1含参变量的常义积分

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参变量积分

0
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,

0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有

Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是

d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c

含参变量的常义积分

由于被积函数
f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
在矩形区域 [ a ,b][0 ,1]上连续, 由定理1 得函数
F(x) 在[a, b]连续.

b
I( y) a f ( x, y)dx
在[ c , d ]上连续. 证设 y [ c, d], 对充分小的 y , 有y y [c, d ](若 y 为区间的端点, 则仅考虑 y 0 或 y 0 ), 于是

*例3 计算积分
I
1 ln(1 x) 0 1 x2 dx
dy
y A dy B dy
b( y)
a( y) f y ( x, y)dx f (b( y), y)b( y)
f (a( y), y)a( y) .
例1 设 F ( y) y2 sin yx dx, 求 F( y). yx 解由定理4，得
F( y)
y2
sin y3 sin y2
b f ( x, y)dx.
a y

证对于 [c, d ] 内任意一点 y, 设 y y [c, d ] (若y 为
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( y y) I( y)
b
I( y) liym0afy( x, yy)dx
b

a
lim
y0
f y ( x,
y

y)dx
b
a f y ( x, y)dx
定理4 (F ( y) 的可微性) 设 f ( x, y), fx ( x, y) 在
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的

第9章含参变量积分

∫N
f (x, y)dy ≤ M ;
c
(2)对每个 x ∈[a, b] ，函数 g(x, y) 关于 y 是单调递减的且当 y → ∞ 时，对参量 x ，
+∞
∫ g(x, y) 一致收敛于 0，则含参量反常积分 f (x, y)g(x, y)dy 在[a,b] 一致收敛。 c
定理 5（阿贝尔判别法）设
敛。
判别法则
定理 1 （柯西准则）含参量无穷积分（1 ）在 [a,b] 上一致收敛的充要条件是：
∀ε > 0, ∃M > c,当A1, A2 > M时,∀x ∈[a,b] ，有
∫| A2 f (x, y)dy |< ε A1
定理 2（魏尔斯特拉斯 M-判别法）设有函数 g( y) ，使得
∫ I '(x) =
+∞
c fx (x, y)dy
+∞
∫ 定理 3（可积性）设 f (x, y) 在[a,b]×[c, +∞) 上连续，若 I (x) = f (x, y)dy 在[a,b] 上 c
一致收敛，则 I (x) 在[a, b] 上可积，且
b
+∞
+∞
b
∫a dx∫c
∫ f (x, y)dy = c
∫ y(x) = 1
x
n−1
(x − t) f (t)dt, x ∈[a,b]
(n −1)! a
是微分方程 y(n) (x) = f (x) 的解，并且满足条件 y(a) = y' (a) = = y(n−1) (a) = 0 。
证明：设 F (x, t) = (x − t)n−1 f (t) ，则 f (x, t), fx (x,t) 在[a, b]×[a, b] 上连续，因此有

陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)

7．设函数具有二阶导数，是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在处连续。
设
则
。由于在上连续，且
上的最小值
当时，成立
于是
上连续，可知所以在
由连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ）当
对于
取
取
则当充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ）当
即
关于
一致有界，以及单调，当
时关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别

第17章含参变量的积分

2019年2月26日星期二
7
§17 含参变量的正常积分
0, 0,只要 x , 就有
f ( x x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f x (x x,y)-f x (x,y) , 其中 (0,1).因此
第十七章含参变量的积分
级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数──积分上限的函数。本章和下章介绍另一种利用 Riemann 积分与广义积分构造的函数──含参变量的正常积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。
2019年2月26日星期二
J ( y ) 在 [c, d ] 上可积。记为

b
a
I ( x ) dx J ( y)
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy

d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
上以 y为自变量的一元函数.若此时 f ( x, y)在 [c, d ]上可积,
则其积分值是 x 在 [a, b]上取值的函数,表为
I(x) f ( x, y)dy, x [a, b （定义域） ]
c
d
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
2019年2月26日星期二 3
(证毕)
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§17 含参变量的正常积分
下面讨论可积性. 设 f ( x, y) 在矩形 [a, b; c, d ]上连续，那末由定理1 ，函数

第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分．一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的．例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分（一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性：（1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性．（反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进行讨论，这里不再赘述．。

数学分析第二册答案第十九章含参变量的积分

第十九章含参变量的积分§1 含参变量的正常积分1．求下列极限：（1）⎰-→+11220lim dx x αα；（2）⎰→220cos lim xdx x αα；（3）⎰+→++αααα122011limdx x ．解（1）由于22),(αα+=x x f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续，故⎰-+=1122)(dx x I αα在]1,1[-连续，所以，12)0()(lim lim 1112011220=====+⎰⎰⎰-→-→xdx dx x I I dx x αααα．（2）由于x x x f ααcos ),(2=在]2,0[]2,0[⨯上连续，故⎰=22cos )(xdx x I αα在]2,0[连续，所以，38)0()(lim cos lim 2202020====⎰⎰→→dx x I I xdx x αααα．（3）⎰⎰⎰⎰+++++++-++=++αααααααα11222212212211111111dx x dx x dx x dx x ，由于2211),(αα++=x x f 在]1,0[]1,0[⨯上连续，故⎰++=102211)(dx xI αα在]1,0[连续，所以，411)0()(lim 11lim 10201220παααα=+===++⎰⎰→→dx x I I dx x ．而对R ∈∀α，R x ∈有，ααα≤++⎰2211dx x ，ααα≤++⎰+112211dx x ，因此 011lim 0220=++⎰→αααdx x ，011lim 11220=++⎰+→αααdx x ，因而，⎰⎰⎰++-++=++→→+→ααααααααα2201220122011lim 11lim 11lim dx x dx x dx x411lim 11220πααα=++-⎰+→dx x2．求)(x F '，其中：（1）⎰-=22)(x xxy dy e x F ；（2）⎰-=xxy xdy e x F cos sin 12)(；（3）⎰++=xb x a dy y xy x F )sin()(；（4）⎰⎰=xx t dt ds s t f x F 0]),([)(22．解（1）35222222222)(2)(2x x x xxy xx x x x xxy e xe dy y e ex edy y ex F -------+-=-⋅+-='⎰⎰．（2）)(sin )(cos 1)(222sin 1cos 1cos sin 21'-'+-='---⎰x e x e dy y e x F xxxx xxy xx e x edy y e xx xx xxy xcos sin 1cos sin cos sin 212---=⎰-．（3）)())(sin()())(sin()cos()('+++-'++++='⎰++x a xz x a x x b x b x b x dy xy x F xb xa=)](sin[)11()](sin[)11(a x x x a xb x x x b x +++-+++．（4）⎰⎰⎰⎰=+∂∂='xx x x x t dt x t xf ds s x f dt ds s t f x x F 020),(2),()),(()(2222．3．设)(x f 为连续函数，⎰⎰++=xxd d x f h x F 02])([1)(ξηηξ，求)(x F ''．解由于⎰⎰⎰⎰++=++=xx x x x du u f d h d x f d h x F 022002)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以， ]))(()([1)(02322⎰⎰⎰++∂∂+='x x x xx d du u f x du u f hx F ξξξ})]()2(2[)({10322⎰⎰+-++=x xxd x f x f du u f h ξξξ，)]2(3)3(5[1)]2()3(2)2(2)3(3[1)(22x f x f hx f x f x f x f h x F -=-+-=''．注记该题的函数应为⎰⎰++=h hd d x f hx F 002])([1)(ξηηξ（这从该教材第二版亦可得到印证），则⎰⎰⎰⎰+++=++=xhx x hhdu u f d h d x f d h x F 022)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以，⎰⎰⎰+-++=∂∂='+++hx h x x d x f h x f hd du u f x h x F 0202)]()([1])([1)(ξξξξξξ ])()([122⎰⎰+++-=h x x hx hx du u f du u f h ， )]()()2([1)]()()()2([1)(22x f h x f h x f hx f h x f h x f h x f h x F ++-+=++-+-+=''．4．研究函数⎰+=122)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数．解当0≠y 时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此)(y F 在0≠y 连续．当0=y 时，0)0(=F ．而0>y 时，设m 为)(x f 在]1,0[上的最小值，则0>m ．由于y m dx yx y m y F 1arctan )(122=+≥⎰，而21arctan lim 0π=+→y y ，故有)(lim 0y F y +→若存在，必然)0(02)(lim 0F m y F y =>≥+→π或不存在，因而)(y F 在0=y 时间断． 5．应用积分号下求导法求下列积分：（1）⎰-222)sin ln(πdx x a （1>a ）；（2）)1()cos 21ln(02<+-⎰a dx a x a π；（3）)0,()cos sin ln(202222≠+⎰b a dx x b x a π；（4）)1(tan )tan arctan(20<⎰a dx xx a π．解（1）设⎰-=2022)sin ln()(πdx x a a I ，则有⎰⎰-=-∂∂='20222022sin 2)]sin ln([)(ππdx x a a dx x a xa I)11arctan 11(arctan 12)sin 1sin 1(22220--+-+-=-++=⎰a a a a a dx x a x a π12-=a π，即c a a da a a I +-+=-=⎰)1ln(1)(22ππ．c 的确定较为困难，可如下进行．)1ln()sin ln()1ln()(220222-+--=-+-=⎰a a dx x a a a a I c πππ)1ln()]sin 1ln([ln 220222-+--+=⎰a a dx axa ππa a a dx ax 1ln)sin 1ln(22022-+--=⎰ππ，令+∞→a ，2ln 1ln 2ππ→-+aa a ，又1sin 1110222≤-<-<a x a ，所以， 0)sin 1ln()11ln(222≤-≤-a xa ，)(0)11ln(2)11ln()sin 1ln()sin 1ln(22022022222+∞→→-=-≤-≤-⎰⎰⎰a adx a dx a x dx a x ππππ，2ln π=⇒c ，即21ln 2ln )1ln()(22-+=--+=a a a a a I πππ．（2）设⎰+-=π2)cos 21ln()(dx a x a a I ，则⎰⎰+--=+--='ππ02202cos 2111cos 21)cos (2)(dx ax a a a dx a x a x a a I ⎰⎰+-+--=-+--=ππππ0222022cos 1211)1(1cos 2)1(11dx x aa a a a a dx xa a aa a222022212)1(2)11arctan()1()1()1(2)1(1a a a a a x a a a a a a a a a +=+-=-++--+--=πππππ，所以，)1ln(21)0()()(202a da a a I a I a I a+=+=-=⎰ππ．（3）将a 看作参变量，b 认为是常数，记⎰+=202222)cos sin ln()(πdx x b x a a I ．可先设0>a ，0>b ，则⎰⎰+=+∂∂='2020222222222cos sin sin 2)]cos sin ln([)(ππdx xb x a x a dx x b x a a a I ．若b a =，则bxdx b a I 2sin 2)(202ππ=='⎰，若b a ≠作代换x t tan =，得⎰⎰∞+∞+++=++='022222022222))(1(212)(a b t t dt t a t dt b t a at a Iba ))(111(2222202222222222+=---=+--+-=⎰∞+πππba bba adt a bt b a b t b a a a ，所以，c b a πda b a πa I ++=+=⎰)ln()(，而c b b b I +==)2ln(ln )(ππ2ln π-=⇒c ，于是2ln 2ln )ln()(ba b a πa I +=-+=ππ．若0<a 或0<b ，则可以a -或b -代替a 或b ，因而总有2ln)()(b a a I a I +==π．（4）记⎰=20tan )tan arctan()(πdx xx a a I ，令x x a a x f tan )tan arctan(),(=，当2,0π=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0，0),(lim 2=-→a x f x π，故补充定义a a f =),0(，0),2(=a f π，则f 在],[]2,0[b b -⨯π连续（10<<b ），从而)(a I 在)1,1(-连续．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈+=,2,0 ,0,)2,0( ,tan 11),(22ππx x x a a x f a显然)0,(x f a 在2π=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-⨯π和)1,0(]2,0[⨯π连续，故有⎰⎰+=='2222tan 11),()(ππdx xa dx a x f a I a ，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ．令t x =tan ，⎰⎰∞+∞+++--+-=++='0222222222222)1)(1(111)1)(1(1)(dt t a t a t a t a a dt t a t a I)1(2])1()1(1[11022222a dt t a a t a +=+-+-=⎰∞+π，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ．积分之1)1ln(2)(c a a I ++=π，)1,0(∈a ；2)1l n (2)(c a a I +--=π，)0,1(-∈a ．因为)(a I 在)1,1(-连续，故)(lim 0)(lim )0(0a I a I I a a -+→→===，得021==c c ，从而得|)|1ln(sgn 2)(a a a I +=π，1||<a ．6．应用积分交换次序求下列积分：（1）)0,0(ln 1>>-⎰b a dx xx x ab ；（2）)0,0(ln )1sin(ln 10>>-⎰b a dx xx x x ab ．解（1）b a b a b a yb a y a b y dy y dx x dx dy x dx dx xx x |)1ln(11ln 10101+=+===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰aba b ++=+-+=11ln)1ln()1ln(．（2）⎰⎰⎰⎰⎰==-b a y b a y a b dx xx dy dx dy x x dx x x x x 101010)1sin(ln ])1[sin(ln ln )1sin(ln ．记⎰=1)1sin(ln )(dx x xy I y，则 ])1()1cos(ln )1sin(ln [11)1sin(ln 11)(10111101⎰⎰--+=+=+++dx x x x x x y dx x y y I y y y ])1()1sin(ln ()1cos(ln [)1(1)1cos(ln 11101101210⎰⎰---+=+=++dx x x x x x y dx x x y y y y ))(1()1(1))1sin(ln 1()1(12102y I y dx x x y y -+=-+=⎰，所以，1)1(1)(2++=y y I ，因此， )1)(1(1arctan 1)1(1)(ln )1sin(ln 210b a ab dy y dy y I dx x x x x b a b a a b +++-=++==-⎰⎰⎰． 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数：（1）⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(；（2）)()()(b a dy y x y f x F ba<-=⎰．解（1）)(2)()(0x xf dy y f x F x+='⎰，)(2)(3)(x f x x f x F '+=''．（2）⎰-=bady y x y f x F )()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤-=⎰⎰⎰⎰,,))((,,))(())((,,))((b x dy y x y f b x a dy x y y f dy y x y f a x dy x y y f ba b x xa b a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤-='⎰⎰⎰⎰,,)(,,)()(,,)()(b x dy y f b x a dy y f dy y f a x dy y f x F bab x xa b a⎩⎨⎧≥≤<<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=''．b x or a x b x a x f b x b x a x f a x x F ,0,,)(2,0,,)(2,,0)(8．证明：⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．证明 ⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-101022102222101022222]1)(12[)(dy y x dy y x x dx dy y x y x dx 4|arctan 11112π==+=⎰x dx x ， ⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-10102221022101022222]121[)(dx y x y dx y x dy dx y x y x dy 4|arctan 11112π-=-=+-=⎰y dy y ，所以，⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．9．设⎰+=122ln )(dx y x y F ，问是否成立⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y ．解 1ln ln )0(110-===⎰⎰xdx dx x F ，所以，]11[ln 1)1ln (1)0()(101022221022+-+++=++=-⎰⎰⎰dx dx yx y y y dy y x y y F y F)0(21arctan 2)1ln(]arctan 1[ln 12102+→→++=++=y y y y y x y y y π，即2)0(π='+F ，同样2)0(π-='-F ，因此)0(F '不存在，而00ln 112210022==+=+∂∂⎰⎰⎰==dx dx y x y dx yx y y y ，因此，⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y 不成立．10．设⎰=πθθθ20cos )sin cos()(d x e x F x ，求证π2)(≡x F ．证明 R x ∈∀0，函数)sin cos(),(cos θθθx e x f x =在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，θθθθθθθsin )]sin sin([)sin cos(cos ),(cos cos x e x e x f x x x -+=亦在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，故由积分号下求导数可得⎰⎰==-=∂∂='πθθπθθθθθθθ20cos cos 20000]sin )sin sin()sin cos(cos [),()(d x e x e d x f x x F x x x x x x⎰⎰-=πθπθθθθθ200c o s 200c o ss i n )s i n s i n ()s i n s i n (100d x e x d ex x x （00≠x ）⎰-⋅-=πθπθθθθθ200cos 00200cos 0)sin ()sin sin(1|)sin sin(100d x e x x x e x x x⎰-πθθθθ200cos sin )sin sin(0d x e x0=，当00=x 时，显然0sin cos )0(2020==='⎰ππθθθd F ．由R x ∈0的任意性，0)(='x F ，因此，C x F ≡)(，而πθπ2)0(20===⎰d F C ，所以，π2)(≡x F ．11．设)(x f 为两次可微函数，)(x ϕ为可微函数，证明函数⎰+-+++-=atx atx dz z a at x f at x f t x u )(21)]()([21),(ϕ满足弦振动方程22222xu a t u ∂∂=∂∂ 及初始条件)()0,(x f x u =，)()0,(x x u t ϕ=．证明)]()([21)]()([21at x at x aat x f at x f x u --+++'+-'=∂∂ϕϕ， )]()([21)]()([2122at x at x a at x f at x f xu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ， )]()([21)]()([21at x a at x a aat x f a at x f a t u -++++'+-'-=∂∂ϕϕ )]()([21)]()([2at x at x at x f at x f a -++++'+-'-=ϕϕ，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ 所以，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ 2222)]}()([21)]()([21{x u a at x at x a at x f at x f a ∂∂=-'-+'++''+-''=ϕϕ，即满足弦振动方程．又)()(21)]()([21)0,(x f dz z ax f x f x u xx =++=⎰ϕ， )()]()([21)]()([2)0,(x x x x f x f a x u t ϕϕϕ=++'+'-=，即满足初始条件．§2 含参变量的广义积分1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛：（1）⎰+∞+022)cos(dy yx xy （0>≥a x ）；（2）)(1)cos(02+∞<<-∞+⎰+∞x dy y xy ；（3）)(1b x a dy e y y x ≤≤⎰+∞-；（4）⎰+∞-1cos dy y ye pxy（0>p ，0≥x ）；（5）)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx xx p．证明（1）因为当0>≥a x 时，],0[+∞∈∀y ，有22222211)cos(ya y x y x xy +≤+≤+，而dy ya ⎰+∞+0221收敛，由M 判别法，⎰+∞+022)cos(dy y x xy 在0>≥a x 是一致收敛的．（2）因为，),(+∞-∞∈∀x ，),0[+∞∈y 成立22111)cos(y y xy +≤+，而⎰+∞+0211dy y 收敛，由M 判别法，⎰+∞+021)cos(dy y xy 在+∞<<∞-x 一致收敛．（3）因为],[b a x ∈∀，),1[+∞∈y ，成立{}y M yb a y x e y eye y ---≤≤,max ，其中{}0,max ≥=b a M ，而⎰+∞-1dy e y yM 收敛，所以⎰+∞-1dy e y y x 在b x a ≤≤一致收敛．（4）用Abel 判别法．已知⎰+∞1cos dy yyp收敛（见第十一章§3习题3（3）），又对每一个),0[+∞∈x ，函数xye-关于y 是单调函数，且),0[+∞∈∀x ，),1[+∞∈y ，有1≤-xye，由Abel 判别法知 ⎰+∞-1cos dy y ye pxy在),0[+∞一致收敛．（5）由于⎰+∞2sin dx x 收敛（见p56-§11.1-例10），又对每一个),0[+∞∈p ，函数px +11是单调减函数，且),0[+∞∈∀x ，),0[+∞∈p ，有111≤+p x，由Abel 判别法，)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x x p 在),0[+∞一致收敛．2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：（1）)0(2+∞<<-+∞⎰αααdx e x ；（2）⎰+∞-0dy xe xy ，（i ）)0(],[>∈a b a x ，（ii ）],0[b x ∈；（3）⎰+∞∞---dx e x 2)(α，（i ）b a <<α，（ii ）+∞<<∞-α；（4）)0(sin 0)1(22+∞<<⎰+∞+-x xdy e y x．解（1）)0(2)(0)(0222>===⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+απαααααdu e ux x d e dx e u x x ，当0=α时积分为0．0>∀A ，由于2lim lim 0222πααααα===⎰⎰⎰∞+-∞+-→∞+-→++du e du e dx e u Au o Ax o，故0ε∃：200πε<<，00>∃α，使得有0020εαα>⎰+∞-Ax dx e ，因此积分非一致收敛．（2）积分对于每一个定值0≥x 是收敛的．当0=x 时，00=⎰+∞-dy xe xy ；当0>x 时1|0=-=∞+-+∞-⎰xy xy e dy xe ．（i ）)0(],[>∈a b a x ，由于aA xA Axy e e dy xe --+∞-≤=<⎰0，故εε1ln 1,00a A =∃>∀，使当0A A >时，就有ε=<-+∞-⎰0aA Axy e dy xe ，于是，在区间)0(],[>∈a b a x 上积分一致收敛．（ii ）由于+→0x 时，1→-Axe ，故10:00<<∃εε，对于足够小的0x 值，00ε>-Axe ，故在],0[b 上，积分⎰+∞-0dy xe xy 不一致收敛．（3）对任意固定的α，积分⎰+∞∞---dx ex 2)(α都收敛，且（作代换t x =-α）πα==⎰⎰+∞∞--+∞∞---dt e dx e t x 22)(．（i ）取正数R 充分大，使得R b a R <<<-，显然，当R x ≥时，对一切b a <<α，有22)()(0R x x ee----<<α，而积分⎰⎰+∞--+∞∞---=0)()(222dx e dx eR x R x 收敛，由M 判别法，积分⎰+∞∞---dx e x 2)(α在b a <<α一致收敛．（ii ）0>∀A ，有παααα===⎰⎰⎰+∞∞--+∞--+∞→+∞--+∞→dt e dt e dx e t A t Ax 222limlim)(，故当α充分大时，0)(22επα=>⎰∞+--Ax dx e ，由此可知⎰+∞--0)(2dx e x α在+∞<<∞-α非一致收敛，因而⎰+∞∞---dx e x 2)(α在+∞<<∞-α更非一致收敛．（4）0>∀A ，有)0(sin sin 0)1(22222++∞-+∞--+∞+-→→=⎰⎰⎰x dt e dt e e xx xdy e t Ax t x Ay x，因此，积分⎰+∞+-0)1(sin 22xdy e y x在+∞<<x 0非一致收敛．3．设)(t f 在0>t 连续，⎰+∞)(dt t f t λ当a =λ，b =λ时皆收敛，且b a <．求证：⎰+∞)(dtt f t λ关于λ在],[b a 一致收敛．证明 ⎰⎰⎰+∞--+∞+=110)()()(dt t f t t dt t f t t dt t f t b b a a λλλ．由于⎰1)(dt t f t a 收敛，因而，对],[b a ∈λ一致收敛，αλ-t 当λ固定时，对t 在]1,0[单调，且1≤-αλt ，因此，由Abel 判别法，积分⎰⎰=-11)()(dt t f t dt t f t t a a λλ在],[b a 一致收敛．又因为⎰+∞1)(dt t f t b 收敛，故对],[b a ∈λ亦一致收敛，b t -λ当λ固定时，对t 在],1[+∞单调递减，且1≤-btλ，由Abel 判别法，积分⎰⎰+∞+∞-=11)()(dt t f t dt t f t t b b λλ在],[b a 一致收敛．因此，⎰+∞0)(dt t f t λ在],[b a 上一致收敛．4．讨论下列函数在指定区间上的连续性：（1）⎰+∞+=22)(dy yx xx F ，),(+∞-∞∈x ；（2）⎰∞++=21)(dy yy x F x，3>x ；（3）⎰--=ππ02)(sin )(dy y y yx F xx ，)2,0(∈x ．解（1）当0≠x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-==+=+=∞+∞+∞+⎰⎰,0,2,0,2arctan )()(11)(0222x x x yx y d xy dy y x xx F ππ而0)0(=F ，因此，)(x F 在0≠x 连续，在0=x 间断（第一类间断点）．（2）因为)1(,1112222≥<+=+---y yy y y y x x x ，而当3>x 时，无穷积分⎰+∞-121dx y x 收敛，⎰+=1021)(dy y y x F x在3>x 是常义积分，因而)(x F 在3>x 有意义．30>∀x ，03x b <<∃，当1≥y 时， ),[+∞∈∀b x ，有222221111----≤<+=+b x x x y y y y y y ，而⎰+∞-121dy yb 收敛，因而⎰∞++021dy yy x 在),[+∞b 一致收敛，因此，⎰∞++=021)(dx y y x F x 在),[0+∞∈b x 连续，由),3(0+∞∈x 的任意性可知，)(x F 在3>x 连续．（3）⎰⎰----+-=ππππππ2222)()sin()(sin )(dy y y y dy y y yx F x x x x ，所以，)2,0(0∈∀x ，0>∃δ，使得δδ-<<<200x ，当]2,[δδ-∈x 时，有δδδδπππππ)2(1)2(1)(1)(sin 11212-----=-≤-≤-y y y y y y y xx x x ，]1,0(∈y ，δδπππππ-----≤-≤--1212)()2(1)(1)()sin(y y y y y y xx x x ，),1[ππ-∈y ，⎰-11)2(1dy y δδ及⎰----ππδδπ112)()2(1dy y 均收敛，所以⎰--22)(sin ππdx y y yxx 及⎰--πππ22)(sin dx y y y x x 均在]2,[δδ-∈x 一致收敛，因而⎰--ππ02)(sin dy y y yxx 在]2,[δδ-∈x 一致收敛．因此，)(x F 在]2,[δδ-∈x 连续，因而在δδ-<<<200x 连续，由)2,0(0∈x 的任意性，知)(x F 在)2,0(连续．5．若),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在),[b a 收敛，在b x =时发散，证明)(x I 在),[b a 不一致收敛．证明目的在于证明：00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，使得0'''),(ε≥⎰A A dy y x f ．（1）因为⎰⎰⎰+-='''''''''),()],(),([),(A AA A A A dy y b f dy y b f y x f dy y x f⎰⎰--≥'''''')],(),([),(A A A A dy y b f y x f dy y b f ，因此，若能证明00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，02),('''ε≥⎰A A dy y b f ，0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ，（2）则（1）式即可得到．剩下的问题在于证明（2）．01 因⎰+∞cdy y b f ),(发散，故00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃，使得02),('''ε≥⎰A A dy y b f ．02 但),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 连续，从而在有界闭区域b x a ≤≤，A y A ''≤≤'上一致连续，于是对上述01中00>ε，0>∃δ，当　δ<''-'x x ，δ<''-'y y 且],[,b a x x ∈'''，],[,A A y y '''∈'''时，有A A y x f y x f '-''<''''-''0),(),(ε，从而δ<-b x 时，有A A y b f y x f '-''<-0),(),(ε，由此推得0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ．6．含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛．证明必要性．⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛，故0>∀ε，c A >∃0，当0A A >时，有ε<⎰+∞Ady y x f ),(，对],[b a x ∈一致地成立．对任意递增数列{}n A ：)(1c A A n =∞→，首先，∑⎰∑⎰∑=∞→∞=∞=++==nk A A n n A A n n k kn ndy y x f dy y x f x u 11111),(lim ),()()(),(),(lim 1x I dy y x f dy y x f cA cn n ===⎰⎰+∞∞→+，],[b a x ∈∀成立．其次，由于{}n A 单调递减趋于∞+，故对上述c A >0，N ∃满足0A A N ≥，因此当N n >时，0A A A N n ≥>，因此，有ε<==⎰∑⎰∑∞+∞=∞=+nk kA n k A A nk kdy y x f dy y x f x u),(),()(1，],[b a x ∈∀一致地成立，因此级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛于)(x I ．充分性．采用反证法．若不然，设对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 上一致收敛，但广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 不一致收敛，因此00>∃ε，c A >∀0，0A A >∃，],[0b a x ∈∃，使得00),(ε≥⎰+∞Ady y x f ．取01][)1(0>+=c A ，)1(02A A >∃，],[1b a x ∈∃，使得012),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；取11)2(0+=A A，)2(03AA >∃，],[2b a x ∈∃，使得023),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；取12)3(0+=A A ，)3(04A A >∃，],[3b a x ∈∃，使得034),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；如此一直下去．得到一列单调递增序列{}n A （令C A =1），且)(∞→+∞→n A n 和一列{}],[b a x n ⊂，使得01),(ε≥⎰+∞+n A n dy y x f ，即函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 非一致收敛，矛盾！因此，⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛．7．用上题的结论证明含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 的积分交换次序定理（定理19．12）和积分号下求导数定理（定理19．13）．证明积分交换次序定理设),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，且含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上一致收敛，则⎰⎰⎰+∞=cbabadx y x f dy dx x I ),()(，即⎰⎰⎰⎰+∞+∞=cbab a cdx y x f dy dy y x f dx ),(),(．由于⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛⇒对任意递增趋于∞+的数列{}n A （c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 一致收敛于)(x I ，由已知条件，),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，因而亦在],[],[1+⨯n n A A b a 上连续，故⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u 在],[b a 连续，因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=++===11111),(),()()(n A A ban baA A n ban ban nn ndx y x f dy dy y x f dx dx x u dx x I⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+∞∞→=∞→===++cbaA cban nk A A ban dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy n k k),(),(lim ),(lim111．积分号下求导数定理设),(y x f 和),(y x f x 都在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，则⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 可导，且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(，即⎰⎰+∞+∞∂∂=c c x dy y x f xdy y x f dx d ),(),(．由于⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，故对任意趋于∞+的递增函数列{}n A （C A =1），级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上收敛于)(x I ，又⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，故函数项级数∑∑⎰∞=∞='=+11)(),(1n nn A A x x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知 ⎰∑⎰∑+∞∞=∞==='='+cx n A A x n ndy y x f dy y x f x u x I n n),(),()()(111．8．利用微分交换次序计算下列积分：（1）⎰+∞++=12)()(n n a x dxa I （n 为正整数，0>a ）；（2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）；（3）⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax (0>a )．解（1）由于积分⎰+∞+02ax dx对一切00>a 在0a a ≥上一致收敛，得)()()1(10220202a I a x dx dx ax a a x dx da d -=+-=+∂∂=+⎰⎰⎰+∞+∞+∞，由00>a 的任意性，知上式对一切0>a 成立．同理对积分⎰+∞+02ax dx逐次求导，得)(!)1()(!)1(01202a I n a x dx n a x dx da d n nn n nn -=+-=+⎰⎰∞++∞+，但320212)2(aa da d a x dx da d ππ-==+⎰+∞，5323202221231)1()12(aada d ax dx da d ππ⋅-=-=+⎰∞+，用数学归纳法，可得121212!)!12()1(++∞+--=+⎰n n n nn an a x dx da d π，所以，)21()21(1!)!2(!)!12(2!2!)!12()(+-+-+-⋅=⋅⋅-=n n n n a n n a n n a I ππ．（2）当0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，下设0≠m ．由于0sin lim0=---→+mx xe e bxax x ，因此0=x 不是瑕点，从而当0>a ，0>b 时，被积函数在+∞<≤x 0内连续（0=x 的函数值理解为极限值0），又由于)0(sin >-≤-----x xe e mx x e e bxax bx ax ，而积分⎰∞+---1dx x e e bx ax 收敛，由比较判别法，积分⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax收敛．当00>≥a a 时，积分⎰⎰∞+-∞+---=-∂∂00sin )sin (mxdx e dx mx xe e a ax bxax 是一致收敛的．事实上，由)0(sin 0≥≤--x emx exa ax立即得到此结论．于是⎰∞+---=0sin )(mxdx xe e a I bxax 在00>≥a a 时可以在积分号下求导数，得220sin )(ma mmxdx e a I ax +-=-='⎰+∞-，由00>a 的任意性知，上式对一切0>a 均成立，从而c m ada m a m a I +-=+-=⎰arctan )(22，其中c 为待定常数，令b a =，则得c m b b I +-==arctan 0)(mbc arctan =⇒．所以， )0()(arctan arctan arctan sin 20≠+-=-=-⎰∞+--m abm a b m m a m b mxdx x e e bx ax ．（3）⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞-+-=-=0000cos 2sin 21)(sin 21sin 2222bxdx e a b bx e a e bxd a bxdx xeax ax ax ax ⎰+∞-=0cos 22bxdx e ab ax 设⎰+∞-=0cos )(2bxdx eb I ax ，由于bx e ax cos 2-与bx xe bx e bax ax sin )cos (22---=∂∂都是0≥x ，+∞<<∞-b 上的连续函数，且此时22cos ax ax e bx e --≤，22sin ax ax xe bx xe --≤，而积分⎰+∞-02dx e ax 与⎰+∞-02dx xe ax 都收敛，因此积分⎰+∞-0cos 2bxdx e ax 与⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax 均在),(+∞-∞上一致收敛，从而可以在积分号下求导数．所以，)(2sin )(02b I abbxdx xe b I ax -=-='⎰+∞-，解得，ab ceb I 42)(-=，其中c 是待定常数．但21)0(02πa dx e I ax ==⎰∞+-，得ab a b axe aa b e a a b b I a b bxdx xe 42402224212)(2sin --∞+-===⎰ππ． 9．利用对参数的积分法计算下列积分：（1）⎰∞+---022dx xeebx ax （0>a ，0>b ）；（2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）．解（1）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--=-=-b atx abtx bx ax dx xedt dt exdx dx xe e2222⎰⎰⎰+∞-+∞--=--=b a tx ba tx dt e t tx d e dt t 0022221)(21ab a b t dt t b a b a ln 21)ln (ln 21ln 2121=-===⎰．（2）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--==-b a tx b a tx bxax mxdx e dt dt e mxdx mxdx xe e 000sin sin sinabm a b m m a m b m t dt m t m ba ba+-=-==+=⎰222)(arctanarctan arctan arctan （)0≠m ，而0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，这也可以归结到前面最终答案中0=m 的情形，所以， abm a b m mxdx x e e bx ax +-=-⎰∞+--20)(arctan sin ． 10．利用⎰+∞+-=+0)1(2211dy e xx y 计算Laplace 积分 ⎰+∞+=021cos dx x x L α和 ⎰+∞+=0211sin dx xx x L α．解先计算⎰+∞+=021cos dx xxL α．若0=α，则2arctan 111cos 00202πα==+=+=∞++∞+∞⎰⎰x dx x dx x x L ，故下设0≠α．⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞+∞+-+∞==+=0000)1(02cos cos )(1cos 22xdx e dy e xdx dy e dx xx L yx y x y ααα ⎰⎰⎰∞++-∞++-∞+--==⋅=0)2(0)4(04222221dt eedt ety dy e yett tt yyααααπππ，其中第四个等号应用了8（3）中)(b I 的结果．下面计算⎰∞++-=0)2(2dt eI tt α．设u tt =-2α，则+∞<<t 0时，+∞<<∞-u ，αα222+=+u tt )2(212α++=⇒u u t ，从而有du u u u du u u dt ααα2221)2221(21222+++=++=，代入得⎰⎰∞+∞-+-∞++-+++==du u u u e dt eI u tt αααα222122)2(0)2(22)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞-+-+++++++=du u u u e du u u u e u u αααααα)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞++-+++++-+=du u u u e du u uu e u u αααααα（前者作负代换）ααααπ2020)2(0)2(2221222-∞+--∞++-∞++-====⎰⎰⎰edu e e du e du e u u u ，所以，αααααππππ--∞++-=⋅=⋅=⎰eeedt eeL tt 2220)2(2．再计算⎰+∞+=0211sin dx x xx L α．显然 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+∞+∞==+=+=ααααππ000020021221cos 1cos du e du e dx x ux du du x ux dx L uu απαπαπααπαααααsgn )1(20,)1(2,0,)1(20,,0,200----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎰⎰e e e du e du e u u ． 11．利用)0(2102>=⎰+∞-x dy e xxy π计算Fresnel 积分⎰⎰+∞+∞==002sin 21sin dx xxdx x F ，和 ⎰⎰+∞+∞==0021cos 21cos dx xxdx x F ．解在积分⎰+∞-=221dy e xxy π的两端乘以x sin ，再在100x x x ≤≤<上积分，则得⎰⎰⎰+∞-=121sin 2sin x x xy x x dy xe dx dx xx π.由于202sin y x xy e ex --≤⋅，而⎰+∞-020dy e y x 收敛，故积分⎰+∞-02sin dy xe xy 对10x x x ≤≤一致收敛，从而可以进行积分顺序的交换，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-++-=⋅=420102121]1)cos sin ([2sin 2sin dy yx x y e dx e x dy dx xx x x xy x x xy x x ππ⎰⎰∞+-∞+-+++=04004201cos 21sin 22020dy y e x dy y y e x y x y x ππ⎰⎰∞+-∞+-+-+-04104211cos 21sin 22121dy y e x dy y y e x y x y x ππ，上述等式右端的诸积分分别对+∞<≤00x ，+∞<≤10x 都是一致收敛的(120≤-y x e，121≤-y x e ，且⎰∞++0421dy yy 及⎰+∞+041y dy 均收敛)．于是，它们分别是10,x x (+∞<≤00x ，+∞<≤10x )的连续函数，从而令+→00x ，可在积分号下取极限，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞++-+-+=04104210401cos 21sin 212sin 21211dy y e x dy y y e x y dy dx xx y x y x x πππ，且由于上式右端后两个积分均不超过积分)(0211121+∞→→=⎰∞+-x x dy e y x π．故0104221→+⎰∞+-dy y y e y x ，)(0110421+∞→→+⎰∞+-x dy y e y x ，令+∞→1x 取极限，222212sin 04ππππ=⋅=+=⎰⎰∞+∞+y dy dx xx ，。

第十五章含参变量积分

f (α ( y), y)α ′( y) .
∫ 证明记 G(α, β , y) =
β (y)
f (x, y)dx = F ( y) , 利用链法则，有
α ( y)
∫ F ′( y)
=
∂G ∂y
+
∂G ∂α
⋅
dα dy
+
∂G ∂β
⋅
dβ dy
=
β ( y)
α ( y) f y (x, y)dx −
f (α ( y), y)α ′( y) +
1
《数学分析》教案----含参变量积分
华中科技大学数学系汤燕斌
∫ ∫ 明函数 F(y) =
β ( y) α( y)
f (x, y)dx在闭区间[c, d ] 上连续，并求极限 lim y→0
1+ y
1
y 1+ x2 + y2
dx .
β ( y)
β ( y)
α ( y)
∫ ∫ ∫ 证明因为 F ( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dx − f (x, y)dx , 由定理 1 以及复合函数的连续性，
dx
.
因为
ln(1 + αx) 1+ x2
和
∂ ∂α
(
ln(1 + αx) 1+ x2
)
=
(1 +
x2
x )(1 +
αx)
都在闭区域
D = {0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ α ≤ 1} 上连续, 由积分号下求导定理（定理 2），有
∫ ∫ ∫ I ′(α) =
1 0
∂ ∂α
ln(1 + αx) ( 1 + x 2 )dx

数学《含参量积分》讲义

第十九章含参量积分§1 含参量正常积分设:[,][,]f a b c d R ⨯→连续, 形如(,)dc f x y dy ⎰的积分, 称为含参量(x 的)正常积分. 若[,]x a b ∀∈,(,)dcf x y dy ⎰存在 (固定x 时, (,)f x y 关于y 可积), 则由()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰([,]x a b ∈)定义了[,]a b 上的函数ϕ. 1) ϕ的连续性由于[,]a b 是闭区间,考察连续性就是考察一致连续性, 即需证 12 0,0,||:x x εδδ∀>∃>-<121212|()()||(,)(,)||(,)(,)|dddcccx x f x y dy f x y dy f x y f x y dy ϕϕε-=-≤-<⎰⎰⎰,只需1212[,],||: |(,)(,)|y c d x x f x y f x y d cεδ∀∈-<-<-,而f 在[,][,]a b c d ⨯上连续,则其在[,][,]a b c d ⨯上也一致连续. 因而121212120,0,,[,],,[,], ||,||:x x a b y y c d x x y y εδδδ∀>∃>∀∈∀∈-<-<1122|(,)(,)|f x y f x y d cε-<-特别地, 121212[,],,[,],|-|<: |(,)(,)|y c d x x a b x x f x y f x y d cεδ∀∈∈-<-.故有下面的结论.定理1 若f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰在[,]a b 上连续, 即()lim (,)lim ()()(,)lim (,)d d dccc x xx xx xx f x y dy x x f x y dy f x y dy ϕϕϕ→→→=====⎰⎰⎰.2) ϕ的可导性设[,],[,]x a b x h a b ∈+∈, 则()()(,)(,)(,), 01(,) (: )dc dx h h cdx x cx h x f x h y f x y dyhhf x h y dy f x y dy f ϕϕθθ+-+-==+⋅<<→⎰⎰⎰条件连续定理2 若f 与x f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,) ([,])dcx f x y dy x a b ϕ=∈⎰在[,]a b 上连续可导, 且()(,)dx cx f x y dy ϕ'=⎰.更一般地, 我们有定理3 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则由(,)(,), [,]tcx t f x y dy t c d ψ=∈⎰定义的ψ在[,][,]a b c d ⨯上连续, 且当x f 连续时, 1C ψ∈(因而ψ可微) . 定理4 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 函数:[,][,]a b c d β→连续, 则函数()()(,) , [,]x cx f x y dy x a b βϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, β可微, 则ϕ可导. 且()'()(,)+(,())()x x cx f x y dy f x x x βϕββ'=⋅⎰定理5 若,,f αβ连续, 则函数()()()(,), [,]x x x f x y dy x a b βαϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, ,αβ可导, 则ϕ可导, 且()()()(,)+(,()) ()(,()) ()x x x x x f x y dy f x x x f x x x βαϕββαα'''=⋅-⋅⎰注上述定理中[,]a b 均可改为(,)a b 或任意区间.3) ϕ的可积性定理6 若(,)f x y 在矩形域[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,), ([,])d cx f x y dy x a b ϕ=∈⎰与()(,), ([,])bay f x y dx y c d ψ=∈⎰分别在[,]a b 和[,]c d 上可积.引入累次积分及记号(,)[(,)],(,)[(,)]bdb da cacdbd bcacadx f x y dy f x y dy dx dy f x y dx f x y dxdy∆∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理7 (累次积分定理, 交换积分次序) 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则(,)(,)bd d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰例1 1) 1220lim 14x dx x ααπα+→=++⎰.2) 11222223220011111arctan (0)arctan +()22(1)dx dx x x ααααααααα=≠⇒=+++⎰⎰.3) 设f 连续, 10()()()xn x f t x t dt ϕ-=-⎰, 求()n ϕ.4)设cos sin ()x xF x e =⎰, 求'F .5) 设(,)()()xy x y F x y x yz f z dz =-⎰, f 可微, 求xy F .例2 求1(,), (0)ln b ax x I a b dx b a x-=>>⎰.例3 求120ln(1)1x I dx x +=+⎰例4 讨论122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性, 其中f 为[0,1]上的正值连续函数.例5 试分别求累次积分221122200()x y dx dy x y -+⎰⎰与221122200()x y dy dx x y -+⎰⎰.§2 含参量反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域[,][,)a b c ⨯+∞上. 若对任一固定的[,]x a b ∈, 反常积分(,)cf x y dy +∞⎰收敛, 则其值为定义在[,]a b 上(关于x )的函数. 记为()x ϕ.即 ()(,) [,]cx f x y dy x a b ϕ+∞=∈⎰称为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分, 简称含参量反常积分. 取1,,n A c A =↑+∞ 则 1()(,)() n ndA n A nx f x y dy x ϕϕ+==∑∑⎰.因而我们可仿照讨论函数项级数来讨论反常积分. 先比较一下函数项级数与反常积分性质判别方法x E ∈, )x 收敛)x =∑一致收敛(nx ϕ'∑x E ∈, ,)x y dy )cx dy +∞=⎰一致收敛b 上可微,)x y dy (cf x +∞bdx dx =⎰例1 证Cauchy 准则例2 反常积分()(,)cx f x y dy ϕ+∞=⎰在[,]a b 上一致收敛⇔对任一趋于+∞的递增数列1{},()n A A c = 函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy x ϕ++∞+∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛.例3 证明可微性.例4 证明Abel 和Dirichlet 判别法.例5 1) 证明: 含参量积分2cos 1xydx x+∞+⎰在R 上一致收敛.2) 证明:sin xydy y+∞⎰在[,),(0)δδ+∞>上一致收敛,但在(0,)+∞上不一致收敛. 3) 证明: 11sin ,(0)y x dx y x+∞<⎰在(,],(0)δδ-∞<上一致收敛, 但在(,0)-∞上不一致收敛.4) 证明: 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上收敛,(,)cf b y dy +∞⎰发散, 则(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.例6 证明: 0sin ()kxxI k e dx x+∞-=⎰在[0,)+∞上连续, 并求()I k 的值.例7 求2cos cos (,),(,0)x xI dx xαβαβαβ+∞-=>⎰.例8 求证: 222400()cos (xx exdx edx γϕγγ+∞+∞---==⇒=⎰⎰.例9 (198P 定理13) (了解,不证明)设(,)f x y 定义在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛,(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛;2) 积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛, 则另一个积分也收敛, 且(,)(,)accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰§3 Euler 积分含参量积分 10(), 0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰1110(,)(1), ,0p q B p q x x dx p q --=->⎰称为Euler 积分, Gamma 函数, Beta 函数. 一、Γ函数11101()()()s x s x s x e dx x e dx I s J s +∞----Γ=+=+⎰⎰对()I s : 1s ≥时, 正常积分; 0<1s <时, 收敛的瑕积分. 对()J s : 0s >时, 收敛的反常积分(无限). 故0s >, ()s Γ有定义.1. ()s Γ在定义域(0,)+∞上连续可导.对任何闭区间[,],(0)a b a >, 对()I s , 当01x ≤≤时, 从而()I s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 而对于()J s , 当1x ≥时, 11s xb xx e x e ----≤, 由于110b x x e dx --⎰收敛, 从而()J s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在0s >上连续.又1100()ln s xs x x e dx x e dx s+∞+∞----∂=∂⎰⎰, 类似可证在[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在[,]a b 上可导. 故()s Γ在0s >上可导. 且10()10()ln , 0()(ln ), 0s x n s x n s x e xdx s s x e x dx s +∞--+∞--'Γ=>Γ=>⎰⎰.2. 0(1)()(1)!!x s s s n n e dx n +∞-Γ+=⋅Γ⇒Γ+==⎰3. Γ图像4. Γ的延拓定义 (1)(), 10, (0,)s s s s n sΓ+Γ=-<<≠-5. Γ的其他形式22210, ()2, (0)s y x y s y e dy s +∞--=Γ=>⎰10, (), (0,0)s s py x py s p y e dy s p +∞--=Γ=>>⎰二、B 函数1. (,)B p q 在定义域 0,0p q >>上连续.1) 定义域 0,0p q >>. 1,1p q ≥≥为正常积分. 当01,1p q <<≥时, 0为瑕点,1()(0)p f x xx -→. 而当1q <时, 0,1为瑕点,1112102()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,11()(0),()(1)(1)p q f x x x f x x x --→-→. 从而 0p >时, (,),(0)B p q q >收敛.2) 在 0,0p q >>连续.0,0p q ∀>>, 1111(1)(1), (,)p q p q x x x x p p q q -----≤-≥≥ (,)B p q ⇒在,p p q q ≥≥上一致收敛.1. 对称性 (,)(,)B p q B q p =作变换1x y =-得 1111110(,)(1)(1)(,)p q p q B p q x x dx y y dy B q p ----=-=-=⎰⎰2. 递推公式 1(,)(,1) (0,1)1q B p q B p q p q p q -=->>+-1(,)(1,) (1,0)1p B p q B p q p q p q -=->>+-(1)(1)(,)(1,1) (1,1)(1)(2)p q B p q B p q p q p q p q --=-->>+-+-3. 其他形式2212120cos , (,)sin cos q p x B p q d πϕϕϕϕ--==⎰10, (,)1(1)p p q y y x B p q dy y y -+∞+==++⎰ 11101, (,)(1)p q p q y y x B p q dy t y --++==+⎰三、Γ函数与B 函数的关系 1) ()()(,)()p q B p q p q Γ⋅Γ=Γ+2) (,1)()(1)sin B p p p p p ππ-=Γ⋅Γ-=3)1()2Γ=(120111()(,)222B πΓ===⎰) 11()2()22Γ-=-Γ=-321()()232Γ-=-Γ-=1()2n Γ+=1()2n Γ-= 4) 20111(,)sin cos (,), (,1)222p q p q I p q x xdx B p q π++==>-⎰ 特别地, 0,1q p =>-时,20(21)!!111()()()22(2)!!1222sin (2)!!22(1)()22(21)!!p n p p p nn xdx p p n p np n ππ-⎧++Γ⋅ΓΓ⎪=⎪===⎨≠⎪Γ+Γ⎪+⎩⎰三、利用Euler 积分求积分例 1 1)6111()(1)16663dx x π+∞=ΓΓ-=+⎰2)10113(,)4444B ==⎰习题课例 1 证明: 10()(,)F y f x y dy =⎰连续, 这里1(,)01x y f x y x y x y>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.例 2 求22222220ln(sin cos ), (0)(0,0)a x b x dx a b a b π++≠>>⎰例 3 求101sin(ln ), (0)ln b ax x dx b a x x->>⎰例 4 证明: 0xy xe dy +∞-⎰在[,],(0)a b a >上一致收敛, 但在(0,]b 上不一致收敛.例 5 求22222(0)a x b x ee dx b a x --+∞->>⎰例 6 1) 对极限202xy xye dy +∞-⎰能否进行极限与积分运算次序.2) 2130(22)xy dy y xy e dx +∞--⎰⎰能否交换积分次序.3) 对230()xy F x x edy +∞-=⎰能否交换积分与求导次序.例 7 设10()(,)()u x k x y v y dy =⎰,其中(1)(,)(1)x y x y k x y y x x y-≤⎧=⎨->⎩,v 为[0,1]上的连续函数, 求证: ()()u x v x ''=-.。

积分

含参变量的积分与反常积分一、含参变量的正常积分1. 含参变量积分的定义设函数(,)f x y 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续. 对任意固定的[,]y c d ∈, 积分()(,)baF y f x y dx =∫存在, 且将随y 的变化而变化, 我们称此积分为含参变量y 的积分。

同样()(,)dcG x f x y dy =∫称为含参变量x 的积分。

含参积分提供了表达函数的又一手段. 这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用, 有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数. 本节主要讨论这种由积分所确定的函数的连续性, 可微性与可积性. 2. 含参变量积分的性质定理1.1 （连续性）若函数),(y x f 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 则函数()(,)baF y f x y dx =∫在[, ]c d 上连续. 注：在定理的条件下, 有()()0lim ,lim ,b baa y y y y f x y dx f x y dx →→=∫∫,即极限运算可以通过积分号.证明：设,[,]y y y c d +Δ∈, 则()()F y y F y +Δ−[(,)(,)]d b af x y y f x y x =+Δ−∫.由于),(y x f 在闭区域D 上连续, 所以一致连续, 从而,0>∀ε ,0>∃δ1122(,),(,),x y x y R ∀∈ 有.|),(),(|2211ε<−y x f y x f故,()()F y y F y +Δ− |(,)(,)|d b af x y y f x y x ≤+Δ−∫ d ().bax b a εε<=−∫这说明()F y 在],[d c 上连续.定理1.2（可导性）若函数),(y x f 及其偏导数(),y f x y 都在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 则()(,)baF y f x y dx =∫在[, ]c d 上有连续的导数, 且求导与积分可交换顺序, 即'()(,)(,).bb y aa d F y f x y dx f x y dx dy ==∫∫ 证明：对任意,[,]y y y c d +Δ∈,[]()()(,)(,)d .b aF F y y F y f x y y f x y x Δ=+Δ−=+Δ−∫又由拉格朗日中值定理，存在)1,0(∈θ使得(,)(,)(,),y f x y y f x y f x y y y θ+Δ−=+ΔΔ故,(,)d .b y a Ff x y y x yθΔ=+ΔΔ∫ 由于(,)y f x y 在 [,][,]a b c d ×上连续, 由定理1. 1知00'()limlim (,)d (,)d ,b b y y a a y y FF y f x y y x f x y x yθΔ→Δ→Δ==+Δ=Δ∫∫ 且'()F y 在[, ]c d 上连续.定理1.3（积分顺序交换）若函数),(y x f 在矩形[,][,]D a b c d =×上连续, 则()(,)d ,b aF y f x y x =∫ 在],[d c 上可积；()(,)d ,dcG x f x y y =∫ 在],[b a 上可积.且∫∫∫∫=badcdcbady y x f dx dx y x f dy ),(),(.注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序. 证明：令1()d (,)d ()d ,u b u cacI u y f x y x F y y ==∫∫∫2()d (,)d (,)d b u bacaI u x f x y y H u x x ==∫∫∫其中[,],(,)(,)d u cu c d H u x f x y y ∈=∫.易见,1d ()()d (), d ucI u F y y F u u ′==∫2d ()(,)d (,)d (,)d ()d bb b u aa a I u H u x x H u x x f u x x F u u ′====∫∫∫,所以),()(21u I u I ′=′从而k u I u I +=)()(21, k 为常数.当 u = c 时, 12()()0,I c I c ==于是.0=k 即得⇒=)()(21u I u I d (,)d d (,)d .u b b ucaacy f x y x x f x y y =∫∫∫∫注：以上结论对含参量积分()(,)dcG x f x y dy =∫同样成立.例1.1计算极限10limy −→∫.解：易见函数(,)f x y =是x 和y 的连续函数. 故由定理1.1, 1111100lim || 1.y y x dx −−−→→===∫∫∫例1.2 计算积分.d 1)1ln(12x xx I ∫++=解：考虑含参变量t 的积分所确定的函数.d 1)1ln()(12x x tx t I ∫++= 显然.)1(,0)0(I I I ==易见,21)1ln(x x t ++及其对t 的偏导数)1)(1(2x t x x ++在]1,0[]1,0[×上连续. 于是由定理2,[]][].)1ln(42ln 2111)1ln(arctan )1ln(21[11d 11111d )1)(1()(210222102212t t t x t x t x t x x t t xt x x t x x t x xt I +−++=+−+++=+−++++=++=′∫∫π故,[]tt t t tt I I I I d )1ln(42ln 2111d )()0()1(211+−++=′=−=∫∫π.2ln 4d 1)1ln()1ln(8arctan 2ln 2110201201I tt t t t −=++−++=∫ππ因此得2ln 8π=I .以上所研究的含参量积, 只是被积函数含有参变量. 一般情况, 除被积函数含有参变量外, 积分的上、下限也含有参变量，即).(),(y b b y a a ==3. 含参变量积分的一般形式及其性质设),(y x f 是定义在区域[,][,]D a b c d =×上的二元函数其中1()x y ,2()x y 为定义在],[d c 上的连续函数,值域为],[b a . 若对于],[d c 内每一固定的y 值, ),(y x f 作为x 的函数在12[(),()]x y x y 上可积, 其积分值是y 在],[d c 上取值的函数, 表示为21()()()(,),[,],x y x y F y f x y dx y c d =∈∫称为含参量y 的正常积分或简称含参量积分.定理1.4（连续性）若函数),(y x f 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 函数1()x y 和2()x y 在[, ]c d 上连续, 并且12(),()a x y b a x y b ≤≤≤≤,()c y d ≤≤,则21()()()(,)x y x y F y f x y dx =∫在[, ]c d 上连续.证明：由函数),(y x f 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续及,),()],(),([),(),(),()()()()()()()()()()()()(2221112121∫∫∫∫∫Δ+Δ+Δ+Δ+Δ++−Δ++Δ+=−Δ+=−Δ+y y x y x y x y x y x y y x y x y x y y x y y x dx y y x f dxy x f y y x f dx y y x f dxy x f dx y y x f y F y y F.0)]()([lim 0=−Δ+⇒→Δy F y y F y 说明函数()F y 在[, ]c d 上连续.定理1.5（可导性）若函数),(y x f 及其偏导数(,)y f x y 在矩形域[,][,]D a b c d =×上连续, 函数1()x y 和2()x y 在[,]c d 上可导, 并且12(),()a x y b a x y b ≤≤≤≤, ()c y d ≤≤, 则21()()()(,)x y x y F y f x y dx =∫在[,]c d 上可导, 且21()''2211()()(,)d ((),)()((),)().x y y x y F y f x y x f x y y x y f x y y x y ′=+−∫证明：把 F ( y )看作复合函数：2112()(,,)(,)d ,x x F y H y x x f x y x ==∫其中1122(),()x x y x x y ==. 由复合函数求导法则及变限的求导法则, 有211212()''2211()d d d ()d d d (,)d ((),)()((),)().x y y x y x x H H H F y y y x y x y f x y x f x y y x y f x y y x y ∂∂∂=++∂∂∂=+−∫例1.3计算极限12201lim1y yy dx x y +→++∫.解：易知函数1()x y y =,2()1x y y =+,2211),(yx y x f ++=都是x 和y 的连续函数, 故由定理1.4，1221()1y yF y dx x y+=++∫在0处连续, 故112220011lim lim ()(0).114y yy y dx F y F dx x yx π+→→====+++∫∫例1.4求函数()2ln 1()y yyx F y dx x+=∫的导数（0>y ）. 解：,0>∀y 暂时固定, ,0>∃ε使得.1εε≤≤y 易见函数()ln 1(,)yx f x y x+=及其偏导数1(,)1y f x y yx =+在1,[1,[2εεεε×上连续. 1()x y y =和22()x y y =在]1,[εε可导, 故由由定理1.5知()F y 可导, 且()()()()()()()()()2222323232ln 1ln 1ln 1'()2ln 1ln 111ln 1ln 12ln 1ln 1.y yy yyy yx yy dy dy F y dx y x x dy x dy y y y dx yx x xy y y y y yx+++⎛⎞∂=+−⎜⎟∂⎝⎠++=+−++−++−+=+∫∫例1.5计算积分()1,(0).ln b ax x I y dx a b x−=<<∫解：由被积函数的特点想到积分:x x x x x y x ab ab y bayln ln d −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∫y x x x xx x I b a y ab d d d ln 101∫∫∫=−=⇒.因为yx 在],[]1,0[b a ×上连续，所以交换积分顺序.11ln d 11d 1d d 0111++=+=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡==∫∫∫∫+a b y y y y x x x y I b a bay yb a例1.6 讨论函数∫+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性, 其中)(x f 是]1,0[上连续的正函数.解：令22)(),(yx x yf y x g +=, 则),(y x g 在],[]1,0[d c ×连续, 其中],[0d c ∉. 从而)(y F 在0≠y 连续.当0=y 时,0)0(=F .当0>y 时, 记 0)(min ]1,0[>=∈x f m x , 则∫+=10 22)()(dx y x x yf y F ∫+≥1 0 22dx y x y m .1arctan ym = 若)(lim 0y F y +→存在, 则≥+→)(lim 0y F y y m y 1arctan lim 0+→)0(02F m =>=π, 故)(y F 在0=y 不连续.或用定积分中值定理, 当0>y 时, ]1,0[∈∃ξ, 使;1arctan )(arctan)( )()()(11 0 2210 22yf yx f dx y x y f dx y x x yf y F ξξξ==+=+=∫∫若)(lim 0y F y +→存在, 则 =+→)(lim 0y F y y f y 1arctan )(lim 0ξ+→02>≥m π, 故)(y F 在0=y 不连续.问题1 上面最后一个式子能否写为y f y 1arctan)(lim 0ξ→0)(2>=ξπf ? 事实上,ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定.例1.7设函数)(x f 在],[b a 连续, ∫−=xcdt t x k t f k x y )(sin )(1)(, 其中],[,b a c a ∈.求证函数y 满足微分方程)(2x f y k y =+′′. 证：令)(sin )(),(t x k t f t x g −=, 则)(cos )(),(t x k t kf t x g x −=, )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx −−=它们都在],[],[b a b a ×上连续. 而,)(cos )()( ∫−=′x cdt t x k t f x y ).()(sin )()( x f dt t x k t f k x y xc+−−=′′∫故,).()(sin )()()(sin )( 2x f dt t x k t f k x f dt t x k t f k yk y xcxc=−++−−=+′′∫∫例1.8设)(x f 为连续函数, ∫∫++=hhd d x f x F 0])([)(ξηηξ, 求)(x F ′′.解：令u x =++ηξ, 则∫∫++=h h d d x f x F 0])([)(ξηηξ,)(0∫∫+++=hx x h du u f d ξξξ.])()([)(0∫∫+−++=′hh d x f d h x f x F ξξξξ在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ, 则∫∫+++−=′hx xhx hx du u f du u f x F ])()([)(2,).()(2)2()("x f h x f h x f x F ++−+=二、含参变量的广义积分本节研究形如∫+∞adx y x f ),(和)(,),(为瑕点b dx y x f ba∫的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性. 下面只对无穷限积分讨论, 无界函数的情况可类似处理. 1. 含参变量的广义积分的定义定义2.1设f (x , y ) 在无界区域[,][,]D a c d =+∞×上连续. 若对每个固定的[,]y c d ∈, 反常积分(,)af x y dx +∞∫都收敛, 则它的值是 y 在区间[,]c d 上取值的函数, 表示为()(,),[,]aF y f x y dx y c d +∞=∈∫,称为定义在[c, d ]上的含参量y 的无穷限反常积分, 或简称为含参量反常积分. 2. 含参量反常积分的一致收敛定义及判别方法定义2.2设f (x , y )在无界区域[,][,]D a c d =+∞×上连续. 且对任意[,]y c d ∈含参量积分()(,)aF y f x y dx +∞=∫收敛. 若对任意],,[,,0,0)(d c y N M N ∈∀>∀>∃>εε 都有(,),Mf x y dx ε+∞<∫则称含参量反常积分()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[,]c d 上一致收敛.定理2.1（一致收敛的柯西准则）设f (x , y ) 在无界区域[,][,]D a c d =+∞×上连续. 则含参量反常积分()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[c ,d ]上一致收敛的充要条件是：都有],,[,,,,021d c y M A A a M ∈∀>∀>∃>∀ε21(,).A A f x y dx ε<∫定理2.2（一致收敛比较准则）设f (x , y )在无界区域 [,][,]D a c d =+∞×上连续, 且),(),(x g y x f ≤ ,d y c ≤≤+∞<≤x a . 若()ag x dx +∞∫收敛，则()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[c ,d ]上一致收敛.证明：(,)|(,)|().A A A AAAf x y dx f x y dxg x dx ′′′≤≤∫∫∫因为()ag x dx +∞∫收敛, 所以由广义积分收敛的柯西准则, 00,,A a ε∀>∃> 0,,A A A ′∀>|()|,A Ag x dx ε′<∫从而[,]y c d ∀∈,(,)(),A A AAf x y dxg x dx ε′′≤<∫∫所以()(,)aF y f x y dx +∞=∫在[,]c d 上一致收敛.3.一致收敛含参量广义积分的性质在一致收敛条件下, 含参量广义积分保持被积函数的一些重要分析性质, 如连续性、可导性和可积性.定理2.3 (连续性) 设),(y x f 在[,][,]D a c d =+∞×上连续,∫+∞adx y x f ),(关y 在],[d c 上一致收敛, 则一元函数∫+∞=adx y x f y F ),()(在],[d c 上连续.证明：因为),(y x f 在[,][,]D a c d =+∞×内一致收敛, 所以 ,,00a A >∃>∀ε使得, 0A A >∀],[d c y ∈∀,.),(ε<∫+∞Adx y x f从而, 当],[d c y y ∈Δ+时,.),(ε<Δ+∫+∞Adx y y x f又),(y x f 在[,][,]a A c d ×上连续, 所以∫Aadx y x f ),(作为y 的函数在],[d c 连续, 于是,||,0,0时当δδε<Δ>∃>∀y .),(),(ε<−Δ+∫∫A aAadx y x f dx y y x f综上知, 当δ<Δ||y 时,.3),(),(),(),(|)()(|ε<+Δ++−Δ+≤−Δ+∫∫∫∫∞+∞+AAAaAadx y x f dx y y x f dx y x f dx y y x f y F y y F定理2.4 (积分顺序交换)设),(y x f 在[,][,]D a c d =+∞×上连续, ∫+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛, 则函数∫+∞=adx y x f y F ),()(在],[d c 可积, 并且.),(),(∫∫∫∫+∞+∞=adcdcady y x f dx dx y x f dy证明：由定理 2.3知)(y F 在],[d c 上连续, 从而)(y F 在],[d c 上可积. 由一致收敛定义,,,00a A >∃>∀ε使得, 0A A >∀],[d c y ∈∀,.),(ε<∫+∞Adx y x f由上节的定理1.3,.),(),(∫∫∫∫=A adcdcA ady y x f dx dx y x f dy从而, ,0A A >∀ 有.),(),( ),(),( ),(),(),()(∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞+∞++∞+∞d c A A a d c d c A d c A a d c Aa A dcd c a dy dx y x f dx dy y x f dydx y x f dy dx y x f dydx y x f dx y x f dy dx y x f dy y F于是,,)(),(),(),()(∫∫∫∫∫∫∫∫−=<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∞+∞+dcdcAdc A dcA a dc cd dy dy dx y x f dydx y x f dxdy y x f dy y F εε即,()lim(,)(,).dAd d cac a c A F y dy f x y dy dx f x y dy dx +∞→+∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫∫定理2.5 (积分号下求导)设),(y x f ,),(y x f y 在[,][,]D a c d =+∞×上连续,dx y x f a∫+∞),(收敛,dx y x f ay ∫+∞),(关于y 在],[d c 上一致收敛, 则dx y x f y F a∫+∞=),()(的导数存在且.),(),(dx y x f ydx y x f dy d a a ∫∫+∞+∞∂∂= 注：无界函数的积分也有类似的结论. 证明:因为),(y x f y 在[,][,]D a c d =+∞×上连续, 由连续性定理∫+∞=ay dxy x f y ),()(ϕ在],[d c 上连续.沿区间)(],[d y c y c ≤≤积分)(y ϕ, 由积分顺序交换定理, 得到.),(),(),(),()(∫∫∫∫∫∫∫∞+∞++∞+∞−===aaaycy ycay ycdx c x f dx y x f duu x f dx dx u x f du du u ϕ在上式两端对y 求导, 得,),()(∫+∞=adx y x f dy d y ϕ 定理证毕.例2.1证明反常积分2cos 1xydx x +∞+∫在(,)−∞+∞上一致收敛. 证明：由于y R ∀∈有22cos 1,11xy x x≤++ 而反常积分201dx x +∞+∫收敛, 故由比较判别法知含参量反常积分2cos 1xydx x+∞+∫在(,)−∞+∞上一致收敛. 例2.2证明含参量反常积分2ux e dx +∞−∫在[,)a +∞上一致收敛(0>a ) .证明：由于[,),u a ∀∈+∞22.ux ax e e−−≤而反常积分2ux e dx +∞−∫收敛, 故由M 判别法知含参量反常积分2ux e dx +∞−∫在[,)a +∞上一致收敛.例2.3计算积分sin sin , ( 0 , ).pxbx axI e dx p b a x+∞−−=>>∫解：由于被积函数函数可表示成积分:sin sin cos b a bx axxydy x−=∫. 已知],[b a y ∈∀,cos .pxpx exy e −−≤而无穷积分0pxIedx +∞−=∫收敛, 故由定理2.2,cos px e xydx +∞−∫在区间],[b a 一致收敛.由定理2.4，交换积分次序得()00sin sin cos b pxpxabx axI edx e xydy dxx+∞+∞−−−==∫∫∫cos bpx adx e xydy +∞−=∫∫220cos b bpx aapdy e xydx dy p y+∞−==+∫∫∫arctanarctan .b a p p=− 例2.4设),(y x f 在],[],[d c a ×+∞连续，对),[d c 上每一个y ,dx y x f a∫+∞),(收敛, 但积分在d y =发散. 证明这积分在),[d c 非一致收敛.证：（用反证法）若积分在),[d c 一致连续, 则)(,00εεA ∃>∀, 当)(',0εA A A ≥时, 对一切),[d c y ∈均有.|),(|'ε<∫A Adx y x f （1）由假设),(y x f 在],[]',[d c A A ×连续, 故∫'),(A Adx y x f 是y 的连续函数. 在式（1）中令d y →取极限 ε≤==∫∫∫→→→|),(lim ||),(lim ||),(|lim '''A A dy A Ad y A Ady dx y x f dx y x f dx y x f .由ε的任意性, 所以∫+∞adx y x f ),(在d y =点也收敛, 这与已知矛盾. 故dx y x f a∫+∞),(在),[d c 非一致收敛.。

第十五章含参量积分

F(x) = ∫
d ( x)
c( x)
f (x, y)dy, x ∈[a, b].
的正常积分,或简称含参量积分或简称含参量积分. 称为含参量 x 的正常积分或简称含参量积分
y
Y=d(x)
G Y=c(x)
• 性质:
(i) 连性: 、续
o
a
b
x
若二元函数 f (x, y) 在矩形域 G = {(x, y) c(x) ≤ y ≤ d(x), a ≤ x ≤ b} 上连续,其中 c(x) , d(x) 为定义在 [a, b] 上的连续函数,则函数上连续其中上的连续函数则函数
∫
+∞
c
f (x,y)dy 一收， ∀ε>0,必致敛对
存在M>c, 使A2 > A > M时，对∀x ∈[a, b]总有 1
｜ f (x, y)dy ε ｜＜ ∫
Ａ１
Ａ２
又有A →+∞( →+∞), 所以对正数M, 存在正整数N ｎｎ
只要当m>n>N时就有Am > An > M，对∀x ∈[a, b]就有
d
证: 设x ∈ [a, b], 对充分小的∆x, 有x + ∆x ∈ [a, b], 于是
I (x +∆x)-I (x) = ∫ [ f (x +∆x, y) − f (x, y)]dy.
c
d
由于f ( x, y )在D上连续,从而一致连续,可知
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ D, 当 x1 − x2 < δ ,
c

含参变量的积分

§12.3 .含参变量的积分教学目的掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则．教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)bau f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰，或 (,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理 3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()y x y y x y∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f x r r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰=0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰ 01.(0)1cos dx r r r r x ππ=-≠+⎰设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，1cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰. 于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫=-= ⎝. 将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有1()((ln ln I r dr r C r rππ+==++⎰ln(1C π=+.已知'(0)0.I =，有 1ln 2ln 2C ππ=-=.于是，11()ln(1ln ln 22I r πππ+=++=.例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!x n a y x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0n y a y a y a -=== .证明：逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=--+---⎰ =21()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!x n a y x x t f t dt n -=--⎰(1)()(),xn ay x f t dt -=⎰()()()n y x f x =，即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，'()()0,()0,()0n y a y a y a === .例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x ∂=∂即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一应用积分号下积分法.解：函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abbyyaax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二应用积分号下微分法. 解：设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yyx x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。

第十九章含参量积分

§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分
§3 欧拉积分
§1 含参量常义积分
一、含参是定义在矩形域 R(a x b, c y d ) 上的二元函数, 当
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
f ( x, y ) 则是定义在 [c, d ]
c x x0
d
即定义在矩形域上连续，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.
定理19.2
若二元函数 f ( x, y )在区域
G ( x, y ) c( x ) y d ( x ), a x b
上连续,其中 c(x ) , d (x ) 为定义在 [a , b] 上的连续函数,则函数

函数 c x ， d x 为 a, b 上的连续函数，
且对 a, b 内每一点 x ，函数 f x, y 关于 y
y
y d ( x)
则定义了在闭区间 cx , d x 上可积，
x 的函数
F x =
dx
y c( x )
c x
f x , y dy ， x a, b
d( x)
c( x )
f ( x , y )dy 在 [a , b] 上可微, 且
d( x)
c( x )
f x ( x , y )dy f ( x , d ( x ))d ' ( x ) f ( x , c( x ))c ' ( x ).
d ( x)
: 证 : 将F ( x )看作复合函数 F ( x ) H ( x, c, d ) c ( x ) f ( x, y )dy,
a c
u
d
因为H ( u, y )与H u ( u, y ) f ( u, y )都在R上连续，由可微性

数学分析第十九章课件含参变量的积分

d c
| x | ，就有 | f ( x x, y ) f ( x. y ) | 因此只要
y [c, d ] 都成立，因而
| I ( x x) I ( x) | | f ( x + x) f ( x, y ) | dy
c d
d c
d
，对
d c
即
I ( x, u ) 在 ( x0 , u0 ) 点连续，由 I ( x0 , u0 ) [a, b] [c, d ]
的任意性，便证得 I ( x, u ) 在[a, b] [c, d ]连续。（2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数
I f ( x, u ) u
又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数
注意到 I(0)=0，故
I (1) I (1) I (0) I ( ) d
0
1
1 1 [ ln 2 ln(1 )]d 2 0 1 4 2 1 ln(1 ) 1 1 2 [ ln(1 ) ln 2 arctan ]| d 0 0 1 2 8 2

0
dx 1 cos x 0
1 arctan t 1 0 1 2 1 2 2
因此
I ( ) 1 2 1 2 (1 1 2 )
积分得
I ( )
d 1 2 (1 1 2 )
则 F ( x)

d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy 在[a, b]连续。
证明: 令u=d (x) ,v=c (x), I ( x, u ) f ( x, y)dy

若对在上(常义)可积,则其积分定义上的一个函数,记作

第十四章含参变量积分第一节含参变量的常义积分定义14.1(含参变量常义积分)对(,),(,)[,][,]f x y x y D a b c d ∈=⨯. 若[,],x a b ∀∈(,)f x y 对y 在[,]c d 上（常义）可积，则其积分定义[,]a b 上的一个函数，记作()(,),[,]dcI x f x y dy x a b =∈⎰把它称为含参变量（常义）积分或简称含参积分，其中x 称之为参变量.在不至于引起歧义的情况下，常将含参变量的积分中被积函数的自变量省略不写，如可以将上式记成(),[,]dcI x fdy x a b =∈⎰参数的定义区间除上述的[,]a b 外，常用的还有[,),(,),(,),(,)a b a b a +∞-∞+∞等等.()I x 是一个由含参变量的积分所确定的函数，这种形式的函数在理论和应用上都有重要作用，有许多很有用的特殊函数就是这种形式的函数.若(,)f x y 仅有对y 的可积性（对任意x ），则()I x 不一定具有良好的分析性质. 但是当(,)f x y 满足适当的条件时，可以得到()I x 的一些较好的性质.下面我们讨论这种由积分所确定的函数的连续性、可微性与可积性.定理14.1（连续性）对(,),(,),[,][,]f x y x y D D a b c d ∈=⨯. 如果f 在D 上连续，记()f C D ∈，又记(),[,],dcI x fdy x a b =∈⎰那么()I x 在[,]a b 上连续，可记()[,]I x C a b ∈.证明0[,]x a b ∀∈，当||x ∆充分小时，0[,]x x a b +∆∈（对0,x a b =仅考虑()I x 的单侧连续性），于是0000()()((,)(,))dcI x x I x f x x y f x y dy +∆-=+∆-⎰ （14.1）因为(,)f x y 在[,;,]a b c d 上连续，从而就一致连续，因此对任意0ε>，存在0δ>，使得对于这个矩形内任何两点11(,)x y 及22(,)x y ，只要1212||,||x x y y δδ-<-<就有1122|(,)(,)|f x y f x y ε-<而在这个定理中，只要||x δ∆<，那么，对一切y 恒成立00|(,)(,)|f x x y f x y ε+∆-<于是0000|()()||(,)(,)|()dcI x x I x f x x y f x y dy d c ε+∆-≤+∆-<-⎰由0x 的任意性，()[,]I x C a b ∈得证. 即()I x 在[,]a b 上连续.由这个定理得结论也就有0000lim (,)lim (,)(,),[,]d d dcc cx x x x f x y dy f x y dy f x y dy x a b →→==∀∈⎰⎰⎰即在定理得条件下极限运算与积分运算可交换. 也即在该定理的条件下极限运算可以通过积分号. 上面定理说明被积函数的一致收敛性是积分运算与极限运算可交换的充分条件.类似地，如果()f C D ∈，记(),[,]baJ y fdx y c d =∈⎰则[,]J C c d ∈，证明类似于定理14.1.1定理14. 2（可导性与求导求积的可换序性）设(,)f x y 及(,)y f x y 都在矩形[,,,]a b c d 上连续，则(,)(,)(,)bb b y a a a d f x y dx f x y dx f x y dx dy y∂==∂⎰⎰⎰ 证明对于[,]c d 上任何一点y ，设y y +∆也属于[,]c d ，那么()()(,)(,)b a J y y J y f x y y f x y dx y y+∆-+∆-=∆∆⎰ 利用拉格朗日定理()()(,)(01)b y a J y y J y f x y y dx yθθ+∆-=+∆<<∆⎰ 令0y ∆→，再利用定理14. 1的结果，得()(,)b y a dJ y f x y dx dy=⎰ 定理得证.当(,)f x y 是[,][,]D a b c d =⨯上的连续函数时，由定理14.1可得()(,),()(,)d bcaI x f x y dy I y f x y dx ==⎰⎰分别在[,]c d 及[,]a b 上连续，因此()I x 在[,]a b 上可积，()J y 在[,]c d 上可积，记为：()(,)bb daacI x dx dx f x y dy =⎰⎰⎰()(,)dd bccaJ y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰它们相等吗？换言之，两个积分运算在什么条件下可交换？分析：若两个积分运算可交换，则[,]t a b ∀∈，([,][,])f C a t c d ∈⨯，也应有t dd taccadx fdy dy fdx =⎰⎰⎰⎰从而它们对t 的导数应相等. 而上式左端的导数是(,)dcf t y dy ⎰右端的导数是(,)dt d ca cd dy fdx f t y dy dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 它们的确相等. 于是我们可以证明下面定理：定理14. 3（可积性与求积的可换序性）若(,)f x y 在矩形[,;,]a b c d 上连续，那么bd d baccadx fdy dy fdx =⎰⎰⎰⎰例14.1 求1(0,0).ln b ax x I dx a b x-=>>⎰解我们知道ln b abyax x x dy x-=⎰所以 10by aI dx x dy =⎰⎰交换积分顺序得1011ln .11bbyaa b I dy x dx dy y a+===++⎰⎰⎰为了更严格地给出定理的论证，我们考虑积分限中含有参变量的积分. 如()()()(,)b y a y F y f x y dx =⎰定理14. 4（积分上下限函数的连续性）若(,)f x y 在矩形[,;,]a b c d 上连续，函数()a y 及()b y 都在[,]c d 上连续，并且(),()()a a y b a b y b c y d ≤≤≤≤≤≤则()()()(,)b y a y F y f x y dx =⎰在[,]c d 上连续.证明我们考虑()()()()()()(,)(,)b y y b y a y y a y F y y F y f x y y dx f x y dx +∆+∆+∆-=+∆-⎰⎰()()(,)a y a y y f x y y dx +∆=+∆⎰()()[(,)(,)]b y a y f x y y f x y dx ++∆-⎰ ()()(,)b y y b y f x y y dx +∆++∆⎰当0y ∆→时右端第一个和第三个积分趋于零，而第二个积分正象定理14. 1的证明中那样，也趋于零，于是定理得证.定理14.5 若函数(,)f x y 及(,)y f x y 都在[,;,]a b c d 上连续，同时在[,]c d 上'()a y 及'()b y 皆存在，并且(),()()a a y b a b y b c y d ≤≤≤≤≤≤则()()'()(,)b y a y d F y f x y dx dy =⎰ ()()(,)[(),]'()[(),]'()b y y a y f x y dx f b y y b y f a y y a y =+-⎰证明考虑函数()F y 在[,]c d 上任何一点0y 处得导数，由于0000()()()()()()()(,)(,)(,)b y b y a y a y b y a y F y f x y dx f x y dx f x y dx =+-⎰⎰⎰123()()()F y F y F y =+- 现在分别考虑()(1,2,3)i F y i =在点0y 处得导数. 由定理14. 2可得00()'100()()(,)b y y a y F y f x y dx =⎰由于20()0F y =，所以022022000()()()'()limlim y y y y F y F y F y F y y y y y →→-==--00()()(,)limb y b y y y f x y dx y y →=-⎰应用积分中值定理 0'0200()()()lim(,)y y b y b y F y f y y y ξ→-=⋅-这里ξ在()b y 和0()b y 之间.再注意到(,)f x y 的连续性及()b y 的可微性，于是得到20000'()'()[(),]F y b y f b y y =同样可以证明：30000'()'()[(),]F y a y f b y y =于是定理得证. 例2 设2sin ()y yyxF y dx x=⎰，求'()F y . 解应用定理14. 5有：2322sin sin '()cos 21y yy y F y yxdx y y y=+⋅-⋅⎰23232sin 2sin sin 3sin 2sin y yyxy y y y yy y y-=+-=例3 求0()ln(1cos )I x dx πθθ=+⎰，其中||1θ<.解利用积分号下求导数来求这个积分. 对||1θ<中任一定值θ，一定存在b ，使||1b θ≤<. 这时(,)f x θ和(,)f x θθ是0x π≤≤，b b θ-≤≤上的连续函数，利用定理14.1.2可得0cos 11'()11cos 1cos x I dx dx x x ππθθθθ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 011cos dxxππθθθ=-+⎰作代换2xt tg=，求得一个原函数 22222/(1)1cos 1(1)/(1)(1)(1)dx t dxdt x t t t θθθθ+==++-+++-⎰⎰⎰2x⎫=⎪⎪⎭所以1'()2Iππθπθθ⎛⎫==-⎝上式对于11θ-<<中一切θ是成立的.再对θ积分，可得()ln ln(1I C Cθπθπ⎛=++=++⎝⎭现在我们来确定常数C. 由()Iθ的定义可知(0)0I=，于是可得1ln2ln2Cππ=-=最后的()Iθπ=例14.4已知k阶Bessel函数1()cos(sin),kJ x k x dπθθθπ=-⎰试证：222'''()0k k kx J xJ x k J++-=.证明由定理14.2可得1'sin(sin)sin,kJ k x dπθθθθπ=-⎰21''cos(sin)sin,kJ k x dπθθθθπ=--⎰注意到：()()() 2222222sin cos cos cosx x k x k x k x kθθθθ-+-=-=+-且(sin)cos,dk x k xdθθθθ-=-于是2221''()cos(sin)(cos)(cos)k kx J x k J k x x k x k dπθθθθθπ+-=-+-⎰1sin(sin)(cos)k x x kπθθθπ=--+1sin(sin)(sin)k x x dπθθθθπ+--⎰'kxJ=-，移项即得所要证的结果.下面给出定理14. 3的证明. 证明记10()(,)u baJ u dy f x y dx =⎰⎰20()(,)()buaJ u dx f x y dy c u d =≤≤⎰⎰首先证明12'()'()J u J u =.对于变动上限的积分0(,)()ub uady f x y dx J y dy =⎰⎰⎰，因为被积函数()J y 连续，所以关于上限u 的导数为1'()()(,)baJ u J u f x u dx ==⎰对于另一个积分(,)(,)bu bacadx f x y dy F x u dx =⎰⎰⎰这里(,)(,)uF x u f x y dy =⎰应用定理14. 2可得2'()'(,)(,)b bu aaJ u F x u dx f x u dx ==⎰⎰于是证明了12'()'()J u J u =. 所以有12()()J u J u C =+ （C 为一常数）现在来确定常数C . 令u c =，得12()0,()0J c J c ==于是0C =，所以12()()()J u J u c u d =≤≤再令u d =，定理得证.含参变量的积分在微分方程定解问题中常被引用. 在此我们举两个特例.例14.5 设((0,))f C U η∈，则微分方程()(1)()(0)'(0)(0)0n n y f x y y y -⎧=⎨====⎩在(0,)U η中有解11()(1)()(1)!x n y g x x f t dt n -==--⎰.注：这是一个高阶常微分方程解的Cauchy 公式. 证应用定理14. 2，可得11'()(1)()()(1)!x n g x n x t f t dt n -=---⎰11()()(1)!n x x f x n -+--201()()(2)!n x x t f t dt n -=--⎰()101()()(),(1)!x k n k g x x t f t dt n k --=---⎰ 直到(1)0()(),xn g x f t dt -=⎰()()()n g x f x =.显然，(1)(0)'(0)(0)0n g g g -====，结论得证.例14.6（二阶方程的Green 函数）设(1),,(,)(1),,y x y x G x y x y y x -<⎧=⎨-≥⎩ [0,1]f C ∈，则1()(,)()g x G x y f y dy =⎰是微分方程22()(0)(1)0d uf x dxu u ⎧-=⎪⎨⎪==⎩得解.证按G 的定义域分段得1()(1)()(1)(),x xg x y x f y dy x y f y dy =-+-⎰⎰由此可得(0)(1)0g g ==. 根据定理14. 2，'()()(1)()xg x yf y dy x x f x =-+-⎰1(1)()(1)()xy f y dy x x f x +---⎰11()()()x xxyf y dy yf y dy f y dy =--+⎰⎰⎰11()(),xyf y dy f y dy =-+⎰⎰于是''()()g x f x =-.习题1. 设22()y x y yF y e dx -=⎰，计算'()F y .2．求1200lim 1cos dxx xαα→+⎰.3. 设ln(1)(),0yxy F y dx y x+=>⎰.求'()F y . 4. 设0()()()yF y x y f x dx =+⎰，其中()f x 为可微函数，求'()F y .5. 应用对参数的微分法计算定积分:(1) 120ln(1)1x I dx x +=+⎰; (2) /201cos ln 1cos cos a x dxI a x xπ+=⋅-⎰ (0a >).(3) /22220ln(cos sin )I x a x dx π=+⎰(0a >).6. 计算下列积分: (1)1⎰;(2) 101sin ln ln b ax xx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (0a b <<)参考答案 1．432y y ye e ---2．4π 3. 22ln(1)3y +4. 02()()yyf y f x dx +⎰5. (1) ln 28π(2) arcsin a π (3) 1ln2aπ+6. (1)ln(12π+ (2) arctan(1)arctan(1)b a +-+第二节含参变量的反常积分一. 含参变量反常积分的一致收敛性下面我们首先给出含参变量反常积分的定义.定义14.2 对(,)f x y ,(,)[,][,]x y a b c d ∈⨯ （或[,][,)a b c d ⨯）. 若S φ∃≠，[,]S a b ⊂. 对x S ∀∈，(,)f x y 对y 有瑕点y d =. 形如(,)dcf x y dy ⎰，[,]x a b ∈的积分就称为含参变量的无界函数的反常积分.定义14.3 对(,)f x y ，(,)[,][,)x y a b c ∈⨯+∞. 形如(,),[,]cf x y dy x a b +∞∈⎰的积分称为含参变量的无穷限的反常积分.上述两定义中的两种积分简称为含参变量的反常积分.在不引起歧义的情况下，常将含参变量反常积分中被积函数的自变量不写，例如,,[,]accfdy fdy x a b +∞∈⎰⎰.含参变量反常积分中参数的定义域也可以是多种多样的，除常见的[,]a b 外，还有[,)a b ，(,)a b ，(,)a +∞，(,)-∞+∞等等.和含参变量常义积分的情况一样，需要讨论这类积分的性质，如连续性、可微性等等. 但是这些性质的建立比含参变量的常义积分情形要复杂一些.在数理方程和概率论中经常会出现形如(,)cf x y dx +∞⎰的积分. 以后以cfdy +∞⎰，[,]x a b ∈为例来展开讨论，其结果不难平行地推广到其他各类含参变量的反常积分上去.考虑(,)cf x y dx +∞⎰，若对0[,]x a b ∈，0(,)cf x y dy +∞⎰收敛，则称(,)cf x y dx +∞⎰在0x 收敛. 0x 为其收敛点. 收敛点的全体称之为(,)cf x y dx +∞⎰的收敛域，通常它就是[,]a b ，从而可定义函数(),[,]cI x fdy x a b +∞=∈⎰.若把反常积分看作数项级数在连续变量下的对应物，则含参变量的广义积分相当于函数项级数中的n 改成连续变量y 的对应物. 于是在研究含参变量的反常积分时，经常借鉴与对比研究函数项级数的方法与结论.定义14.5（一致收敛性）对含参变量的反常积分(,),[,]cf x y dy x a b +∞∈⎰.如果()I x ∃，[,]x a b ∈，对0ε∀>，0A c ∃>使得0(),,[,]Acfdy I x A A x a b ε-<∀>∈⎰.那么就称(,)cf x y dy +∞⎰关于[,]x a b ∈一致收敛，记作(,)(),[,]cf x y dy I x x a b +∞⇒∈⎰()I x 可省略不写. 要强调的是0A 只能与ε有关，不可与x 有关. 这里的区间[,]a b 可以换成为其他区间如[,)a b ，(,)a b ，[,)a +∞等等. 对于无界函数的积分，也有类似定义.定义14.5 设(,)baf x y dx ⎰对于[,]c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在，如果对于任何0ε>，存在与[,]c d 上的y 无关的0()δε，使当00,'()ηηδε<<时，'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰成立，就称(,)baf x y dx ⎰关于y 在[,]c d 上一致收敛.例14.7 讨论sin(),(0,)xy dy x y+∞∈+∞⎰的一致收敛性.解显然sin()(),(0,)xy I x dy x y+∞=∈+∞⎰是存在的. 下面要考虑0ε∀>是否存在与(0,)x ∈+∞无关的0A ，使0sin()|(,)|,,(0,)Axy R x A dy A A x yε+∞=<∀>∈+∞⎰. 下面考虑x 对(,)R x A 中A 的影响，对任意固定的(0,)x ∈+∞作变换t xy =，得出sin (,),AxtR x A dt t+∞=⎰对任意与x 无关的A ，当0x →时，0Ax →，0sin (,)2t R x A dt t π+∞→=⎰，故0ε∀>2πε⎛⎫< ⎪⎝⎭，不存在0A ，当0A A ∀>时，使|(,)|R x A ε<. 因此，()I x 在(0,)+∞中不一致收敛.由上可见，()I x 在(0,)x ∈+∞中收敛的不一致性是0x =附近引起的. 现在考虑[,)(0)x δδ∈+∞>. 由0sin tdt t+∞⎰的收敛性可知，对0ε∀>，0A ∃，当10A A >是有 110sin ,,A tdt A A tε+∞<∀>⎰因此当0/A A δ>时，[,)x δ∀∈+∞，00/Ax A x A δ>≥，由上式得sin |(,)|AxtR x A dt tε+∞=<⎰，这样就证明了()I x 在[,)x δ∈+∞中一致收敛.二一致收敛性判别法定理14.6(Cauchy 一致收敛原理) 对含参变量反常积分(,),[,]cf x y dy x a b +∞∈⎰，其一致收敛得充要条件是：0ε∀>，0A c ∃>，使得：21120(,),,,[,]A A f x y dy A A A x a b ε<∀>∈⎰.证明必要性：因(,)cf x y d y+∞⎰在[,]a b 上一致收敛，由定义14.2.3知：对00,A c ε∀>∃>，当任意给定的常数A 满足0A A >时有(,),[,]Af x y dy x a b ε+∞<∈⎰于是，对120,A A A ∀>可得：2112(,)(,)(,)2,[,]A A A A f x y dy f x y dy f x y dy x a b ε+∞+∞=-<∈⎰⎰⎰.充分性：由0ε∀>，0A c ∃>有21120(,),,,[,]A A f x y dy A A A x a b ε<∀>∈⎰可知：对任意[,]x a b ∀∈，(,)cf x y dy +∞⎰收敛，故当2A →+∞时，21(,)A A f x y dy ⎰收敛于1(,)A f x y dy +∞⎰. 再令2A →+∞，可得110(,),,[,]A f x y dy A A x a b ε+∞≤∀>∈⎰.由定义14.2.3立即得证.定理14.7（Weierstrass 判别法）设有函数()F y ，使|(,)|(),,f x y F y a x b c y ≤≤≤≤<+∞如果积分()cF y dy +∞⎰收敛，那么(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在[,]a b 上一致收敛.证明由一致收敛性定义和不等式可以得到'''(,)|(,)|()A A A AAAf x y dy f x y dy F y dy ≤≤⎰⎰⎰那么，对0ε>，有0A ，使当'A ，0A A ≥时'(,)A Af x y dy ε<⎰成立，因此(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在[,]a b 上一致收敛.例14.8 判断sin x e xdx α+∞-⎰在00[,](0)ααα∈+∞>内是否一致收敛？解因为当0[,]αα∈+∞时0|sin |x x e x e αα--≤而00x e dx α+∞-⎰是收敛的，由Weierstrass 判别法得0sin x e xdx α+∞-⎰在0[,)αα∈+∞内一致收敛.例14.9 试证含参变量的反常积分2sin()1xy dy y +∞+⎰在(,)-∞+∞上的一致收敛.解显然，对任意的(,)x ∈-∞+∞有22sin()111xy y y≤++ 因21dyy +∞+⎰收敛，由Weierstrass 判别法立即可得20sin()1xy dy y +∞+⎰在(,)-∞+∞上一致收敛.定理14.8(Heine 归结原理) 对含参变量的反常积分(,)cf x y dy +∞⎰，[,]x a b ∈一致收敛的充要条件是：对{}n C ∀当n C →+∞时，(,),[,]nC cf x y dy x a b ∈⎰一致收敛.证明必要性：由Cauchy 原理可知，对0ε>，0A c ∃>使得21120(,),,,[,]A A f x y dy A A A x a b ε<∀>∈⎰因n C →+∞，对上述0A ，N ∃使得对任意,m n 当m 和n N >且m C 和0n C A >时有(,)(,)(,),mmmnC C C C ccf x y dy f x y dy f x y dy ε=-<⎰⎰⎰结论得证.充分性：用反证法. 设(,)cf x y dy +∞⎰不一致收敛，则00ε∃>，对n c ∀≥，n n A B n∃>>与[,]n x a b ∈有0(,)nnA nB f x y dy ε≥⎰.将{},{}n n A B 交错排列得出得数列记作{}n C ，则n C →+∞，又{}[,]n x a b ⊂. 显然上式与条件矛盾.定理14.9（Dirichlet 判别法）对(,)(,)cf x yg x y dy +∞⎰，[,]x a b ∈，其中(,)f x y ，(,)g x y ，(,)[,][,)x y a b c ∈⨯+∞. 如果1）(,)Ccf x y dy ⎰一致有界，即0K ∃>(,),,[,];Ccf x y dy K C c x a b ≤∀>∈⎰2）(,)g x y 关于y 单调，即对每个固定的[,]x a b ∈，(,)g x y 关于y 是单调函数； 3）当y →+∞时，对参变量x ，(,)g x y 一致收敛于0. 则含参变量反常积分(,)(,)cf x yg x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.注：改定理的证明类似于下面Abel 判别法的证明，因此在这里仅证明下面定理.定理14.10（Abel 判别法）设1）(,)cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛；2）对每一个[,]x a b ∈，函数(,)g x y 为y 的单调函数，且对参变量x ，(,)g x y 在[,]a b 上一致有界. 则含参变量的反常积分(,)(,)cf x yg x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛.证明：由1）可知，对任给0ε>，必存在0A c ≥，使得当120,A A A >时，对一切[,]x a b ∈，总有21(,)A A f x y dy ε<⎰.利用积分的第二中值定理可得2211()12()(,)(,)A x A A A x fgdy g x A fdy g x A fdy ξξ=+⎰⎰⎰2()1|(,)|x A g x A fdy ξ≤⎰22()|(,)|2A x g x A fdy K ξε+≤⎰其中()x ξ介于12,A A 之间. 证毕.例14.10 证明含参变量的反常积分sin xyxe dx x+∞-⎰在[0,]d 上一致收敛.证明由于反常积分sin xdx x+∞⎰收敛，显然对于参变量y 它在[0,]d 上是一致收敛的. 函数(,)xy g x y e -=对每一个y 关于x 是单调的，且(,)g x y 对任何0y d ≤≤，0x ≥有||1y e -≤.因此由Abel 判别法推得含参变量得反常积分sin xyxe dx x+∞-⎰在[0,]d 上一致收敛. 例14.11 证明20cos()(01)xt dx xαα+∞<<⎰关于t 在[,)b +∞(其中0b >)上一致收敛. 证明除+∞外，0是瑕点. 取1x =将积分分成[0,1]，[1,)+∞两段分别考虑之. 先考虑+∞情形. 1,C ∀≥222221122cos()|sin sin |,[,),Cxt dx Ct t t b t t b=-≤≤∀∈+∞⎰1/x α单调，关于t 一致趋于零()α→+∞，由Dirchlet 判别法知21cos()xt dx xα+∞⎰在[,)b +∞一致收敛.对瑕点0这种情形. 由于2cos()1,xt x xαα≤ 且10(1/)(11)x dx αα<<⎰收敛，因此根据Weierstrass 判别法可得210cos()xt dx x α⎰在[,)b +∞上一致收敛.综上所述，命题得证.定理14.11 （Dini 定理）设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续且保号，如果含参变量积分()(,)cI x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上连续，那么积分(,)cf x y dx +∞⎰关于[,]x a b ∈一致收敛.证明用反证法. 不妨设(,)0f x y ≥. 若(,)cf x y dy +∞⎰关于[,]y a b ∈不一致收敛，那么存在某个正数0ε，对于任何正整数n a >，总存在[,]n x a b ∈，使得0(,).n nf x y dx ε+∞≥⎰由于有界数列{}n x 必有收敛子列，不妨就设{}n x 收敛，并记0lim [,]n n x x a b →∞=∈.由于反常积分0(,)cf x y dy +∞⎰收敛，所以必存在()A c >使得0(,).2Af x y dy ε+∞<⎰并且由(,)0f x y ≥可知当n A >时有0(,)(,).n n Anf x y dy f x y ε+∞+∞≥≥⎰⎰由于(,)(,)(,),AAccf x y dy f x y dx f x y dy +∞+∞=-⎰⎰⎰及(,)cf x y dy +∞⎰得连续性，再由常义含参变量积分大的连续性定理可知(,)A cf x y dy ⎰也连续，于是(,)Af x y dy +∞⎰连续. 因此由0lim n n x x →∞=知0lim (,)(,),2n AAn f x y dy f x y dy ε+∞+∞→∞=<⎰⎰这与0(,)()n Af x y dy n A ε+∞≥>⎰矛盾. 因此(,)cf x y dy +∞⎰关于[,]x a b ∈一致收敛.三一致收敛含参变量反常积分的主要性质现在讨论含参变量反常积分的一些分析性质，即连续性、可微性、和可积性. 这与函数项级数的对应内容相似.设含参变量的反常积分(,)cf x y dy +∞⎰对于每个[,]x a b ∈收敛，定义函数()(,),[,].cI x f x y dy x a b +∞=∈⎰任取一列严格单调增加的数列{}n c ，它满足0c c =以及n c →+∞. 令1()(,),1,2,,nn c n c u x f x y dy n -==⎰那么111(,)(,)().nn c n cc n n f x y dy f x y dy u x -∞∞+∞====∑∑⎰⎰利用Cauchy 收敛原理立即得到如下引理：引理14.1 若含参变量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰关于[,]x a b ∈一致收敛，则函数项级数1()n n u x ∞=∑关于[,]x a b ∈一致收敛.证明由于(,)cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛，故对任给0ε>，必存在M c >，使得'''A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有'''(,).A A f x y dy ε<⎰又由()n A n →∞→∞，它对于正数M ，存在自然数N ，只要,m n N>>就有m n A A M >>. 于是对一切[,]x a b ∈有11|()()|(,)(,)m nm n A A n m A A u x u x f x y dy f x y dy +-++=++⎰⎰(,).nmA A f x y dy ε=<⎰那么立即可得级数1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛.定理14.12（连续性）设(,)f x y 为[,)[,]a c d +∞⨯上的连续函数. 若含参变量反常积分()(,)cI x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续.证明因为(,)cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛，那么由引理14.1可知1()n n u x ∞=∑关于[,]x a b ∈一致收敛. 由于(,)f x y 在1[,][,]n n a b c c -⨯上连续，那么由常义含参变量积分的连续性定理可知()(,)nnc n c u x f x y dy =⎰连续(1,2,)n =. 根据一致收敛级数的性质可知1()(,)()n cn I x f x y dx u x ∞+∞===∑⎰连续注：这个定理的结论说明当0[,]x a b ∈时，有0000lim (,)(,)lim (,),ccx x x x f x y dy f x y dy f x y dy +∞+∞+∞→→==⎰⎰⎰即在一致收敛条件下，极限运算与反常积分运算的可交换性.定理14.13（可微性或积分号下求导定理）设(,)f x y ，(,)x f x y 均为[,][,)a b c ⨯+∞上连续函数. 若0()(,)I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上收敛，(,)x cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上可微，并且在[,]a b 上成立'()(,).x cI x f x y dy +∞=⎰证明设0{}()n c c c =为递增且趋向于+∞的数列. 记1()(,),1,2,,nn c n c u x f x y dy n -==⎰且有1()().n n I x u x ∞==∑由定理14.2可知()(1,2,)n u x n =在[,]a b 上可微，且1'()(,),1,2,.n n c n x c u x f x y dy n -==⎰有已知条件(,)x cf x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛，从而函数项级数111'()(,)(,)nn c nx x c cn n ux f x y dy f x y dy -∞∞+∞====∑∑⎰⎰也在[,]a b 上一致收敛收敛（由引理14.1可得）. 根据函数项级数的逐项求导定理，即得()I x 在[,]a b 上可微，且1'()'()(,)n x cn I x u x f x y dy ∞+∞===∑⎰上面定理的结果也可以记成(,)(,).c c d f x y dy f x y dy dx x+∞+∞∂=∂⎰⎰定理14.14（可积性或积分次序交换定理）设(,)f x y 为[,][,)a b c ⨯+∞上的连续函数. 若()(,)cI x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上可积，且(,)(,).b ba ccadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞=⎰⎰⎰⎰证明由假设可知1()n n u x ∞=∑关于[,]x a b ∈一致收敛. 根据一致收敛级数的性质和同积分可以交换的结论可得11(,)()()bb bn n acaan n dx f x y dy u x dx u x dx ∞∞+∞====∑∑⎰⎰⎰⎰()1111(,)(,)nnn n ba bc aa ac n n f x y dx dy dx f x y dy --∞∞====∑∑⎰⎰⎰⎰11(,)(,)nn c bbc aan dy f x y dx dy f x y dx -∞+∞===∑⎰⎰⎰⎰其中第二行到第三行的推导利用了常义含参变量积分的积分次序可交换定理.例14.12 计算0sin sin ,(0,).pxbx axI e dx p b a x+∞--=>>⎰解因为sin sin cos b a bx axxy x-=⎰，所以 ()00sin sin cos bpx a bx ax I e dx xydy dx x+∞+∞--==⎰⎰⎰ 0c o s .bpx adx e xydy +∞-=⎰⎰ 由于|cos |pxpx e xy e --≤及反常积分0px e dx +∞-⎰收敛，根据Weierstrass 判别法，含参变量反常积分cos px e xydx +∞-⎰在[,]a b 上一致收敛. 因为cos px e xy -在[0,)[,]a b +∞⨯上连续，根据定理14.14可得22cos b bpxaapI dy exydx dy p y +∞-==+⎰⎰⎰arctanarctan .b a p p=- 例14.13 计算积分0,(0).x xe e I dx xαββα--∞-=>>⎰解显然有,x xxu e e e du xαββα----=⎰ 因此.xu I dx e du βα+∞-=⎰⎰其次当0x ≥，u αβ≤≤时，.xu x e e α--≤而x e dx α+∞-⎰是收敛的，立即可知0xue dx +∞-⎰在[,]αβ上一致收敛. 于是由定理14.2.10得到 0.xuxu I dx edu du e dx ββαα+∞+∞--==⎰⎰⎰⎰而11lim lim ,bu bxuxub b e edx edx uu u -+∞--→∞→∞⎛⎫-==+= ⎪⎝⎭⎰⎰所以1ln .I du u βαβα==⎰例14.14 计算2()cos(2)x f y exy dx +∞-=⎰，此处.y -∞<<+∞解显然，2cos(2)x exy -和22[cos(2)]2sin()x x e xy xe xy y--∂=-∂在:0,D x ≥ y -∞<<+∞上连续，其次，在D 上，可得22|cos(2)|,x x e xy e --≤ 22|2sin(2)|2.x x xexy xe ---≤而2x edx +∞-⎰和22x xedx +∞-⎰皆收敛，故由Weierstrass 判别法可知2cos(2)x e xy dx +∞-⎰和22sin(2)x xexy dx +∞--⎰在y -∞<<+∞b 上一致收敛. 由定理14.14可得20'()2sin(2).x f y xe xy dx +∞-=-⎰由分部积分法，2'()2cos(2)2().x f y y e xy dx yf y +∞-=-=-⎰从而'()2,()f y dy ydy C f y =-+⎰⎰ 即2ln (),f y y C =-+21().y f y C e -=由于(0)2f =，所以2(),.y f y y -=-∞<<+∞当[,]a b 也改为无穷区间[,)a +∞时，定理14.14的条件就不足以保证积分次序可交换，但是可以有下面结论：定理14.15 设(,)f x y 在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛，(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭曲间[,]a b 上一致收敛；2) 设|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛，则(,)(,).a ccadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰证明不妨设|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰收敛，由此推得(,)acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰也收敛. 当d c >时，(,)(,)dd caacI dy f x y dx dx f x y dy +∞+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰(,)(,)(,).ddca acaddy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy +∞+∞+∞+∞=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰由条件1)及定理14.14的结果可得 (,)d adI dx f x y dy +∞+∞=⎰⎰(,)|(,)|.AadAddx f x y dy dx f x y dy +∞+∞+∞≤+⎰⎰⎰⎰由条件2)可知，任给0ε>，有G a >，当A G >时可得|(,)|.2Ad dx f x y dy ε+∞+∞<⎰⎰选定A 后，由(,)af x y dy +∞⎰的一致收敛性，存在M c >，使得当d M >时有(,).2()df x y dy A a ε+∞<-⎰于是得到,22d I εεε<+=也就是lim 0d d I →∞=，命题得证。

数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)

第十九章含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。

数学分析ch15-1含参变量的常义积分

算的方法。
图15.1.1
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设 f (x, y) 在闭矩形 D [a,b][c, d]上连续，则函数
在[c, d ] 上连续。
b
I (y) a f (x, y)dx
含参变量常义积分的分析性质
定理 15.1.1（连续性定理）设 f (x, y) 在闭矩形 D [a,b][c, d]上连续，则函数
0
0
L
b
π 2
1 b2 a2 sin2 tdt b
π 2
1 k 2 sin2 tdt ,
0
b2
0
z
L
这里 k
b2 a2
。2
1 k 2 sin2 tdt 就是含参变量 k
b
0
O
x
的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是，
被积函数 1 k2 sin2 t 的原函数不能用初等函数表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计
0 0 1 x2 cos x
解由于函数
f (x,)
1
1 x2 cosx
在闭矩形[0,
1]
1 2
,
1 2
上连续，因此由定理
15.1.1，
lim
0
1 dx
0 1 x2 cos x
1
dx
0
lim 0 1
x2
cos x
11 0 1 x2
dx
π 4
。
定理 15.1.2（积分次序交换定理）设 f (x, y) 在闭矩形[a,b][c, d]
为含参变量积分。
例如计算椭圆
x2 a2
y2 b2

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同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如：计算椭圆 1 (b a 0)的周长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
dI ( y ) dy

b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy

b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y

b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
例3 解
设F ( y )

y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )

0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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1 I ( )

0
1 dx 1 cos x
x 对最后一个积分作万代能换 t tan ， 2

0
1 dx 1 cos x

2dt 1 t 2 (1 t 2 )
2 1 2 1 arctan t 0 1
f ( x , y )dx dx f ( x , y )dy
a c

b
d
例2 计算 I 解由于

1 xb
0
xa dx ，其中 b a 0。 ln x

1 0
b a x x x y dy , a ln x
b
因此 I dx x dy
a

b
y
dy
a
b
1
0
周长 4 ds
L

0 0

2
a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt a 2 sin2 t b 2 (1 sin2 t )dt
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2

2
0
a 2 sin2 t b 2 (1 sin2 t )dt

2
k

2
b2 a 2 b
1 1 b dy ln x dx a 1 y 1 a
y

b
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定理3（积分号下求导定理）
设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
则I ( y ) ba[c , d ]上成立 f ( x , y )dx在[c , d ]上可导并，且在

b( y )
a( y )
f y ( x , y )dx f (b( y ), y )b( y )
f (a( y ), y )a ( y )
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F ( y)

b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
由定理 4还可以得到： F ( y )在[c, d ]上连续！
y [c , d ]
在[c , d ]上连续。
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例1 求 lim
0 0
1 x
1
dx
2
cos x
。
解：由于函数
f ( x, ) 1 1 x 2 cos x
1 1 因此由连续性定理，在闭矩形 [0,1] , 上连续， 2 2
例4
解
计算 I ( )
ln(1 cos x)dx
0

(| | 1)。
必存在 0 a 1，对于任意的 | | 1，使得 | | a， cos x 记 f ( x, ) ln(1 cos x )，则 f ( x , ) ， 1 cos x
0 0
lim
1 x
1
dx
2
cos x

1
0 0 1
lim
1 x cos x
2
dx

1
1 1 x
2
0
dx

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4
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定理2（积分次序交换定理）
设f ( x , y )在闭矩形 [a , b] [c, d ]上连续 ,则
dy
c
d
b
a
又设 a( y ), b( y ) 是在[c, d ] 上的可导函数，满足
a a( y) b, a b( y) b,
则函数
F ( y)

b( y )
a( y )
f ( x , y )dx
并且在[c, d ] 上成立在 [c , d ] 上可导，
F ( y )
连续函数，且积分值因此它在 [a , b]上的积分存在，

b
a
也就是说， f ( x , y )dx 由 y 惟一确定，
I ( y)

b
a
f ( x , y )dx ,
y [c , d ]
确定了一个关于 y的一元函数 , 称为含参变量 y的积分。
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由I ( )的定义可知 I (0) 0, 代入上式可得 C ln 2,
于是
2 I ( ) ln 1 1
ln 2
即
1 1 2 I ( ) ln . 2
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2
b

0
1
b a b
2
2
2
sin2 t dt b

0
1 k 2 sin2 t dt
含参变量ｋ的积分
二、含参变量常义积分的分析性质
定理１(连续性定理)
设f ( x , y )在闭矩形 [a , b] [c, d ]上连续 , 则函数
I ( y)

b
a
f ( x , y )dx ,
第十五章第一节含参变量的常义积分
一、含参变量常义积分的定义二、含参变量常义积分的分析性质
连续性定理
积分次序交换定理积分号下求导定理
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一、含参变量常义积分的定义
设f ( x, y )是定义在闭矩形 [a, b] [c, d ]上的连续函数 , x的一元则对固定的 y [c, d ]，f ( x , y )是[a , b]上关于
显然 f ( x, )和f ( x, )都在 [0, ] [a, a]上连续，
因此，由积分号下求导定理可知
I ( )

0
cos x 1 dx 1 cos x

0
1 1 dx 1 cos x
1

0
1 dx 1 cos x
0
2 1

0

1 2
dt 1 2 1 t 1
I ( ) 1 2
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I ( ) 1 2 再对积分得
2 I ( ) ln 1 1 C,