
F ( y)
b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
并 且 在[c, d ] 上 成 立 在 [c , d ] 上 可 导 ，
F ( y )
由I ( )的定义可知 I (0) 0, 代入上式可得 C ln 2,
于是
2 I ( ) ln 1 1
ln 2
即
1 1 2 I ( ) ln . 2
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1 I ( )
0
1 dx 1 cos x
x 对 最 后 一 个 积 分 作 万代 能 换 t tan ， 2
0
1 dx 1 cos x
2dt 1 t 2 (1 t 2 )
2 1 2 1 arctan t 0 1
lim
1 x
1
dx
2
cos x
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0 0 1
lim
1 x cos x
2
dx
1
1 1 x
2
0
dx
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定理2（积分次序交换定理）
设f ( x , y )在闭矩形 [a , b] [c, d ]上连续 ,则
dy
c
d
b
a
0
2 1
0
1 2
dt 1 2 1 t 1
I ( ) 1 2
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I ( ) 1 2 再对 积分得
2 I ( ) ln 1 1 C,
dI ( y ) dy
b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy
b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y
b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
1 1 b dy ln x dx a 1 y 1 a
y
b
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定理3（积分号下求导定理）
设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
则I ( y )
b
a
[c , d ]上 成 立 f ( x , y )dx在[c , d ]上 可 导并 ，且 在
第十五章 第一节 含参变量的常义积分
一、含参变量常义积分的定义 二、含参变量常义积分的分析性质
连续性定理
积分次序交换定理 积分号下求导定理
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一、含参变量常义积分的定义
设f ( x, y )是定义在闭矩形 [a, b] [c, d ]上的连续函数 , x的一 元 则对固定的 y [c, d ]，f ( x , y )是[a , b]上关 于
2
b
0
1
b a b
2
2
2
sin2 t dt b
0
1 k 2 sin2 t dt
含参变量ｋ的积分
二、含参变量常义积分的分析性质
定理１(连续性定理)
设f ( x , y )在闭矩形 [a , b] [c, d ]上连续 , 则函数
I ( y)
b
a
f ( x , y )dx ,
同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。 它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如： 计算 椭圆 1 (b a 0)的周 长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
y [c , d ]
在[c , d ]上 连 续 。
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例1 求 lim
0 0
1 x
1
dx
2
cos x
。
解： 由于函数
f ( x, ) 1 1 x 2 cos x
1 1 因此由连续性定理， 在 闭 矩 形 [0,1] , 上 连 续 ， 2 2
连续函数， 且积分值 因 此它 在 [a , b]上 的积 分 存 在，
b
a
也就是说， f ( x , y )dx 由 y 惟 一 确 定 ，
I ( y)
b
a
f ( x , y )dx ,
y [c , d ]
确 定了 一 个关 于 y的 一元 函 数 , 称为含参变量 y的积分。
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显然 f ( x, )和f ( x, )都在 [0, ] [a, a]上连续，
因此，由积分号下求导定理可知
I ( )
0
cos x 1 dx 1 cos x
0
1 1 dx 1 cos x
1
0
1 dx 1 cos x
f ( x , y )dx dx f ( x , y )dy
a c
b
d
例2 计算 I 解 由于
1 xb
0
xa dx ，其中 b a 0。 ln x
1 0
b a x x x y dy , a ln x
b
因此 I dx x dy
a
b
y
dy
a
b
1
0
例3 解
设F ( y )
y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )
0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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b( y )
a( y )
f y ( x , y )dx f (b( y ), y )b( y )
f (a( y ), y )a ( y )
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F ( y)
b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
由定理 4还 可 以 得 到 ： F ( y )在[c, d ]上 连 续 ！
周 长 4 ds
L
0 0
2
a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt a 2 sin2 t b 2 (1 sin2 t )dt
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2
2
0
a 2 sin2 t b 2 (1 sin2 t )dt
2
k
2
b2 a 2 b
例4
解
计 算 I ( )
ln(1 cos x)dx
0
(| | 1)。
必存在 0 a 1， 对于任意的 | | 1， 使 得 | | a， cos x 记 f ( x, ) ln(1 cos x )， 则 f ( x , ) ， 1 cos x
又设 a( y ), b( y ) 是在[c, d ] 上的可导函数，满足
a a( y) b, a b( y) b,
则函数
F ( y)
b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
并 且 在[c, d ] 上 成 立 在 [c , d ] 上 可 导 ，
F ( y )
由I ( )的定义可知 I (0) 0, 代入上式可得 C ln 2,
于是
2 I ( ) ln 1 1
ln 2
即
1 1 2 I ( ) ln . 2
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1 I ( )
0
1 dx 1 cos x
x 对 最 后 一 个 积 分 作 万代 能 换 t tan ， 2
0
1 dx 1 cos x
2dt 1 t 2 (1 t 2 )
2 1 2 1 arctan t 0 1