第十章(2)-三向应力状态,强度理论

对于二向应力状态：
1 1 ( 1 2 ) E 1 2 ( 2 1 ) E
2
1
3

E
( 1 2 )
CL10TU30
二.体应变
V0 a b c V1 a(1 1 ) b(1 2 ) c(1 3 ) a b c (1 1 2 3 )
3 s
[ ]
• 第三强度条件：
s
n
1 3 [ ]
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结
果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多
数情况下远比此为小。


• 简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
1 2 uu 2 s 6E
• 屈服破坏条件是：
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 s 2
• 第四强度条件：


1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 [ ] 2
3 m
m
1 2 3
3
3 ( 1 2 ) 1 2 3 m 变形比能 = 体积改变比能 + 形状改变比能 E 3 K u = u + u
v
f CL10TU41
1 2 2 u 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 [ ] 2


[ ] 由此得： 3
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 按第三强度理论可求得： [ ] 3
2
3 30MPa 30MPa
max 1 3
2 80MPa
§10-4广义胡克定律
一.广义胡克定律
纵向应变： E 横向应变：




E
CL10TU35
下面计算沿 1方向的应变：
1 1引起的应变为 1 E 2 、 3 引起的应变为
2
3 1 3 1 1 3
2
3
2

3
2
1
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
2
3 1
1 3
2

3
2
1
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1 min 3 1 3 max
2
1 3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45° 角的平面上，以τ1，3表示
CL10TU31
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU32
4.形状改变比能理论(第四强度理论) • 它假定，复杂应力状态下材料的形状改变比
能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比
能时，材料即会发生屈服。 • 屈服破坏条件是：
u f uu
1 uf ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6E


• 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材
料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二
强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应
采用第三、第四强度理论。
• 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：
低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；
在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静
载荷作用下保持塑性。
无论是塑性材料或脆性材料：
1 ( 2 3 ) b
[ ]
b
n
( 2 3 ) [ ]
• 第二强度条件： 1
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如
端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
CL10TU50
解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
第三强度理论的强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ] 由此得： 2
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 按第三强度理论可求得： [ ] 2
第四强度理论的强度条件为：


3(1 2 ) 2 1 2 2 m ( 1 2 3 ) uv 2E 6E
u f u uv
12 2 2 2 m ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E


1
m
m
1 m
例：填空题。
冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，
其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 [Байду номын сангаас ]
只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉
伸断裂时应变的极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
• 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工
作，则
u b 1 1 1 （ 2 3 ） , u E E E
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
3
3 m
§10-5 强度理论的概念
max [ ] max [ ]
材料破坏的形式主要有两类：
流动破坏 断裂破坏
一. 常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。
1 式中：
E 1 体积弹性模量 K 3 (12 2 ) 2 （ 3 1 ） E 1 2 3 m 1 3 3 （ 1 2 ） 3 E 当 05 . 时， 0
2E

1 1 E 1 （ 2 3 ） 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
2
1 3
m
m m
2 m
1 m
1.最大拉应力理论（第一强度理论） • 它假定：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。 • 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb • 强度条件可写为 σ1 ≤ σb
[ ]
b
n
• 第一强度强度条件：
1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、


这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，
用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确
的。
四个强度理论的强度条件可写成统一形式：
r 称为相当应力
r1 1
r [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3 r4
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2
E
1
（ 2 3 ）
三.复杂应力状态下的变形比能
拉压变形能：
1 1 Pl P l U P l P 2 2 EA 2 EA
2
P P
l l
变形比能：
U P l 1 u V 2 EA Al 2 E 2
2 2



CL10TU40
2
单位体积的体积改变为:
V1 V0 1 2 3 V0
b
3 a
c
1
也称为体积应变。
CL10TU30
1 2 1 2 3 ( 1 2 3 ) E 3(1 2 ) 1 2 3 m 3 K E 1
• 3.最大剪应力理论（第三强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸 屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑 性变形或屈服。 • 屈服破坏条件是：
max s
max
1 3
2
, s
s
2
• 用应力表示的屈服破坏条件： 1
2
3 1
1 3
2

3
2
1
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。

3
2
1
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。

3
2
1
在三向拉应力接近相等的情况下，都以断 裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下，都可以
引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度
理论。
§10-9 莫尔强度理论
[ t ] 1 3 [ t ] [ c ]
rM
[ t ] 1 3 [ c ]

变形比能： 1 u 2

2

1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 3
变形比能： 1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )
解：
1
52 . 2 30 20 30 20 2 MPa 40 2 2 3 42.2
2
2 50MPa 50MPa
max 1 3
2 47.2MPa
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，
这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应
力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论） • 它假定，无论材料内各点的应变状态如何，
§10-3 三向应力状态简介
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力 : CL10TU30
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。 σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
2 1 E 3 1 E 当三个主应力同时作用时： 1 1 1 （ 2 3 ） E
2
1 3
CL10TU30
广义胡克定律：
1 （ ） 1 1 2 3 E 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E
2 50MPa 3 50MPa max 1 3
2 50MPa
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU34
解：
120 40 2 2
1
130 120 40 2 MPa 30 2 30