角的概念与表示

基本内容 角
知识精要
概念
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法
用三个大写字母来表示
用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示
AOB ∠
A ∠
1∠
α∠
角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。

（其中一个角称为另一个角的余角。

)
互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。

（其中一个角称为另一个角的补角。

）
（注：同角（或等角）的余角和补角相等。

） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='
热身练习
一、判断题
1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）
2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）
3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）
4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。

（ ⅹ ）
5、有公共端点的两条射线叫做角 。

（ ⅹ ）
6、角的边的长短，决定了角的大小。

（ ⅹ ）
7、互余且相等的两个角都是45°的角。

（ √ ）
8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。

（ ⅹ ） 二、选择题
1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。

A.︒120
B.︒105
C.︒100
D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）
A.这个锐角的两倍数
B.这个锐角的余角
C.这个锐角的补角
D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算
5
1
)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）
A.30°
B.35°
C.60°
D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）
A.10对
B.4对
C.3对
D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）
A. 角是由一条射线旋转而成的
B. 角的两边可以度量
C. 一条直线就是一个平角
D. 平角的两边可以看成一条直线
6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）
A B C D
7、下列说法中正确的是（ C ）
A. 一个角的补角一定比这个角大
B. 一个锐角的补角是锐角
C. 一个直角的补角是直角
D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角
三、填空题
1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.
O
C
(1)
A
B O D
C
(2)
A
B
2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.
3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=
1
2
___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__8
1
__周角。

5、计算：
=__︒171__；
=_802463'''︒___。

6、由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了___12.5_____度，分针旋转了___150_____度，此刻时针与分针的夹角是___117.5_____度．
7、如图,直线AB 、CD 相交于点O,OE 平分∠COD,则∠BOD 的余角__AOE ∠____, ∠COE 的补角是___DOE ∠____,∠AOC 的补角是___BOC ∠__DOA ∠______.
8、∠α 与它的余角相等，∠β与它的补角相等，则∠α＋∠β＝
__135__°．
9、互为余角两角之差是35°，则较大角的补角是__62.5___°． 10、钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是__82.5___°． 四、解答题
1、如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1-∠2.
12
解：略
2、读句画图填空（每空1分，共10分） （1）画∠AOB ＝60°．
（2）画∠AOB 的平分线OC ，则∠BOC ＝∠_AOC___＝
2
1
∠_AOB___＝_30___°． （3）画OB 的反向延长线OD ，则∠AOD ＝∠_BOD___－∠AOB ＝__120___°．
（4）画∠AOD 的平分线OE ，则∠AOE ＝∠__DOE__＝__60___°，∠COE ＝__90___°． （5）以O 为顶点，OB 为一边作∠AOB 的余角∠BOF ，则∠EOF ＝__150__°，射线OC 、OB 将∠__AOF__三等分．
五、计算
1．37°28′＋44°49′； 2．108°18′－52°30″；
3．25°36′×4； 4．40°40′÷3． 答案：1,83 °17′ 2,55 °48′ 3,102 °24′ 4,13°3
100
′
精解名题
例1、已知∠α，∠β，∠γ，画∠AOB ，使∠AOB ＝2∠α＋∠β－
3
1∠γ．
【提示】方法一：先量、后算、再画； 方法二：叠加法，逐步画出． 【答案】方法一：
量得∠α＝25°，∠β＝54°，∠γ＝105°， ∠AOB ＝2∠
＋∠
－
3
1∠
＝2×25°＋54°－
3
1
×105° ＝50°＋54°－35° ＝69°．
画∠AOB ＝69°，则∠AOB 就是所要画的角．
方法二： 画法：
（1）画∠AOC ＝∠
，
（2）以O 为顶点，OC 为一边在∠AOC 的外部画∠COD ＝∠． （3）以O 为顶点，OD 为一边在∠AOD 的外部画∠DOE ＝∠． （4）以O 为顶点，OE 为一边在∠EOA 的内部画∠EOB ＝3
1∠．
则∠AOB 就是所要画的角．
例2、 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的补角． 解：这个角的补角为︒126
例3、如图,已知直线AB 和CD 相交于O 点,∠COE 是直角,OF 平分∠AOE, ∠COF=34°,求∠BOD 的度数.
解：角∠BOD 的度数为︒22。

例4、如图，OA 的方向是北偏东15°,OB 的方向是西偏北50°。

（1）若∠AOC=∠AOB ，则OC 的方向是__东偏北︒15_________；
C B A
E
O
D
F
45︒
80︒
北
A
C
B
D A
C
B （2）OD 是OB 的反向延长线,OD 的方向是___南偏东︒40______； （3）∠BOD 可看作是OB 绕点O 逆时针方向至OD, 作∠BOD 的平分线OE,并用方位角表示OE 的方向是____西偏南︒40_________。

（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE 。

答：∠COE 的度数︒155
备选例题：
例1、如图,三角形ABC 中,AB=AC,延长CA,用量角器量∠B 、∠C 、∠BAD 。

(1)你能得出什么结论,猜想∠BAD 、∠B 、∠C 的关系(可多画几个类似图形尝试) (2)用你得出的结论和猜想的关系解决下列问题:
一暗礁边缘有一标志C 在灯塔B 北偏西80°的方向上,与灯塔B 的距离为30海里, 轮船从灯塔正南方30海里的A 处出发,若航行方向是北偏西45°, 轮船能避开暗礁吗?说明理由. 解：（1）∠BAD=∠B+∠C
（2）能避开，因为AB=BC ，如果避不开根据（1）得到的信息 则C 应该在灯塔北偏西︒90。

巩固练习
1、下列说法错误的是( D )
A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；
B.角的大小与它们的度数大小是一致的；
C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；
D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A 一定大于∠C 。

2、用一副三角板不能画出( C )
A.75°角
B.135°角
C.160°角
D.105°角 3、如图8,直线a 、b 相交,∠1=130°,则∠2+∠3=( B ) A.50° B.100° C.130° C.180°
b a
31
2
(8)
c
b a (9)
O
4、如图9,三条直线相交于O 点,则图中相等的角(平角除外)有( C )对 A.3对 B.4对 C.6对 D.8对
5、轮船航行到C 处观测小岛A 的方向是北偏西48°,那么从A 同时观测轮船在C 处的方向是( A )
A.南偏东48°
B.东偏北48°
C.东偏南48°
D.南偏东42° 6、如图，,
,点B 、O 、D 在同一直线上，则
的度数为（ C ）
A.
B.
C.
D.
7、设时钟的时针与分针所成角是α，则正确的说法是（ B ） A.九点一刻时，∠α是平角 B.十点五分时，∠α是锐角 C.十一点十分时，∠α是钝角 D.十二点一刻时，∠α是直角 8、如图，由点O 引射线OA 、OB 、OC ，则这三条射线
组成___3____个角，分别是_∠AOB,∠AOC,∠BOC__，其中∠AOB 用数
字表示为___1_____，∠2用三个字母表示为____∠AOC__。

9、38°41′的角的余角等于__9151'︒______,123°59′的角的补角等于____1056'︒____.
10、如果∠1的补角是∠2,且∠1>∠2,那么∠2的余角是_∠1-︒90_(用含∠1 的式子表示). 11、如果∠α与∠β互补,且∠α:∠β=5:4,那么,∠α=___︒100____,∠β=____︒80_____.
12、()177423445______''︒+︒=；（72112'︒） ()2108185623_______''︒-︒=；（5551'︒） ()3180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（72112'︒） ()423295837______'''︒+︒=；（739281'''︒）
13、一个角是它补角的一半,则这个角的余角是__30°_______.
14、如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOC=900，∠DOE=900，图中互余的角共有 ____4_____对.互补的角有____3___对。

21A
B
O
A B
E
D
C
15、已知∠AOB=300,以点O为端点,画射线OC,使∠AOC与∠AOB互余,这样的射线OC能画出几条?在图中画出符合要求的射线OC.
答：略
16、一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．解:这个锐角是︒
60
17、已知：如图∠ABC＝30°，∠CBD＝70°BE是∠ABD的平分线，求∠DBE的度数。

解：角∠DBE的度数为︒
20。

18、已知∠α与∠β互为补角，且∠β的
3
2
比∠α大15°，求∠α的余
角．
解：17°
19、如图，∠AOB是直角，∠AOC等于46°，OM平分∠AOC，
ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
O
A
B
C
N
M
A
B 1
N
M (1)
O
解：35°
自我检测
一、判断
1.所有的直角都相等.( √ )
2.大于直角的角都是钝角.( ⅹ)
3.如图1,∠1也可以用∠AOB 或∠O 来表示.( √ )
4.由同一端点出发的两条直线组成的图形叫做角.(ⅹ )
5.一个锐角和一个钝角的和等于一个平角.( ⅹ)
6.一个角的补角大于这个角.( ⅹ )
7.一个钝角减去一个锐角必然得到一个锐角.( ⅹ ) 8.一个角的补角减去这个角的余角是一个直角.(√ ) 9.同角或等角的余角相等,补角也相等.( √ )
10.若有一个公共顶点和一条公共边的两个角互补,则这两个角的另一边必在同一直线上.( ⅹ ) 二、选择题
1、下列语句正确的是 （ B ）
A 、两条直线相交组成的图形叫角；
B 、一条直线可以看成一个平角；
C 、一个平角的两边可以看成一条直线；
D 、周角就是一条射线
2、下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC ，∠B 三种方法表示同一个角的图形是（ B ）
3、若∠1=550'︒ ∠2=︒5.50 则∠1与∠2的大小关系是（ C ）
A 、∠1=∠2
B 、∠1＞∠2
C 、∠1＜∠2
D 、无法确定
4、时钟显示为8：30时，时针与分针所夹角度是（ C ）
A 、︒90
B 、︒120
C 、︒75
D 、︒84
5、已知∠MON=30°,∠NOP=15°,则∠MOP=( C).
A.45°
B.15°
C.45°或15°
D.无法确定
6、用一副三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,•另一个是-30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同度数的角共有( D )
A.8种
B.9种
C.10种
D.11种
三、填空题
1、互为补角的两个角可以都是___直角____角,或者一个是___锐角___角,一个是__钝__角-.(填“钝角”、“锐角”、“直角”)
2、从1时5分到1时35分，时钟的分针转了____180____º。

时针转了___15____º。

3、82°32′5″+__97°27′55″____=180°.
4、一个角和它的余角的比是5：4，则这个角的补角是 ︒130 。

5、如图，已知AOB 是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，OF ⊥AB ．则
（1）∠AOC 的补角是 BOC ∠ ；
（2） BOE ∠ 是∠AOC 的余角；
（3）∠DOC 的余角是 DOF ∠ ；
（4）∠COF 的补角是 AOE ∠ ．
(D)(C)
(B)(A)
B A
第（5）题 第（6）题
6、如图,∠BOC=60°,OE,OD 分别为∠AOC,∠BOC 的角平分线,则∠EOD=__︒90_____,∠COE=__︒60_____,∠BOE 的角平分线是___OC____.
四、解答题
1、用三角板画出下列图形:(1)画∠AOB=105°;(2)以OB 为始边,在∠AOB 内部画∠AOC=15°.(保留作图痕迹,并写出作法)
答、略
2、如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数． 答：这个角的余角度数为︒30
3、如图，点A 、O 、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD 平分∠COE ， 求∠COB 的度数
E D
C
B
A O
解：∠COB 的度数为8282'︒。