专题勾股定理培优版

专题 勾股定理在动态几何中的应用

一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题

1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，

（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；

（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论. （二）最值问题

2.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1，P 为AC 上的动点，则

PB +PE 的最小值是

3. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. （1）求证：△AMB ≌△ENB ；

（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.

4.问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠

BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．

（1）请你回答：图中BD 的长为 ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD=

∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD 和AB 的长．

图① 图②

二.勾股定理与旋转 5.阅读下面材料：

A

B

P

C

C C

C

A

B

E F

M

N 图①

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．

请你回答：AP 的最大值是 ．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）

6.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数.

变式1：?ABC 中， ∠ACB=90o ，AC=BC ，点P 是?ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数

变式2：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．

小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．

（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等

于 ．

图1 图2 图3 7. 已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点

C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．

（1）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；

（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

变式1：如图，在Rt ABC ∆中,

90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒ 且3BD =,4CE =,则DE =

C

B

A

P C A B

E

F M N 图②

变式2：如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕 点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=；

④222BE DC DE +=其中正确的是（ ） A ．②④； B ．①④； C ．②③； D ．①③

（三）其它应用

7. 在ABC △中，AB 、BC 、AC

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展：

（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．

．若ABC △

（0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：

（3）若ABC △

（0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构．

图法．．

在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．

8.已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP 为边在 ∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结QE 并延长交BP 于点F .

（1）如图1，若AB =，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）； （2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助

线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB =，设BP =，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于的关系式．

B

C

D

E

F

A