2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆

IA

2020中考专题10——最值问题之阿氏

班级________姓名____________ . 【模型解析】

“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值

♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0

♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・

CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】

2

例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•

例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结

肿、BP9求AP丄BP的最小值.

2

图2图3

√2 2

尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使

CD

CP

1

PD 1 1

CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CP

CB

2 BP 2 2

：.AP--BP^AP^PD.

2

请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .

2

自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求

的最小值.

【巩固训练】

2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任

3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.

—动点.则PA∙

PC 的最小值是 __________

1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,

国4

5•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 2

6•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)

1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.

7.如图 7,扼物线y=-χ2

+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,

点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G

(I) 求牠物线y = -x 2

+bx + C 的表达式；

4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求

√2 2

PC÷PD

留5

国6

(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：

(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶

点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作

Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.

2

图

7

2020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案

CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。此时一=-f CB 3 符合

所垂要寻找的比值k,在枸造母亍型相似根捲比例求出毎要截取的长度幻可，芒CB 上截取CM

4 2 2

使得CM=-,由相似可知y BD=MD.所要求輕的AD÷-BD 转化为求AD÷MD 的上艮 根据两点之 间线段最短，即当M 、D 、A 三点共线时最短，即可求出所求.

解：在 CB 上截取 CM 使fSCM≡-, V — = -, £竺=壬=2, ZDCM=ZBCD

3 CB 3 CD 2 3

CD

VfD 2 2

Λ ADCMs∆BCD 」•——= ------------ =—,BP MD=- DD

CB BD 3 3

2

∙∙∙AD+— BD=AD÷MD,根据两点之何线段最短.即当从D 、A 三点共线时毘短

3

•••连按AM 交（SO 于D'点，即AN 是所要求作的长更.

R

例2, (I)JQE b 连结AD 9 •： AP 丄BZAP∙PD 喪使"♦丄BP 最小，∙∙.a=4D 最小.当点人P 9

2 2

D 在同一条直线时，AP^AD^小.Wl AP 丄BP 最小值为XD 在RtyCD 中，CZ>h AO6.

2

ΛXD -√37, APWBP 的最小債为后,故答案为√37 ,

2

(2) 5∏E2,连按 CP ■在 C4 上取点 D 使 CD∙-9 ：.CD f CPCPt CA∙∖ι 3, V ZPCD∙ZACP 9

：・HPCDS ⑺CP, ：・PD ：AA\、3, .,.PD∙^AP, Λ [ APnP*PD,：・同⑴的方法得出]AP*BP 的最小值为BZ>-√37.⅜iι答案为：-√37:

3

3

(3) 如阳 3,延长 CU 到点 E 使 CE∙6∙ ∙∙∙OE∙OCYE∙a 连按 PE 、OP 9 Z 9 ：.OAI OP-OPF

0£-1： 2,

AOP 9 .9.Δ0AP^Δ0PE f ：.APtEP^I I 9 ：.EP^IPA f ：.2PA^PB^EP^PB 9

•••当E. P. B 三点共线时•取得最小值为，BE∙g.

即由勾股定≡ AM=Vcv 2+JC 2