五校联考试卷
2023-2024学年天津市五校联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π32．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．123．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝04．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√26．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−357．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1 D ．x 24+y 23=18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ）A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= ．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 ．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 ． 14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ ． 15．已知F(√6，0)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点．若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为2π，则椭圆C 的长轴长为 ． 三、解答题16．（14分）已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，1）和B （﹣2，﹣2），且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，求： （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值； （3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1． （1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值； （3）求点E 到平面PDC 的距离．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA =π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． （1）求证：QB ∥平面PDC ； （2）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，求线段DH 的长．20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π3解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝k =√3−04−1=√33，又α∈[0，π），所以α=π6， 故选：C ．2．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．12解：由m （m +1）﹣2＝0，解得m ＝﹣2，或1．经过验证m ＝1时，两条直线方程都为x +2y ﹣1＝0，可知重合． 故选：C ．3．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝0解：设AB 的中点为D ，则D(32，−32)，∵C （3，3），∴k CD =3−(−32)3−32=3，故AB 边上的中线所在直线的方程为y ﹣3＝3（x ﹣3），即3x ﹣y ﹣6＝0． 故选：C ．4．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴{k −4＞010−k ＞0k −4＞10−k，解得：7＜k ＜10，故“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B ．5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√2解：由题意知，直线l 的一个方向向量为PQ →=（1，0，﹣1）， 取直线l 的一个单位方向向量为m →=PQ →|PQ →|=（√22，0，−√22）， 又A （1，﹣1，﹣1）为直线外一点，且直线l 过点P （1，2，1）， ∴PA →=(0，−3，−2)， ∴PA →⋅m →=（0，﹣3，﹣2）⋅(√22，0，−√22)=√2，|AP →|=√13，∴点A 到直线l 的距离为√PA →2−(PA →⋅m →)2=√13−2=√11．故选：C ．6．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−35解：设点A （﹣4，1）关于直线l 1：x ﹣y +3＝0的对称点为C （m ，n ）， 则{n−1m+4=−1m−42−n+12+3=0，解得m ＝﹣2，n ＝﹣1，即C （﹣2，﹣1）， 由题意可知点C 在反射光线上，则k ⬚BC =2+1−3+2=−3， 所以反射光线所在直线的斜率为﹣3， 故选：B ．7．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1D ．x 24+y 23=1 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，x ＝1代入得1a 2+y 2b 2=1，y =±ba√a 2−1，所以{2b a √a 2−1=√2a 2−b 2=1，由于a ＞b ＞0，故解得{a =√2b =1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．故选：B ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)解：设P （x 0，y 0），则PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）＝﹣c 2+cx 0﹣cx 0+x 02+y 02＝﹣c 2+x 02+y 02， x 02+y 02表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以x 02+y 02≤a 2，所以（PF 1→•PF 2→）max ≤﹣c 2+a 2，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则﹣c 2+a 2≤ac ， 所以c 2a 2+c a−1≥0，所以−1+√52≤e ， 又因为e ＜1， 所以−1+√52≤e ＜1， 故选：A ．9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ） A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54解：根据题意，设AB 的中点为P ，圆x 2+y 2＝5的圆心O ，其坐标为（0，0），因为圆x 2+y 2＝5上的两个动点A ，B 满足|AB|=√15，所以|OP |=√5−(12|AB|)2=√52，即P 的轨迹是以O 为圆心，半径为√52的圆，该圆的方程为x 2+y 2=54，MA →+MB →=2MP →，则|MA →+MB →|＝2|MP →|，而M 在2x +y ﹣5＝0上运动，则|MP →|为2x +y ﹣5＝0和x 2+y 2=54上两点间的距离，则其最小值为√22+12=√5−√52=√52， 故|MA →+MB →|的最小值是√5． 故选：B ．二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= 3 ． 解：∵a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →， ∴{a →⋅c →=2x −4+2=012=y −4=12，解得x ＝1，y ＝﹣2， ∴a →+b →=(2，−1，2)，∴|a →+b →|=√22+(−1)2+22=3． 故答案为：3．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 （﹣∞，﹣4]∪[34，+∞） ．解：如图，k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∴直线l 的斜率k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 3x +4y +2＝0或x ＝﹣2 ．解：由圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0，得（x +1）2+（y +1）2＝4， ∴圆心C （﹣1，﹣1），半径r ＝2， 设圆心C （﹣1，﹣1）到直线l 的距离为d ，∵弦长|AB |＝2√3，∴d =√r 2−(12|AB|)2=√4−3=1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝﹣2，圆心到直线l 的距离为1，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y ﹣1＝k （x +2），即kx ﹣y +1+2k ＝0， 圆心到直线l 的距离为d =|−k+1+1+2k|√k +1=|k+2|√k +1=1，解得k =−34，此时直线l 的方程为3x +4y +2＝0，综上所述：直l 的方程为3x +4y +2＝0或x ＝﹣2．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 8 ． 解：根据题意，圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4， 联立{x 2+y 2=4(x −2)2+(y −2)2=4，变形可得：x +y ＝2，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y ＝2，若点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C 和圆M 的公共弦上，则有4a +2b ＝2， 则1a +2b =12（1a +2b ）（4a +2b ）≥4+4＝8，当且仅当b ＝4a 等号成立， 即1a +2b的最小值为8； 故答案为：8．14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝√3−12． 解，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．∴12×2×|AC|×12=√3，∴|AC|＝2√3，∴|BC|2=22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4，∴|BC|＝2，∵以A，B为焦点的椭圆经过点C，∴2a＝|AC|+|BC|＝2√3+2，2c＝2，∴e=ca=2c2a=223+2=√3−12．故答案为：√3−1 2．15．已知F(√6，0)为椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点．若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且△OFP外接圆的面积为2π，则椭圆C的长轴长为6．解：因为△OFP外接圆的面积为2π，所以其外接圆半径为√2．又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，所以√6sin∠OPF=√6sin2α=2√2，所以sin2α=√32，所以α=π6或α=π3．不妨设点P在x轴下方，所以k PF=−k OP=√33或√3．又根据点差法可得k PF⋅k OP=−b2a2，所以b2a2=13或b2a2=3(此时焦点在y轴上，舍去）．因为F(√6，0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，所以c=√6，所以a2＝b2+6，又a2＝3b2，所以b2＝3，a2＝9，故椭圆C的长轴长为2a＝6．故答案为：6．三、解答题16．（14分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上，求：（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值；（3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．（1）设圆的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，因为圆经过A （﹣1，1）和点B （﹣2，﹣2）， 且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，所以 {(−1−a)2+(1−b)2=r 2(−2−a)2+(−2−b)2=r 2a +b −1=0解得：{a =3b =−2r =5，所以圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +2）2＝25．（2）因为圆C 到直线x ﹣y +5＝0的距离为d =|3+2+5|√2=5√2＞5， 所以直线与圆相离，所以|PQ |的最小值为d −r =5√2−5．（3）当斜率不存在时，过点P （0，3）的直线为x ＝3，不是圆的切线，当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +3，即kx ﹣y +3＝0，由条件可知，圆心C 到直线kx ﹣y +3＝0的距离为5， 根据点到直线的距离公式得：√k 2+1=5，解得k =0或158． 所以直线方程为15x ﹣8y +24＝0或y ＝3．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1．（1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值；（3）求点E 到平面PDC 的距离．（1）证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），C （2，4，0），M （1，2，1），E （2，1，0），DM →=（1，0，1），易知平面P AB 的一个法向量为AD →=（0，2，0），故DM →•AD →=0+0+0＝0，则DM →⊥AD →．又DM ⊄平面P AB ，故DM ∥平面P AB ．（2）解：易知平面BDE 的一个法向量为AP →=（0，0，2），设平面PDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），且PD →=（0，2，﹣2），DE →=（2，﹣1，0），则{m →⋅PD →=2y −2z =0m →⋅DE →=2x −y =0，令y ＝2，则x ＝1，z ＝2，∴m →=（1，2，2）．设平面PDE 与平面BDE 夹角为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos ＜m →，AP →＞|＝|m →⋅AP →|m →||AP →||=43×2=23．（3）解：设平面PDC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），且DC →=（2，2，0），则{n →⋅PD →=2b −2c =0n →⋅DC →=2a +2b =0，令b ＝1，则a ＝﹣1，c ＝1，故n →=（﹣1，1，1）， 设点E 到平面PDC 距离为h∴h ＝|DE →⋅n→|n →||=3√3=√3．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．解：（1）已知椭圆C 的离心率e =c a =12， 所以e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14， 即a 2=43b 2，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切，所以b =6√1+1=√3，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，消去y 并整理得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，又韦达定理得{x 1+x 2=8k 23+4k 2x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2， 此时y 1y 2=k(x 1−1)⋅k(x 2−1)=−9k 23+4k2， 因为OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−5k 2−123+4k 2=−2， 整理得k 2＝2， 解得k =±√2，此时{x 1+x 2=1611x 1⋅x 2=−411， 则|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3√(1611)2+1611=3611， 又点O 到直线的距离d =√23=√63，故△MON的面积S=12×3611×√63=6√611．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7√315，求线段DH的长．（1）证明：由已知可知：PD⊥AD，平面ADPQ⊥平面ABCD，PD⊂平面ADPQ，∴PD⊥平面ABCD，∵AQ∥PD，AB∥CD，AQ∩AB＝A，PD∩CD＝D，AB⊂平面ABQ，AQ⊂平面ABQ，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，∴平面ABQ∥平面PDC，∴QB∥平面PDC；解：（2）以D为原点，DA为x 轴，DC为y 轴，DP为z 轴，建立空间直角坐标系如图：则有A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），Q（2，0，1），C（0，2，0），PC →=（0，2，﹣2），BC →=（﹣2，0，0），QB →=（0，2，﹣1），PQ →=（2，0，﹣1），设平面CPB 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅PC →=2b −2c =0n →⋅BC →=−2a =0， 令 b ＝1，则有a ＝0，c ＝1，n →=（0，1，1），设平面PQB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅QB →=2y −z =0m →⋅PQ →=2x −z =0，令 z ＝2，则 x ＝1， y ＝1，m →=（1，1，2），设平面PQB 与平面CPB 所成二面角的平面角为α，则cos α=m →⋅n →|m →||n →|=32×6=√32， ∴二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值为√1−(√32)2=12； （3）∵点H 在PD 上，∴设H （0，0，t ），0≤t ≤2，则有AH →=（﹣2，0，t ），PB →=（2，2，﹣2），依题意有|cos ＜AH →，PB →＞|＝|AH →⋅PB →|AH →||PB →|||2√3×√4+t 2|=7√315， 解得t 1=32，t 2=83， 由于H 点PD 上，PD ＝2，∴t ≤2，∴t =32， 即DH =32． 20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）不妨设椭圆G的半焦距为c，因为△AF1F2为正三角形且周长为6，易知A（0，b），所以{a=2c2a+2c=6，解得a＝2，c＝1，又b=√a2−c2=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；（2）易知直线MN的斜率存在且不为0，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），此时k=1m ，联立{3x2+4y2=12x=my+1，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，由（1）知P（﹣2，0），假设存在实数k使得∠MPO＝∠NPO，此时直线MP，NP的斜率k MP，k NP满足k MP+k NP＝0，因为k MP+k NP=y1x1+2+y2x2+2=y1my1+3+y2my2+3=y1(my2+3)+y2(my1+3)(my1+3)(my2+3)=2my1y2+3(y1+y2)(my1+3)(my2+3)=2m⋅(−93m2+4)+3×(−6m3m2+4)(my1+3)(my2+3)=−36m3m2+4(my1+3)(my2+3)=0，解得m＝0，其与k=1m相矛盾，所以不存在实数k使∠MPO＝∠NPO成立；（3）易知直线MN不垂直于y轴，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，m∈R，由（2）知y1y2＜0，不妨设y1＝λy2，因为λ＜0，所以y1+y2=(λ+1)y2=−6m3m2+4，因为(λ+1)2y22=36m2(3m2+4)2，y1y2=λy22=−93m2+4，所以(λ+1)2λ=36m2(3m2+4)2⋅(−3m2+49)=−4m23m2+4=−43+163(3m2+4)，显然0＜163(3m2+4)≤43，当且仅当m＝0时，等号成立，所以−43＜(λ+1)2λ≤0，解得−3＜λ＜−1 3，则S1S2=12|PQ||y1|12|PQ||y2|=|y1||y2|=−y1y2=−λ∈(13，3)，故S1S2的取值范围为(13，3)．。
广东省五校2024-2025学年高二10月联考(一)数学试卷(解析版)
2024-2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（一）试卷高二数学满分：150分 考试时间：120分钟1.说明：注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．310y −−=的倾斜角为（） A. 30° B. 135°C. 60°D. 150° 【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为α， tan 180αα=°≤<°，所以30α=°， 故选：A2. 设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===−R ，且,//a c b c ⊥，则2a b +=（ ） A. B. 0C. 3D. 【答案】D 【解析】【分析】由向量的共线与垂直条件求解,b c的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.【详解】2,,,,,,,11114,a b y z c x ===−，由a c ⊥，则有420a c x ⋅=−+= ，解得2x =，则()2,4,2c =− .由//b c ，则有1242y z==−，解得2y =−，1z =， 所以()1,2,1b =−，故()23,0,3a b += ，则2a b + .故选：D.3. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称点的坐标是()3,2,1−−B. 若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−，则l α⊥ C. 若直线l 方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+，则12m =−【答案】C 【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A ；由向量的数量积的性质可判断B ；由线面角的定义可判断C ；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1−，A 选项错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−， ()()1614210e m ⋅=×+−×+×−=，有e m ⊥ ，则//l α或l α⊂，B 选项错误；对于C ，若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ， 则直线l 与平面α所成的角为()9018012030−−=，C 选项正确； 对于D ，已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+ ，则1112m −+=，解得12m =，D 选项错误. 故选：C.4. 如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x轴于点)C，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ） 的的A.B.C. 1D. -1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得(0,1)B 和点C 关于y 轴的对称点()C ′，求得BC k ′，结合,,P B C ′三点共线，即可求解.【详解】为光线PB 满足的函数关系式为1y kx =+， 令0x =，可得1y =，即点(0,1)B ，又因为)C，则点C 关于y 轴的对称点为()C ′，可得BC ′的斜率为BC k ′=，因为,,P B C ′三点共线，可得BC k k ′=，所以k =. 故选：A.5. 过点1,13作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠，将点1,13 代入直线l 的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠， 将点1,13代入，可得()11032aa a +=≠， 即23620a a −+=，由于Δ36432120=−××=>， 所以方程23620a a −+=有两个根， 故满足题意的直线l 的条数为2． 故选：B.6. 如图，在三棱锥O ABC −中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD等于（ ）A 1122a b c −+B. a b c +−C. a b c −+D. 1122a b c −+−【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解． 【详解】点D 是棱AC 的中点，则有()()()11211122222BD BA BC OA OB OC OB a b c a b c =+=−+−=−+=−+.故选：A7. 已知长方体1111ABCD A B C D −，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）.A. 11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅【答案】D 【解析】【分析】当四边形ADD 1A 1为正方形时，可证AD 1⊥B 1C 可判断A ；当四边形ABCD 为正方形时，可证AC ⊥BD 1可判断B ；由长方体的性质可证AB ⊥AD 1，分别可得数量积为0，可判断C ；可推在△BCD 1中，∠BCD 1为直角，可判BC 与BD 1不可能垂直，可得结论可判断D.【详解】选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有110⋅=AD B C ，故正确；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，1AC BB ⊥，1BD BB B ∩=， 1,BD BB ⊂平面BB 1D 1D ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有10⋅=BD AC ，故正确；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，1AD ⊂平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有1AB AD ⋅=0，故正确； 选项D ，由长方体的性质可得BC ⊥平面CDD 1C 1，1CD ⊂平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即10⋅≠BD BC ，故错误.故选：D.8. 如图已知矩形,1,ABCD AB BC==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D −−的余弦值为13−时，则B 与D 之间距离为（ ）A. 1B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅BE DF ∴==， 则12AECF ==，即211EF =−=， 平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13−，cos EB∴< ,13FD >=− ， BD BE EF FD =++ ，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++−⋅<，51512()32322FD >=−−=+= ，则||BD =即B 与D ， 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()2,3M −，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ） A. 若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C. 若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y −+=D. 直线l 的方程可能为3y = 【答案】AC 【解析】【分析】根据直线点斜式判断A ，由过原点直线满足题意判断B ，由中点求出A ,B 坐标得直线方程判断C ，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A ，直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为32y x ，即5y x =+，故A 正确； 对于B ，当直线l 在两坐标轴上的截距都为0时，l 的方程为32y x =−，故B 错误； 对于C ，因为中点()2,3M −，且A ，B 在x 轴、y 轴上，所以()4,0A −，()0,6B ，故AB 的方程为146x y−+=，即32120x y −+=，故C 正确； 对于D ，直线3y =与x 轴无交点，与题意不符，故D 错误． 故选：AC ．10. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A. CC 1⊥BDB. 1136AA BD ⋅=C. 11B C AA与夹角是60°D. 直线AC 与直线11A C 的距离是【解析】【分析】设1,,AB a AD b AA c ===，依题得||||||6,18,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅= 运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B 两项；利用向量夹角的公式计算排除C 项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D 项.【详解】如图，设1,,AB a AD b AA c ===， 则||||||6,66cos 6018,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅=××=对于A ，因1,CC c BD b a ==−，则1()0CC BD c b a c b c a ⋅=⋅−=⋅−⋅=，故A 正确； 对于B ，因1AA c = ，1BD b a c =−+，则211()||18183636AA BD c b a c c b c a c ⋅=⋅−+=⋅−⋅+=−+= ，故B 正确； 对于C ，11,B C b c AA c =−= 211()||183618B C AA b c c b c c ⋅=−⋅=⋅−=−=− ，且11||6,||6,B C AA ==设11B C AA 与夹角为θ，则1111181cos 662||||B C AA B C AA θ⋅==−=−×⋅，因[0,π]θ∈，则2π3θ=，即C 错误；对于D,在平行六面体1111ABCD A B C D −中，易得111111////,AA BB CC AA BB CC ==, 则得11ACC A ,故11//AC A C ,故点1A 到直线AC 的距离d 即直线AC 与直线11A C 的距离.因,AC a b =+ 1()36AA AC c a b ⋅=⋅+=，且1||6,||AA AC==则d ===，故D 正确.11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A. 三棱锥1C EFG −的体积为13B. 1A C ⊥平面EFGC. 1BC ∥平面EFGD. 二面角G EF C −−【答案】ABC 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明1//BC 面EFG ，1A C ⊥平面EFG ，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．【详解】如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，1(2,2,2)B ，1(2,0,2)A ，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，则(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，(1,1,0),(0,2,2)EF EG ==，1(2,0,2)BC − ，易知12BC EG EF =−，所以1,,BC EF EG 共面， 又1BC ⊄平面EFG ，所以1//BC 面EFG ，C 正确；1111111123323C EFG B EFG G BEF BEF V V V S BB −−−===⋅=××××= ，A 正确； 1(2,2,2)A C =−− ，12200AC EF ⋅=−++= ，同理10A C EG ⋅=， 所以1AC是平面EFG 的一个法向量，即1A C ⊥平面EFG ，B 正确； 平面CEF 的一个法向量是(0,0,1)n =，111cos ,A C n A C n A C n ⋅===G EF C −−D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =___________． 【答案】2 【解析】【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数a ，然后对参数a 进行检验即可求解.【详解】因为直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行， 所以2140a ×−=，解得，2a =±，当2a =时，直线1l ：210x y +−=，直线2l ：2420x y ++=，即210x y ++=，满足题意； 当2a =−时，直线1l ：210x y −−=，直线2l ：2420x y −++=，即210x y −−=， . 综上所述，2a =. 故答案为：2.13. 已知()()2312A B −，，，，若点(),P x y 在线段AAAA 上，则3yx −的取值范围是_______. 【答案】13,2−−【解析】【分析】设(3,0)Q ，利用斜率计算公式可得：QA k ，QB k ．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设(3,0)Q ，则30323AQ k −==−−，201132BQ k −==−−−， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点， ∴3y x −的取值范围是[3−,1]2−，故答案为：[3−,1]−14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C −，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB = ，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++ ，则x y z ++=_________．【答案】118【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系， ()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ，，，1203N，，，则1121200123232MN=−=−，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG++−，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z ++⇒，， 所以131112488x y z ++=++= 故答案为：118四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的两顶点坐标为()1,1A −，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高． （1）求BC 所在直线的方程； （2）求高AD 所在直线的方程.【答案】（1）3490x y +−=； （2）4370x y −−=. 【解析】【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B 的坐标，利用点斜式求直线BC 方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD 的斜率，利用点斜式求直线AD 方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 所以直线BC 的斜率34BC k =−， 所以BC 所在直线的方程为：()334y x =−−，即3490x y +−=， 【小问2详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 因为AD 是BC 边上的高，所以1BC AD k k ⋅=−，所以30113AD k −⋅=−−−， 所以43AD k =， 因此高AD 所在直线的方程为：41(1)3y x +=−，即4370x y −−=.16. 已知直线()()1231:−=−+a y a x l . （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）1a ≤（3）240x y +−=【解析】【分析】（1）由方程变形可得()2310a x y x y −−++=，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】由()():1231l a y a x −=−+，即()2310a x y x y −−++=， 则20310x y x y −= −++=，解得12x y = = ，所以直线过定点()1,2； 【小问2详解】如图所示，结合图像可知，当1a =时，直线斜率不存在，方程为1x =，不经过第二象限，成立； 当1a ≠时，直线斜率存在，方程为11213ya a a x +−−−， 又直线不经过第二象限，则2301101a a a − > −≤ − ，解得1a <； 综上所述1a ≤； 【小问3详解】已知直线()():1231l a y a x −=−+，且由题意知1a ≠，令0x =，得101=>−y a ，得1a >， 令0y =，得1032>−xa ，得32a <，则22111112132410651444S a a a a a =××==−−−+−−−+， 所以当54a =时，S 取最小值， 此时直线l 的方程为55123144y x−=×−+，即240x y +−=. 17 已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标； （3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929（2）()1,2,5−−（3【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；.（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离． 【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB上的投影向量为AC AB AB ABAB⋅， 而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+ ==.【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =−−， 故D 的坐标为()1,2,5−−. 【小问3详解】()0,3,0AP =，设平面ABC 的法向量为mm ��⃗=(xx ,yy ,zz )，则00m AB m AC ⋅= ⋅=即250350x y x y z += ++= ，取5x =−，则2y =，15z =−， 故15,2,5m=−−，故点P 到平面ABC18. 如图，在长方体1111ABCD A B G D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥.（2）当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值. （3）在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，2AM =. 【解析】【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0即可证得垂直； （2）先求得平面1ACD 的法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解；（3）先求得平面1D MC 与平面AMC 法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解. 【小问1详解】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，02x <<，则()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,,0E x ，AA (1,0,0)，()0,2,0C ，所以()()111,0,11,,10DA D E x ⋅=⋅−=，则11DA D E ⊥， 所以11D E A D ⊥. 【小问2详解】因为E 为AB 的中点，所以()1,1,0E ，从而()1,1,0CE=−，()1,2,0AC =− ，()11,0,1AD =−，设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AC n AD ⋅=⋅= ， 即200a b a c −+=−+= ，得2a b a c= = ，令2a =，则()2,1,2n =， 设CE 与平面1ACD 所成角为π02θθ<<，的则sin cos ,CE θ=〈 所以CE 与平面1ACD. 【小问3详解】设这样的点M 存在，且AM x =，02x <<，平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6， 则()1,,0M x ，()10,0,1D ，()0,2,0C ，()1,2,0CM x =− ，()10,2,1CD =−，设平面1D MC 的法向量为(),,m a b c ′′=′ ，则()12020m CM a x b m CD b c ⋅=+−= ⋅′=−′+=′′， 取1b ′=，得()2,1,2mx =−， 易知平面AMC 的一个法向量()0,0,1p =，所以πcos 6m p m p⋅== ，由02x <<，解得2x =，所以满足题意的点M 存在，此时2AM =. 19. 已知111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ×⋅=++−−−，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD是一个平行四边形，(2,1,4)AB =− ，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP −（1）试计算()AB AD AP ×⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD −的体积，说明()AB AD AP ×⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD −体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ×⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=，()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积． 【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ×⋅221424(1)(1)0=××+××+−×−×202−××4(1)1−×−×(1)24−−××＝48．122(1)140AP AB ⋅=−×+×−+×= ，1422100AP AD ⋅=−×+×+×=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD == ，24(1)2406AB AD ⋅=×+−×+×=，sin ABCDS AB AD BAD=∠==，AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA −==×=． ∴()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=， 猜想：()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。
2025届安徽省五校高三语文上学期期中联考试卷附答案解析
2025届安徽省五校高三语文上学期期中联考试卷2024年11月15日考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。
2.答题前.考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚。
3.考生作答时.请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字.完成1～5题材料一：“着力赓续中华文脉、推动中华优秀传统文化创造性转化和创新性发展”.为我们在新的起点上继续推动文化繁荣、建设文化强国.指明了前进方向。
重视保护传承。
泱泱中华，历史何其悠久，文明何其博大。
文物和文化遗产承载着中华民族的基因和血脉，是不可再生、不可替代的中华优秀文明资源。
对于历史文化遗产的“保护与利用”.习近平总书记强调.“要始终把保护放在第一位”“保护好、传承好历史文化遗产是对历史负责、对人民负责”。
强化发掘弘扬。
中华优秀传统文化中蕴含着中华文明诸多精神标识，如天下为公、革故鼎新、自强不息、厚德载物、讲信修睦等，大力挖掘弘扬这些精神标识有利于我们守护文化根脉，对于提升文化影响力具有重要意义。
强调，“要特别重视挖掘中华五千年文明中的精华”“更加需要系统研究中国历史和文化，在对历史的深入思考中汲取智慧、走向未来”。
新征程上赓续中华文脉，要坚守中华文化立场，提炼展示中华文明的精神标识和文化精髓，向世界阐释、展示更多具有中国特色、休现中国析神的优秀文化，提升中华文化国际影响力。
推动创新发展。
大学有言“苟日新，日日新，又日新”,中华文明突出的创新性，从根本上决定了中华民族守正不守旧、尊古不复古的进取精神。
指出：“老祖宗传下来的优秀传统文化，我们要继续攥在手里.与时俱进，让它发扬光大。
”针对如何在传承中创新的问题强调.“要坚持古为今用、推陈出新”“善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，紧密结合起来，在继承中发展，在发展中继承”。
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝03．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9 5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．46．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A ．40米B ．50米C ．60米D ．70米8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值12．如图，在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 在截面AB 1D 1内（含边界），且满足A 1P =3√2．下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（1）＝．14．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x+φ)+sin2x，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f（x）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cosφ的值．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．19．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4asin2B2=2a+b−2c．（1）求角A的大小：（2）若b＝1，c＝3，D为BC中点，点E在AB上且满足DE⊥AB，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E ﹣AD ﹣C 的大小为60°． （1）求证：DF ⊥CF ；（2）设点P 为棱AE 上一点，若平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64，求AP AE的值．22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=−i1−i=−i(1+i)(1+i)(1−i)=12−12i，则z=12+12i，故共轭复数z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限．故选：A．2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝0解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，倾斜角为120°；直线√3x−y+1=0的斜率为√3，倾斜角为60°，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为135°；直线x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°，∴直线x+y+1＝0的倾斜角最大．故选：C．3．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]解：A＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}＝{x|x＞−23}，故∁R A＝{y|y≤0}，所以（∁R A）∩B＝（−23，0]．故选：D．4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为17﹣2＝15，故该组数据的中位数是15×35=9，数据共6个，故中位数为m+122=9，解得m＝6，6×40%＝2.4，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，故该组数据的40百分位数是m＝6．故选：C．5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．4解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，令x＝2sinθ（−π2≤x≤π2），则原函数化为y＝4sinθ+√4−4sin2θ=4sinθ+2cosθ=2√5sin（θ+φ），tanφ=1 2，∴当θ+φ=π2时，y取最大值为2√5，即函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是2√5．故选：B．6．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]解：f(x)=sin2(x−π12)=1−cos(2x−π6)2的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）=1−cos(2ωx+π6)2的图像，令2kπ≤2ωx+π6≤2kπ+π，k∈Z，解得，kπω−π12ω≤x≤kπω+5π12ω，k∈Z，因为g（x）在[0，π]上单调递增，所以5π12ω≥π且ω＞0，解得，0＜ω≤5π12．故选：A．7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A．40米B．50米C．60米D．70米解：由题意设直钢柱PQ中MQ在底面圆O1上的投影线段为NQ，连接O1N，OM，所以在Rt△MNQ中，tan∠PQN=20√33=|MN||NQ|=300|NQ|，得|NQ|=15√3，由题意可得四边形O1NOM为矩形，又因为点M是圆O的切点，所以O1N⊥NQ，且ON1＝15，设圆O 1的半径为r ，所以在Rt △O 1NQ 中，r 2=O 1N 2+NQ 2=152+(15√3)2=900，得r ＝30，所以圆O 1的直径为60． 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63解：如图：因为过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|， 所以|AF 1|+|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a 2， 又因为F 1M →=3MF 2→，所以|MF 1|＝3|MF 2|， 所以AM 是∠F 1AF 2的平分线，又因为AM ⊥F 1B ， 所以|AF 1|＝|AB |=3a2=|AF 2|+|BF 2|， 所以|BF 2|＝a ，|BF 2|：|AF 2|＝2．所以A （3c 2，b2），点A 在椭圆：x 22+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，所以9c 28+14=1，解得c 2=23，e 2=c 2a 2=232=13，所以e =√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A解：∵P （A ）=13，∴P （A ）=23，故A 正确；当A ，B 互斥时，P （AB ）＝0，当B ⊆A 时，P （AB ）=16，故13≤P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）≤12，故B 正确；当A ，B 互斥时，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+16=12，故C 错误； 不一定B ⊆A ，故D 错误． 故选：AB ．10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件解：对于A ：若非零平面向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，故a →∥c →，但在空间内不一定成立，故A 错误； 对于B ：若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线也可能平行，故B 错误；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，不存在实数λ和μ使a →+b →=λ(b →+c →)+μ(a →+c →)，故C 正确；对于D ：点P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是存在实数m ，n 使AP →=mAB →+nAC →，整理得OP →=(1−m −n)OA →+mOB →+nOC →=xOA →+yOB →+zOC →，所以x +y +z ＝1，故D 正确． 故选：AB ．11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值解：根据题意可得F （p 2，0），又点M(3p2，0)，且|AF |＝|AM |，∴A的横坐标为p2+3p22=p，将其代入y2＝2px中，可得A（p，√2p），∴直线AB的斜率为√2pp−p2=2√2，∴A选项正确；∴直线AB的方程为y=2√2（x−p2），联立{y=2√2(x−p2)y2=2px，解得x＝p或x=p4，∴B点横坐标为p4，将其代入y2＝2px中，可得B（p4，√2），∴|F A|=p2+x A=p2+p=3p2，|FB|=p2+x B=p2+p4=3p4，∴|F A|＝2|FB|，∴B选项错误；∴|OB|=√p216+p22=3p4，而|OF|=p2，∴|OB|≠|OF|，∴C选项错误；∵直线AB的斜率为2√2，|AF|＝|AM|，∴AM直线的斜率为−2√2，∴直线AM的方程为y=−2√2（x−3p2），联立{y=−2√2(x−3p2)y2=2px，解得x＝p或x=9p4，∴N点横坐标为9p4，将其代入y2＝2px中，可得N（9p4，√2），∴直线BN的斜率为√2−√29p 4−p4=√22，∴直线BN的斜率为定值，∴D选项正确．故选：AD．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内（含边界），且满足A1P= 3√2．下列说法正确的是（）A．点P的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]解：对于A，取B1D1的中点O1，三棱锥A1﹣AB1D1为正三棱锥，过A1作A1G⊥面AB1D1于G，则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，AO1=√32AB1=√32×6√2=3√6，∴GO1=13AO1=√6，AG=23AO1=2√6，由V A1−AB1D1=V A−A1B1D1，得13S△AB1D1⋅A1G=13S△A1B1D1⋅AA1，∴13×√34×(6√2)2×A1G=13×12×6×6×6，∴A1G=2√3，由于A1P=3√2，∴GP=√A1P2−A1G2=√6，∴点P的轨迹是以G为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，∴点P的轨迹长度为2π×√6=2√6π，故A错误；对于B，设A1P与平面AB1D1所成角为α，∵A1到平面AB1D1距离为A1G=2√3，∴sinα=A1GA1P=√332=√63，0≤α≤π2，∴cosα=√1−sin2α=√33，即A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√33．故B正确；对于C，当P为该内切圆与AD1的切点，即P为AD1与A1D的交点时，CP⊥BC1，证明如下：连接B1C，则BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面CDA1B1，∴BC1⊥平面CDA1B1，∵CP⊂平面CDA1B1，∴CP⊥BC1，故C正确；对于D ，如图，该内切圆与AO 1的交点为E ，取BD 的中点O ，作EF ⊥AO 于F ，EF ∥OO 1， EF ⊥面ABCD ，∵AE ＝AO 1﹣2GO 1=√6=13AO 1，∴EF =13OO 1=2，AF =13AO =13×3√2=√2，CF ＝AC ﹣AF =5√2，C 1E =√CF 2+(CC 1−EF)2=√(5√2)2+(6−2)2=√66，C 1O 1=3√2， 当P 与E 重合时，C 1P 取最大值；当P 与O 1重合时，C 1P 取最小值．∴3√2≤C 1P ≤√66，∵O 1 为A 1C 1的中点，∴C 1到平面AB 1D 1距离d 与A 1到平面AB 1D 1距离相等， 即d =A 1G =2√3，设C 1P 与平面AB 1D 1 所成角为θ， 则tanθ=√C1P −d2=√3√C1P −12，∵3√2≤C 1P ≤√66，∴6≤C 1P 2−12≤54，√6≤√C 1P 2−12≤3√6， ∴√23≤√3√C 12≤√2，即√23≤tanθ≤√2，即C 1P 与平面AB 1D 1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若f(x)=a −22x +1为奇函数，则f （1）＝ 13．解：根据题意，若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，当a＝1时，f（x）＝1−22x+1，f（﹣x）＝1−22(−x)+1=1−2⋅2x2x+1=−（1−22x+1）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故f（x）＝1−22x+1，则f（1）＝1−23=13；故答案为：1 314．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为7．解：∵双曲线x2−y2m−6=1中a2＝1，b2＝m﹣6，可得焦点在x轴上，且c2＝1+m﹣6＝m﹣5，又椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，∴9﹣m＝m﹣5，解得m＝7．故答案为：7．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为9．解：根据题意，可得直线l方程为xa +yb=1（a＞0，b＞0），代入P点得1a+2b=1，因此，|OA|+2|OB|＝a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故|OA|+2|OB|的最小值为9．故答案为：9．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为√3+√7．解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）的圆心C2（a，0），半径为√a2−a，a＞1，由直线l与圆C2相交，可得|a−3|2＜√a2−a，解得a＞2√7−13，由|AB|＝|CD|，可得|AC|＝|BD|，即有2√4−(32)2=2√a2−a−(a−32)2，解得a ＝2，圆C 2的方程为x 2+y 2﹣4x +2＝0， 圆心C 1C 2的距离为2，弦长AC =√7， 则|AD |=√72+√22−(32−12)2+√72=√3+√7． 故答案为：√3+√7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f （x ）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cos φ的值．解：（1）φ=π3时，f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x=√32sin （2x +π3）+1−cos2x2 =√34sin2x +14cos2x +12=12sin （2x +π6）+12， 故T ＝π， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（kπ2−π12，12），k ∈Z ； （2）因为f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，所以f （π6）=√32sin （π3+φ）+14=−14，即sin （π3+φ）=−√33，因为0＜φ＜π， 所以π3＜π3+φ＜4π3，所以cos （π3+φ）=−√63，所以cos φ＝cos （π3+φ−π3）=12cos （π3+φ）+√32sin （π3+φ）=12×(−√63)+√32×(−√33)=−3−√66．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．解：（1）从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100﹣60﹣43+8＝5， 利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人． （2）样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁， 现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，基本事件总数n =C 52=10，这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这2名学生都坐过高铁的概率P =m n =310． 19．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4asin 2B2=2a +b −2c ． （1）求角A 的大小：（2）若b ＝1，c ＝3，D 为BC 中点，点E 在AB 上且满足DE ⊥AB ，求CE 的长． 解：（1）由4asin 2B2=2a +b −2c ， 可得2a （1﹣cos B ）＝2a +b ﹣2c ，由余弦定理，可得−2a ×a 2+c 2−b22ac=b −2c ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，则cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3；（2）法一：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√32√7=√2114，又DE⊥AB，所以DE=BD⋅sinB=√72×√2114=√34，由sinB=√2114，可得cos∠BDE=√2114，又∠BDE+∠CDE＝π，则cos∠CDE=−√2114，在△CDE中，由余弦定理，可得CE2=74+316−2×√72×√34×(−√2114)=3716，所以CE=√374；法二：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√327=√2114，故cosB=√1−sin2B=5√7 14，则BE=BD⋅cosB=√72×5√714=54，在△BCE中，由余弦定理，可得CE2=7+2516−2×√7×54×5√714=3716，所以CE=√374．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4），可得16＝8p，解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；（2）设射线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），k＞0，由抛物线的准线方程为y＝﹣1，可得M（4−5k，﹣1），联立{x2=4yy=kx+4−4k，可得x2﹣4kx﹣16+16k＝0，Δ＝16k2﹣4（﹣16+16k）＞0，即有k≠2，由韦达定理可得4+x Q＝4k，即x Q＝4k﹣4，由4k﹣4＜4，可得0＜k＜2，则|PQ||PM|=√1+k2|4k−4−4|√1+k2|4−5k−4|=45|k2﹣2k|=45|（k﹣1）2﹣1|，由0＜k＜2，可得k＝1时，|PQ||PM|取得最大值45．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E﹣AD﹣C的大小为60°．（1）求证：DF⊥CF；（2）设点P为棱AE上一点，若平面BDP与平面BCF的夹角的余弦值为√64，求APAE的值．（1）证明：由底面ABCD 是正方形，可得AD ⊥DC ， 又∠ADE ＝90°，可得AD ⊥DE ，则∠EDC 即为二面角E ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠EDC ＝60°， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ， 又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ， 所以AB ∥EF ，即CD ∥EF ，故四边形CDEF 为梯形， 又DE ＝CF ＝2，所以四边形CDEF 为等腰梯形， 故∠DCF ＝60°，又CD ＝4，CF ＝4，由余弦定理，可得DF 2＝CD 2+CF 2﹣2CD •CF •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12，所以DF =2√3， 故DF 2+CF 2＝CD 2，则有DF ⊥CF ； （2）解：由（1）知，AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ，故AD ⊥平面CDEF ， 又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ， 过D 作Dz ⊥平面ABCD ，则Dz ⊂平面CDEF ， 故以D 为坐标原点，建立如图所示坐标系D ﹣xyz ，则有A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， D （0，0，0），E （0，1，√3），F （0，3，√3）， 设AP →=λAE →(0≤λ≤1)，则有AP →=λ(−4，1，√3)， 故P (4−4λ，λ，√3λ)，设平面BDP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由DB →=(4，4，0)，DP →=(4−4λ，λ，√3λ)， 可得{n →⋅DB →=4x +4y =0n →⋅DP →=(4−4λ)x +λy +√3λz =0，令x =√3，则y =−√3，z =5−4λ，可得n →=(√3，−√3，5−4λ)，设平面BCF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 由BC →=(−4，0，0)，BF →=(−4，−1，√3)， 可得{m →⋅BC →=−4a =0m →⋅BF →=−4a −b +√3c =0，令c ＝1，则b =√3，a ＝0，可得m →=(0，√3，1)， 由平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64， 可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|2−4λ|2×√6+(5−4λ)2=√64，整理得16λ2−88λ+85=0，令1λ=t ， 则有16t 2﹣88t +85＝0，解得t =174或t =54， 即λ=417或λ=45，即AP AE =417或45． 22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线E 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)， 可得{74a 2−94b 2=174+94=a 2+b 2，所以{7b 2−9a 2=4a 2b 2a 2+b 2=4， 所以7（4﹣a 2）﹣9a 2＝4a 2（4﹣a 2），所以a 4﹣8a 2+7＝0， 解得a 2＝7，b 2＝﹣3（舍去）或a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1； （2）设B （m ，n ），m ＞1，n ＞0，则C （﹣m ，﹣n ）， 则l BC ：y =n m x ，令x =12，则y =n2m，即M(12，n2m)，则l AM：y=n2m−012−1(x−1)=−nm(x−1)，代入x2−y23=1，得x2−[−nm(x−1)]23=1，所以3m2−n2m2x2+2n2m2x−n2m2−3=0，所以x A+x D=−2n23m2−n2，即x D=−2n23m2−n2−1=−n2−3m23m2−n2，故y D=−nm(−n2−3m23m2−n2−1)=6mn3m2−n2，所以D(−n2−3m23m2−n2，6mn3m2−n2)，则k1=−n−0−m−1=nm+1，k2=6mn3m2−n2−n−n2−3m23m2−n2−m=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2，由B（m，n）在双曲线上，可得m2−n23=1，即n2＝3m2﹣3，所以k2=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2=n(6m−3m2+3m2−3)−3m2−3m3+(m−1)(3m2−3)=3n(2m−1)−3m2−3m3+3m3−3m2−3m+3=3n(2m−1)−3(2m2+m−1)=n(2m−1)−(2m−1)(m+1)=−nm+1，所以k1+k2=nm+1−nm+1=0，所以k1+k2为定值，且该定值为0．。
2024吉林省长春市五校联考高三数学试卷(含答案)
2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。
江苏镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷(解析版)
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B = （ ）A. {}3B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B ，再集合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得{}2e 1e 1Bx x =−<<−，又因为e 2.7≈，所以24e9<<，所以{}2,3A B ∩=， 故选：C.2. 将函数()sin f x x =图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g=（ ）A. B. 1C.D. －1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先求出yy =gg (xx )的表达式，再求π2g的值. 【详解】函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin()4y x =+， 将πsin()4y x =+图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()πsin(2)4g x x =+，所以ππππsin(2+)sin 2244g=×=−， 故选：A.的3. 已知函数()2121xf x =−+，则对任意实数x ，有（ ） A. ()()0f x f x −+=B. ()()0f x f x −−=C. ()()2f x f x −+=D. ()()2f x f x −−=【答案】A 【解析】【分析】计算()f x −后与()f x 比较可得．【详解】()22112121x x x f x −=−=++，则2112()()2112x xx x f x f x −−−−−===−++，即()()0f x f x ， 故选：A ．4. “11a −<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，列出不等式求解出a 的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．【详解】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，所以()2240a −≥，则1a ≤−或1a ≥，“11a −<<”是1a ≤−或1a ≥的既不充分也不必要条件， 故选：D ．5. 已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−，求cos β=（ ） A.12B.3998 C.5998D.7198【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得sin α，()sin αβ+，再利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】由1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−以及α，β都是锐角可得sin α=，()sin αβ+；所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++111491147982=−×+==. 故选：A6. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒【答案】C 【解析】【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解． 【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为284=33×，高为163， 所以细沙体积为()2318161024cm 33381ππ ×××=所以该沙漏的一个沙时为10248119850.02π≈秒， 故选：C7. 在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ） A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.0485【答案】D 【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感概率为5786%5%4%0.0485578578578P =×+×+×=++++++，故选：D8. 已知()2cos f x x x =−−，若34e a f − =，4ln 5b f = ，14c f=− ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到5ln4b f=，14c f = ，通过指数函数单调性得31411e e e 4−−>=>，再根据幂函数性质证明出145e 4>，同取对数得到15ln 44>，则有3415e ln 44−>>，再利用()f x 单调性即可得到大小关系. 【详解】因为2()cos ,R f x x x x =−−∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x −=−−−−=−−=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x ′=−+，设()2sin g x x x =−+， 则()2cos g x x ′=−+，1cos 1x −≤≤ ，()0g x ′∴<， 所以()g x 即()f x ′在[0,)+∞上单调递减,所以()(0)0f x f ′′≤=, 所以()f x 在[0,)+∞上单调递减,又因为()f x 为偶函数, 所以()f x 在(,0]−∞上单调递增，的又因为41ln0,054<−<,445ln ln ln 554b f f f==−=, 1144c f f=−=又因为31411ee e 4−−>=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4 =≈<，所以145e 4>, 所以145ln e ln4>，即15ln 44>,所以3415eln 44−>>, 所以3441e 5ln 4f f f −<<,即a c b <<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对,,a b c 进行一定的变形得5ln 4b f = ，14c f =,然后就是比较3415,,ln 44e −的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同【答案】BC 【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．【详解】对于C ，原数据的平均数为1210511()5(1010x x x x x =+++=×+ 6561)()2x x x =+， 去掉1x ，10x 后平均数为2395656111()4()()882x x x x x x x x x ′=+++=×+=+=，则C 正确； 对于B ，原数据的中位数为561()2x x +，去掉1x ，10x 后的中位数仍为561()2x x +，即中位数没变，则B 正确；对于A ，原数据的极差为110918x x d −=−=， 去掉1x ，10x 后的极差为29714x x d −=−=，即极差变小，则A 错误； 对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x=−++−+++−+2221975()()()10222[d d d =−+−+−222311()()()222d d d +−+−++22223579()()()()3322]22d d d d +++=， 去掉1x ，10x 后的方差为22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x′=−++−+++−+22222222175311357()()()()()()()()2182222222[]2d d d d d d d d =−+−+−+−++++=， 即方差变小．标准差也变小，则D 错误. 故选：BC10. 已知函数π()sin 33f x x=+，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06为()f x 图象的一个对称中心 C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈−1a ≤< D. 若()f x 的导函数为()f x ′，则函数()()y f x f x =+′【答案】ACD 【解析】的【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠ ，所以π,06不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤， 根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x=+，ππ,189x∈−有两个交点，1a ≤<，故C 正确； 设ff ′(xx )为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′，其中tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确， 故选：ACD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A. 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB. 若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C. 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为]D. 当λµ=时，1||||DP A P +【答案】BD 【解析】【分析】对A ，作出如图空间直角坐标系A xyz −，由向量法结合向量垂直判断即可；对B ，由几何关系得出1B P 与平面11CC D D 所成线面角11B PC ∠，可得11C P =，则点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆； 对C ，由1λ=得点P 在1D D 上，利用几何关系可得1PAC △的面积最值在端点及中点位置；对D ，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理即可求.【详解】对A ，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，所以()11,0,1CD =− ，11B PB C CP =+ 11B C CD CC λµ=++ (),1,1λµ=−−， 则()11,0,1BA − ，()1,1,0BD =−，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，所以100BA n x z BD n x y ⋅=−+= ⋅=−+= ，令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n = ，若1//B P 平面1A BD ，则10n B P ⋅=，即λµ=，由1110B P CD λµ⋅=+−= ，则12λμ==，即P 为1CD 中点时，有1//B P 平面1A BD ，且11B P CD ⊥，A 错；对B ，因为11B C ⊥平面11CC D D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则11111tan 1B C B PC C P ∠==，所以1111C P B C ==， 即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为π2，B 对； 对C ，因为1λ=，所以点P 一定在1D D 上，又因为当0µ=或1时，1PAC △的面积取最大值，此时截，设1D D 的中点为H ，由图形的变化可得当点P 在DH 和1D H 运动时，所得截面对称相同，于是当12µ=时，1PAC △，C 错； 对D ，如图，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos 24A D A D DD A D DD =+−⋅+所以1A D =，D 对.故选：BD【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A 中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；（2）B 中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；（3）C 中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；（4）D 中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B === ∣，则()P A =______． 【答案】415【解析】【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.【详解】()()1()3P AB P A B P B ==∣，将()35P B =代入可以求得1()5P AB =， ()()()()23P A B P A P B P AB ∪=+−=，将()35P B =，1()5P AB =代入，求得()415P A = 故答案为：415. 13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13 −=−= ，若函数)2521x xf x +=+，则函数()y f x = 的值域为___________. 【答案】{}1,2,3,4 【解析】【分析】分离常数，求出函数()2521x x f x +=+的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.【详解】解：()25411,20,121,01212121x x x x x x f x +==+>∴+><<+++ ，则411521x<+<+，即()15f x <<， 当()12f x <<时，()1f x =； 当()23f x ≤<时，()2f x = ；当()34f x ≤<时，()3f x = ； 当()45f x ≤<时，()4f x = ， 综上，函数()y f x = 的值域为{}1,2,3,4. 故答案为：{}1,2,3,4.14. 已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +−=，则12m n+的最小值是______ 【答案】8 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知()f x 为奇函数，根据单调性可知21m n +=，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()32f x x x f x −=−−=−， 所以()f x 为奇函数，又()2320f x x +′=>，所以函数单调递增， 又()00f =，所以()()210f m f n +−=， 所以210m n +−=，即21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n +=++=++≥+= ， 当且仅当4n m m n=，即12n =，14m =，等号成立，所以12m n+的最小值为8.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2AB C +． （1）求角A 的大小；（2）若3b =，BC ，求三角形ABC 的周长． 【答案】（1）π3A =（2）5+【解析】【分析】（1）利用内角和为180°化简()sin sin B C A +=，利用二倍角公式化简21cos sin 22A A −=，再利用辅助角公式化简即可求得π3A =； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】因为A ，B ，C 为ABC 内角，所以()sin sin B C A +=， 因为21cos sin22A A−=，所以()2sin 2A B C +可化为：)sin 1cos A A =−，即sin A A +πsin 3A+， 因为ππ4π,333A +∈ ，解得：π2π+33A =，即π3A =．【小问2详解】 由三角形面积公式得11sin 22b c A ⋅=，3b =代入得：1π13sin 232c ×⋅=，所以a =，由余弦定理222272cos 4a b c bc A c =+−=得：24120c c −=+， 解得：2c =或6c =−舍去，即a =所以ABC的周长为516. 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（2）设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）516（2）分布列见解析；52【解析】【分析】（1）根据题意，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，要使得质点移动5次后移动的到1的位置，只需质点向右移动3次，向左移动2次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】由题意，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位， 可得质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的， 要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，所以概率为332511105C ()()223216P ===. 【小问2详解】由题意知，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的， 移动5次中向右移动的次数为X ，可得随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，可得0055111(0)C ()()2232P X ===，()14151151C 2232P X === ， 22351110(2)C ()()2232P X ===，33251110(3)C ()()2232P X ===， 4415115(4)C ()()2232P X ===，5505111(5)C ()()2232P X ===， 所以变量X 的分布列为则期望为()1510105150123453232323232322E X =×+×+×+×+×+×=. 17. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈. （1）求函数22yf x π+的最小正周期；（2）求函数()4yf x f x π−在0,2π 上的最大值.【答案】（1）π；（2）1+. 【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =−，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 24y x π=−+，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π=++，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x ππππ=++=+=−+=−， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ=−=+=+22sin cos x x x x x x =⋅+1cos 2222sin 224x x x x x π−=+=−=−+， 由0,2x π∈可得32,444x πππ −∈− ，所以当242x ππ−=即38x π=时，函数取最大值118. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=°，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .（1）求证：CD EF ∥；（2）若CD EF =，求二面角A BC F −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得CD ∥平面ABFE ，进而由线面平行的性质定理即可证明结论；（2）取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，由等边三角形的性质得OB AD ⊥，又由面面垂直的性质定理可得OE ⊥平面ABCD ，可得,,OA OB OE 三线两两垂直，建立以O 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因为AB CD ∥，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以CD ∥平面ABFE ， 又因为平面ABE 与平面CDE 交于EF ，CD ⊂平面CDE ，所以CD EF ∥； 【小问2详解】取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，因为60DAB ∠=°，4AB AD ==， 所以ABD △是等边三角形，由三线合一得：OB AD ⊥， 又因为ADE 是等腰直角三角形，所以OE AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABC ，平面ADE 平面ABCAD =，OE ⊂平面ADE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，所以OE OB ⊥， 故,,OA OB OE 三线两两垂直，如图以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,0,0,2A B C D E −−， 因为CD EF =且由（1）知CD EF ∥，所以四边形CDEF为平行四边形，可得()2F −，所以()()3,,2,0,2BC CF =−= ，设平面BCF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1130220n BC x n CF x z ⋅=−=⋅=+=，取1x =，则()11,1n =− ，又平面ABC 的一个法向量可取()20,0,1n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===， 设二面角A BC F −−的大小为θ，由题意θ为锐角，所以12cos cos ,n n θ==所以二面角A BC F −−19. 已知函数()1ln f x x a x x=−−. （1）若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− > +∑. 【答案】（1）(],2−∞ （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导，结合导函数特征，分2a ≤与2a >两种情况，结合()10f =，得到实数a 的取值范围； （2）在第一问的基础上，取2a =，得到12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立，令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=()()()2211111n n n n n n >=−−+−，再用裂项相消法求和，不等式得证.【小问1详解】()1ln f x x a x x=−−，()1,x ∈+∞，R a ∈，()10f =， ()22111a x ax f x x x x−+′=+−=， 2a ≤时，()22212110x ax x x x −+≥−+−≥，∴()0f x ′≥，函数()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增，∴()()10f x f >=恒成立，满足条件. 2a >时，对于方程210x ax −+=，其240a ∆=−>，方程有两个不相等的实数根12,x x ， 122x x a +=> ，121x x =，120x x x ∴<<<，当()21,x x ∈时，()0f x ′<，此时函数()f x 单调递减，()21,x x ∀∈，则()()10f x f <=，不满足条件，舍去. 综上可得：实数a 取值范围是(],2−∞. 【小问2详解】证明：由（1）可知：取2a =时，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增， ∴12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立， 令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=，∴()()()221211ln 111n n n n n n n n >=−−+−， ∴()()()()()()2221111111111ln 26612112121ni n n i i n n n n n n n n =+− >−+−++−=−= −+++∑ ， ∴()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− >+∑. 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数n 的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.的。
2024年上海普陀区五校联考中考三模数学试卷试题(答案详解)
2024学年普陀区五校联考中考备考试卷（九下三模）（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：1．带2B 铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊．4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．有理数2024的相反数是（）A ．2024-B ．12024-C ．2024-D ．120242．在解答“一元二次方程211022x x a -+=的根的判别式为”的过程中，小普同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（）A ．1204a -≥B ．124a-C ．180a ->D ．281-3．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百二十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走220里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为()A ．22014012x x-=B ．22014012x=⨯C ．22014014012x x =+⨯D ．14012220x +=4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（）A ．0＜d ＜3B ．0＜d ＜7C ．3＜d ＜7D ．0≤d ＜35．下列说法中正确的是（）A ．两个全等三角形，一定是轴对称的B ．两个轴对称的三角形，一定全等C．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形6．如图，在ΔA中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中，23DEBC=；13BDAD=；23ADEABCCC∆∆=；45ADEDBCESS∆=四边形，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．215-的倒数是．8．长兴岛郊野公园的面积约为29000000平方米，这个面积用科学记数法表示平方米．9．已知3,5,0x y xy==<，则x y-=．10．构造函数，建系法是解决数学问题的常用方法，不等式：21xx>+的解集为11．从1~100的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为12．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－18x2＋12x＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．13．如图，已知ABCV中，中线AM、BN相交于点G，设=AG a，=BG b，那么向量BC用向量a、b表示为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得 AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．15．将抛物线2y x =沿着1y x =-+方向平移3个单位后，解析式为16．我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．17．对角线条数和边数相同的正多边形的中心角的余弦值为18．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC 中,AB=6，BC=7,AC=5,△11A B C 是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C 为转似中心的另一个转似三角形△22A B C （点22A B 、分别与A 、B 对应）的边22A B 的长为_____．三、解答题（满分78分）19．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩20．已知21122244a W a a a a ⎛⎫=+÷ ⎪-+-+⎝⎭．(1)化简W ；(2)若a ，2，3恰好是等腰ABC V 的三边长，求W 的值．21．如图，直线122y x =+与双曲线相交于点A (2，m )，与x 轴交于点C .（1）求双曲线解析式；（2）点P 在x 轴上，如果PA =PC ，求点P 的坐标.22．24点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或24-．例如：抽到的数字为“4，4，10，10”，则可列式并计算为：(10104)424⨯-÷=．如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆5”为“5+”，“♠4”为“4-”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“24点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为24或24-．①依次记为：_________________列式计算：__________________．②依次记为：_________________列式计算：_______．23．已知，如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC BD ⊥．(1)求证：2CD BC AD =⋅；(2)点F 是边BC 上一点，连接AF ，与BD 相交于点G ，如果BAF DBF ∠=∠，求证：22AG BGBD AD=．24．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点()1,3B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，45BAO ∠=︒，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PM OB ∥，与抛物线交于点M ，且点M在第一象限内．(1)求抛物线的表达式；(2)若BMP AOB ∠=∠，求点P 的坐标；(3)过点M 作MC x ⊥轴，分别交直线AB x 、轴于点N 、C ，若ANC 的面积等于PMN 的面积的2倍，求证：cos NCBAO MN=∠．25．已知ABC V 内接于O ，为的O 直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求BCOH的值；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，:3:2EF DF =，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若,FR CM AT ==写出圆O 半径的长．1．C【分析】本题考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可求解．【详解】解：2024的相反数是2024-，故选：C ．2．B【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式公式24b ac ∆=-是解题的关键．直接根据根的判别式公式24b ac ∆=-进行计算即可得解．【详解】解：211022x x a -+=的根的判别式为22111442224b ac a a⎛⎫∆=-=--⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：B ．3．C【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马，据题题意：22014014012x x =+⨯，故选：C ；【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，挖掘出隐含条件．4．D【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆内含，则0≤d ＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），即如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是0≤d ＜3，故选：D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d ＞R+r ；②外切，则d=R+r ；③相交，则R-r ＜d ＜R+r ；④内切，则d=R-r ；⑤内含，则d ＜R-r ．5．B【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；B 、两个轴对称的三角形，一定全等，正确，故本选项正确；C 、三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误；D 、三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．C【分析】根据中心的三角形相似即可解答.【详解】解：已知DE //BC ，且DE 经过重心G ，可得△ADE ∽△ABC ，且相似比为2:3，故2233ADE ABC C DE BC C ∆∆＝，＝正确，且49s ADE S ABC 三角形＝三角形，故45ADE DBCE S S ∆四边形＝，12BD AD ，故正确的有三个,选C.【点睛】本题主要考查三角形相似的相关性质，熟悉掌握是解题关键.7．57-【分析】先将原数化为假分数形式，再根据倒数的定义解答．【详解】解：27155-=-，∴215-的倒数是57-，故答案为：57-．【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记确定一个数倒数的方法是解题的关键．8．72.910⨯【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.9a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数．本题小数点往左移动到2的后面，所以7.n =【详解】解：2900000072.910=´故答案为：72.910⨯【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．9．8或8-##8-或8##8±【详解】解：因为3,5,x y ==所以3,5,x y =±=±又因为0,xy <所以3,5x y ==-或3,5,x y =-=当3,5x y ==-时，()35358,x y -=--=+=当3,5x y =-=时，358,x y -=--=-综上：8x y -=或8x y -=-.故答案为：8或8-【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的减法与乘法运算，代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键.10．2x <-或01x <<【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．令12y x=，21y x =+，画出函数图象，根据1y 函数图象在2y 函数图象上方部分的自变量取值范围，即可解不等式．【详解】解：令12y x=，21y x =+，函数图象如下：当2x <-或01x <<时，1y 函数图象在2y 函数图象上方，即不等式21x x>+的解集为2x <-或01x <<，故答案为：2x <-或01x <<11．1100##0.01【分析】本题主要考查了素数和合数的定义，以及根据概率公式计算概率，分析出从1~100中，一共100个数，其中1既不是素数，也不是合数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：从1~100中，一共100个数，其中1既不是素数，也不是合数，∴从中随机抽取1个数，既不是素数，也不是合数的概率为：1100．故答案为：1100．12．2【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.【详解】解:∵函数解析式为:y ＝－18x 2＋12x ＋32，∴y 最值=24ac b 4a -=23114282148⎛⎫⎛⎫⨯⨯-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=2.故答案为:2.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键.13．ˆ2ˆa b +##2b a + 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得2AG GM =，2BC BM =，利用三角形法则求出BM，进而可得结果．【详解】解：∵中线AM 、BN 交于点G ，∴2AG GM =，2BC BM =，∴12GM AG =，∵BM BG GM =+，即12BM a b =+ ，∴22BC BM a b ==+ ．故答案为：2a b +．14．8【详解】作出图形，如图，可知使得△AOP 是等腰三角形的点P 共有8个．故答案是：815．2y x 骣琪=++琪桫或2y x 骣琪=--琪桫【分析】本题考查了二次函数的平移变换，掌握平移的规律是解题的关键．将条件中“沿着1y x =-+方向平移3个单位”转化为“”或者“向右平移2个单位，再向下平移2个单位”两种情况．【详解】解：依题意，抛物线2y x =的顶点()0,0沿着1y x =-+方向平移3个单位，当顶点()0,0平移到22⎛- ⎝⎭时，平移后的解析式为222y x 骣琪=++琪桫，当顶点()0,0平移到22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，平移后的解析式为222y x 骣琪=--琪桫，故答案为：2y x 骣琪=++琪桫或2y x 骣琪=--琪桫16．﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x +-，y =bx 2+2x =211(b x b b+-，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b-=，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．17【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，然后构造三角形相似来求解是解题的关键．先利用正多边形的对角线条数公式求出符合题意的正多边形为正五边形，然后求出正五边形的中心角为72︒，再作等腰ABC V ，使顶角36A ∠=︒，则底角72ABC ACB ∠=∠=︒，作ABC ∠的角平分线BF ，过点B作BE AC ⊥于E ，则可得到AF BF BC ==，设AF BF BC x ===，CE FE y ==，则2AC x y =+，2CF y =，证明ABC BCF △∽△，得到AB BCBC CF=，即22x y x x y +=，进而得到1)x y =，在Rt BEC 中，利用余弦的定义即可得解．【详解】解：设正多边形的边数为n ，则对角线条数为(3)2n n -，根据题意得，(3)2n n n -=，解得5n =，或0n =（舍去）∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，正五边形的中心角为360725︒=︒，如图，作等腰ABC V ，使顶角36A ∠=︒，则底角72ABC ACB ∠=∠=︒，作ABC ∠的角平分线BF ，过点B 作BE AC ⊥于E ，则36ABF CBF ∠=∠=︒，∴72BFC A ABF ∠=∠+∠=︒，∴A ABF ∠=∠，BFC ACB ∠=∠，∴AF BF =，BF BC =，∴AF BF BC ==， BE FC ⊥，BF BC =，∴90BEC ∠=︒，CE FE =，设AF BF BC x ===，CE FE y ==，则2CF y =，2AC x y =+， 36CBF A ∠=∠=︒，72ABC BCF ∠=∠=︒，∴ABC BCF △∽△，∴AB BCBC CF=，即22x y x x y +=，整理得：2242x y xy =+，∴22225x xy y y -+=，即22()5x y y -=， 0x y >>，∴x y -=，∴1)x y=+在Rt BEC 中，cos cos 72CE y BCE BC x ∠=︒==故答案为：14．18．15049.【详解】试题分析：先根据条件证明△ABC ∽△A 1B 1C 就可以求出A1C 中，再证明△ABC ∽△A 2B 2C 就可以求出结论．解：∵△ABC ∽△A 1B 1C ，∴AC:A 1C ＝BC:B 1C ．∵AB=6，BC=7，AC=5，∴5:A 1C ＝7:5，∴A 1C=25:7．∵△ABC ∽△A 2B 2C ，∴BC:B 2C ＝AB:A 2B 2，∴＝，∴A 2B 2=15049．故答案为15049．考点：1.旋转的性质；2.相似三角形的判定与性质．19．114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+=的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．20．(1)22a a -+(2)15【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）根据等腰三角形的定义结合分式有意义的条件求出a 的值，然后代值计算即可．【详解】（1）解：21122244a W a a a a ⎛⎫=+÷ ⎪-+-+⎝⎭()()()()2222222244a a a a a a a a a ⎡⎤+-=+÷⎢⎥-+-+-+⎣⎦()()()222222a aa a a =÷-+-()()()222222a aa a a-=⋅-+22a a -=+；（2）解：∵a ，2，3恰好是等腰ABC V 的三边长，且2020a a -≠⎧⎨+≠⎩，∴3a =，∴23212325a W a --===++．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，等腰三角形的定义，分式有意义的条件，灵活运用所学知识是解题的关键．21．（1）6y x =（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】试题分析：（1）根据题意求出点坐标，再代入双曲线解析式中即可求解；（2）设点P 的坐标为(x ，0)，由C （-4，0），PA=PC 4x =+，解得x 的值，即可求得点P 的坐标.试题解析：（1）把2,x y m ==代入直线122y x =+解得3m =∴点A 的坐标为（2，3）设双曲线的函数关系式为()0ky k x=≠把2,3x y ==代入解得6k =∴双曲线的解析式为6y x=（2）设点P 的坐标为(),0x ∵C （-4，0），PA=PC4x =+，解得14x =-经检验：14x =-是原方程的根，∴点P 的坐标为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭22．①4+，4+，10-，10-；[(10)(10)4]424-⨯--÷=．（答案不唯一，正确即可）②4-，4+，10+，10-；[(10)104](4)24-⨯+÷-=．（答案不唯一，正确即可）【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“24点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．【详解】解：①四张牌依次记为4+，4+，10-，10-；列式计算得：[(10)(10)4]424-⨯--÷=（答案不唯一，正确即可）；②四张牌依次记为4-，4+，10+，10-；列式计算得：[(10)104](4)24-⨯+÷-=（答案不唯一，正确即可）．【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“24点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ACD DBC ∽可得AD CDCD BC=，进而证明结论；（2）先证明ABG DBA △∽△可得AG AB AD BD =，进而得到2222AG AB AD BD=；再由ABG DBA △∽△可得BG ABAB BD=，即2=⋅AB BG BD ，最后代入即可证明结论．【详解】（1）证明：AD BC ∥ ，90BCD ∠=︒，90ADC BCD \Ð=Ð=°，又AC BD ⊥ ，90ACD ACB CBD ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD CBD ∴∠=∠，ACD DBC ∴ ∽，AD CDCD BC∴=，即2CD BC AD =⨯．（2）解：AD BC ∥ ，ADB DBF ∴∠=∠，BAF DBF ∠=∠ ，ADB BAF ∴∠=∠，ABG DBA ∠=∠ ，ABG DBA ∴ ∽，AG ABAD BD∴=，2222AG AB AD BD∴=，又ABG DBA ∽，BG ABAB BD∴=，2AB BG BD ∴=⋅，22222AG AB BG BD BGAD BD BD BD⋅∴===．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得ABG DBA △∽△是解答本题的关键．24．(1)24y x x =-+(2)53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，根据等腰直角三角形的性质可求点(4,0)A ，用待定系数法可求抛物线的表达式；（2）根据平行线的性质可得BM OA ∥，可求点M 坐标，用待定系数法可求直线BO ，直线AB ，直线PM 的解析式，即可求点P 坐标；（3）延长MP 交x 轴于点D ，作PG MN ⊥于点G ，根据等腰直角三角形的性质可得AC CN =，PG NG =，根据锐角三角函数可得tan 3tan MGBOA MPG PG∠==∠=，可得33MG PG NG ==，根据面积关系可求NCMN的值，再求出cos BAO ∠的值，即可得证．【详解】（1）解：如图，过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，点()1,3B ，3BH ∴=，1OH =，45BAO ∠=︒ ，90BHA ∠=°，3AH BH ∴==，4∴=OA ，∴点()4,0A ，抛物线过原点O 、点A 、B ，∴设抛物线的表达式为()20y ax bx a =+≠，∴01643a b a b =+⎧⎨+=⎩，解得：1a =-，4b =，∴抛物的线表达式为：24y x x =-+．（2）解：如图，PM OB ∥，180PMB OBM ∴∠+∠=︒，且BMP AOB ∠=∠，180AOB OBM ∴∠+∠=︒，BM OA ∴∥，设点(),3M m ，且点M 在抛物线24y x x =-+上，234m m ∴=-+，1m ∴=（舍去），3m =，∴点()3,3M ，点0,0，点()4,0A ，点()1,3B ，∴直线OB 解析式为3y x =，直线AB 解析式为4y x =-+，PM OB ∥，∴设PM 解析式为3y x n =+，且过点()3,3M ，333n ∴=⨯+，6n ∴=-，PM ∴解析式为36y x =-，∴364y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）解：如图，延长MP 交x 轴于点D ，作PG MN ⊥于点G ，PG MN ⊥ ，MC AD ⊥，PG AD \∥，MPG MDC ∴∠=∠，45GPN BAO ∠=∠=︒，又90PGC ∠=︒ ，90ACG ∠=︒，AC CN ∴=，PG NG =，PM OB ∥，BOA MDC ∴∠=∠，MPG BOA ∴∠=∠， 点B 坐标()1,3，tan 3tan MGBOA MPG PG∴∠==∠=，33MG PG NG ∴==，4MN PG ∴=，ANC 的面积等于PMN 的面积的2倍，∴11222AC NC MN PG ⨯⨯=⨯⨯⨯，2211242NC MN MN ∴=⨯⨯=，∴NC MN= 直线AB 解析式为4y x =-+，cos 2BAO ∴∠=，cos NCBAO MN∴=∠．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．25．(1)2BCOH=；(2)证明见解析；【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，可得AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，∵N 为 AC 的中点，∴ AN CN=，∴AON CON ∠=∠，∵OA OC =，∴AH HC =，∵OA OB =，∴OH 是ABC V 的中位线，∴2BC OH=；（2）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，∵BD DC =，DO DO =，OB OC =，∴()SSS DOB DOC ≌，∴12BDO CDO BDC a Ð=Ð=Ð=，∵OB OD =，∴DBO BDO a Ð=Ð=，∵ACD ABD α∠=∠=，∴CDO ACD ∠=∠，∴OD AC ∥；（3）解：连接AD ，∵FG OD ⊥，∴90DGF ∠=︒，∵90CHE ∠=︒，∴DGF CHE Ð=Ð，∵FDG ECH Ð=Ð，DG CH =，∴()ASA DGF CHE ≌，∴DF CE =，∵AH CH =，∴OH AC ⊥，∴CE AE DF ==，∵EAC ECA α∠=∠=，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，∴BDC AED ∠=∠，∴DF AE ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，∴90EFD ∠=︒，∴3tan 2EF EDF FD Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，∴sin AS AES AEÐ=，∵FR DC ⊥，∴sin FR FDR FDÐ=，∵FD AE ∥，∴FDR AES Ð=Ð，∴sin sin FDR AES Ð=Ð，∴FR AS =，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BCE ACS Ð+Ð=°，∵90ASC ∠=︒，∴90CAS ACS Ð+Ð=°，∴BCE CAS Ð=Ð，∵BCE TCM Ð=Ð，∴CAS TCM Ð=Ð，∵TM DC ⊥，∴90TMC ∠=︒，∴TMC ASC Ð=Ð，∵FR CM =，∴AS CM =，∴()SAS CAS TCM ≌，∴CT AC =，∵1809090ACT Ð=°-°=°，∴45CAT CTA Ð=Ð=°，∴sin sin 454AC AT CTA =仔==，∵EDF BAC ∠=∠，∴3tan tan 2EDF BAC Ð=Ð=，∴32BC AC =，∴6BC =，∴AB ==，∴圆O【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．。
2024届皖北五校联盟高三第二次联考数学试卷+答案
颍上一中蒙城一中淮南一中怀远一中涡阳一中2024届高三第二次五校联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,{10}U A x x ==+<R ∣，集合{}2log 1B xx =<∣，则集合()U A B ∩= （ ） A.[]1,2− B.()0,2 C.[)1,∞−+ D.[)1,1−2.已知z 为复数且()1i 13i z ⋅−=+（i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部为（ ） A.2 B.2i C.-2 D.2i −3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且137,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A.2 B.4 C.5 D.64.“2a =”是“直线220ax y ++=与直线()110x a y +−+=平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin 3,3A c AB AC ==⋅= ，则sin sin b cB C+=+（ ）6.甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在A B C D ､､､，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）A.96种B.132种C.168种D.204种7.已知不等式e 1ln x ax x x +>−有解，则实数a 的取值范围为（ ） A.21,e ∞−+B.1,e ∞ −+C.21,e ∞ −D.1,e ∞ − 8.已知实数,x y 满足13y y x x +=1y +−的取值范围是（ ）A.)42B.)44C.22 −D.24二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.一组数据1210,,,x x x 是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A.平均数变大 B.中位数没变 C.方差变小 D.极差没变10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A.若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形B.若()()cos cos 1A B B C −⋅−=，则ABC 一定是等边三角形 C.若cos cos a C c A c +=，则ABC 一定是等腰三角形 D.若()cos 2cos 0B C C ++>，则ABC 一定是钝角三角形 11.已知正四面体O ABC −的棱长为3，下列说法正确的是（ ） A.平面OAB 与平面ABC 夹角的余弦值为13B.若点P 满足()1OP xOA yOB x y OC =++−−，则OPC.在正四面体O ABC −D.点Q 在ABC 内，且2OQ QA =，则点Q 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若n 为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式12nx 的展开式的常数项是__________.13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线C 相切于点P ，连接PF ，在APF 中，设sin sin PAF AFP ∠λ∠=，则λ的值为__________.14.对于函数()()cos 0f x x kx x =− ，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为α，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为β求()()2221sin21cos21ααββαβ+++=−__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分。
2024年浙江省五校(杭二、金一、绍一、衢二、温中)联盟高三3月联考试卷及答案
2024年浙江省五校联盟高三3月联考数学试题卷命题：浙江省杭州第二中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若全集U ，集合,A B 及其关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（）A.()U A B ðB.()U A B ðC.()U BA ð D.()U A B ð2.已知(1,2)a =r，2b =r ，且a b ⊥r r ，则a b -r r 与a 的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.3.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列说法中正确的是（）A.若,b c αα⊂∥，则b c ∥B.若,b c b α⊂∥，则c α∥C.若,c αβα⊥∥，则c β⊥ D.若,c c αβ⊥∥，则αβ⊥4.已知角α的终边过点(3,2cos )P α-，则cos α=（）A.2B.2-C.2± D.12-5.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“2q =”是“{}1n S a +为等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知实数,x y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A.1+ B.8C. D.1+7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于,P Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.213D.8.在等边三角形ABC 的三边上各取一点,,D E F ，满足3,90DE DF DEF ==∠=︒，则三角形ABC 的面积的最大值是（）A. B. C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大10.在三棱锥A BCD -中，已知3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则（）A.MN AD⊥B.异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是78C.三棱锥A BCD -的体积为3D.三棱锥A BCD -的外接球的表面积为11π11.已知函数()(sin cos )x f x e x x =⋅+，（浦江高中数学）则（）A.()f x 的零点为,4x k k Z ππ=-∈B.()f x 的单调递增区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()f x kx ≥恒成立，则22k e ππ≤⋅D.当10031005,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，过点1,02π-⎛⎫⎪⎝⎭作()f x 的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为502π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线3430x y -+=的一个方向向量是________.13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为________.14.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='，若(21),(2)f x g x --均为偶函数，且当[1,2]x ∈时，3()2f x mx x =-，则(2024)g =________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2，求平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =-，其中a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是3-？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.17.（本小题满分15分）记复数的一个构造：从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n 次这样的构造，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .已知复数具有运算性质：()()()()a bi c di a bi c di +⋅+=+⋅+，其中,,,a b c d R ∈.（1）当2n =时，记2z 的取值为X ，求X 的分布列；（2）当3n =时，求满足32z ≤的概率；（3）求5n z <的概率n P .18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把点*(,),,x y x y N ∈称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(,)x y 进行赋值记为(,)P x y ，例如(2,3)8P =，(4,2)14,(2,5)17P P ==.（1）求(,1)P x ;（2）求证：2(,)(1,)(,1)P x y P x y P x y =-++;（3）如果(,)P x y 满足方程(1,1)(,1)(1,)(1,1)2024P x y P x y P x y P x y +-+++++++=，求(,)P x y 的值.19.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)F 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,M N 两点(M 在第一象限）.（1）当||3||MF NF =时，求直线l 的方程；（2）若三角形OMN 的外接圆与曲线C 交于点D （浦江高中数学）（异于点,,O M N ），（i ）证明：MND ∆的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；（ii ）求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDBCACA选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号 9 10 11 答案BCABDACD12. 3(1,)4 (答案不唯一) 13.2514. 6− 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）（第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，7分）解：（Ⅰ）取BC 中点为M ，连接1B M ，∵1B 在底面内的射影恰好是BC 中点， ∴1B M ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ,∴1B M AC ⊥， 又∵90ACB ∠=，∴AC BC ⊥， ∵1,B M BC ⊂平面11B C CB ，1B MBC M =，∴AC ⊥平面11B C CB ，又∵AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（Ⅱ）以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵2BC CA ==， ∴11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,0),(0,1,3),(0,1,3),A B M B C − 111(2,1,3),(2,2,0),(0,2,0)AB AB B C =−=−=−，设平面1BAB 的法向量为(,,)n x y z =，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则有230220x y z x y ⎧−++=⎪⎨−+=⎪⎩，令3,z =则3x y ==，∴(3,3,3)n =，设平面1BAB 的法向量为(,,)m a b c =，∴1110m AB m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则有23020a b c b ⎧−++=⎪⎨−=⎪⎩，令3a =则0,2b c ==，∴(3,0,2)n =，∴||535|cos ,|||||7993304n m n m n m ⋅<>===++⨯++，平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值为57.16.（本小题满分15分）（第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，9分）∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，得x ＝1a，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ， 又f(x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2； 当e≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 217.（本小题满分15分） （第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，4分；第Ⅲ问，5分） （Ⅰ）由题意可知，可构成的复数为{}11i +， 且1112i i ====+=+=.X 的可能取值为1234,,，()11221166119C C P X C C ⋅===⋅,(1142116629C C P X C C ⋅===⋅,()11421166229C C P X C C ⋅===⋅,()11221166139C C P X C C ⋅===⋅,(1142116629C C P X C C ⋅===⋅,()11221166149C C P X C C ⋅===⋅,所以分布列为：（Ⅱ）共有666216C C C ⋅⋅=种， 满足32z ≤的情况有：①3个复数的模长均为1，共有1112228C C C ⋅⋅=种；②3个复数中，2个模长均为1，12，共有2111322448C C C C ⋅⋅⋅=种； 所以()38487221627P z +≤==. （Ⅲ）当1n =或2时，显然都满足，此时1n P =； 当3n ≥时，满足5n z <共有三种情况： ①n 个复数的模长均为1，则共有()122nn C =；②1n −个复数的模长为1，剩余12，则共有()11111242n n n n C C C n −−+⋅⋅=⋅；③2n −个复数的模长为1，剩余2或者2，则共有()()22111124412n n n n C C C C n n −−+⋅⋅⋅=−⋅.故()()()()211216212*********n n n n n nnnn n n n n P z C ++++⋅+−⋅+<===，此时当12n ,=均成立.所以()21253n nn P z +<=.18. （本小题满分17分）（第Ⅰ问，4分；第Ⅱ问，7分；第Ⅲ问，6分） 解：（Ⅰ）根据图形可知()()1,11232x x P x x +=++++=， （Ⅱ）固定x ，则(),P x y 为一个高阶等差数列，且满足()(),1,1P x y P x y x y +−=+−，()()1,,P x y P x y x y +−=+,所以()()()()()1,1,112112y y P x y P x y y x y x ++−=++++−=+−,()()()()11,1122y y x x P x y y x +++=+−+,所以()()()()()11,1122x x y y P x y x y +−=++−−,()()()()()111,2122x x y y P x y x y −−−=++−−，所以()()()()()()()()()()221111,11,21122222322,x x y y y y x x P x y P x y x y y x x y xy y x P x y −−++++−=++−−++−+=++−−+=（Ⅲ）()()()()1,1,11,1,12024P x y P x y P x y P x y +−+++++++=,等价于()()()(),,11,1,12023P x y P x y P x y P x y +++++++=,等价于()(),131,2023P x y P x y +++=,即()()()()()()131211212202322x x y y x x x y y x +++−++++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,化简得()()2221010121010y xy x y x x y x y x ++−+=⇔+−++=,由于x y +增大，()()1x y x y +−+也增大，当31x y +=时，()()129921010x y x y x +−++<<,当33x y +=时，()()1210561010x y x y x +−++>>,故当32x y +=时，()()1210109,23x y x y x x y +−++=⇒==， 即()91023229,2382247422P ⨯⨯=++⨯=.19. （本小题满分17分）（第Ⅰ问，4分；第Ⅱ问，5分；第Ⅲ问，8分） 解：（Ⅰ）设直线MN ：1x my =+，1122(,),(,)M x y N x y联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my −−=，所以12124,4y y m y y +=⋅=−，3MF NF =，则123y y =−∴122212224,34y y y m y y y +=−=⋅=−=−，则213m=，又由题意0,m >∴3m =，直线的方程是y =（Ⅱ）（ⅰ）方法1：设112233(,),(,),(,)M x y N x y D x y因为,,,O M D N 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=−−−，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y −−−=−+++++−，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，所以MND ∆的重心的纵坐标为0.方法2：设112233(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，则1213234444,,,OM ON MD ND k k k k y y y y y y ====++， 因为,,,O M C N 四点共圆，所以MON MDN π∠+∠=，即tan tan 0MON MDN ∠+∠=，21124()tan 116OM ON OM ON k k y y MON k k y y −−∠==+⋅+，1213234()tan 1()()16ND MD ND MD k k y y MDN k k y y y y −−∠==+⋅+++，化简可得：312y y y =−−， 所以MND ∆的重心的纵坐标为0.（ⅱ）记,OMN MND △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线MN 的斜率不为0 设直线MN ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440ymy −−=，所以12124,4y y m y y +=⋅=−，所以1121122S OF y y =⋅⋅−==， 由（i ）得，()3124y y y m =−+=−， 所以()22233114444x y m m ==⨯−=，即()24,4D m m −， 因为()212122444MN x x m y y m =++=++=+，点D 到直线MN的距离d =，所以()22211448122S MN d m m =⋅⋅=⋅+=−，所以)221281181S S S m m =+=+−=+− M 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =−<，依次连接O ，M ，D ，N 构成凸四边形OMDN ，所以()3122y y y y =−+< ，即122y y −<，又因为124y y ⋅=−，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=−>=，即4m >，即218m >，所以)218116S m m =+−=设t =4t >， 令()()2161f t t t =−，则()()()2221611614816f t t t t t '='=−+−−，因为4t >，所以()248160f t t −'=>，所以()f t在区间,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()42f t f ⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭， 所以S的取值范围为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.。
福建省泉州市五校2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题 历史(含答案)
福建省泉州市2025届高三五校联考历史试卷本试卷满分100分，考试用时75分钟。
2024.11注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．1886年初，李鸿章在《遵议维持商局疏》中提出：“轮船招商局之设以与外洋轮船相争衡，故此呈请免北洋三口出口税工成……所有本届商局轮船运漕不再区分扣减，亦不扣海运局公费。
”这一主张有益于（）A．保护中国航运业的利权B．遏制外国资本在华输出C．增强清政府的军事实力D．改变政府财政收入结构2．下表所示为19世纪三四十年代欧洲三大工人运动的简况。
该表可用来研究（）时间运动政府的应对结果1831年法国里昂工人武装起义军事镇压失败1836—1848年英国宪章运动拒绝接受请愿书，解散全国宪章派协会失败1844年德意志西里西亚织工起义军事镇压失败A．资产阶级的妥协性B．民主革命方式的多样性C．工人运动的联动性D．科学理论诞生的必要性3．法老宣称自己是太阳神之子，拨巨款修筑神庙，赋予神职人员公职。
法老之下地位最高的官员往往由大祭司担任。
这表明古代埃及（）A．神权与王权关系密切B．人民对神灵的崇拜C．法老重视来世的生活D．实行君主专制统治4．如表为东汉后期和唐朝前期黄河流域、长江流域县城数量表（单位：座），此表反映的变化最能说明（）时间区域东汉后期唐朝前期黄河流域765669长江流域342611A．长江流域已占据经济优势B．唐朝政治制度比东汉完善C．南北方经济差距逐渐缩小D．唐朝统治疆域在不断扩大5．万里茶道是17世纪末至20世纪初，继丝绸之路之后在欧亚大陆兴起的又一条重要国际商道。
它南起中国福建武夷山，延伸至俄罗斯圣彼得堡，全长1.3万公里，是历史上跨越陆地距离最长的商贸通道。
福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）A ．54℃B ．52℃C ．50℃D ．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4．对任意实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（ ）{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N M Q = {}0,1,2[]0,2(]2,2-{}1,21015lnw w T w w -=-T 0min,w 1w w e 2.72≈ABC △tan ,tan A B x 2670x x -+=C 3π42π3π3π4()2,x ∈+∞4a x x<+4a ≤221sin ln x y x x +=-⋅A ．B ．C ．D ．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．的解集为10．已知函数，则（ ）A ．与的图象有相同的对称中心B ．与的图象关于轴对称()332e e 1x x f x x x -=-+-+()()2232f a f a -+≥a (],1-∞[]3,1-(][),13,-∞-+∞(][),31,-∞-+∞ 1215sin ,ln ,223a b c -===c b a <<a b c <<a c b <<b a c<<()2ln x f x xe x x a x =---0x >()1f x ≥a []4,4-[]3,3-[]2,2-[]1,1-()f x ()()()Δ01Δ1lim1Δx f x f f x→+-=-'()()23f f '<'0f=()0xf x '>()(),10,1-∞- ()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x xC ．与的图象关于轴对称D ．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）A ．B ．关于中心对称C ．D ．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A 的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；()f x ()g x y()()f x g x ≥()5πππ,π1212k kk ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x R ()10f ≠()()()f x y f x f y xy +-=-()00f =()f x ()1,0-()x e f x >()y xf x =-z ()34i 5i z -=z =,,20,1a b a b a b ∈>>+=R 112a b b+-()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ()()y f g x a =-a ()11x f x a e =++R a ()()()212xg x e f x x =++()g x ABC △,,A B C ,,a b c tan tan A B +=BC =D BC AD P ABC -PM ⊥,,1ABC AB AC AB ⊥=,AC M N =,BC AC E AP BN ⊥APM（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D 内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的“级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知EBN ⊥ABC 12PM =A ENB --()()2311ex x f x a x b -=----,a b 1a =()f x ()f x a ()0f x ≤5a b +()()πsin ,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π2()f x ⎛ ⎝()y f x m =+m ()()41g x f x =+()g x 17π31π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x 1231222n n x x x x x -+++++ (),y x x D ϕ=∈x P ()()x T P x ϕϕ+=⋅()x ϕP λ()1π26xh x f x λ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2ln 1,2ln 1x x f x e x x x a x +≥∴-++-≥ ()2ln 2ln 11x xe x x a x+-+--≤，又，当且仅当时，等号成立．．故选D ．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A 错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B 正确；由B 得，当时，，故C 错误；由B 得，在时取到最大值，故D 正确．三、填空题12．1； 13．14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，()2ln 1,2ln 10x x xe x ex x +≥+∴-+-≥()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ 2ln 0x x +=()2ln min 2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-=∴-≤≤ ⎪⎝⎭0,1x y ==()()()1010f f f -⋅=()()10,01f f ≠∴=1,1x y ==-()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=()10f ≠()10f ∴-=()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=()()1,f x x f x ∴=+∴()1,0-()1f x x =+0x =1xe x =+()()21,f x x y xf x x x =+=-=--12x =-4+1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x t =()f t a =()21ln e 0xg x x-'=⋅=e x =()()()0,e ,0,x g x g x >'∈()()()e,,0,x g x g x '∈+∞<e x =()g x ()t g x =由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，()f t a =e tat a -=()()e 1,1t a t y a t =+=+()1,0-e t y =()1,0-e ty =()00,e tt 000e e 1t t t =+00t =()0,11y x =+()1y a t =+e ty =1a >()()y f g x a =+110t -<<201t <<()l e 11a >+e 2a <e 12a <<e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()11xf x a e =++R ()100,2f a =∴=-()()121xx e f x e -=+12a =-()()()()21221,xxg x e f x x x e g x =++=-+R ()2x g x e ∴=-'由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，()0g x '>ln2x <()0g x '<ln2x >()g x ∴(),ln2-∞()g x ()ln2,+∞()g x ln2x =()()ln22ln21f x f ==-极大值tan tan A B +=tan tan A B +===()sin sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B A B+++==+===ABC △sin 0,cos 0C B >>sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =222222cos 3a c b cb A c b cb =+-=+-=()12AD AB AC =+ ()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+2sin sin sin a b cA B C===2sin b B =2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎭2111cos2π4cos sin 42sin 212226B bc B B B B B ⎫⎫-⎛⎫=+=+⋅=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]2,3bc ∈所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，279,44AD ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AD 32⎤⎥⎦AM BN MAC MCA ∠=∠tan tan AB AN MCA ABN AC AB ∠==∠==ABN MCA MAC ∠=∠=∠90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=︒AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAM ,M N ,BC AC 1122AM AB AC =+12BN AB AC =-+,1,AB AC AB AC ⊥==1110222AM BN AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AM BN ⊥AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAB AC ⊥A ,AB AC ,x y A ABC z ()()()110,0,0,,1,0,0,,22A C B P N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,,22AC BN AP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭EBN ⊥ABCEBN ()1n =PAC ()2,,n x y z =则，可得，令可得，设二面角为，则故二面角．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110220x y z ⎧++=⎪⎨=1x =()21,0,1n =- A EN B --θ12cos cos ,n n θ=〉〈==A ENB --1a =()()231x x f x x e -=--()33xxf x e-'=-()0f x '>0x <()0f x '<0x >()f x (),0-∞()0,+∞ ()f x ()330x x f x a e -∴=-≥'()330xxf x a e -'-=≤()4x x f x e='-'(),4-∞()4,+∞()33xxf x a e -='-(),4-∞()4,+∞()330x xf x a e-'-=≥()min 41()430f x f a e ==--'≥'413a e≤-()330xxf x a e -'-=≤x →-∞ ()f x '→+∞a 413a e ≤-()0f x ≤()23110ex x a x b -----≤2x =510a b ---≤51a b +≥-下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．51a b +=-51a b +=-()23150e xx a x a ---+≤()2360ex x a x ---≤()()()23620e xx F x a x F -=--⇒=()20F '=()33e x x F x a -'=-2130e a -=213ea =()()221360e 3x x F x x e-=--≤()231e x x F x e'-=-()F x '(),4-∞()4,+∞()()20,F F x ='∴'(),2-∞()2,4()4,+∞()F x ∴(),2-∞()2,+∞()max ()20F x F ∴==()0F x ≤5a b ∴+1-()f x π2()f x ∴π2πT 2π0,22Tωω=⨯=>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+()f x (),0sin f ϕ⎛∴== ⎝()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴==+ ⎪⎝⎭ ()πsin 223y f x m x m ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z m ∴π12（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，所以，，要使得恒成立，则有当时，则，即，令，其中，()()π414sin 2103g x f x x ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭π1sin 234x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π23i i x t +=sin y t =14y =-5π11π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=2345672222227πx x x x x x +++++=1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=()()()π1π1sin 2,sin 23262x x f x x h x f x x λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ λ()1sin22xh x x λ⎛⎫= ⎪⎝⎭R T T x ∀∈R ()()h x T T h x +=⋅x ∀∈R ()11sin 22sin222x T xx T T x λλλ+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∀∈R ()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅0λ≠x ∀∈R 2,22x x T λλλ∈+∈R R ()1sin21,1sin 221x x T λλλ-≤≤-≤+≤()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅21TT ⋅=±21T T ⋅=0T >12T T =()12x p x x=-0x >则，且函数在上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，此时，恒成立，则，即；当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的图象没有公共点，故方程无实数解．综上所述，存在满足题意，其中满足．()120,121102p p ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭()p x ()0,+∞()p x ()0,+∞()sin 22sin2x T x λλλ+=()22T m m λπ=∈Z ()m m T πλ=∈Z 21T T ⋅=-0T <2T T --=y x =-2x y -=2x y x y -=-=、21T T ⋅=-()m m T πλ=∈Z T 21T T ⋅=。
广西南宁市兴宁区五校联考2024—2025学年上学期10月九年级数学试卷
广西南宁市兴宁区五校联考2024—2025学年上学期10月九年级数学试卷一、单选题1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．250x -=B ．323x x =-C ．240x +=D ．32x y += 3．一元二次方程2570x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．二次函数236y x =-的顶点坐标为（ ）A ．()1,6-B ．()0,6C ．()0,6-D ．()3,6- 5．如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．200(12)242x -=B ．2200(1)242x -=C ．200(12)242x +=D ．2200(1)242x +=8．一元二次方程2640x x ++=配方后正确的是（ ）A ．()235x -=B ．()2313x -=C ．()235x +=D ．()2313x += 9．将二次函数21y x =-的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）A ．()214y x =--B ．()214y x =+- C ．()212y x =-+ D ．()212y x =++ 10．在同一平面直角坐标系中，二次函数22y x =+与一次函数2y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，将ABC V 绕B 点顺时针方向旋转一个角α到DBE V ，点A 的对应点D 恰好落在AC 上，且BE AC ∥．若30DBC ∠=︒，则α的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°12．如图，对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c =++中，以下结论：①0abc <；②24b ac >；③()a b m am b +≤+（m 为任意实数）；④当1x <-时，y 随x 的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．在平面直角坐标系中，点()2,3A -关于原点对称的点的坐标是．14．已知关于x 的一元二次方程250x x m -=+的一个根是2，则m 的值为．15．已知()11,A y -、()23,B y 、()34,C y 是抛物线241y x x =-+上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是．（用“>”符号连接）16．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为．17．如图，抛物线2y ax k =+与直线y mx n =+交于(3,)A p -，(1,)B q 两点，则不等式2mx n ax k +>+的解集为．18．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ΔABC 的面积为．三、解答题19．解方程：2230x x --=．20．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？ 21．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为(4,1)A -，(1,1)B --，(3,3)C -．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）(1)将ABC V 先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到111A B C △，画出平移后的111A B C △；(2)将111A B C △绕着坐标原点O 顺时针旋转90︒，得到222A B C △，画出旋转后的222A B C △；(3)求222A B C △的面积．22．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转到△ABF 的位置，接EF ．（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．23．阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根1x ，2x 和系数a b c ，，， 有如下关系：12b x x a+=-，12c x x a =． 材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m n ，，求22m n mn +的值． 解：m Q ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，1m n ∴+=，1mn =-．则22()111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为1x ，2x ，则12x x +=___________，12x x =___________．(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m n ，，且0m n ≠≠，求11m n+的值；(3)提升：已知实数s t ，满足22310s s +-=，22310t t +-=，求22s t +的值． 24．10月国庆长假期间，某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，每天销售量为180个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少10个，请回答以下问题：(1)当商品售价为每个15元时，每天销售量为多少个？(2)用函数解析式表示该商品销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系；(3)当售价定为多少时，商场每天获得利润最大？每天的最大利润是多少？25．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m 的A 处射门，已知球门高OB 为2.44m ，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m ．现以O 为原点，平面直角坐标系如图所示．(1)求二次函数的表达式；(2)通过计算判断球能否射进球门；(3)为了进球，运动员带球向点A 的正后方移动了()0n n >米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O 正上方2.25m 处进球，求n 的值．26．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC V 绕点A 按逆时针方向旋转得到ADE V （旋转角为α），直线CE 分别与直线AD ，BD 交于点F ，P ．(1)线段AE 与线段AC 的数量关系为__________；(2)如图1，当120α=︒时，请猜想线段PD 与PB 的数量关系并证明结论；(3)如图2，当α为任意角度时（0360α︒<<︒），（2）中的结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
广东省中山市2024-2025学年七年级上学期五校联考期中数学试卷
广东省中山市2024-2025学年七年级上学期五校联考期中数学试卷一、单选题1．下列代数式书写规范的是（）A ．8x÷B ．5a ⨯C ．24a bD ．213a2．下列计算正确的是（）A ．20828-+=-B ．()550--=C ．()1122÷-=-D ．22483⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭3．下列说法中，正确的是（）A ．非负数一定是正数B ．有最小的正整数，也有最小的有理数C ．若在一个数前面加上“-”号，则这个数一定是负数D ．最大的负整数是1-4．单项式352xy -的系数和次数分别是（）A ．系数5-，次数3B ．系数52-，次数4C ．系数52-，次数3D ．系数5，次数45．用四舍五入法对3.14159分别取近似值，其中错误．．的是（）A ．3.14（精确到0.01）B ．3.141（精确到千分位）C ．3.1（精确到十分位）D ．3.1416（精确到0.0001）6．下列两个数中，互为相反数的是（）A ．2+和()3--B ．4-和4C ．−2和12-D ．()2+-和()2--7．()22121x xy y -+-=-，在括号里填上适当的项应该是（）A ．222x xy y +-B ．222x xy y ---C ．222x xy y -+D ．22-x xy y +8．一组按规律排列的式子：4682,,,,357a a a a ⋅⋅⋅则第n 个式子是（）A ．2123n a n --B ．221na n -C ．2121n a n ++D ．2323n a n ++9．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下面4个结论：①0a b +<，②0b c ->，③0abc >，④0ac<中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，四边形ABCD 是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（）A ．32a B ．32a +C ．2ab D ．32b +二、填空题11．在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果约3060000条，3060000用科学记数法可以表示为．12．若代数式3x y -的值是2，则代数式126x y -+的值是．13．如果单项式312m x +-y 与432n x y +的和是单项式，那么2021()m n +的值为．14．在二进制数中，“1101”表示十进制数的3211212021113⨯+⨯+⨯+⨯=；“11000”表示十进制数的4321121202020124⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；则二进制数中的“110101”表示十进制数的是．15．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有()1n n >个点，每个图形总的点数为S ．当12n =时，S =．三、解答题16．计算：()()1912612-+-⨯--+-．17．先化简，再求值：()()()222432421x x x x x x -++--++，其中2x =-．18．已知()()222130a b c -+++-=，求代数式22c b a b-+的值．19．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ．(1)化简：a b a b +--(2)若32a =，4b =，c 、d 互为相反数，m 、n 互为倒数，求代数式()22023c d mn a b +-++的值．20．新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前4天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，文具店记录了这四天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：第1天第2天第3天第4天每支价格相对标准价格（元）1+01-2-售出支数12153233(1)求新华文具用品店这四天出售这种钢笔一共赚了多少钱；(2)新华文具用品店为了促销这种钢笔，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5支钢笔，每支12元；若超过5支钢笔，则超过部分每支8元；方式二：无论购买多少支，每支售价均为9元，林老师想在该店购买10支钢笔作为奖品，通过计算说明林老师应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．21．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD ，其中4EF =厘米，最小的正方形的边长为x 厘米．(1)FG =______厘米，DG =______厘米（用含x 的整式分别表示）：(2)求长方形ABCD 的周长（用含x 的整式表示），当2x =厘米时，求其值．22．定义新运算：11*a b a b =-，1a b ab⊗=，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：1143*73721=-=，11373721⊗==⨯．若*a b a b ⊗=，则称有理数a ，b 为“隔一数对”．例如：1123236⊗==⨯，1112*3236=-=，232*3⊗=，所以2，3就是一对“隔一数对”，(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）；①1a =，2b =；②43a =-，13b =-；③1a =-，1b =(2)计算：()()()()343420232023-*--⊗+-*-23．已知多项式A 和B ，且2A +B ＝7ab +6a ﹣2b ﹣11，2B ﹣A ＝4ab ﹣3a ﹣4b +18．阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A 和B ．如：5B ＝（2A +B ）+2（2B ﹣A ）＝（7ab +6a ﹣2b ﹣11）+2（4ab ﹣3a ﹣4b +18）＝15ab ﹣10b +25∴B ＝3ab ﹣2b +5(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A ．(2)小红取a ，b 互为倒数的一对数值代入多项式A 中，恰好得到A 的值为0，求多项式B 的值．(3)聪明的小刚发现，只要字母b 取一个固定的数，无论字母a 取何数，B 的值总比A 的值大7，那么小刚所取的b 的值是多少呢？。
湖南省长沙市长郡教育集团五校联考2023-2024学年上学期八年级期中考试数学试卷
23年秋初二长郡集团五校联考期中考试数学试卷一选择题 （共10小题，每小题3分，共30.分）1．（3分）随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在2021~202228年交付第一台nm工艺的国产沉浸式光刻机．其中数据28nm （即m 0.000000028) 用科学记数法可表示为() 2.810⨯−6A ．m 2.810⨯−7B ．m 2.810⨯−8C ．m 2.810⨯−9D ．m 2．（3分）要使分式x +x −11 有意义，则 x 的取值应满足() x =−A ．1x =B ．1x ≠C ．1x ≠−D ．1 3．（3分）在下列运算中，计算正确的是() ()−=x y x y A ．3262B ．⋅= x x x 339C ．+=x x x 224D ．÷=22x x x 6234．（3分）等腰三角形的两边分别为 3cm4，cm ，则它的周长是( ) A ．B 10cm ． C 11cm ．16cmD 9或cm ．10cm11或cm 5．（3分）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是()A ．++=++am bm c m a b c ()B ． x x x +−=−(2)(2)42x x x −+=−C ．21(1)22D ．=⋅ a b a b 8242323 6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数()B ．8C ．7A ．97．（3D ．6分）若点−P m (,2)，−−B n (4,3)关于 x 轴对称，则()m =−A ．4 n =；5m =−B ．4 n =−；5m =C ．4n =；1m =D ．4n =−；18．（3分）若x mx x 2(1)(3)−+−展开后不含x 的一次项，则m 的值是()A ． − 31B ．1C ．3D ．09．（3分）将分式+ x yx 2中的y 的值同时扩大到原来的2x ，倍，则分式的值()A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的 21C ．保持不变10．（3D ．无法确定分）如图，∆AD 是ABC 的角平分线，⊥DE AC E ，垂足为，BF AC //ED 交的延长F 线于点，若∠ABF BC 恰好平分，=AE BF 2．给出下列四个结论：①=DE DF ；②=DB DC ；③⊥AD BC =；④AC BF 3 ，其中正确的结论共有() A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二.填空题 （共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算： π 21()(2022)−10−−=．12．（3分）若分式 x +x −23x 的值为0，则=．x mx 2++1613．（3分）若是完全平方式，则m =．∆14．（3分）如图所示，在ABC 中，点D ，E 分别为BC ，AD S cm ∆ABC =4的中点，且2，则阴影部分的面积为cm 2．15．（3分）已知a b +=()362a b 22a b −=2，()4，则+=．16．（3分）关于x 的分式方程+ x xx a −=−316a 无解，则=．三.解答题 （共9小题，共72分）(2)x +17．（12分）（1）计算：2；（2）因式分解：m 249−；（3）化简：ac b ac331b a c ()2⋅÷22；（4）计算：−x x −−393182．18．（6分）解分式方程：（1）11024m m +=+−；（2）2216124x x x −−=+−．19．（6分）先化简，再求值：222524(1)244a a a a a a −+−+÷+++，其中3a =．20．（6分）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =、BE CF =．（1）求证：BDE CDF ∆≅∆（2）求证：AD 平分BAC ∠；21．（6分）平面直角坐标系中，ABC ∆各顶点坐标分别为(0,1)A 、(2,0)B 、(4,3)C ．（1）若△A B C '''与ABC ∆关于y 轴对称，请在平面直角坐标系中画出△A B C '''；（2）△A B C '''的面积是 ；（3）已知P 为x 轴上一点，若ABP ∆的面积为4，求点P 的坐标．22．（8分）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．（1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．（2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．23．（8分）（1）如图1，ABC∠=∠=∠=︒，AC CDB E ACD=，B、C、∆与CDE∆中，90ED=，则BE=．E三点在同一直线上，3AB=，4（2）如图2，在Rt ABC⊥，且CD ACBC=，过点C作CD AC=，求ABC∠=︒，4∆中，90∆的面积．BCD24．（10分）我们知道任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263−>−>−，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==． （1）(20)f = ；(36)f = ；2()(f x x 为正整数）= ；（2）若x 是正整数，①猜想2(2)f x x +的表达式；②若22022(2)2023f x x +=，求x 的值； （3）若2(49)1f x −=其中x 是整数，求x 的值．25．（10分）已知ABC ∆为等边三角形，取ABC ∆的边AB ，BC 中点D ，E ，连接DE ，如图1，易证DBE ∆为等边三角形，将DBE ∆绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD α∠=，其中0180α<<︒．（1）如图2，当30α=︒，连接AD ，CE ，求证：AD CE =；（2）在DBE ∆旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD ，CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，请问BF 是否会平分CBD ∠？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF ，BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．23年秋初二长郡集团五校联考期中考试数学试卷参考答案与试题解析一选择题 （共10小题，每小题3分，共30.分）1．（3分）随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在2021~202228年交付第一台nm工艺的国产沉浸式光刻机．其中数据 28nm （即m 0.000000028) 用科学记数法可表示为() 2.810⨯−6A ．m2.810⨯−7B ．m 2.810⨯−8C ．m 2.810⨯−9D ．m a ⨯10【分析】科学记数法的表示形式为n a 的形式，其中1||10<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，<n 是正整数；当原数的绝对值1时，n 是负整数．=−110【解答】解：因为nm m 9=⨯=⨯−−，所以nm m m 282810 2.81098．故选：C ．a ⨯10【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为n 的形式，其中a 1||10<，n 为整数，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．2．（3分）要使分式x +x −11 有意义，则 x 的取值应满足() x =−A ．1x =B ．1x ≠C ．1x ≠−D ．1【分析】根据分母等于0，分式无意义；分母不等于0，分式有意义对各选项举反例判断即可．x −≠【解答】解：依题意得：10x ≠．解得1．故选：C ．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无⇔分母为零；（2意义）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零 ⇔分子为零且分母不为零．3．（3分）在下列运算中，计算正确的是 () ()−=x y x y A ．3262B ．⋅= x x x 339C ．+=x x x 224D ．÷=22x x x 623【分析】根据整式相关运算的法则逐项判断．()−=x y x y 3262【解答】解：，故A 正确，符合题意；⋅=x x x 336B ，故错误，不符合题意；2222x x x +=，故B 错误，不符合题意；62422x x x ÷=，故B 错误，不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．4．（3分）等腰三角形的两边分别为3cm ，4cm ，则它的周长是( )A ．10cmB ．11cmC ．16cm 或9cmD ．10cm 或11cm【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm 是腰长，②4cm 是腰长两种情况求解．【解答】解：①3cm 是腰长时，能组成三角形，周长33410cm =++=，②4cm 是腰长时，能组成三角形，周长44311cm =++=，所以，它的周长是10cm 或11cm ．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，能根据题意进行分类讨论是解题的关键．5．（3分）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A ．()am bm c m a b c ++=++B ．2(2)(2)4x x x +−=−C ．2221(1)x x x −+=−D ．2323824a b a b =⋅【分析】根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，逐一进行判断．【解答】解：A 、B 中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，不合题意； C 、运用平方差公式进行的因式分解，符合题意；D 、左边不是一个多项式，不属于因式分解，不合题意．故选：C ．【点评】本题属于简单题型，关键是理解因式分解的定义中，因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．6．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数( )A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(2)180n −⋅︒，外角和等于360︒，然后列方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n ，根据题意得，(2)1803360n −⋅︒=⨯︒，解得8n =，∴这个多边形的边数为8．故选：B ．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．7．（3分）若点(,2)P m −，(4,3)B n −−关于x 轴对称，则( )A ．4m =−；5n =B ．4m =−；5n =−C ．4m =；1n =D ．4m =；1n =−【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m ，n 的值，从而得出答案．【解答】解：点(,2)P m −，(4,3)B n −−关于x 轴对称，根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，4m ∴=−，32n −=，解得4m =−，5n =，故选：A ．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，需要牢记．8．（3分）若2(1)(3)x mx x −+−展开后不含x 的一次项，则m 的值是( )A ．13−B ．1C ．3D ．0【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出2(1)(3)x mx x −+−的结果，再令含x 的一次项的系数为0，据此求解即可．【解答】解：232232(1)(3)333(3)(31)3x mx x x mx x x mx x m x m x −+−=−+−+−=−+++−，2(1)(3)x mx x −+−展开后不含x 的一次项，310m ∴+=，∴13m =−， 故选：A ．【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知不含某一项，即该项的系数为0是解题的关键．9．（3分）将分式2x x y+中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的12C ．保持不变D ．无法确定 【分析】根据题意把x ，y 的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．【解答】解：由题意得： +++==x x x x y x y x y222()(2)42222，扩大到原来的2倍，故选：A ．【点评】此题主要考查了分式的性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．10．（3分）如图，AD ∆是ABC 的角平分线，⊥DE AC ，垂足为E ，BF AC //交ED 的延长线于点F ，若BC ∠恰好平分ABF =，AE BF 2．给出下列四个结论：①=DE DF ；②=DB DC ；③⊥AD BC =；④AC BF 3 ，其中正确的结论共有() A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到=BD CD ，⊥AD BC ，故②③正确；通过∆≅∆CDE BDF ，得到=DE DF，=CE BF ，故①④正确．【解答】解：//BF AC∴∠=∠，C CBF ，BC ∠平分ABF ∴∠=∠，ABC CBF∴∠=∠，C ABC ∴=，AB AC ，AD ∆ABC 是的角平分线，∴=BD CD ，⊥AD BC ，故②③正确，∆∆CDE 在和BDF 中，⎪⎨=⎪⎧∠=∠⎩∠=∠EDC BDF CD BD C CBF ∴∆≅∆CDE BDF ASA ，()，∴=DE DF，=CE BF ，故①正确；=AE BF 2∴=，AC BF 3，故④正确．故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．二.填空题 （共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算： −−= π 1−2()(2022)101．【分析】根据负整数指数幂的性质和有理数减法的法则以及零指数幂的性质计算即可．【解答】解：−−π 1−2()(2022)10=−21=1，故答案为：1．【点评】本题考查了负整数指数幂，有理数减法，零指数幂，熟练掌握负整数指数幂，有理数减法，零指数幂是解题的关键．12．（3分）若分式32x x +−的值为0，则x = 3− ． 【分析】直接利用分式的值为零则分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：分式32x x +−的值为0，30x ∴+=且20x −≠，3x ∴=−． 故答案为：3−．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．13．（3分）若216x mx ++是完全平方式，则m = 8± ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m 的值．【解答】解：216x mx ++是完全平方式，8m ∴=±．故答案为：8±．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14．（3分）如图所示，在ABC ∆中，点D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且24ABC S cm ∆=，则阴影部分的面积为 1 2cm ．【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则2122ADB ABC S S cm ∆∆==，然后利用12ADB S S ∆=阴影计算即可． 【解答】解：D 为边BC 的中点，21142()22ADB ABC S S cm ∆∆∴==⨯=， E 为AD 的中点，()2112122ADB S S cm ∆∴==⨯=阴影． 故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即12S =⨯底⨯高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．15．（3分）已知2()36a b +=，2()4a b −=，则22a b += 20． ．【分析】利用完全平方公式化简后将22222()()()a b a b a b +=++−，整体代入即可．【解答】解：+=++−a b a b a b 2()()()2222，∴+=⨯+=2(364)201 a b 22；故答案为：20．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．（3分）关于x 的分式方程+x xx a −=−316 −a 无解，则=3 或3．．【分析】先去分母化为整式方程，再分分母为0和系数为0x 两种情况分别讨论．【解答】解：两边同时乘以−x x (3)，得+−−=−x x a x x x ()6(3)(3)a x ，即−=− (3)18；x −=当分母为0时，30x =，0a −=−，此时36a =−，解得3；当a −=系数为0x 时，30a =，方程无解，解得3．−故答案为：3或3．【点评】本题考查了分式方程的应用，分析无解的两种情况是解题关键．三.解答题 （共9小题，共72分）(2)x +17．（12分）（1）计算：2；（2）因式分解：m 249−；（3）化简：ac b ac331b a c ()2⋅÷22；（4）计算： −318x x −−392．【分析】（1）根据完全平方公式求解即可；（2）根据因式分解的方法−公式法分解因式即可；（3）根据分数混合运算的法则计算即可；（4）根据分数混合运算的法则计算即可．=++x x 2(2)x +【解答】解：（1）244；（2）m 249−=+−m m (23)(23)；（3）ac b ac 331b a c ()2⋅÷22=⋅⋅33ac b a c a c b22222 =a ；（4）−318x x −−392x =−+x x −−993(3)1822=x x x +−−(3)(3)39=x x x +−−(3)(3)3(3)= x +33．【点评】本题考查了分数混合运算，分解因式，熟练掌握分数混合运算的法则是解题的关键．18．（6分）解分式方程：（1）m m +−2411+=0；（2）−= x −x x +−2412162．m m 【分析】（1）先去分母，方程两边同乘以+−(2)(4)m m −+==得到420m =，解得1，m =然后检验：把1m m 代入+−(2)(4)进行计算即可得到原方程的解；x x （2）方程两边同乘以−+(2)(2)−−−+=得到x x x (2)(2)(2)162x =−，解得2，然后进行x =−2检验得到是原方程的增根，于是原方程无解．m m 【解答】解：（1）方程两边同乘以+−(2)(4)m m −++=420，得，解得m =1，经检验1m =是原方程的解，所以原方程的解为1m =；（2）方程两边同乘以(2)(2)x x −+得，2(2)(2)(2)16x x x −−−+=，解得2x =−， 经检验2x =−是原方程的增根，所以原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．19．（6分）先化简，再求值：222524(1)244a a a a a a −+−+÷+++，其中3a =． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．【解答】解： 原式22522(2)(2)()22(2)a a a a a a a a −+++−=+÷+++244222a a a a a −+−=÷++2(2)222a a a a −+=⋅+−2a =−， 当3a =时，原式321=−=．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20．（6分）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =、BE CF =．（1）求证：BDE CDF ∆≅∆（2）求证：AD 平分BAC ∠；【分析】（1）求出90E DFC ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定定理得出Rt BED Rt CFD ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质得出DE DF =，根据角平分线的判定定理得出即可得解．【解答】证明：（1）DE AB ⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED ∆和Rt CFD ∆中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆， （2）DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF =AD ∴平分BAC ∠；【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．（6分）平面直角坐标系中，ABC ∆各顶点坐标分别为(0,1)A 、(2,0)B 、(4,3)C ．（1）若△A B C '''与ABC ∆关于y 轴对称，请在平面直角坐标系中画出△A B C '''；（2）△A B C '''的面积是 4 ；（3）已知P 为x 轴上一点，若ABP ∆的面积为4，求点P 的坐标．【分析】（1）利用关于y 轴对称的点的坐标特征得到A '、B '、C '的坐标，然后描点即可；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设(,0)P t ，利用三角形面积公式得到1|2|4t ⨯⨯−=，然后解方程可得到P 点坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A B C '''为所作；（2）如图，△A B C '''的面积111343224214222=⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，（3）设(,0)P t ，ABP ∆的面积为4，∴11|2|42t ⨯⨯−=， 解得10t =或6−，P ∴点坐标为(6,0)−或(10,0)．【点评】本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．22．（8分）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．（1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．（2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．【分析】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x 元，则明信片的售价为(20)x −元，由题意：顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买吉祥物钥匙扣m 个，明信片n 个，由题意：商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．【解答】解：（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x 元，则明信片的售价为(20)x −元， 由题意得：1505020x x =−，解得：30x =， 经检验，30x =是原方程的解，且符合题意，则2010x −=，答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；（2）设购买吉祥物钥匙扣m 个，明信片n 个，由题意得：(300.918)(106)80m n ⨯−+−=，整理得：9204n m =−， m 、n 为正整数，∴411m n =⎧⎨=⎩或82m n =⎧⎨=⎩，∴有，2种购买方案， 答：有2种购买方案．【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．23．（8分）（1）如图1，ABC ∆与CDE ∆中，90B E ACD ∠=∠=∠=︒，AC CD =，B 、C 、E 三点在同一直线上，3AB =，4ED =，则BE = 7 ．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4BC =，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，求BCD ∆的面积．【分析】（1）由“AAS ”可证ABC CED ∆≅∆，可得3AB CE ==，4BC ED ==，可求解；（2）由“AAS ”可证ABC CED ∆≅∆，可得4BC DE ==，即可求解．【解答】解：（1）90ACD E ∠=∠=︒，90ACB DCE D ∴∠=︒−∠=∠，在ABC ∆和CED ∆中，B E ACB D AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CED AAS ∴∆≅∆，3AB CE ∴==，4BC ED ==，7BE BC CE ∴=+=；故答案为：7；（2）过D 作DE BC ⊥交BC 延长线于E ，如图：DE BC ⊥，CD AC ⊥，90E ACD ∴∠=∠=︒，90ACB DCE CDE ∴∠=︒−∠=∠，在ABC ∆和CED ∆中，90ABC E ACB CDE AC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CED AAS ∴∆≅∆，4BC ED ∴==， ∴182BCD S BC DE ∆=⋅=． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．24．（10分）我们知道任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263−>−>−，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==． （1）(20)f = 45；(36)f = ；2()(f x x 为正整数）= ； （2）若x 是正整数，①猜想2(2)f x x +的表达式；②若22022(2)2023f x x +=，求x 的值； （3）若2(49)1f x −=其中x 是整数，求x 的值．【分析】（1）将20，36分别进行分解，再找出最佳分解即可求解；（2）①根据最佳分解的定义猜想即可；②根据最佳分解的定义，列方程求解即可；（3）根据最佳分解的定义，可设2249x y −=，即()()49x y x y +−=，将49分解，即可列方程求出x 的值．【解答】解：（1）2012021045=⨯=⨯=⨯，20110254−>−>−，45∴⨯是20的最佳分解，4(20)5f ∴=， 361362183124966=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，3611821239466−>−>−>−>−，66∴⨯是36的最佳分解，(36)1f ∴=，同理，2()1f x =； 故答案为：45，1，1；（2）①22(2)x x x x +=+，x 与2x +相差2是最小的，(2)x x ∴+是22x x +的最佳分解， 2(2)2x f x x x ∴+=+， 故答案为：2x x +； ②2(2)2x f x x x +=+，22022(2)22023x f x x x ∴+==+，解得4044x =， 经检验，4044x =符合题意，x ∴的值为4044；（3）2(49)1f x −=，∴可设2249x y −=，2249x y ∴−=，即()()49x y x y +−=， 4949177=⨯=⨯，x y x y +≠−，49x y ∴+=，1x y −=，解得25x =，1y =， x ∴的值为25．【点评】本题考查因式分解，分式方程的解法，理解新定义是求解本题的关键．25．（10分）已知ABC ∆为等边三角形，取ABC ∆的边AB ，BC 中点D ，E ，连接DE ，如图1，易证DBE ∆为等边三角形，将DBE ∆绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD α∠=，其中0180α<<︒．（1）如图2，当30α=︒，连接AD ，CE ，求证：AD CE =；（2）在DBE ∆旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD ，CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，请问BF 是否会平分CBD ∠？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF ，BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证ABD CBE ∆≅∆，可得AD CE =；（2）过点B 作BN AD ⊥于N ，过点B 作BH CE ⊥于E ，由“SAS ”可证ABD CBE ∆≅∆，可得AD CE =，由面积法可求BN BH =，可证60AFB EFB ∠=∠=︒，由三角形内角和定理可求DAB ADB ∠=∠，可得AB DB =，与题干矛盾，即可求解；（3）在AF 上截取MF BF =，连接BF ，由“SAS ”可证ABM CBF ∆≅∆，可得AM CF =，可得结论．【解答】证明：（1）ABC ∆，DBE ∆都是等边三角形，AB BC ∴=，BD BE =，60ABC DBE ∠=∠=︒，ABD CBE ∴∠=∠，在ABD ∆和CBE ∆中，AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CBE SAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B 作BN AD ⊥于N ，过点B 作BH CE ⊥于E ，ABC ∆，DBE ∆都是等边三角形，AB BC ∴=，BD BE =，60ABC DBE ∠=∠=︒，ABD CBE ∴∠=∠，在ABD ∆和CBE ∆中，AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CBE SAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，ABD CBE S S ∆∆=，BAD BCE ∠=∠， ∴1122AD BN CE BH ⨯⨯=⨯⨯，BN BH ∴=， 又BF BF =，Rt BFN Rt BFH(HL)∴∆≅∆，AFB EFB ∴∠=∠，BAD BCE ∠=∠，CPE APB ∠=∠，60AFC ABC ∴∠=∠=︒，60AFB EFB ∴∠=∠=︒，120CFB DFB ∴∠=∠=︒，当BF 平分CBD ∠时，则CBF DBF ∠=∠，180180BCF CBF CFB DBF DFB ADB ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠，DAB ADB ∴∠=∠， AB DB ∴=，与题干1122DB BC AB ==相矛盾，BF ∴不会平分CBD ∠； （3）AF CF BF =+，理由如下：如图4，在AF 上截取MF BF =，连接BF ，60AFB ∠=︒，MF FB =，MFB ∴∆是等边三角形，MB BF ∴=，60MBF ABC ∠=∠=︒，ABM CBF ∴∠=∠，在ABM ∆和CBF ∆中，CB AB ABM CBF BM BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABM CBF SAS ∴∆≅∆，AM CF ∴=，AF AM MF =+，AF CF BF ∴=+．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数f （x ）=√2x −1+1x−2的定义域为（ ） A ．[0，2）B ．（2，+∞）C ．[12，2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2．已知全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x ＞2}，则（ ） A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A ∪B ＝RD ．A ∩（∁R B ）＝A3．设a ∈R ，则“a 2﹣1≥0”是“a ≤﹣1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f(√2)=（ ） A ．12B ．√2C ．2D ．2√25．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A ．f （x ）＝3x +1B ．f （x ）＝x 3C ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝lnx6．声强级（单位：dB ）由公式L 1=10lg(I 10−12)给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB ．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5×10﹣7W /m 2，10﹣8W /m 2，2×10﹣9W /m 2，则这3人中达到班级要求的人数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．对于任意的实数x ，已知函数f （x ）={x ，x ≤12−x 2，x ＞1，则f （x ）的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．28．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则x =(9×12)×(7×12)15．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（ ）（注：1里＝300步）A．2√10里B．4√10里C．6√10里D．8√10里二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一上学期历史期中联考试卷
浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期期中历史考试试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二总分评分一、选择题（本大题共24小题，每小题2分，共48分。
每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分）1．考古发现证明，黄河流域、长江流域、珠江流域、辽河流域、北方草原、四川盆地、青藏高原、天山南北，是孕育中华文明的摇篮。
下列考古发现属于辽河流域的是（）A．B．C．D．2．成语往往蕴含着丰富的历史。
秦、晋两国国君几代都互相通婚，后称两姓联姻为“秦晋之好”。
这一成语最早可能出现在（）A．夏朝B．商朝C．春秋D．战国3．明清时期，松江因为技术创新，最早形成棉布产业基地。
佛山因为掌握了先进的制铁技术，虽然并没有原材料和市场，还是成为了最大的制铁业基地。
类似还有景德镇的制瓷业、温州的皮革业、台州的印刷业等。
上述材料主要反映明清时期（）A．手工业生产出现专业化和区域化B．技术创新推动生产方式变化C．手工业生产技术地方保护性较强D．市场开拓促进经济结构调整4．秦国商鞅变法推行二十等爵制，从低到高依次排列，如下表所示，“士”和“大夫”等旧贵族称谓被压低至十级以下。
这一举措（）A．提高了人们的进取精神B．强化了对基层的控制C．旨在提高平民经济地位D．利于社会的长治久安5．相扑源于中国春秋时代，初名“角抵”，带有武术性质，南北朝到南宋时期叫“相扑”。
下图是在敦煌发现的唐代《白画相扑图》（局部），该图（）A．体现唐代绘画风格胡化B．可用于研究中国传统体育C．反映唐代尚武之风盛行D．能证明日本相扑源于中国6．井田制下，村社内的土地分为公田和私田，私田是分给村社成员的份地，按制度定期交换，村社成员要随份地变动而迁居，即“三年一换土易居”。
这意味着私田（）A．可以进行交易买卖B．收获全部上缴国家C．属于个人私有财产D．所有权归国家所有7．中华文明在五千多年的发展过程中，积累了丰富的与自然打交道的经验，形成了自己独特的科学技术。
物理丨福建省泉州五校高中联考2025届高三上学期11月期中考试物理试卷及答案
福建省泉州市2025届高三五校联考物理试卷本试卷满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列情形中，可以把人或物体看成质点的是（）A.研究地球的自转B.研究跳水运动员的空中姿态C.测量马拉松运动员的比赛时间D.观察苏炳添百米赛跑的起跑动作2.小凡和小成用软件模拟抛体运动过程，如图所示，在一个倾角为θ的斜面上，以一与斜面成α角的初速度抛出一个小球，他们发现当满足1tan tan 2θα⋅=（不考虑小球的二次反弹）时，小球落回斜面时速度与斜面垂直。
若已知1tan 2θ=，小球的初速度大小为0v ，重力加速度取g ，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A.改变抛出角度α，使得小球水平落到斜面上，则()tan 2αθ+=B.改变抛出角度α，使得小球水平落到斜面上，小球距离斜面最远距离为2010gC.改变抛出角度α，使得小球垂直落到斜面上，小球运动的时间为04v gD.改变抛出角度α，使得小球垂直落到斜面上，落球点与抛出点距离为204v g3.踢毽子是一种深受学生喜爱的体育运动。
在无风天气里，毽子受到的空气阻力大小与其下落的速度大小成正比。
一毽子从很高处由静止竖直下落到地面的过程中，运动的时间为t ，下落的高度h 、速度大小为v 、重力势能为p E 、动能为k E 。
以地面的重力势能为零。
则下列图像中可能正确的是（）A. B.C. D.4.某同学用300N 的力将质量为0.46kg 的足球踢出，足球以10m /s 的初速度沿水平草坪滚出60m 后静止，则足球在水平草坪上滚动过程中克服阻力做的功是（）A.23JB.46JC.132JD.18000J5.如图所示是甲、乙两个点电荷电场的电场线，P 、Q 为同一电场线上的两点，下列说法正确的是（）A.P 点的电场强度小于Q 点B.P 点的电势高于Q 点C.电子在P 点时的电势能大于在Q 点时的电势能D.若电子从Q 点由静止释放，只受电场力作用，则电子会沿电场线运动到P 点6.如图甲所示，100匝总阻值为0.3kΩ的圆形线圈两端M 、N 与一个阻值为1.2kΩ的电压表相连，其余电阻不计，线圈内有垂直纸面指向纸内方向的磁场，线圈中的磁通量在按图乙所示规律变化。
2024-2025学年黑龙江省大庆市肇源县五校联考九年级(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年黑龙江省大庆市肇源县五校联考九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.利用配方法解方程x 2−12x +13=0，经过配方得到( )A. (x +6)2=49B. (x +6)2=23C. (x−6)2=23D. (x−6)2=492.反比例函数y =m x 与一次函数y =−mx +m(m ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.3.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8.对角线AC ，BD 相交于点O.点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，则△AEF 的周长为( )A. 6B. 7C. 8D. 94.如图，EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足3FD =2FA ，若盲区EB 的长度是6米，则车宽FA 的长度为( )米．A. 117B. 127C. 137D. 25.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( )A. x(x +1)=1980B. x(x−1)=1980C. 12x(x +1)=1980D. 12x(x−1)=19806.已知x=2是关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC的周长为( )A. 9B. 10C. 6或10D. 8或107.如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，连结BF，然后沿着BF将矩形对折，使点C恰好落在AD边上的E处.若AE：ED=4：1，则EFBE的值为( )A. 4B. 3C. 13D. 38.下列结论错误的是( )A. 对角线相等、垂直的平行四边形是正方形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线垂直的四边形是菱形9.若点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y1>y3>y2D. y3>y2>y110.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )A. △ABC∽△A′B′C′B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上C. AB//A′B′D. AO：AA′=1：2二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
岳云中学2015届高三五校联考语文试题本试题卷共7道大题，22道小题，共8页。
时量150分钟。
满分150份。
一、语言文字运用（12分。
每小题3分）雨，( )郁而又固执地倾泻着。
，使人想起辽( )的江村，小楼一角，雨声正酣，从窗外望去，朦朦胧胧，有如张着纱幕，远山巅水墨画似的逐渐( )化，终于跟雨云融合作一处。
我又记起故乡的乌篷船，夜雨渐渐地敲着竹篷，船头水声汩汩。
——可是一睁眼我却看见了灰色的壁，灰色的窗，连梦的翅膀也无从( )翔的斗室。
1、文段括号内依次填入汉字，字音和字形全部正确的一组是（）A、悒yì廓guō溶回B、悒yì廓kuò融回C、悒yī廓guō溶飞D、悒yī廓kuò融飞2、文段中画线处填入一句话，没有语病的选项是（）A、那淙淙的细语正编织着一种幻境B、那正编织着一种幻境淙淙的细语C、那沙沙的细雨正编织着一种幻境D、那正编织着一种幻境沙沙的细雨我常常沉醉于形形色色文字中的大海，在阿兰·罗布格里耶或托马斯·曼的大海里徜徉，臆造着自己的心中之海。
在瘦了原野，熟了橘子，红了枫叶的季节，田野卸去了节令的重负，天空少雾而多晴，天地间遁入一种禅门般的空净。
少年的心是纯净而勃然的。
某一个午后，牛儿在白虎岩悠闲地觅草，牵牛的绳子长长地拖在地上，挽留着牛儿的足迹；一个装满了山草的背篓，笃立在我的身旁。
我傍着背篓，枕着一块轻柔的条石，或一堆野草，仰望旷远的天空，却把心交给了大海。
我想到大海的空净旷远。
3、与文段中加横线的词语意义相同的一项是（）A、我徜徉在街头B、树叶，在风中徜徉C、那一叶扁舟，随波徜徉D、让思绪徜徉在诗歌的王国4、文段中填入的句子，语序正确的一项是（）①把自己幻化成一条躺在珊瑚上撒懒的鱼儿②把起伏的山峦幻化为礁石③我凭借驰骋的心绪④把深邃的蓝天幻化成海水⑤把翔飞的苍鹰幻化为海鸥A、④⑤③②①B、⑤④③②①C、③④⑤②①D、①②④⑤③二、文言文阅读（22分。
其中，选择题12分，每小题3分，翻译题10分）吏道邓牧与人主共理天下者，吏而已。
内九卿、百执事，外刺史、县令，其次为佐、为史、为胥徒。
若是者，贵贱不同，均吏也。
古者君民间相安无事，固不得无吏，而为员不多。
唐虞建官，厥．可稽已，其去民近故也。
择才且贤者，才且贤者又不屑为。
是以上世之士高隐大山深谷，上之人求之，切切然恐不至也。
故为吏者常出不得已，而天下阴受其赐。
后世以所以害民者牧民，而惧其乱，周防不得不至，禁制不得不详，然后小大之吏布于天下。
取民愈广，害民愈深，才且贤者愈不肯至，天下愈不可为矣。
今一吏，大者至食邑数万，小者虽无禄养，则亦并缘为食以代其耕，数十农夫力有不能奉者，使不肖游手往往入于其间。
率虎狼牧羊豕而望其蕃息岂可得也天下非甚愚岂有厌治．思乱忧安乐危者哉宜若可以常治安矣乃至有乱与危何也? 夫夺其食不得不怒；竭其力不得不怨。
人之乱也，由夺其食；人之危也，由竭其力。
而号为理民者，竭之而使危，夺之而使乱。
二帝三王平天下之道，若是然乎？天之生斯民也，为业不同，皆所以食力也。
今之为民不能自食，以日夜窃人货殖，搂而取之，不亦盗贼之心乎？盗贼害民，随起随仆．，不至甚焉者，有避忌故也。
吏无避忌，白昼肆行，使天下敢怨而不敢言，敢怒而不敢诛．。
岂上天不仁，崇淫长奸，使与虎豹蛇虺均为民害邪！然则如之何？曰：得才且贤者用之。
若犹未也，废有司，去县令，听天下自为治乱安危，不犹愈乎？选自《伯牙琴》5、对下列语句中加点词语的解释，不正确的一项是（）A、唐虞建官，厥．可稽已厥：那，那些B、盗贼害民，随起随仆．仆：消灭C、岂有厌治．思乱治：管理D、敢怒而不敢诛．诛：诛杀6、下列各组句子中，加点词的意义和用法相同的一组是（）A、为．业不同奚以之九万里而南为．B、天之．生斯民也句读之．不知C、则亦并缘为食以．代其耕请立太子为王，以．绝秦望D、而．望其蕃息人而．无信，不知其可7、下列对原文有关内容的分析和概括，不正确的一项是（）A、从一般人的本意而言，他们愿意过安定的生活，但是国家仍会出现动乱的情况，这是因为有些人的日常生活无法得到保障。
B、远避尘世而隐居在大山深谷中的上世之士之所以不肯出山做官，是因为官吏榨取百姓越来越多，危害百姓越来越深。
C、作者站在当时官吏的对立面，言辞激烈的批判他们仗势欺人，无所顾忌，肆意掠取，鱼肉百姓，比强盗还厉害。
D、作者认为民众之所以作乱，是因为“吏”“夺其食”“竭其力”，作者能够从经济学角度来分析造成社会不安定的因素。
8、下列用“/”给文中划线部分断句，正确的一项是（）A、率虎狼/牧羊豕/而望其蕃息/岂可得也/天下非甚愚/岂有厌治思乱/忧安乐危者哉/宜若可以常治安矣/乃至有乱与危/何也?B、率虎狼/牧羊豕/而望其蕃息/岂可得也/天下非甚愚/岂有厌治思乱/忧安乐危者哉/宜若可以/常治安矣/乃至有乱与危何也?C、率虎狼牧羊豕/而望其蕃息/岂可得也/天下非甚愚/岂有厌治思乱/忧安乐危者哉/宜若可以常治安矣/乃至有乱与危/何也?D、率虎狼牧羊豕/而望其蕃息/岂可得也/天下非甚愚/岂有厌治思乱/忧安乐危者哉/宜若可以/常治安矣/乃至有乱与危何也?9、把文言文划线的语句翻译成现代汉语。
（10分）（1）与人主共理天下者，吏而已。
（3分）（2）人之乱也，由夺其食；人之危也，由竭其力。
（3分）（3）今之为民不能自食，以日夜窃人货殖，搂而取之，不亦盗贼之心乎？（4分）三、古代诗歌鉴赏和古诗文默写（13分）10、阅读《东坡》，完成后面的题目（8分）东坡①（苏轼）雨洗东坡月色清，市人行尽野人②行。
莫嫌荦确③坡头路，自爱铿然曳杖声。
【注】①此诗为苏轼贬官黄州时所作。
东坡，是苏轼在黄州居住与躬耕之所。
②野人：居住山野之人，作者自谓。
③荦[luò]确：大而多的山石。
⑪本诗运用了的艺术手法。
（至少写两种。
）（2分）⑫清代纪昀评曰：“风致不凡。
”请结合全诗谈谈你的理解。
（6分）11、古诗文默写。
（5分。
每空1分）（1），以望复关。
《氓》（2）越陌度阡，。
《短歌行》（3）有志与力，而又不随以怠，，亦不能至也。
《游褒禅山记》（4），依依墟里烟。
《归园田居》（5）且夫天地之间，物各有主，苟非吾之所有，。
《赤壁赋》四、现代文（论述类、实用类）阅读（10分。
其中填空题4分；选择题6分，每小题3分）阅读下面的文字，完成12-14题。
月球是离地球最近的一个天体，是地球唯一的一个天然卫星，也是人类离开地球，进入宇宙空间的第一步。
月球探测是不是只是一种非常巨大的消耗呢？美国的阿波罗工程应该说是当时规模最大、耗资最多的一个科技项目。
由于阿波罗工程的出现，促进了20世纪60到70年代液体燃料火箭、微波雷达、无线电制导、合成材料、计算机等一大批高科技工业群的产生。
后来这个工程取得的技术进步又向民用转移，应该说阿波罗工程带动了整个科学技术的发展和工业的繁荣，而且带来了非常巨大的经济效益。
所以月球的探测绝对不仅仅是一个要花巨额经费的工程，同时它也对人类、对整个科学技术产生着巨大的推动。
月球表面的地形非常复杂，可以分成月海、月陆和撞击坑。
月球的背面大部分是山脉，月球的正面是大量的月海。
月海是怎么形成的呢？就是小天体砸在月球上，一砸一个大坑，而大坑里面还有很多小坑，小坑里面又有更小的坑。
这些坑给人们一个启发：一个单位面积上所砸的坑越多，证明这块地方越古老。
探测证明地球的历史有46亿年，月球也有46亿年。
但是月球的记录只到31亿年，31亿年以后没有任何新的物质产生了，证明它在31亿年时已经结束了它的生命。
所以说现在的月球是一个古老的僵死的星体，它内部的能量已经衰竭，月震和表面的热流都是极小的，月球的时钟停止在31亿年以前，以后永远就以这种状态围绕着地球旋转。
所以实际上月球是一个非常荒芜、严酷的星球，是没有水、没有生命、没有声音、没有磁场、没有大气的一个天体。
月球的环境这么严酷，我们却要利用这种环境：第一是非常洁净，第二它的重力非常弱，第三它没有磁场，第四它没有大气，也没有刮风下雨的情况。
月球的地质状态非常稳定，是建立各种各样特殊材料和生物制品生产基地的极好环境。
联合国已经明确规定，月球不属于任何国家和个人，但是并没有规定说不让开发。
现在的实际情况是谁先利用，谁先获益。
月球的矿产资源非常丰富，它的岩石类型比较简单，不像地球上那么复杂。
月球上钛矿的储量有150亿亿吨，可谓取之不尽，用之不竭。
它分布的面积大约是一个中国的版图大小，当然还有很多其他资源。
月球上太阳没有任何遮挡，太阳能丰富，可以无限制地铺设太阳能电池板。
只要建三个太阳能发电厂，就永远有一个厂被太阳照射着。
月球土壤当中的氦3的储量是100万吨到500万吨。
人们已经核算下来，全球能源的需求，每年大约需要氦3的量是100吨。
中国全年的发电量大约需要8吨，美国全年的发电量大约需要25吨。
如果把氦3从月球上运回来——利用月球白天和晚上的温差，然后用航天飞机运，每一次可以运13吨回来。
运一次，中国全年的能源需求就全部解决了。
这是一个非常诱人的前景。
我们国家探月的技术已经成熟，“嫦娥一号”工程的实现，将使得我国在空间科学与技术领域获得突破性、创新性的进展。
“嫦娥五号”飞行试验器将于本月24日至26日之间择机发射，大约在绕月轨道飞行一星期后返回，这是我国探月工程首次实施再入返回飞行试验。
另据了解，“嫦五”将在2017年左右奔月，将携带约两公斤月球样本返回地球。
中国一定能够实现飞向月球的梦想，我们也会亲手把自己的旗帜插到月球上。
（摘自《中国青年报》，有删改）12．根据文意，月球是离地球最近的一个天体，是地球唯一的一个天然卫星，也是人类离开地球，进入宇宙空间的第一步。
月球探测不仅仅是一个耗资巨大的工程，而且是因为月球的_____________________和________________________，人类争相登月进行月球探测。
13．下面有关月球地形环境的说明正确的一项是（）A．月球表面地形极其复杂，岩石类型也相对复杂，存在形式比地球还要复杂。
B．月球的环境已经停留在31亿年前，那里非常洁净，重力小，没有磁场和大气。
C．月球上分布着大量的月海、月陆和撞击坑，这些撞击坑是小天体撞击月球表面形成的。
D．月球虽然绕地球旋转，但事实上它已经是一个僵死的星球，没有月震和热流，内部能量完全衰竭。
14．下列各项中理解和推断不正确的一项是（）A．此次“嫦娥一号”工程将给我国的各项研究带来促进作用，并且将派生出多种应用技术的专利成果，并将产生巨大的经济收益。
B．月球上太阳能极其丰富，是因为月球上没有大气的遮挡，因而也就没有乌云遮住太阳的情况。
C．氦3的运输问题一旦得以解决，将大大缓解地球的能源危机，地球上的因争夺能源而引发的战争也将减少。
D．联合国规定，任何国家都可以开发月球，谁先开发利用谁先获利，但月球不属于任何国家和个人。