运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题

4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
此为带约束的极值问题
（二）、数学模型 1、 问题中总有未知的变量，需要我们去解决。 要求：有目标函数及约束条件，一般有非负条件 存在，由此组成规划数学模型。 如果在规划问题的数学模型中，变量是连续的 （数值取实数）其目标函数是线性函数（一次方），
max (min)Z CX AX (, ) b X 0
3、线性规划的标准形式
max Z CX AX b X 0
① ② ③
4、线性规划问题的解
（一）求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
约束条件：
Hale Waihona Puke Baidu






②
am1 x1 am2 x2 amn xn (, ) bm x1 0, , xn 0
③
也可以记为如下形式： 目标函数： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
约束条件：
a x
j 1
n
ij j
(, ) bi
(i 1,2,, m) (j 1,2,, n)
a x 6
此为无约束极值问题
例二、已知资 料如表所示，问 如何安排生产才 能使利润最大？ 或如何考虑利润 大，产品好销。
设 备
产 品
A
2
B
1
C
4
D 利润(元)
0 2
Ⅰ
Ⅱ
有效台时
2
12
2
8
0
16
4
12
3
模型
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t.
xj 0
如将上例用表格表示如下：
设变量
产品j 设备i
x j 1 , 2 , , n ) j (
有效台时
1 2 n b
i
1 2 m
利润 c
j
a 11 a 1 n a ij a m 1 a mn
c c 1 c 2 n
b b b
1 2
m
( c c c ) 向 量 形 式：C 1 2 n
约束条件是有关变量的线性等式或不等式，这样，规
划问题的数学模型是线性的。反之，就是非线性的规
划问题。
2、线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min)Z c1 x1 c2 x2 cn xn ①
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, ) b1
第1章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming and Simplex Method)
§1一般线性规划问题及其数学模型 §2图解法 §3单纯形法原理 §4单纯形法的计算步骤 §5单纯形法的进一步讨论 §6数据包络分析 §7线性规划应用
§1一般线性规划问题及其数学模型
（一）、问题的提出
（二）线性规划问题的解
1、解的概念
⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。
⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 （∣B∣≠0），则B是一个基。
则称 Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。 a 11 a 1 m B (p , ,p ) 1, p 2 m a a m 1 mm ∴ Xj 为基变量，否则为非基变量。
x1 X x n
a1j pj a mj
b1 b b m
max (min)Z CX p j x j (, ) b X 0
矩阵形式：
a1 1 a1n A am1 am n
max
x2
Z x1 2 x
无穷多最优解
⑵ ⑶
2
x1 2 x2 6 3 x 2 x 12 1 2 x2 2 x1 0, x2 0
⑷ 基本解：满足条件②，但不满足条件③由基 m B决定的解.最多为 个。 Cn
⑸ 基本可行解：满足非负约束条件的基本解， 简称基可行解。
⑹ 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解 非可行解
基解
基可行解
例题 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2+X3=360
4X1+5X2 +x4=200
§2 图 解 法
例一、 max
Z 2 x 2 x 2 x
2 1
3 x
2
2 x1 x 1 4 x1 x1
12 2 8 16 4 x 2 12 0 , x 2 0
⑴
⑵
⑶ ⑷
max
Z
2 x 2 x 2 x 4 x 0, x
P1 P2 P3 P4 P5
9 A= 4
4 5
1 0
0 1
0 0
3X1+10X2+x5 =300
Xj≥0 j=1,2,…,5
3
10
0
0
1
这里m=3,n=5。 C n=10
m
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则 基变量x3=360, x4=200, x5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变 量x2=90,x4=－250,x5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1,x5=0，则 基变量x2=30, x3=240, x4=50,可行解.
为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的 人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或 达到一定的目的，这个过程就是规划。
例一、有一正方形铁皮，如何截取 x 使容积为最大？
x a
v a2x x
2
dv 0 dx
2 2 ( a 2 x ) x ( 2 ) ( a 2 x ) 0
2 2
1
3 x 12 8 16 12
2
作图
6 5
x2
2 x1 x 1 4 x1 x1
⑶
2 2

0
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
4
⑷
3
1
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵
⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 ， x2 = 2
有唯一最优解，Z = 14
例二、