高二数学国庆假期作业(2)

高二数学国庆假期作业（二）
班级 姓名 学号______
一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）
1、若直线//l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 .
2、函数y=)35(log 2
1-x 的定义域为_____________.
3、已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是________.
4、已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += .
5、方程3log 3=+x x 的解所在的区间为(,1)k k k Z +∈,则k 值为_________.
6、已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，过点A(1，0)与圆C 相切的直线方程为 .
7、点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中
点， 若AC=BD ，且AC 与BD 成900
，则四边形EFGH 是__________. （从“菱形”“ 梯形”“ 正方形”“ 空间四边形”选择一个的填空.）
8、已知直线b a ,及平面α，下列命题中: ①αα//a b b a ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②αα⊥⇒⎩
⎨⎧⊥a b b a //；
③ //////a b
a b αα
⎧⇒⎨
⎩ ；④
//a b
a b αα⎧⇒⊥⎨
⊥⎩，正确命题的序号为__________. 9、在正方体1111ABCD A BC D -中，
E F G H ，，，分别为1AA ,AB , 1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于__ _____． 10、函数f(x)= lg (-2
x +4x+5)的单调减区间为 ． 11、已知m 、l 是直线, αβ、是平面, 给出下列命题: ①若l 垂直于α内的两条相交直线, 则l ⊥α; ②若l 平行于α, 则l 平行α内所有直线; ③若m l l m ⊂⊂⊥⊥αβαβ,,，且则; ④若l l ⊂⊥⊥βααβ,且，则; ⑤若m l m ⊂⊂αβαβ,,，且∥则∥l ．
其中正确的命题的序号是 ．
F
C B A F
D
C
G E 1B
H
1C
1D
1A
12、已知集合{}(,)|M x y y x m ==+
，{
(,)|N x y y == ，若M N 有两个不同的
元素，则m 的取值范围是__________.
13、以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角B AD C --等于 时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形.
14、已知函数)(x f 定义在),0(+∞上，测得)(x f 的一组函数值如表：
试在函数x y =
，x y =，2x y =，12-=x y ，1ln +=x y 中选择一个函数)(x g 来描述)(x f ，
则这个函数应该是 ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15、（本题满分14分）已知三角形的顶点为(2,4)A ，(0,2)B -，(2,3)C -，求： （1）AB 边上的中线CM 所在直线的方程；
（2）求ABC ∆的面积．
16、（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ， （1）求证：AB ⊥CD
（1）求异面直线AD 与BC 所成的角．
A B C
D A
B D
17、（本题满分15分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，1AA ⊥平面ABC ,AC ＝BC ＝1，∠ACB
＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论．
18、（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为
1DD 的中点.
（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求证：直线1PB ⊥平面PAC .
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
19、（本题满分16分）圆C 的半径为3，圆心C 在直线02=+y x 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为52. （1）求圆C 的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，
求出l 的方程；若不存在，说明理由. 20、（本小题16分） 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二(注：利润和投资单位：万元)：
（1） 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2） 该企业已筹集到18万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元.
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高二数学国庆假期作业（二）
参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）
1、平行或异面
2、34,55⎛⎤
⎥⎝⎦
3、 2
4、31
5、__2__
6、1x =或3430x y --=
7、正方形
8、 ④
9、_600
10、（2，5）或者[2,5) 11、①④ 12、[1 13、900 14、1ln +=x y
二、解答题：（本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15、（本题满分13分）已知三角形的顶点为(2,4)A ，(0,2)B -，(2,3)C -， 求：（1）AB 边上的中线CM 所在直线的方程；
（2）求ABC ∆的面积．
解：（1）AB 中点M 的坐标是(1,1)M ，………………………2分
中线CM 所在直线的方程是
11
3121
y x --=---，………………4分 即2350x y +-= …………………6分
（2）解法一： AB =
=…………8分
直线AB 的方程是320x y --=， …………10分 点C 到直线AB 的距离是
d =
=
……12分 所以△ABC 的面积是1
112
S AB d =
⋅=． ………13分 16、（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ， （1）求证：AB ⊥CD （1）求异面直线AD 与BC 所成的角． 16．解（1）略
（2）60°
17、（本题满分15分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，1AA ⊥平面ABC ,AC ＝BC ＝1，∠ACB
＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论． 17．解（1）略
（2）F 为BB 1 中点，证明略
18、（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，
1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中点.
（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ；
（3）求证：直线1PB ⊥平面PAC . 解：（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ，
由P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故PO//1BD ，
所以直线1BD ∥平面PAC …………5分 （2）长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，
底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD ⊥AC ，
所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD …………10分
（3）PC 2=2，PB 12=3，B 1C 2=5，所以△PB 1C 是直角三角形.1PB ⊥PC ，
同理1PB ⊥PA ，所以直线1PB ⊥平面PAC . …………15分
19、（本题满分16分）圆C 的半径为3，圆心C 在直线02=+y x 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为52.（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）由题意，设圆心C (,2)a a -，（0a >）…………1分 则圆的方程可设为2
2
()(2)9x a y a -++= ………2分
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
由几何性质知，222(2)3a -+=， ………4分 解得1a = ………5分
∴圆C 的方程是2
2(1)
(2)9x y -++= … ……6分
另法：令0y =处理. ………6分 （2）设l 的方程y x b =+，以AB 为直径的圆过原点，则 OA ⊥OB ，设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则
1212x x y y +=0 ① ………8分 由⎩⎨⎧+==++-b
x y y x 9)2()1(22得 0)44()22(222=-++++b b x b x ………10分 要使方程有两个相异实根，则
△=)44(24)22(22-+⨯-+b b b ＞0 即323--<b<323- ……11分
2
4
4,122121-+=
--=+b b x x b x x ………12分 由y 1=x 1+b ，y 2=x 2+b ，代入x 1x 2+ y 1y 2=0，
得2x 1x 2+（x 1+x 2）b+b 2=0 ……14分 即有b 2+3b-4=0，b=-4,b=1（舍去） ……15分 故存在直线L 满足条件，且方程为4-=x y 或1+=x y ………16分
20、（本小题16分） 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二(注：利润和投资单位：万元)：
（1） 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2） 该企业已筹集到18万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约
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为多少万元. 解：（1） 设甲乙两种产品分别投资x 万元，所获利润分别为f(x) 、g(x)万元
由题意可设f(x)=1k x ,g(x)=k ……2分 根据图象知，f(x)图象过点(1,0.25)，g(x)的图象过点(4,4) 代入各自函数表达式解得：1k =0.25，2k =2
∴A 、B 两种产品的利润函数分别为：f(x)=0.25x ，g(x)= ……6分
（2）①由（1）得f(9)=2.25，g(9)==6, ∴ 总利润y=8.25万元 ……8分
②设B 产品投入x 万元，A 产品投入18－x 万元，该企业可获总利润为y 万元，则有
y=
1
4
(18－x)+0≤x ≤18 ……10分
，则y=14(－t 2+8t+18)= 2
1(4)4t --+344 , 0t ≤≤ …13分
∴当t=4时，y max =34
4
=8.5，此时x=16,18-x=2 ……15分
答：A 、B 两种产品分别投入2万元、16万元，可使该企业获得最大利润，且最大利润为8.5万元. ……16分。