多项式长除法精讲精练

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八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1.8多项式除以单项式同步精练新版新人教版(重点资料).docx

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1.8多项式除以单项式同步精练新版新人教版(重点资料).docx

14.1.8 多项式除以单项式1.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项__除以__单项式,再把所得的商__相加__.2.计算(9a 2b -6ab 2)÷(3ab)=__3a -2b__. ■ 易错点睛 ■【教材变式】(P105习题5(6)改) 计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25a 2b -12a 3b 2÷(-0.5a 2b).【解】原式=-0.5+ab【点睛】多项式除以单项式时应注意系数和符号的变化.知识点 多项式除以单项式1.计算(48x 3+6x)÷6x 的结果为( D ) A .8x 3+6 B .8x 3+1 C .8x 2+xD .8x 2+12.计算(6ab -4a 2)÷(-2a)的结果是( A ) A .-3b +2a B .3b -2a C .6-2aD .b +2a3.一个长方形的面积是xy 2-x 2y ,若长为xy ,那么宽为( A ) A .-x +y B .x -y C .x +yD .-x -y4.( )÷(-2x)=4y 2+3xy 的括号内所填的代数式为( C ) A .8xy +6x 2y B .-8xy 2+6x 2y C .-8xy 2-6x 2yD .8xy 2-6x 2y5.(2017·金衡)计算:(9x2y-6xy2+3xy)÷3xy的结果是(导学号:58024254)( B )A.3x-2y B.3x-2y+1C.9x+2y+3 D.3x2-2y6.计算:(9a2b-6ab2)÷(3ab)=__3a-2b__.7.计算:(9x3y4-6x4y3+3x2y3)÷(__-3xy2__)=-3x2y2+2x3y-xy.8.计算:(1)(6ab+5b)÷b;【解题过程】解:6a+5(2)(12a3-6a2)÷(-2a);【解题过程】解:-6a2+3a(3)(x5y3-2x4y2+3x2y)÷x2y;【解题过程】解:x3y2-2x2y+3(4)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷2xy3.【解题过程】解:3x2yz-2xz+19.(2016·济南)长方形面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,则它的宽为( C ) A.a-b+1 B.3a-b+2C.a-b+2 D.a+b-210.若多项式-6ab+18abx+24aby等于一个因式与-6ab的积,那么这个因式是__1-3x-4y__.11.化简求值:[4x(x 2y -xy 2)+2xy(xy -x 2)]÷2x 2,其中x =2,y =-12.【解题过程】解:原式=xy -y 2=-54.12.(2017·珠海)先化简,再求值:(x +y)(x -y)-(4x 3y -8xy 3)÷2xy ,其中x =1,y =3.(导学号:58024255)【解题过程】解:原式=-x 2+3y 2=26.13.已知2x +y =4,求[(x -y)(x -y)-(x +y)(x +y)+y(2x -y)]÷(-2y)的值.(导学号:58024256)【解题过程】 解:原式=x +12y =2.14.小明在做A ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 时,由于粗心误认为是乘以12a ,结果是8a 4b -4a 3+2a 2,求正确的结果.(导学号:58024257)【解题过程】解:A =(8a 4b -4a 3+2a 2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫12a =16a 3b -8a 2+4a ,则正确的结果是(16a 3b -8a 2+4a)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫12a =32a 2b -16a +8.15.何老师给学生出了一道题:当x =2015,y =2016时, 求[2x(x 2y -xy 2)+xy(2xy -x 2)]÷(x 2y)的值.题目出完后,小玉同学说:“老师给的条件,y =2016是多余的”.小丹同学说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?为什么?(导学号:58024258)【解题过程】解:[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷(x2y)=(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷(x2y)=(x3y)÷(x2y)=x.因为化简最后的结果不含有y,∴最后的结果与y的值无关,∴y=2016是多余的,从而小玉说的有道理.。

长除法

长除法

计算
写成以下这种形式:
然后商和余数可以这样计算:
1.将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。


果写在横线之上(x3÷x = x2).
2.将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下
(x2· (x− 3) = x3− 3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积(注意减一个负项相当于加一个正
项),结果写在下面。

((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。

4.重复前三步,只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。

这次没什么可以“拿下来”了。

横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有x被替换为10的情形。

除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式(经常很有用)。

考虑多项式P(x), D(x) ((D)的次数 < (P)的次数)。

然后,对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) ((R)的系数 < (D)的系数),
这种变换叫做除法变换,是从算数等式
.[1]得到的。

多项式除以多项式公式

多项式除以多项式公式

多项式除以多项式公式摘要:一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文:多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容,它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。

本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法,并通过实例进行演示。

最后,我们将总结注意事项,并探讨如何进一步拓展这一领域。

一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式,指的是将一个多项式(称为被除式)分解为两个或多个多项式(称为除式)的乘积。

这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。

二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前,首先要确定除式。

通常情况下,除式为一个一次或多次多项式。

接下来,将被除式和除式写成标准形式,即按照降幂排列,并去掉两边的同类项。

2.长除法步骤利用长除法,将除式逐步除入被除式。

具体步骤如下:(1)用除式去除被除式的第一项,得到商的第一项;(2)将商的第一项乘以除式,得到一个新的多项式;(3)用新的多项式减去被除式,得到余数;(4)将余数替换被除式,重复步骤(1)至(3),直到余数为零或达到预设精度。

3.化简结果当余数为零时,多项式除法过程结束。

此时,商的多项式即为所求结果。

需要注意的是,商的多项式可能含有分式和有理式,需要进一步化简。

三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例:被除式:f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式:g(x) = x + 1(1)写出准备式:f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1(2)长除法步骤:第一次除法:3x^2 ÷ x = 3x余数:2x - 1第二次除法:2x ÷ 1 = 2x余数:-1第三次除法:-1 ÷ 1 = -1余数:0(3)化简结果:商的多项式为3x - 2,即为所求结果。

四、注意事项1.确定除式:在进行多项式除法时,首先要正确选择除式。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1.8多项式除以单项式同步精练

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1.8多项式除以单项式同步精练

14.1.8 多项式除以单项式 1.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项__除以__单项式,再把所得的商__相加__.2.计算(9a 2b -6ab 2)÷(3ab )=__3a -2b __.■ 易错点睛 ■【教材变式】(P105习题5(6)改)计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25a 2b -12a 3b 2÷(-0.5a 2b ).【解】原式=-0.5+ab【点睛】多项式除以单项式时应注意系数和符号的变化.知识点 多项式除以单项式1.计算(48x 3+6x )÷6x 的结果为( D )A .8x 3+6B .8x 3+1C .8x 2+xD .8x 2+12.计算(6ab -4a 2)÷(-2a )的结果是( A )A .-3b +2aB .3b -2aC .6-2aD .b +2a3.一个长方形的面积是xy 2-x 2y ,若长为xy ,那么宽为( A )A .-x +yB .x -yC .x +yD .-x -y4.( )÷(-2x )=4y 2+3xy 的括号内所填的代数式为( C )A .8xy +6x 2yB .-8xy 2+6x 2yC .-8xy 2-6x 2yD .8xy 2-6x 2y5.(2017·金衡)计算:(9x 2y -6xy 2+3xy )÷3xy 的结果是(导学号:58024254)(B )A .3x -2yB .3x -2y +1C .9x +2y +3D .3x 2-2y6.计算:(9a 2b -6ab 2)÷(3ab )=__3a -2b __.7.计算:(9x 3y 4-6x 4y 3+3x 2y 3)÷(__-3xy 2__)=-3x 2y 2+2x 3y -xy .8.计算:(1)(6ab +5b )÷b ;【解题过程】解:6a +5(2)(12a 3-6a 2)÷(-2a );【解题过程】解:-6a 2+3a(3)(x 5y 3-2x 4y 2+3x 2y )÷x 2y ;【解题过程】解:x 3y 2-2x 2y +3(4)(6x 3y 4z -4x 2y 3z +2xy 3)÷2xy 3.【解题过程】解:3x 2yz -2xz +1 9.(2016·济南)长方形面积是3a 2-3ab +6a ,一边长为3a ,则它的宽为( C )A .a -b +1B .3a -b +2C .a -b +2D .a +b -2 10.若多项式-6ab +18abx +24aby 等于一个因式与-6ab 的积,那么这个因式是__1-3x -4y __.11.化简求值:[4x (x 2y -xy 2)+2xy (xy -x 2)]÷2x 2,其中x =2,y =-12. 【解题过程】解:原式=xy -y 2=-54. 12.(2017·珠海)先化简,再求值:(x +y )(x -y )-(4x 3y -8xy 3)÷2xy ,其中x =1,y =3.(导学号:58024255)【解题过程】解:原式=-x 2+3y 2=26.13.已知2x +y =4,求[(x -y )(x -y )-(x +y )(x +y )+y (2x -y )]÷(-2y )的值.(导学号:58024256)【解题过程】解:原式=x +12y =2. 14.小明在做A ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 时,由于粗心误认为是乘以12a ,结果是8a 4b -4a 3+2a 2,求正确的结果.(导学号:58024257)【解题过程】解:A =(8a 4b -4a 3+2a 2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫12a =16a 3b -8a 2+4a ,则正确的结果是(16a 3b -8a 2+4a )÷⎝ ⎛⎭⎪⎫12a =32a 2b -16a +8.15.何老师给学生出了一道题:当x =2015,y =2016时, 求[2x (x 2y -xy 2)+xy (2xy -x 2)]÷(x 2y )的值.题目出完后,小玉同学说:“老师给的条件,y =2016是多余的”.小丹同学说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?为什么?(导学号:58024258)【解题过程】解:[2x (x 2y -xy 2)+xy (2xy -x 2)]÷(x 2y )=(2x 3y -2x 2y 2+2x 2y 2-x 3y )÷(x 2y )=(x 3y )÷(x 2y )=x .因为化简最后的结果不含有y ,∴最后的结果与y 的值无关,∴y =2016是多余的,从而小玉说的有道理.。

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本文部分内容来自网络整理,本司不为其真实性负责,如有异议或侵权请及时联系,本司将立即删除!== 本文为word格式,下载后可方便编辑和修改! ==长除法步骤篇一:长除法教案多项式除以多项式——长除法江红教学目标1、把握“长除法”的运算特征,能运用“长除法”进行多项式除以多项式的运算。

2、感受“长除法”在多项式除以多项式及因式分解中的作用。

教学重点和难点1、多项式除以多项式的方法。

2、长除法的运用。

教学过程:一、试一试:请同学尝试解决一组计算问题。

1、计算:(1)(x3?3x2?2x)?2x (2)(x3?3x2?2x)?(x?1)(3)(x3?3x2?2x)?(x?1)二、读一读:1、阅读课本P65的拓展内容:多项式除以多项式——长除法。

2、完成第一组计算问题。

三、议一议:1、交流第一组计算问题的方法和结果。

2、交流想法和启示。

四、做一做:计算: (2x4?3x3?7x?9)?(x2?2)五、说一说:1、(1)因式分解6x4?x3?7x2?x?1,已知它有一个因式是2x+1.(2)将上述多项式因式分解,已知它有两个因式分别是2x+1和x+1.六、小结:学习本节课的收获体会?篇二:长除法3.长除法根据 Z 变换的定义,X ( z )是复变量z的幂级数,即因此,如果 X ( z ) 是有理分式,则通过长除法把 X ( z ) 展开成z的幂级数后,所得级数的系数就是序列 x [ n ]。

同样,利用长除法求逆变换时也必须考虑 X ( z ) 的收敛域。

当收敛域在极点外侧,也即 X ( z ) 对应的是右边序列时,由于 X ( z ) 是向 z 的负幂级数拓展,也就是说,X ( z ) 的级数展开式将按 z 的降幂排列,因此,在进行长除时,X ( z ) 的分子、分母必须按z的降幂排列相除。

同理,当收敛域在极点内侧,也即 X ( z ) 对应的是左边序列时,由于 X( z ) 是向 z 的正幂级数拓展,也就是说,X ( z ) 的级数展开式将按 z 的升幂排列,因此,在进行长除时,X ( z ) 的分子、分母必须按 z 的升幂排列相除。

多项式长除法

多项式长除法
6x2 3x 4x 3 4x 2
•(+3) – (+2) •1
•1 的次數 < 2x + 1 的次數
•當餘式的次數小於除式的 次數時,我們便該停止運 算。
• 商式 = 3x + 2 • 餘式 = 1
•課堂研習
•求 (2x3 + 3x2 + 4x – 9) (2x – 1) 的商式和餘式。
•x2•+ 2x •+ 3 2x 1 2x3 3x2 4x 9
•不可以,我們必須使用長除法。 讓我們以 (6x2 + 7x + 3) (2x + 1) 作為例子。
•步驟 1 :
6x2
•3
2x
•2 1 •6xx 7x 3
x
2•6x
2
•步驟 3 :
3x 2x 1 6x2 7x 3
6x2 3x •4x + 3
•步驟 2 : •3x
2x •+ 6x2 7x 3 1 6x2 •+ 3x
•2x3 – x2
•4x2 + 4x •4x2 – 2x
•6x – 9 •6x – 3
•–6
•商式 = x2 + 2x + 3 •餘式 = –6
•(+1)(+3x)
•步驟 4 :
4x
3x •+ 2x
•2 1 6x22 7x 3
x
6x2 3x
•4x 3 •4x
•步驟 5 : 3x •+ 2
2x •+ 16x2 7x 3 6x2 3x 4x 3 4x •+ 2
•(+1)(+2)
•步驟 6 :

多项式长除法步骤

多项式长除法步骤

多项式长除法步骤
嘿,咱今儿就来讲讲多项式长除法的步骤哈!这可是个挺有意思的事儿呢。

你看啊,多项式长除法就像是一场奇妙的旅行。

咱先把被除式和除式摆出来,这就好比是旅行的起点和路线。

第一步呢,就是要找到合适的“第一步”,嘿嘿,是不是有点绕?就是要看看被除式的最高次项和除式的最高次项,就像找旅行的方向一样。

然后呢,用被除式的最高次项除以除式的最高次项,得到一个商。

这商就像是旅行中的一个重要地标,指引着我们前进。

接下来,把这个商乘以除式,得到一个中间结果。

哎呀呀,这就好像是沿着地标走了一段路,出现了新的景象。

再用被除式减去这个中间结果,得到一个新的多项式。

这新多项式就像是旅行中遇到的新情况,得好好处理。

接着又重复前面的步骤,找最高次项,算商,乘除式,减,得到新的多项式。

这不就跟旅行中不断遇到新挑战,不断解决一样嘛。

这么一步步走下去,直到新的多项式的次数低于除式的次数,这旅行就算是快到终点啦!
你想想,要是把多项式里的那些项都看成是一个个小精灵,它们在长除法的过程中跳来跳去,多好玩呀!而且,这长除法就像是解开一个神秘的谜题,每一步都充满了惊喜和挑战。

你说,要是没掌握好这多项式长除法的步骤,那不就像旅行中迷路了一样,晕头转向的?但要是学会了,那可就是轻车熟路,一路畅通啦!所以啊,可得好好琢磨琢磨这步骤,把它弄明白咯!这样以后再遇到多项式长除法,就不会害怕啦,而是能信心满满地去挑战,就像勇敢地踏上一场新的旅行一样!你说是不是这个理儿呢?。

多项式长除法的应用

多项式长除法的应用
第1 4卷 第 4 期 2 1 年 7月 0 1
高 等 数 学 研 究 S UD E C L E T I SI O L E MAT = . N IE I 1 :
Vo . 4, . 1 1 NO 4
J I。2 1 u. 0 l
多 项 式 长 除 法 的 应 用
齐 新 社 ,齐利 华 ,李 锋 。
( p rme to scCo re ,Th e o dAriey E gn eigColg ,Xia 1 0 5 RC) De at n fBa i u s s eS c n tl r n ie r l e l n e ’ n 7 0 2 ,P
A src : Va i u p r a h s f r c l u a i g s ra e i t g as a e d s u s d Th s n l d bt t a ro s a p o c e o a c ltn u f c n e r l r i c s e . e e i cu e
s b t uin meh d rjcinmeh s u si t to ,p oet t o , s y t o o n ti p o et n d vt a pyn u s c y
f r u a n e a i g t e s c n y e o u f c n e r l t is y e o m l ,a d r l tn h e o d t p fs r a e i t g as wih fr t t p .
2 在 求 高 阶导 数 中 的 应 用
在上 面 的例题 中大 家 可能 会认为 这种方 法可会 可不 会 , 么 看完 下 面 这 道题 也 许 你 就 不会 这 么认 那
为 了.
1 在 有 理 函数 积 分 中 的 应 用

多项式长除法精讲精练

多项式长除法精讲精练

多项式长除法是代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。

是常见算数技巧长除法的一个推广版本。

它可以很容易地手算,因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

例计算写成以下这种形式:然后商和余数可以这样计算:1.将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。

结果写在横线之上(x3÷x = x2).2.将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) = x3− 3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积(注意减一个负项相当于加一个正项),结果写在下面。

((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。

4.重复前三步,只是现在用的是刚写作分子的那两项5.重复第四步。

这次没什么可以“拿下来”了。

横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有x被替换为10的情形。

除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式(经常很有用)。

考虑多项式P(x), D(x) ((D)的次数 < (P)的次数)。

然后,对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) ((R)的系数 < (D)的系数),这种变换叫做除法变换,是从算数等式.[1]得到的。

应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用 rational root theorem 得到的。

如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知,那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式,其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。

简单来说,Q(x)就是长除法的商,而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。

相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知 r 和 s 这两个,那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x),再从 Q(x) 中除掉 x-s ,以此类推。

多项式除以多项式

多项式除以多项式

多项式除以多‎项式一般用竖‎式进行演算(1)把被除式、除式按某个字‎母作降幂排列,并把所缺的项‎用零补齐.(2)用被除式的第‎一项除以除式‎第一项,得到商式的第‎一项.(3)用商式的第一项去乘‎除式,把积写在被除‎式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项‎结合起来.(4)把减得的差当‎作新的被除式,再按照上面的‎方法继续演算‎,直到余式为零‎或余式的次数‎低于除式的次‎数时为止.被除式=除式×商式+多项式除法示‎例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字‎母作降幂排列‎,并把所缺的项‎用零补齐,写成以下这种‎形式:然后商和余数‎可以这样计算‎:.将分子的第一‎项除以分母的‎最高次项(即次数最高的‎项,此处为x)。

结果写在横线‎之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚‎得到结果(最终商的第一‎项),乘积写在分子‎前两项之下(同类项对齐) (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应‎项中减去刚得‎到的乘积(消去相等项,把不相等的项‎结合起来),结果写在下面‎。

((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后,将分子的下一‎项“拿下来”。

..把减得的差当‎作新的被除式‎,重复前三步(直到余式为零‎或余式的次数‎低于除式的次‎数时为止.被除式=除式×商式+余式)..重复第四步。

这次没什么可‎以“拿下来”了。

.横线之上的多‎项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上‎算法的一个特‎殊情形,即所有x被替换为10‎的情形。

3整除编辑如果一个多项‎式除以另一个‎多项式,余式为零,就说这个多项‎式能被另一个‎多项式整除4应用编辑多项式的因式‎分解有时某个多项‎式的一或多个‎根已知,可能是使用R‎a tiona‎l root theore‎m(英语:)得到的。

如果一个次多项式的一个根已知,那么可以使用多项‎式长除法因式‎分解为的形式,其中是一个次的多项式。

多项式的长除法

多项式的长除法

n n 1 0 1 m m 1 0 1
b0 , b1 ,, bm 都是实数,并且 a0 0, b0 0 .
P ( x )a x a x a x a n 1 n Q ( x )b x b x b x b m 1 m
( 1 ) n m , 这有理函数是真分式;
n n 1 0 1 m m 1 0 1
( 2 ) n m , 这有理函数是假分式;
正如假分数可以通过除法化为整数与真分 数之和:13 1 3 4 43 4 13 12
1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
多项式的长除法
Polynomial Long Division
介绍两个多项式的除法
有理函数的定义:
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
P ( x )a x a x a x a n 1 n Q ( x )b x b x b x b m 1 m
其中 m 、 n都是非负整数; a0 , a1 ,, an 及
例如
3 23 3 2 x x 4x 3x 2 x 7 2 8 2 2 4x 2x 1 4 8 4x 2x 1
假分式 多项式 真分式
x 7 商 8 4 2 4x 2x 1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 2 x x 3 除数 x 2 4 2 7 x 13 x 2 2 4 2 7x 7x 7 多项式 长除法 2 4 8 6x 23 的过程 余数 4 8
假分式
多项式 真分式
7 x 商 8 4 2 除数 4 x 2 x 1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 x2 x 3 x 2 4 7 x 2 13 x 2 2 4 7 x2 7 x 7 2 4 8 6x 2 3 余数 4 8

多项式运算(附答案)

多项式运算(附答案)

姓名 学生姓名 填写时间 2014-3-28 学科数学年级教材版本人教版阶段 第( 13 )周 观察期:□ 维护期:□ 课题名称多项式运算及应用 课时计划第( )课时 共( )课时上课时间 2014-3-30教学目标大纲教学目标 1、掌握多项式的长除法与综合法 2、掌握余式定理与因式定理 个性化教学目标学生综合能力的训练教学重点 1、 掌握综合法的计算过程2、 余式定理与因式定理的灵活应用 教学难点学生综合应用能力的提升教学过程一、多项式的长除法例1、 计算:(1)x x x x 2)23(23÷+- (2))1()23(23-÷+-x x x x第一部分:多项式的长除法与综合法(3))1()23(23+÷+-x x x x跟踪练习:1、 计算: )2()9732(234-÷-+-x x x x2、因式分解176234+--+x x x x ,已知它有一个因式是2x+1.二、多项式的综合法1.多項式的除法定理:設f (x)、g(x)是兩個多項式,且g(x)0≠,則恰有兩多項式q(x)及r (x)使得f (x)q(x)g(x)r(x)=‧+成立,其中r (x)0=或r (x)<degg(x)deg 。

1 2 41 31 3 7++++ ++ (1).f (x)稱為被除式,g(x)稱為除式,q(x)稱為商式,r (x)稱為餘式。

(2).被除式=除式×商式+餘式。

(3).簡式:A =BQ +R2.綜合除法:2x 2x 4++除以x 1-得到商式為x 3+,餘式為7 依照除法定理可表示成2x 2x 4++=(x 1-)(x 3+)+7綜合除法的作法:注意+1 "變號"(x-1)餘式 其中1 +3 所代表的是商式x 3+1×1=1 3×1=3 2+1=3 2ax b x c (x e)(f x g )++=-+=2f x (g ef )x eg +-- (整除)依照比較係數法:2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ==-=+=-=-+=--⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示:(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex(b ae)x c(b ae)x-e(b ae) c be ae ++++-++++++⇒2ax b x c (x e)[ax (b ae)]++=-++注意 比較綜合除法表示:餘式思考1:為何本來長除法中除式為(x -e),但是在綜合除法中卻變 (+e),請提出合理的解釋想法。

多项式除以多项式练习题

多项式除以多项式练习题

多项式除以多项式练习题1. 给定多项式 $Q(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 2$ 和多项式$P(x) = x^2 - 3x + 1$,求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。

解答:首先,将 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 按照降幂排列,如下所示:$Q(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 2$$P(x) = x^2 - 3x + 1$然后,按照长除法的步骤进行计算:![长除法步骤](长除法步骤.png)经过计算,我们可以得到:商:$3x^2 + 7x - 11$余数:$48x - 13$2. 给定多项式 $Q(x) = 2x^5 - 5x^4 + 3x^3 + x - 2$ 和多项式$P(x) = x^3 - 2x^2 + 1$,求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。

解答:首先,将 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 按照降幂排列,如下所示:$Q(x) = 2x^5 - 5x^4 + 3x^3 + x - 2$$P(x) = x^3 - 2x^2 + 1$然后,按照长除法的步骤进行计算:![长除法步骤](长除法步骤.png)经过计算,我们可以得到:商:$2x^2 - x + 1$余数:$-3x^2 + 4x - 3$3. 给定多项式 $Q(x) = 5x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ 和多项式$P(x) = x^2 + 2$,求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。

解答:首先,将 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 按照降幂排列,如下所示:$Q(x) = 5x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$$P(x) = x^2 + 2$然后,按照长除法的步骤进行计算:![长除法步骤](长除法步骤.png)经过计算,我们可以得到:商:$5x^2 - 3x - 2$余数:$13x - 5$4. 给定多项式 $Q(x) = 4x^6 - 2x^5 + x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 4x + 1$ 和多项式 $P(x) = x^4 - 3x^2 + 2$,求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。

多项式除以多项式——长除法

多项式除以多项式——长除法
验算
多项式除以多项式的法则如下:
1.多项式除以多项式,先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列(被除式有缺项要留出空位 或加0)
2.用除式的第一项除被除式的第一项,得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下 面(同类项对齐),从被除式减去这个积,得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式,再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意:当余式不是零而次数低于除式的次数 时,除法演算就不能继续进行,这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 : (5x22x3 1 )(12x)
注意:被除式按x降幂排列时如有缺 项,要留出空位,也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 : 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式

多项式除以多项式公式(一)

多项式除以多项式公式(一)

多项式除以多项式公式(一)多项式除以多项式公式1. 多项式除法概述多项式除法是基于多项式的一种运算方式,用于将一个多项式除以另一个多项式,得到商式和余式。

在多项式除法中,被除式除以除式所得的商式和余式均为多项式。

2. 多项式除以一次式多项式除以一次式的公式如下:(ax + b) / (cx + d) = a/c + (bc-ad)/c(cx+d)其中,a、b、c、d为常数,且c不等于0。

示例我们举一个例子来说明多项式除以一次式的公式运算。

假设我们要计算多项式(4x + 2)除以一次式(2x + 1)的商式和余式。

根据上述公式,我们可以计算如下:(4x + 2) / (2x + 1) = 4/2 + (2*1-4)/2(2x+1)= 2 + (-2)/2(2x+1)= 2 - 1/(2x + 1)因此,多项式(4x + 2)除以一次式(2x + 1)的商式为2,余式为-1/(2x + 1)。

3. 多项式除以多项式多项式除以多项式的公式可以通过长除法来实现。

长除法步骤下面列出了多项式除以多项式的长除法步骤: 1. 将除式和被除式按照指数降序排列。

2. 将除式的第一个项与被除式的第一项作除法,得到商项。

3. 用商项乘以除式,并减去得到的乘积结果。

4. 将剩余的多项式进行下一步计算,直到无法再进行除法为止。

示例我们举一个例子来说明多项式除以多项式的长除法步骤。

假设我们要计算多项式(3x^2 + 2x - 1)除以多项式(x + 2)。

根据上述步骤,我们可以进行以下计算:3x - 4x + 2 | 3x^2 + 2x - 1- (3x^2 + 6x)-4x - 1因此,多项式(3x^2 + 2x - 1)除以多项式(x + 2)的商式为3x - 4,余式为-4x - 1。

4. 结论多项式除以多项式公式可以通过多项式除以一次式的公式和长除法步骤实现。

这些公式在多项式运算中具有重要的应用,可用于多项式的化简、因式分解等计算过程。

长除法介绍及练习分析

长除法介绍及练习分析

还有没有其他方法进行多 项式的除法吗?
3 x 3 x 2 15x
商式 = x + 5
3x 2 3x
我们可以使用长 除法
x +5 3x2
15 x 3x
除式 = 3x
余式= 0
15x 15x 0
被除式 = 3x2 + 15x
MECHANICAL & ELECTRICAL ENGINEERING COLLEGE OF SHANDONG AGRICULTURAL UNIVERSITY
ab a b d d d
怎么在多项式的除法运算中使 用分配率呢?
MECHANICAL & ELECTRICAL ENGINEERING COLLEGE OF SHANDONG AGRICULTURAL UNIVERSITY
多项式除以单项式
可以逐项进行除法运算:
(3 x 2 15 x ) 3 x
MECHANICAL & ELECTRICAL ENGINEERING COLLEGE OF SHANDONG AGRICULTURAL UNIVERSITY
3 x 2 15x 3x
3x 15 x 3x 3x
2
把除式写ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分数的形式。
分配率
x 5
x
3 x 2 15x 5 3x 3x 1 1
MECHANICAL & ELECTRICAL ENGINEERING COLLEGE OF SHANDONG AGRICULTURAL UNIVERSITY
两个多项式相除
如果除式不是一个单项式,我们 可以逐项进行除法运算吗?
不可以,必须使用长除法。我们 以(6x2 + 7x + 3) (2x + 1) 作为例子。

多项式的长除法与余式定理

多项式的长除法与余式定理

多项式的长除法与余式定理多项式的长除法是高中数学中的重要概念,它是解决多项式除法问题的一种有效方法。

同时,余式定理是多项式除法的一个重要结论,它在解决多项式问题时起到了重要的作用。

本文将详细介绍多项式的长除法和余式定理,并通过实例进行说明。

一、多项式的长除法多项式的长除法是一种将一个多项式除以另一个多项式的方法,它的步骤如下:1. 将被除式和除式按照降幂排列。

2. 将被除式的最高次项除以除式的最高次项,得到商的最高次项。

3. 用商的最高次项乘以除式,并将结果与被除式相减,得到一个新的多项式。

4. 重复步骤2和步骤3,直到无法再进行下去。

5. 当无法再进行下去时,所得的多项式即为最终的商,而最后一次相减得到的多项式即为最终的余数。

通过这种方法,我们可以将一个多项式除以另一个多项式,得到商和余数。

长除法的步骤繁琐,但是它是一种非常有效的方法,可以帮助我们解决各种多项式问题。

例如,我们将多项式x^3+2x^2-3x+1除以x-1,按照长除法的步骤进行计算:首先,将两个多项式按照降幂排列,得到x^3+2x^2-3x+1÷x-1。

然后,将被除式的最高次项x^3除以除式的最高次项x,得到商的最高次项x^2。

接下来,用商的最高次项x^2乘以除式x-1,得到x^3-x^2。

将x^3+2x^2-3x+1与x^3-x^2相减,得到3x^2-3x+1。

继续进行下一步,将3x^2除以x,得到3x。

用3x乘以除式x-1,得到3x^2-3x。

将3x^2-3x+1与3x^2-3x相减,得到1。

此时,无法再进行下去,所以最终的商为x^2+3x+3,余数为1。

通过长除法,我们得到了多项式的商和余数。

二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要结论,它表明,当一个多项式f(x)除以(x-a)时,所得的余数等于将a代入f(x)中所得的值。

换句话说,如果一个多项式f(x)除以(x-a)的余数为0,那么a就是f(x)的一个根。

例如,我们将多项式f(x)=x^3+2x^2-3x+1除以(x-1)时,所得的余数为1。

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多项式长除法是代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。

是常见算数技巧长除法的一个推广版本。

它可以很容易地手算,因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

例计算写成以下这种形式:然后商和余数可以这样计算:1.将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。

结果写在横线之上(x3÷x = x2).2.将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下(x2·(x−3)= x3−3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积(注意减一个负项相当于加一个正项),结果写在下面。

((x3−12x2) −(x3−3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。

4.重复前三步,只是现在用的是刚写作分子的那两项5.重复第四步。

这次没什么可以“拿下来”了。

横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有x被替换为10的情形。

除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式(经常很有用)。

考虑多项式P(x), D(x) ((D)的次数 < (P)的次数)。

然后,对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) ((R)的系数 < (D)的系数),这种变换叫做除法变换,是从算数等式.[1]得到的。

应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用 rational root theorem 得到的。

如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知,那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式,其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。

简单来说,Q(x)就是长除法的商,而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。

相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知 r 和 s 这两个,那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x),再从 Q(x) 中除掉 x-s ,以此类推。

或者可以一次性地除掉二次因子 x 2-(r+s)x+rs 。

使用这种方法,有时超过四次的多项式的所有根都可以求得,虽然这并不总是可能的。

例如,如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根,它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线§2 一元多项式及整除性下面主要讨论带余除法,最大公因式,互素的性质,因式分解,重根判定,求有理根的方法。

学习本章应掌握:求最大公因式,求有理根的方法。

定义4 设是一个数域,是一个文字,形式表达式其中是数域中的数,是非负整数)称为数域上的一元多项式,通常记为。

称为次项的系数。

例如: 是多项式不是多项式,因为不是非负整数。

定义5 如果数域上多项式,同次项系数都相等,称与相等记为:=一个多项式里可以人员添上系数为0的项,约定定义6 在(1)中如果,称为多项式的次数,记P x )1( 0111a x a x a x a n n n n ++++-- ia P n P )(x f kk xa k xx x f 521)(3+=123)(-++=x x x x g 1-P )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g ii x x =⋅10≠n a n 01)(a x a x a x f n n +++=为。

零多项式不定义次数。

下面给出多项式加法与乘法:设是数域是的多项式。

规定。

易验证多项式加法与乘法满足下列算律:加法交换律:加法结合律: 乘法交换律 乘法结合律乘法对加法的分配律关于多项式次数,我们有定理2 设,是数域上的两个多项式,则 (1) 当+时+(2) 当时证明:略。

明显地利用定理5不难证明推论:若 则一个三位数 1:三个数相加为20。

2:百位上的数字比十位上的数大5。

3:个位上的数是十位上数的3倍,这个3位数是什么?设十位数为x ,百位数(x+5),各位3x 。

相加为20,所以x+x+5+3x=20。

所以x=3,也就是839.第五讲 多项式1.(一、多项式的整除概念)2.(二、最大公因式)(本页)3.(三、多项式的因式分解)4.(四、重因式 五、多项式的函数)5.(六、复与实系数多项式的因式分解)6.(七、有理数域上的多项式))()(x f x f ,或次∂∑==n i ii x a x f 1)(∑==mi ii x b x g 1)(P 00 ≠≠≤m n b a n m ∑=±=±ni ii i x b a x g x f 1)()()(k k k k nm i ii n m b a b a b a c x c x g x f b b 011011 )()( 0 ++==•===-+=+∑其中01)()()()(x f x g x g x f +=+02)]()([)()()]()([x h x g x f x h x g x f ++=++030405)(x f ,0)(≠x f P ,0)(≠x f 0)(≠x g )(x f 0)(≠x g )((x f ∂)}(),(max{))(x g x f x g ∂∂≤0)()(≠⋅x g x f ⋅∂)((x f )()())(x g x f x g ∂+∂=)()()()(x h x f x g x f =,0)(≠x f )()(x h x g =如果多项式既是的因式, 又是的因式, 那么称为与的公因式.定义 3设. 如果上多项式满足以下条件:(1) 是与的公因式;(2) 与的任何公因式都是的因式,则称是与的一个最大公因式.引理如果有等式成立, 那么, 和, 有相同的公因式.由于在上述引理中, 我们可得到次数比的次数小的. 因此求, 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式, 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.定理 3数域上任意两个多项式与一定有最大公因式, 且除相差一个非零常数倍外, 与的最大公因式是唯一确定的, 且与的任意最大公因式都可以表示成与的一个组合, 即有中的多项式, 使得当与不全为零时, 其最大公因式, 而与的任一最大公因式必为的形式, 其中为上非零数. 在这些最大公因式中有唯一的一个首项系数是1, 我们用来表示. 如果, 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0. 例 2设求, 并把它表示成, 的一个组合.解用辗转相除法:第一步: 用除, 得商, 余式.第二步: 用除, 得商, 余式.第三步: 用除, 得商, 余式.最后一个不为0的余式是, 所以最终得:定义 4如果的最大公因式, 则称与互素.定理 4两个多项式互素的充分必要条件是存在,使得证明必要性如果与互素, 那么. 由定理3, 存在, 使得充分性. 如果令是与的最大公因式. 于是从而, . 故必为零次多项式. 所以与互素.互素多项式的一些性质(1) 若, 且, 则.(2) 若, , 且, 则(提示5.2)我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.定义 5设(). 如果多项式满足以下两个条件:(1) ;(2) 的任何公因式都是的因式. 则称是的最大公因式.如果全等于0, 则其最大公因式等于0, 否则, 它们的最大公因式不等于0. 与的情况一样, 可知它们的任意两个最大公因式只差一个非零常数倍. 我们仍用表示它们中首项系数为1的最大公因式. 则有定理 5该定理告诉我们, 求多个多项式的最大公因式问题最终可归结为求两个多项式的最大公因式问题.例 3设,, . 求解利用定理5来计算. 由计算可知所以, .第二章多项式2.1 一元多项式的定义和运算2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式2.6 多项式函数多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 返回教案总目录2.2多项式的整除性 一、教学思考1、在内,除法不是永远可以施行的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是一个多项式能否除尽另一个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位。

本节限于数域上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习。

2、多项式的整除性是多项式之间的一种关系(等价关系),为加深对此概念的理解,需掌握一些特殊多项式(零多项式,零次多项式)间的整除关系及整除的性质。

3、数域上任意两个多项式总有带余除法结论成立,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表示实质的一般化,唯一性用同一法。

4、证明的思想可从定义、带余除法得到的充要条件以及将分解成两项之和而每一项能被整除,或将分离出作为一个因子来考虑。

5、整除性不随数域扩大而改变是由带余除法得到的一个非显而易见的结论。

二、内容、重点、要求1、内容:一元多项式整除的定义、性质,带余除法。

2、重点:整除的定义、带余除法定理。

3、要求:正确理解掌握整除概念、性质,掌握带余除法定理。

三、教学过程约定:2.2-2.5节在数域中讨论多项式,是上一元多项式环。

1、多项式的整除及性质(1)定义1:设若使得 (1)则称整除(除尽);用符号表示。

用符号表示不整除当时,称是的一个因式,是的一个倍式。

注:(1)整除是多项式之间的一种关系,非多项式的运算。

(2)符号“”不要与“”混淆,后者是分 式,后者中;而前者中由定义,即零多项式整除零多项式。

(3)多项式整除性与整数的整除性非常相似,而不同的是:在多项式整除定义中,只要求存在适合条件(1)的,不要求是否唯一,这就使得多项式整除比整数整除有更广的含义,如在多项式整除意义下。

(2)性质[]R x F F ()|()f x g x ()g x ()f x ()g x ()f x F []F x F (),()[],f x g x F x ∈()[]h x F x ∃∈()()()g x f x h x =()f x ()g x ()|()f x g x ()|()f x g x ()f x ()g x ()|()f x g x ()f x ()g x ()g x ()f x ()|()f x g x ()/()f x g x ()0g x ≠00()f x =()h x ()h x 7|13A )若、,则;(传递性)B )若、,则;C )若,则对有;特别 ,;D )由B 、C 若,则对,有;E )零次多项式整除任一多项式;F )对,有;特别;(1)本章讨论不涉及分式,有时用表示非零多项式整除所得的商,即若时,用表示。

(2)因在数域中,一般不绝对唯一(可差常数因子)。

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