2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

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北京市北师大附中2018_2019学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

北京市北师大附中2018-2019学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =,{}2,3B =,则() A. A B =B. A B =∅IC. A B ⊆D.()1A B ∈U 【答案】D 【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A,显然A ≠B,所以该选项是错误的；对于选项B,{2,3}A B φ=≠I ,所以该选项是错误的；对于选项C,应该是B A ⊆,所以该选项是错误的；对于选项D,{1,2,3},A B =U 所以()1A B ∈U ,所以该选项是正确的. 故选D【点睛】本题主要考查集合的关系和运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥则()R P Q ⋃=ðA. [2,3]B. （ -2,3 ]C. [1,2）D.(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< , 则()R P Q ⋃=ð ( -2,3 ] . 本题选择B 选项.【此处有视频,请去附件查看】3.已知集合(){}2,A x y y x ==,(){},B x y y x ==,则A B I 中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】【分析】解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩即得解.【详解】解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩得1111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或, 所以={1,11,1)}A B --I （），（, 所以A B I 中元素的个数为2个. 故选B【点睛】本题主要考查集合的交集的运算和集合的表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知集合{}A x x a =≤,{}05B x x =<<,若A B B =I ,则实数a 的取值范围是()A. 5a ≥B. 4a ≥C. 5a <D. 4a <【答案】A 【解析】【分析】由题得B A ⊆,即得a ≥5. 【详解】因为A B B =I , 所以B A ⊆, 所以a ≥5. 故选A【点睛】本题主要考查根据集合的关系求参数的范围,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.设x ∈R ,则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x ＜3, 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2,即“|x﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件, 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【此处有视频,请去附件查看】6.如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么（） A. a<0,且b 2-4ac>0 B. a<0且b 2-4ac≤0 C. a>0且b 2-4ac≤0 D. a>0且b 2-4ac>0【答案】C 【解析】【详解】设2(0),y ax bx c a =++≠要使不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集是∅, 需使抛物线开口向上,图象在x 轴上方（或相切）, 则2040.a b ac >-≤且故选C7.已知()f x 的定义域为(1,0)-,则函数(21)f x +的定义域为（） A. (1,1)- B. 1(1,)2--C. (1,0)-D. 1(,1)2【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-,故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可,解得1-1-2x <<,选B ．考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．【此处有视频,请去附件查看】8.下列函数中,值域为[]0,1的是() A. 2y x =B. 1y x =+C. 211y x =+ D.y =【答案】D 【解析】【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解.【详解】对于选项A,函数2y x =的值域为[0+∞，）,所以该选项不符；对于选项B,函数1y x =+的值域为R,所以该选项不符；对于选项C,函数211y x =+的值域为0,1]（,所以该选项不符；对于选项D, 函数y =[0,1],所以该选项符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数,所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-,故选A. 10.如果()f x 是定义在R 上的奇函数,那么下列函数中,一定是偶函数的是 A. ()y x f x =+ B. ()y x f x =⋅ C. 2()y x f x =+ D. 2()y x f x =⋅【答案】B 【解析】试题分析：由题意得,因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,设()()g x xf x =,则()()()()()g x x f x xf x g x -=--==,所以函数()g x 为偶函数,故选B ．考点：函数奇偶性的判定．11.已知命题“x R ∃∈,使212(1)02x a x +-+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (1,3)- C. (3,)-+∞ D. (3,1)-【答案】B 【解析】【分析】原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立,故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可,解出不等式即可.【详解】因为命题“x R ∃∈,使212(1)02x a x +-+≤”是假命题,所以212(1)02x a x +-+>恒成立,所以2()114202a ∆=--⨯⨯<,解得13a -<<,故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有：变量分离,参变分离,转化为函数最值问题；或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题,也可以采取以上方法,当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时,可以直接采用判别式法.12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增,则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围为（） A. 12(,)33B. 12[,)33C. 12(,)23D. 12[,)23【答案】A 【解析】【分析】根据单调性,将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系,注意偶函数对应的函数的对称情况.【详解】因为偶函数()f x 是在[)0,+∞上递增,则()f x 在(),0-∞递减,且11()33f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；又因为1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,根据单调性和奇偶性有：112133x -<-<,解得：12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故选A.【点睛】本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题,难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题,除了可以直接分析问题,还可以借助图象来分析,也可以高效解决问题. 【此处有视频,请去附件查看】二、填空题13.满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数是__________. 【答案】4 【解析】【分析】列举出满足题意的集合A 即得解.【详解】由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4. 故答案为4【点睛】本题主要考查集合关系和集合个数的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是__________.【答案】5]2∞（-,- 【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴,再分析得解. 【详解】由题得抛物线的对称轴为x=-2a,因为函数243y x ax =++在区间(),5-∞上是减函数, 所以-2a≥5, 所以52a ≤-. 故答案为5]2∞（-,- 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ,[)()2120,x x x ∈+∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,则()3f ,()2f -,()1f 从小到大依次是__________.【答案】(3),(1),(2)f f f - 【解析】【分析】先分析得到函数的单调性,再比较大小得解. 【详解】因为对任意的1x ,[)()2120,x x x ∈+∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,所以函数在[0,)+∞上单调递减, 因为函数是奇函数, 所以函数在R 上单调递减, 因为312>>-,所以(3)(1)(2)f f f <<-. 故答案为(3),(1),(2)f f f -【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知集合{}1,2,3,4A =,函数()f x 的定义域、值域都是A ,且对于任意i A ∈,()f i i ≠,则满足条件的函数()f x 有_____个. 【答案】9 【解析】【分析】直接列举出满足题意的函数,即得满足题意的函数的个数. 【详解】当f （1）2=时,若f （2）1=,则f （3）4=,f （4）3=；若f （2）3=,则f （4）1=,f （3）4=, 若f （2）4=,则f （3）1=,f （4）3=,共3种；同理可得：当f （1）3=,f （1）4=时,都有3种．综上所述：满足条件的函数()f x 共有9种．故答案为9．【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念,属基础题．17.已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩,若()10f x =,则x=___________【答案】3- 【解析】【分析】当0x >时,()2010f x x =-<≠,当0x ≤时,由()2110f x x =+=可得结果.【详解】因为函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,当0x >时,()2010f x x =-<≠, 当0x ≤时,()2110f x x =+=,可得3x =（舍去）,或3x =-,故答案为3-.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,以及分类讨论思想的应用,属于简单题.18.函数f x （）的定义域为A,若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如,函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题：①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠则12f x f x ≠（）（）；③若f ：A →B 为单函数,则对于任意b ∈B,它至多有一个原象；④函数f （x ）在某区间上具有单调性,则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）【答案】②③ 【解析】【详解】命题①：对于函数,设,故和可能相等,也可能互为相反数,即命题①错误；命题②：假设,因为函为单函数,所以,与已知矛盾,故,即命题②正确；命题③：若为单函数,则对于任意,,假设不只有一个原象与其对应,设为,则,根据单函数定义,,又因为原象中元素不重复,故函数至多有一个原象,即命题③正确；命题④：函数在某区间上具有单调性,并不意味着在整个定义域上具有单调性,即命题④错误,综上可知,真命题为②③. 故答案为②③．三、解答题19.已知集合{}44A x a x a =-+<<+,105x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭.⑴若1a =,求A B I .⑵若A B =U R ,求实数a 的取值范围.【答案】(1) {|31}x x -<≤-;(2) {|13}a a <≤. 【解析】【分析】（1）把a 的值代入确定出A ,再求出B, 求出A 与B 的交集即可；（2）根据A 与B 的并集为R ,确定出a 的范围即可．【详解】(1) 把1a =代入得：{|35}A x x =-<<, {|1B x x =≤-Q 或5}x >, {|31}A B x x ∴=-<≤-I ；（2）{|44}A x a x a =-+<<+Q ,{|1B x x =≤-或5}x >,且A B R =U ,∴4145a a -+≤-⎧⎨+>⎩,解得：13a <?,则实数a 的范围是{|13}a a <≤．【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算,考查根据集合的关系求参数的范围,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.设函数()f x 满足()2231f x x x -=+-.⑴求()f x 的解析式；⑵若()f x 的定义域是区间()5,0-,求()f x 的值域. 【答案】（1）2111()244f x x x =++；（2）511[,)44- 【解析】【分析】（1）可设23x t -=,从而求得1322x t =+,代入2(23)1f x x x -=+-并整理可得出2111()244f t t t =++,从而得出2111()244f x x x =++；（2）配方得出215()(4)44f x x =+-,根据()f x 的定义域为(5,0)-即可得出5(4)4f -=-最小,并求出11(0)4f =,从而可得出()f x 的值域．【详解】设23x t -=,则1322x t =+,代入2(23)1f x x x -=+-得：221313111()()12222244f t t t t t =+++-=++；∴2111()244f x x x =++；（2）215()(4)44f x x =+-；(5,0)x ∈-Q ；4x ∴=-时,()f x 取最小值54-,且11(0)4f =；()f x ∴的值域为511[,)44-．【点睛】考查换元求函数解析式的方法,配方求二次函数最值的方法,函数值域的定义及求法．21.已知函数()f x 的定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时有()44x f x x =+. ⑴判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性,并用定义证明.⑵求函数()f x 的解析式(写出分段函数的形式). 【答案】(1)单调递增,证明见解析；（2）4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…. 【解析】【分析】（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义,求出0x <的表达式,即可得到()f x 的解析式．【详解】（1）函数4()4x f x x =+在[0,)+∞上单调递增．证明：设120x x >…,则12121244()()44x x f x f x x x -=-++, 12121216()4()16x x x x x x -=+++, 又120x x >…,所以120x x ->,120x x …,120x x +>, 所以12121216()04()16x x x x x x ->+++．则12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 故函数4()4x f x x =+在[0,)+∞上单调递增；（2）由于当0x …时有4()4x f x x =+, 而当0x <时,0x ->, 则44()()44x x f x f x x x --===-+-, 即4()(0)4x f x x x =<-．则4(0)4()4(0)4x x x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明,函数的解析式的求法,考查运算能力,属于基础题．22.已知()f x 的定义域为()0,∞+,且对任意01x <<,都有()0f x <,若()21f =,且()()()f xy f x f y =+,解不等式()()23f x f x +-≤.【答案】{|24}x x <≤【解析】【分析】先证明函数的单调性,再利用单调性解不等式得解.【详解】设120x x >>, 所以222121111111()()()=()x x x f x f x f x f x f x f x f x x x -=-⋅--（）（）-f(）=（）, 因为22211101,x x x f f x x x <<∴∴-（）<0,（）>0,12()()f x f x ∴>. 所以函数f(x)在()0,∞+上是增函数.由题得(22)(2)(2)112(4)f f f f ⨯=+=+==,(42)(4)(2)213(8)f f f f ⨯=+=+==,因()()23f x f x +-≤,所以()()0[2](8),2028x f x x f x x x ⎧>⎪-≤∴->⎨⎪-≤⎩,所以24x <≤.所以()()23f x f x +-≤的解为{|24}x x <≤.【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用,考查不等式的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

北京市北大附中荣誉班2018～2019学年度高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析

2018～2019学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班高一第一学期期中数学试卷1.已知集合{}1,2,3A =,{}2,B y y x x A ==∈,则B =_______, 【参考答案】{}2,4,6 【试题分析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件,求出对应的元素即可因为{}2,B y y x x A ==∈,当1x =时,2y =；当2x =时,4y =；当3x =时,6y = 故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6本题考查根据限定条件求出集合中对应元素,考点较为基础,能读懂题是关键2.函数()f x =的定义域是_______,值域是_______. 【参考答案】 (1).[]3,3x ∈- (2).[]0,3 【试题分析】根据表达式分析,应满足290x -≥,解出x 范围即可,()[]290,3,3f x x x =∴-≥∴∈-Q ,[][]290,90,3x -∈所以()f x =的定义域是[]3,3x ∈-,值域是[]0,3本题考查复合函数的定义域和值域的求解,需注意三种基本形式对应的函数的定义域：分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于等于零)、对数(真数大于零)3.已知函数()f x 在R 上是增函数,若()()132f x f x ->-,则x 的取值范围是_______. 【参考答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【试题分析】根据增函数性质去“f ”即可Q ()f x 在R 上是增函数,()()132f x f x ->-,根据增函数性质,可得132x x ->-,解得43x >答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭本题考查根据增函数的性质解不等式,相对简单,解题过程中需注意()f x 括号中的式子要满足函数的定义域的问题4.设函数()g x 满足()223g x x +=+,则()g x 的解析式为_______. 【参考答案】()21g x x =- 【试题分析】采用换元法,令2t x =+,进行换元即可求解令2t x =+,得2x t =-,则()()()22322321g x x g t t t +=+⇔=-+=-所以()21g x x =-本题考查函数解析式的求法,换元法是求解解析式基本方法,需注意的是换元之后新元的取值范围,此题还可采用拼凑法求解5.为了提高同学们的学习兴趣,学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛,其中两科都取得优秀的有80人,数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人,则两科均未取得优秀的人数为_______. 【参考答案】20 【试题分析】用韦恩图进行求解,设集合{}=A 数学取得优秀的同学,集合{}=B 物理取得优秀的同学,全集{}=U 高一年级260名同学,再根据题意进行求解如图所示设两科均未取得优秀的人数为x ,则408012026020x x +++=⇒= 所以两科均未取得优秀的人数为20人本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题,方法相对简单,关键是能正确表示各集合中元素个数6.已知:p 实数x 满足02x ≤≤,:q 实数x 满足()()3510x x -+≤,则p ⌝是q ⌝的_______.(填写“充分且不必要条件”,“必要且不充分条件”,“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”) 【参考答案】必要且不充分条件【试题分析】分别求出p ⌝和q ⌝,再根据充分和必要条件进行求解由:p 实数x 满足02:x p ≤≤⇒⌝0x <或x>2由:q 实数x 满足()()()()3510:3510x x q x x -+≤⇒⌝-+>,即q ⌝：15x <-或x>3 判断可知p ⌝推不出 q ⌝,但q ⌝能推出p ⌝, 所以p ⌝是q ⌝的必要且不充分条件本题考查命题的否定改写及命题间的充分必要条件判断问题,若题目中涉及范围问题的判断,可简单记为：小推大成立,大推小不成立7.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有()()()11xf x x f x +=+,则()0f =_______,52f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【参考答案】 (1).0 (2).0【试题分析】表达式为抽象函数,可通过赋值法求解具体的函数值当0x =时,得()010f =⨯,得()00f =,当12x =-时,得11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,所以1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当1=2x 时,得133********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3=2x 时,得35535022222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()5002f f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案为：()00f =,502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题考查根据抽象函数求解具体函数值的方法,常用解法为对x 赋值,通过递推的方式和函数性质来进行求解8.李老师每天开车上班,10月李老师共加了两次油,每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米均耗油量为_______升. 【参考答案】8 【试题分析】第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,得出耗油量为48升,而这段时间内行驶的里程数35600－35000＝600千米,通过计算即可得出答案因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量48升,而这段时间内行驶的里程数35600－35000＝600千米,所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)＝8升答案：8本题考查根据题意从表格提取信息的能力,是一道函数应用类题目,从统计图中获取信息是解题关键9.设全集U =R ,{}13A x x =≤≤,{}23B x a x a =<<+. ⑴当1a =时,求()C U A B I .⑵若A B A =I ,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1){}34x x << (2)10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【试题分析】(1)先求出C U A ,再根据集合的交集运算进行求解即可(2)由A B A =I 可判断A B ⊆,再根据子集定义进行求解(1)当1a =时,{}24B x x =<<,{}{}13,C 13U A x x A x x x =≤≤∴=Q 或(){}C 34U A B x x ⋂=<<(2)由A B A =I 可得A B ⊆,即2133a a <⎧⎨+>⎩,解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题考查集合的混合运算,根据集合的包含关系求解参数问题,集合的混合运算应遵循有括号先算括号原则,对于子集类问题的求解要注意端点处等号取不取得到的问题10.已知函数()()01m f x x m x m x =++≠<且,设函数()()322g x x f x x =⋅+-. ⑴证明函数()f x 在[)1,+∞上为增函数.⑵若方程()0g x =有两个不相等的实根,有一根小于1,且另一根在()1,2内,求m 的取值范围.【参考答案】(1)证明详见解析 (2)133,64m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 【试题分析】(1)利用增函数的定义进行求解即可(2)先表示出()g x 的表达式,23()(2)2g x x m x m =+++-,根据有一根小于1,且另一根在()1,2内,可得()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩,化简求值即可【详解】(1)设121x x ≤<,()()()12121212121m m m f x f x x m x m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212121,10,10mx x m x x x x ≤<<∴-<->Q ,()()12f x f x ∴< 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 (2)233()2(2)22m g x x x m x x m x m x ⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭()g x Q 有一根小于1,且另一根在()1,2内,故满足()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩,即34136m m ⎧<-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩,133,64m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭本题考查函数单调性的证明,根据二次函数根的分布情况求解参数问题,属于中档题,二次函数的参数问题一般通过判断已知点在函数图像中的与零点的关系来建立不等式11.已知函数()f x 对一切实数x ,y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立,且()10f =. ⑴求()0f 的值. ⑵求()f x 的解析式. ⑶已知a ∈R ,当102x <<时,不等式()32f x x a +<+恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】(1)()02f =- (2)()22f x x x =+- (3)1a ≥【试题分析】(1)通过对抽象函数赋值,可令1,1x y =-=进行求解(2)令0y =可消去y ,再结合(1)中求得()0f 的值,进而求得解析式 (3)可采用分离参数法转化成()32a f x x >+-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立问题,再进行求解 (1)令1,1x y =-=,可得()()()01121f f -=--++,又因()10f =,解得()02f =- (2)令0y =,得()()()01f x f x x -=+,又因()02f =-,解得()22f x x x =+-(3)当102x <<,()()3232f x x a a f x x +<+⇔>+-,即21a x x >-+在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立,当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,231,14x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,所以1a ≥本题考查抽象函数中具体函数值的求法,抽象函数解析式的求法,根据二次函数在给定区间恒成立问题求参数问题,对于抽象函数的处理常采用赋值法进行求解,二次函数含参恒成立问题一般是通过分离参数进行求解,当然也可以根据判别式法进行求解,视具体情况而定12.对于两条平行直线1l 、2l (1l 在2l 下方)和图象G 有如下操作:将图象G 在直线1l 下方的部分沿直线1l 翻折,其余部分保持不变,得到图象1G ；将图象1G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折,其余部分保持不变,得到图象2G :再将图2G 在直线下方的部分沿直线1l 翻折,其余部分保持不变,得到图象3G ；再将图象3G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折,其余部分保持不变,得到图象4G ；以此类推…；直到图象k G 上所有点均在1l 、2l 之间(含1l 、2l 上)操作停止,此时称图象k G 为图象G 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”,线段AB 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”为折线段12A C D E B ----. (1)直线型平面直角坐标系中,设直线1:0l y =,直线2:1l y =①令图象G 为()f x x =的函数图象,则图象1G 的解析式为 ②令图像G 为()f x x =的函数图象,请你画出1G 和2G 的图象③若函数()1g x ax =+的图象与图象1G 有且仅有一个交点,且交点在y 轴的左侧,那么a 的取值范围是_______.④请你观察图象2G 并描述其单调性,直接写出结果_______. ⑤请你观察图象2G 并判断其奇偶性,直接写出结果_______. ⑥图象2G 所对应函数的零点为_______.⑦任取图象2G 中横坐标51,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的点,那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为(_______,_______),最低点坐标为(_______,_______).⑧若直线()h x a =与图象2G 有2个不同的交点,则a 的取值范围是_______. ⑨根据函数图象,请你写出图象2G 的解析式_______. (2)曲线型若图象G 为函数()232f x x x =-+的图象,平面直角坐标系中,设直线1:0l y =,直线2:1l y =,则我们可以很容易得到1G 所对应的解析式为()2132f x x x =-+.①请画出1G 的图象,记1G 所对应的函数解析式为()1f x . ②函数()1f x 的单调增区间为_______,单调减区间为_______. ③当[]0,5x ∈时候,函数()1f x 的最大值为_______,最小值为_______. ④若方程21323x x x b -+=+有四个不同的实数根,则b 的取值范围为_______.(3)封闭图形型平面直角坐标系中,设直线3:2l y =-,直线4:2l y =设图象G 为四边形OPQR ,其顶点坐标分别为()0,0O ,()3,3P ,()6,0Q ,()3,3R -,四边形OPQR 关于直线3l 、4l 的“衍生图形”为k G .①k G 的周长为_______. ②若直线23y x b =-+平分k G 的周长,则b =_______.③将k G 沿右上方45︒个单位,则平移过程中k G 所扫过的面积为_______.【参考答案】(1)①1G x =；②函数图像见解析；③[)1,a ∈+∞；④2G 的单调递增区间为(),1-∞-,()0,1,2G的单调递减区间为()1,0-,()1,+∞；⑤偶函数；⑥1232,0,2x x x =-==；⑦()1,1-,51,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；⑧(){},01a ∈-∞⋃ ⑨[]2,1,12,11x x G x x x ⎧∈-⎪=⎨-+><-⎪⎩或(2)①详图见解析；②增区间31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()2,+∞,减区间(),1-∞和3,22⎛⎫⎪⎝⎭③最大值为12,最小值为0；④11,43b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭(3)①；②2b =；③6S = 【试题分析】通过对“衍生图形”概念的理解,需要先定位两条平行直线1l 、2l ,随着平行直线的变化,“衍生图形”最终也会发生相应的变化。

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A. 200tan70°米B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200sin70∘米2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A. abc>0B. 4ac−b2<0C. 3a+c>0D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()A. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为()A. √5B. 3√5 C. 2√5 D. 4√526.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()D. y=x+2A. y=xB. y=x+1C. y=x+128.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x2二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．②分别以点D、E为圆心，大于12③作射线BF交AC于点G．如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为______．10.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．得DF=1411.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．120°，AB+AC=16，MN14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共12小题，共46分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x −y =5①，2x +3y =7②，求x −4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x −4y =−2，由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,x +2y =8,则x −y =______，x +y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？(3)对于实数x 、y ，定义新运算：x ∗y =ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1012…y…m0−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．27.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．28.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQPT，∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，即河宽200tan70∘米，故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵b=2a，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=ABBE =612=12，∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA =OC =2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF =FC =AE =5，由勾股定理求出AB ，AC ，进而求出OA 即可．本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提． 6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y =0，解得x =−1或3，令x =0，求得y =−3，∴A(3,0)，B(0,−3)，∵抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A′的横坐标为1，设A′(1,n)，则B′(4,n +3)，∵点B′落在抛物线上，∴n +3=16−8−3，解得n =2，∴A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =5，解得{k =1b =1∴直线A′B′的表达式为y =x +1，故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴GM=9，2∴△CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=27．故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF =45，∴EDGC =45，∴EOGO =45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】14t2−14t+1【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG=DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．故答案为：14t2−14t+1．连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)=32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=4√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH−OH=4−3=1，∴E(0,1)，D(2,0)，∴该抛物线的函数表达式y=kx2+1，把点D(2,0)代入，得k=−14，∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；(2)∵GM=2，∴OM=OG=1，∴当x=1时，y=34，∴N(1,34)，∴MN=34，∴S矩形MNFG =MN⋅GM=34×2=32，∴每个B型活动板房的成本是：425+32×50=500(元)．答：每个B型活动板房的成本是500元；(3)根据题意，得w=(n−500)[100+20(650−n)10]=−2(n−600)2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵−2<0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n=620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y=kx2+m，即可求解；(2)根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，依题意，得：7200(1+50%)x −3200x=40，解得：x =40，经检验，x =40是原方程的解，且符合题意，∴(1+50%)x =60，3200x =80，7200(1+50%)x =120．答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x 元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其分别代入(1+50%)x ，3200x ，7200(1+50%)x 中即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−1 5 −11【解析】解：(1){2x +y =7 ①x +2y =8 ②．由①−②可得：x −y =−1，由13(①+②)可得：x +y =5．故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，依题意，得：{20m +3n +2p =32 ①39m +5n +3p =58 ②，由2×①−②可得m +n +p =6，∴5m +5n +5p =5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a +5b +c =15 ①4a +7b +c =28 ②，由3×①−2×②可得：a +b +c =−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x −y 的值，利用13(①+②)可得出x +y 的值；(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①−②可得除m +n +p 的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a +b +c 的值，即1∗1的值．。

北京师大附中2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用

2018年10月2018～2019学年度北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1.已知集合＝＝ ,则 A. B. ＝ C. ＝ D. ＝2.若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R,则关于实数a 的下列说法中正确的是A.1a =-或3B.1a =-C.3a >或1a <-D.13a -<<3.下列函数中,在区间＋上是增函数的是 A. ＝ B. ＝ C. ＝＋ D. ＝4.给定四个函数:① ＝＋；② ＝；③ ＝＋；④ ＝＋,其中是奇函数的有A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数＝在R 上为增函数,且＋ ,则实数m 的取值范围是 A. B. ＋C. ＋D. ＋6.函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A.B.C.D.7.A. B. C. D.8. 是区间＋上的偶函数并且在区间＋上是减函数,则下列关系中正确的是 A. B. C. ＝ D.二者无法比较 9.设,则A. B. C. D.二、解答题10.已知函数＝＋的定义域为A, ＝＋的值域为B 。

(1)求A,B ；(2)设全集＝ ,求11.已知集合＝＝＋ (1)若＝ ,求a 的取值范围； (2)若＝ ,求a 的取值范围。

12.已知函数＝＋＋ (1)当a ＝1时,求函数的值域。

(2)若函数在区间上是单调函数,求实数a 的取值集合。

高一新生分班考试数学试卷含答案

CB高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为（）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于（）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A . 6B.4C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动B CD CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。

已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。

北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试题(含精品解析)

北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷（AP）本试卷第一部分有三道大题,考试:120分钟，满分100分.第一部分:中文卷(80分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得，，，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2.下列区间中，使函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解:因为使函数为增函数，则结合正弦函数图像可知，选C3.下列函数中，最小正周期为的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用周期公式T，求解C选项，利用周期公式T，求解A、B、D选项，即可作出判断．【详解】A、，∵ω＝1，∴2π，本选项不满足题意；B、，∵ω＝2，∴T=π，本选项不满足题意；C、y＝tan，∵ω，∴T2π，本选项不满足题意；D、，∵ω，∴T，本选项满足题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有正切函数及正余弦函数的周期，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4.如果，，那么等于（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知先求得再根据的范围开方取舍，即可求值．【详解】∵，可解得：．又，∴∴故选：A．【点睛】本题主要考查了同角基本关系式中的平方关系，其中开方注意正负的取舍，属于基础题．5.若直线是函数图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题，对称轴方程为：则当考点：三角函数的性质（对称性）.6.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由，解得，从而可得结果.【详解】设将函数的图象平移个单位后，得到函数的图象，则，解得，函数的图象向左平移动个单位长度，可得到函数的图象，故选B.【点睛】本题考查的知识点是函数的图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.7.的值是（）A. 1B. 2C. 0D.【答案】B【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，即可得到结果．【详解】原式．故选B.【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8.的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，故选A.9.设，则a，b，c之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．考点：1.对数函数;2.幂函数的单调性10.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由图知A＝2，，可求得ω＝2，再由ω+＝2kπ（k∈Z）即可求得，从而可得此函数的解析式．【详解】由图知A＝2，，∴T＝π，∴ω2．又ω+＝2kπ（k∈Z），∴＝2kπ2＝2kπ（k∈Z），∴函数的解析式是y＝2sin（2x+2kπ）＝2sin（2x）．故选：B．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，确定的值是关键，也是难点，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2018-2019 学年下学期北师大附中高中一期中数学试题解析卷

2018- 2019 学年下学期北师大附中高中一期中数学试卷本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分．一、本大题共10小题，共40分．1.若△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若a =2,b=3,c=4,则cosC=( ) A. 14-B.14C. 23-D.23【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理得到角的余弦值即可.【详解】2,3,4a b c ===，根据余弦定理得到22294161cos .2124b ac C ab +-+-===-故答案为：A.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.2.若△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若a 2 +b 2-c 2=a b,则C=( ) A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理得到角C 的余弦值，进而得到角C.【详解】2221cos .222b ac ab C ab ab +-===故角.3C π=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.3.ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理得到a c =，进而得到三个角相等，是等边三角形. 【详解】ABC △中，60B =︒，2b ac =,()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形等边三角形.故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.4.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ,则a 的取值范围是( )A.B. (3,5)C.)D.)【答案】A 【解析】【分析】根据锐角三角形的条件得到2222140214040a a a a a ⎧+->⎪⎪⎪+->⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎩【详解】锐角三角形的三边长分别为1, 2, a 则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a a a a ⎧+->⎪⎪⎪+->⇒<⎨⎪>⎪⎪⎩故答案为：A.【点睛】本题考查了锐角三角形的概念以及余弦定理的应用，属于基础题.5. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为 A. 26, 16, 8, B. 25，17，8 C. 25，16，9 D. 24，17，9【答案】B 【解析】由题意知间隔为60050＝12，故抽到号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．6. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（） A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7C. 8,15,12,5D. 8,16,10,6【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得抽样比为40180020=，所以高级职称抽取的人数为1160820⨯=，中级职称抽取的人数为13201620⨯=，初级职称抽取的人数为12001020⨯=，其余人员抽取的人数为1120620⨯=，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D ．考点：分层抽样．【方法点睛】分层抽样满足“每层中抽取的个体数量样本容量＝本层的总个体数量总体数量”，即“1212n n nN N N===或1212::::::n n n N N N =”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．7.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是( ) A. 4S B. 4πS C. πS D. 2πS 【答案】C 【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 故选C8. .投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A512B 12C 712D 34【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，事件A 与事件B 是相互独立的，而事件A 、B 中至少有一件发生的事件包含AB 、AB、AB，又()12P A =，()16P B =，所以所事件的概率为()()()()11711112612P P AB P AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫=++=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．考点：相互独立事件概率的计算．9.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. 25B.710C.45D.910【答案】C【解析】试题分析：由茎叶图中的数据得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩．甲=15（88+89+90+91+92）=90；设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩．乙=15[83+83+87+99+（90+x）]=88．4+5x，当x=8或9时，．甲≤．乙，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为21 105=；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率14155P=-=．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率10.现有A1，A2，．．．．A5,这5个球队进行单循环比赛(全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场)．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为: A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，进而可得A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又由A4队只赛过一场，分析可得A2队必须和A3、A5各赛1场，据此分析可得答案．【详解】根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，那么A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场（也就是和A1队赛过的一场），所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选：B．【点睛】此题主要考合情推理的应用，利用A1队比赛场数得出A2队、A4队比赛过的对应球队是解题关键．二、填空题:共6小题，每小题5分，共30分．11.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若b=2，2,=36A B ππ=，则a =_______．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理得到sin sin a ba A B=⇒=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦定理的应用属于基础题.12.某样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．【答案】2 【解析】【分析】先由数据的平均数公式求得a ，再根据方差的公式计算．【详解】解：由题可知样本的平均值为1，∴1(0123)15a ++++=，解得1a =-，∴样本的方差为222221[(11)(01)(11)(21)(31)]25--+-+-+-+-=．故答案为：2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．13.如图,△A'O'B'为水平放置的△AOB 斜二测画法的直观图，且O'A'=2, O'B' =3,则△AOB 的周长为________．【答案】12 【解析】【分析】先将直观图还原，再计算周长即可.【详解】根据课本知识刻画出直观图的原图为：其中OA=4，OB=3，根据勾股定理得到5,AB =周长为：12. 故答案为：12.【点睛】这个题目考查了直观图和原图之间的转化，原图转化为直观图满足横不变，纵减半的原则，即和x 轴平行或者重合的线长度不变，和纵轴平行或重合的直线变为原来的一半。

2018年北京市十一学校分班数学试卷

2018年北京市十一学校分班数学试卷试题数：19，总分：761.（填空题，4分）如果甲比乙多五分之一，乙比丙多五分之一，则甲比丙多___ %．2.（填空题，4分）要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45分钟完成，若两人一起折叠，需要___ 分钟完成．3.（填空题，4分）一个完全平方数有5个约数，那么这个数的立方有___ 个约数．4.（填空题，4分）715的分母减少3后，要使分数的大小不变，分子应减少___ ．5.（问答题，4分）观察按下顺序排列的等式：9×0+1=01，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，9×4+5=41，按以上各式成立的规律，写出第12个等式是：___ ．6.（填空题，4分）观察下列等式，（式子中的“！”是一种数学运算符号）．1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，……；则计算100!98!=___7.（问答题，4分）简便运算能力（1）96×19+4×19（2）36×（12 - 13+ 14）8.（填空题，4分）小青坐在教室的第3排第4列，用（4，3）表示，那么小明坐在教室的第5排第2列应当表示为___ ．9.（填空题，4分）一次数学测验以后，张老师根据某班成绩绘制了如图所示的扇形统计图（80～89分的百分比因故模糊不清），若80分以上（含80分）为优秀等级，则本次测验这个班的优秀率为___ ．10.（填空题，4分）已知组成网格的小正方形的面积是1，则正方形ACDE的面积S1=___ ，正方形BCFG的面积S2=___ ，正方形ABHI的面积S，3=___ 由此发现S1、S2、S3三者关系是___11.（填空题，4分）如图所示，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是___ ．12.（单选题，4分）如图，路线1是以AB为直径的半圆，路线2是四个半圆组成的曲线，一只蚂蚁要从A爬到B，则沿路线1和沿路线2所走的路程（）A.路线1少B.路线2少C.路线1和路线2一样D.无法确定13.（填空题，4分）已知某个台阶的宽度和高度如图所示，现在要在台阶上铺满地毯，则需要地毯的长度是___ 米．14.（填空题，4分）某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可以多售2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫需要降价多少元？设每件衬衫需要降价x元，则列方程得：___15.（填空题，4分）在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时所算得的平均数比实际结果多___ ．16.（填空题，4分）一次大型运动会上，工作人员按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球穿起来装饰运动场，那么第2008个气球是___ 颜色的（填“红”、“黄”或“绿”）17.（问答题，4分）仔细阅读下列材料解答下列问题．如图，下面系列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，请计算每个图形的面积，并填在相应的空中，图形1面积=___ ，图形2面积=___ ，图形3的面积=___ ，图形4的面积=___ ，图形n的面积=___ ．18.（填空题，4分）老师为了考察甲，乙两个同学的聪明程度，就对这两名同学说：“我这里有三顶帽子，一顶是红颜色的，两顶是蓝颜色的，老师把你们的眼睛蒙上并给每人戴一顶帽子，去掉蒙布以后，你们只能通过看对方的帽子的颜色来猜自己所戴帽子的颜色．”说完，老师就按上述过程操作．当两人都去掉蒙布以后，甲发现乙迟迟不说自己帽子的颜色，便说出了自己帽子的颜色．同学们，你能猜出甲帽子的颜色是什么吗？答：甲帽子颜色是：___ （填“红”或“蓝”）19.（填空题，4分）阅读下列材料并填空：在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算．比如在一个小组中有4个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就设这四个队分别为A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如图：因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有：AB，AC，AD……3条；BC，BD……2条；CD……1条总的线段条数是3+2+1=6，所以可知4个队进行单循环比赛共比赛六场．① 类比上述想法，若一个小组有6个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是___ ；② 类比上述想法，若一个小组有n个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是___ ；③ 我们知道2006年世界杯共有32支代表队参加比赛，共分成8个小组，每组4个代表队．第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行___ 场比赛．④ 若分成m个小组，每个小组有n个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛．则第一阶段共需要进行___ 场比赛．2018年北京市十一学校分班数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：761.（填空题，4分）如果甲比乙多五分之一，乙比丙多五分之一，则甲比丙多___ %．【正确答案】：[1]44【解析】：根据“甲比乙多五分之一，”知道甲是乙的1+ 15 = 65 ，再根据“乙比丙多五分之一，”知道乙是丙的1+ 15= 65，由此把丙看作“1”，则乙是 65，甲是 65× 65= 3625，用甲减去丙再除以丙就是甲比丙多百分之几．【解答】：解：[（1+ 15 ）×（1+ 15 ）-1]÷1， =[ 65 × 65 -1]÷1， = 1125 ÷1， =44%，答：甲比丙多44%，故答案为：44．【点评】：关键是找准单位“1”，统一单位“1”，再根据求比一个数多（少）百分之几，用多的（或少的）除以一个数即可．2.（填空题，4分）要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45分钟完成，若两人一起折叠，需要___ 分钟完成．【正确答案】：[1]18【解析】：若甲单独折叠要半个小时完成，即30分钟完成，乙单独折叠需要45分钟完成，将这批纸飞机的总量当做单位“1”，则两人的工作效率分别为 130、 145，所人两人合作需要：1÷（ 130 + 145 ）分钟完成．【解答】：解：半小时=30分钟． 1÷（ 130 + 145 ） =1 ÷118 ，=18（分钟）；答：若两人一起折叠，需要18分钟完成．故答案为：18．【点评】：本题考查了工程问题的基本关系式：工作量÷效率和=合作时间．3.（填空题，4分）一个完全平方数有5个约数，那么这个数的立方有___ 个约数．【正确答案】：[1]13【解析】：约数个数是奇数，说明是完全平方数；约数个数是质数，质因数个数只有一个．所以这个两位数一定是一个质数的四次方。

北京大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

图象的画法．依据阅读材料1 ，请写出 5 个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域．（1）__________；（ 2 ）__________；（ 3 ）__________；（ 4 ）__________；（ 5 ）__________．
【答案】（1 ） y = 2x +1 ， x R ；（ 2 ） y = x2 + x +1， x R ；（ 3 ） y = 2x ， x R ；（ 4 ） y = log2 x ， x (0,+) ；（ 5 ） y = x3 ， x R ．
【解析】一次函数为 y = ax + b(a 0) ，定义域是 R ；二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) ，定义域是 R ；
指数函数 y = ax （ a 0 且 a 1），定义域是 R ；对数函数 y = loga x ，定义域是 (0, +) ；
幂函数
y
=
xa
．常见的幂函数有
二、（共计 29 分，附加题 8 分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材 61 页探索与研究的拓展）．已知函数：（1 ） f (x) = x2 ， f1(x) = (x +1)2 ， f2 (x) = (x −1)2 ， f3 (x) = x2 +1 ， f4 (x) = x2 −1 ．（ 2 ） g(x) = 2x ， g1(x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x−1 ， g4 (x) = 2x −1 ．依据上述条件，完成下列问题：
【解析】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 2 个笔记本需要 y 元，则 y = 5x ，x 1,2,3,4,5 ．

2018-2019学年北京市北京理工大学附中高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市北京理工大学附中高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（）． A.1A -∈ B.0A ∈C.1A ∉D.0A ∉【答案】B【解析】由(1)00x x x -=⇒=或1x =， ∴0A ∈且1A ∈，故选B ．2．设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()C U A B =()A.{}12x x << B.{}12x x ≤<C.{}01x x <<D.{}011x <≤【答案】D【解析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得. 【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<, 由{|1}B x x => 得{|1}U C B x x =≤, 所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题. 3．已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】将命题,p q 转化为集合{|2}A x x =>和{|1}B x x =>,再根据集合A 与B 之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得. 【详解】设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>, 命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>, 因为A B,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系,属基础题.4．函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】根据函数解析式，做出函数图像，结合图像分析出m 的取值范围【详解】作出函数f （x ）的图象，如图所示，当x =1时，y 最小，最小值是2，当x =2时，y =3，函数f （x ）=x 2-2x +3在闭区间[0，m ]上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．. 【点睛】让学生学会利用数形结合的方法，分析参数的取值范围5．已知函数()f x 定义域为R ，“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由两个特殊自变量的大小关系及其函数值的大小关系是不能推出函数的单调性的,因为它不满足增函数的定义中的两个自变量在定义域中要具有任意性,因此“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增,根据增函数的性质可得:若()f x 在区间[]1,2上单调递增,则(1(2)f f <是正确的,故选B. 【详解】因为1和2是区间[1,2]内的两个指定值,不具有任意性,不满足增函数的定义, 所以由“()()12f f <”不能推出“()f x 在区间[]1,2上单调递增”,反过来,若()f x 在区间[]1,2上单调递增的,根据增函数的性质可以推出()()12f f <, 因此根据充分必要条件的定义可知:“()()12f f <是“()f x 在区间[]1,2上单调递增的必要不充分条件. 故选B. 【点睛】本题考查了增函数的定义和性质,充分必要条件的定义,特别要注意增函数定义中的关键词”任意的”.切记:用指定自变量的函数值的大小关系不能用来肯定函数的单调性,只能用来否定函数的单调性.属于基础题. 6．关于函数()2145f x x x =++的说法，正确的是()A.()f x 最小值为1B.()f x 的图象不具备对称性C.()f x 在[]2,-+∞上单调递增D.对x ∀∈R ，()1f x ≤【答案】D【解析】将函数()f x 变形为21()(2)1f x x =++,根据2(2)0x +≥可知函数()f x 的最大值为1,所以A 不正确;D 正确;根据()(4)f x f x =--,可知函数图象关于直线2x =-对称,所以B 不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确. 【详解】因为2245(2)11y x x x =++=++≥, 所以函数2211()145(2)1f x x x x ==≤++++, 所以函数()f x 的最大值为1 因此选项A 不正确;因为2211(4)()(42)1(2)1f x f x x x --===--++++,所以函数()f x 的图象关于直线2x =-对称,所以选项B.不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确. 故选D. 【点睛】本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若()0f x >,则函数()f x 在区间[,]a b 上的单调性与函数1()f x 在[,]a b 上的单调性相反;②若函数(2)()f a x f x -=恒成立,则函数()y f x =的对称轴为22a x xx a -+==对称. 本题属于中档题.7．已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，则满足不等式()()f a f a <-的实数a 的取值范围是() A.2a <-B.02a <<C.20a -<<或2a >D.2a <-或02a <<【答案】D【解析】显然0a ≠,对a 分类讨论:① 当0a >时,0a -<,利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得.② 当0a <时,0a ->, 利用分段函数的解析式求出()f a 和()f a -代入不等式()()f a f a <-可解得,再将两次解得的结果相并即可得到所求a 的范围..【详解】显然0a ≠,当0a > 时,0a -< ,所以2()2f a a a =-,22()()2()2f a a a a a -=----=-+,将()f a 和()f a -代入()()f a f a <- 得2222a a a a -<-+,即220a a -<,解得02a << ;当0a < 时,0a ->,所以2()2f a a a =-- ,2()()2()f a a a -=---22a a =+, 将()f a 和()f a -代入()()f a f a <-得2222a a a a --<+,即220a a +>, 解得0a >或2a <-,又0a <,所以2a <-. 综上所述:实数a 的取值范围是2a <-或02a <<. 故选D. 【点睛】本题考查了分段函数求值,分类讨论,一元二次不等式的解法, 解题关键是对a 的范围进行讨论,以便根据分段函数的解析式求得()f a 和()f a -后,再代入()()f a f a <-去解.,本题属于中档题.8．已知函数()2,2,x x af x x x a⎧≥=⎨<⎩，若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是() A.0a < B.02a <<C.0a <或02a <<D.2a <【答案】C【解析】若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，等价于存在实数k,使函数()2,2,x x af x x x a⎧≥=⎨<⎩与函数y k =的图象有两个不同的交点,然后对a 分四种情况讨论,作出函数()y f x =的图象,根据图象可以得到实数a 的范围. 【详解】联立22y x y x ⎧=⎨=⎩,解得(0,0),(2,2)P , 当0a <时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,0]a 上递减,在[0,)+∞上递增, 如图:由图可知,存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 当0a =时,函数()f x 在R 上递增, 如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 当02a <<时,函数()f x 在(,)a -∞上递增,在[,)a +∞上也递增,并且22a a ->, 如图:由图可知, 存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根; 当2a ≥时,()f x 在R 上是增函数, 如图:由图可知,不存在实数k ,使得关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根. 综上所述: 实数a 的取值范围是0a <或02a <<. 故选C. 【点睛】本题考查了函数与方程,正确的对a 分四种情况讨论,作出函数的图象,利用存在实数k,使两个函数的图象有两个不同的交点来求出a 的范围,是解题关键,一般地,方程的根的个数问题通常是转化为两个函数的图象的交点的个数问题来解决.属于较难题.二、填空题9．已知命题：:0p x ∃>，220x x -<，则命题的否定p ⌝为_______. 【答案】0x ∀>,都有220x x -≥【解析】命题的否定就是非P 命题,写非P 命题时,将存在量词改成全称量词,小于改成大于等于即可得到. 【详解】因为命题：:0p x ∃>，220x x -<，则命题的否定p ⌝为:0x ∀>,都有220x x -≥. 故答案为0x ∀>,都有220x x -≥. 【点睛】本题考查了命题的否定,解题方法:将存在量词改成全称量词,全称量词改成存在量词,再否定结论,属于基础题.10．已知函数(),0x x f x x ⎧≤⎪=>，则()()2f f -=_______；若()2f a =，则实数a =_____.-2或4【解析】先根据2-满足0x <,利用分段函数的第一段解析式,可求得(2)|2|2f -=-=,再根据2满足0x >,利用分段函数的第二段解析式,可求得(2)f =即((2))f f -=对a 分两种情况求得()f a ,再将()f a 代入()2f a =可以解得a 即可. 【详解】因为(2)|2|2f -=-=,所以((2))(2)f f f -==当0a ≤时,()||2f a a ==,解得2a =-,或2a = (舍去);当0a >时,()2f a ==,解得4a =.综上2a =- 或4a =.故答案为; 2a =- 或4a =. 【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.11．已知函数()f x 在区间[]1,2-上递增，在区间[]2,5上递减. ①()()02f f <； ②()()03f f =；③()f x 在区间[]1,5-的最大值是()2f ； ④()f x 在区间[]1,5-的最小值是()5f ；上述命题中，所有正确的序号有__________. 【答案】①③【解析】①根据函数单调性,可得①正确; ②(0)f 和(3)f 的大小不确定,所以②不正确;③()f x 在[1,5]-上的最大值是(2)f 是正确的,所以③正确,()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确.故答案为①③. 【详解】①因为函数()f x 在区间[]1,2-上递增，在区间[]2,5上递减,且0<2,所以(0)(2)f f <,故①正确;② 0和3不在同一个单调区间上,不能比较大小,所以②不正确;③显然正确; ③()f x 在[1,5]-上的最小值是(1)f - 或者是(5)f ,所以④不正确. 故答案为①③. 【点睛】本题考查了函数的单调性和最值,注意:只有两个自变量在同一个单调区间内,才能利用单调性比较大小,本题属于中档题.12．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________. 【答案】(0,1)【解析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-, 所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增,所以|2|11x -< ,解得01x <<, 所以x 的取值范围是(0,1). 故答案为: (0,1). 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.13．已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，若方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x ，则123x x x ++的取值范围是__________. 【答案】(1,2)【解析】将方程()f x m =有三个不同实根转化为函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点后,作出两个函数的图象,利用图象可以得到1x 、2x 、3x 的关系和取值范围,从而可以得到123x x x ++的取值范围. 【详解】因为方程()f x m =有三个不同实根1x 、2x 、3x , 所以函数()y f x =与函数y m =的图象有三个不同的交点, 三个交点的横坐标为1x 、2x 、3x , 不妨设123x x x <<,作出函数()y f x =与y m =的图象如下:由图可知:110x -<<,23212x x +=⨯=, 所以12312x x x <++< , 即123x x x ++的取值范围是(1,2).故答案为: (1,2).【点睛】本题考查了函数与方程,解题关键是将方程()f x m =有三个不同实根转化为两个函数的图象有三个不同的交点,要抓住23x x +为定值,1x 的范围是(1,0)-.本题是中档题.14．若函数()f x [)0,+∞，则实数k 的取值范围是__________.【答案】[0,1]【解析】将函数()f x [)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点,再按照0k =和0k >两种情况讨论可得.【详解】当0k =时,函数()f x =1(,]2-∞,值域为[0,)+∞,符合题意; 当0k ≠时,△2(2)40,0k k =--≥>,解得:01k <≤,此时的定义域是不等式2210kx x -+≥的解集.综上所述: 实数k 的取值范围是[0,1].故答案为:[0,1]【点睛】本题考查了函数的值域,意在考查221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴的交点个数,解题关键是将函数()f x =[)0,+∞转化为221(0)y kx x k =-+≥的图象与x 轴有交点.本题属于中档题.三、解答题15．已知函数()22f x x x =-.⑴判断()f x 的奇偶性.⑵写出()f x 的单调区间(只需写出结果).⑶若方程()f x a =有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)奇函数;(2) 函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞;(3)[1,)-+∞【解析】(1)利用奇偶函数的定义()()f x f x -=- 和()()f x f x -=判断可得;(2)先写出0x ≥时函数()f x 的单调区间,再根据函数的奇偶性得到0x <时的单调区间;(3)将方程()f x a =有解转化为函数()y f x = 与函数y a = 的图象有交点,作出图象后,观察图象可得.【详解】(1)因为2()2||f x x x =-的定义域为R,,所以22()()2||2||()f x x x x x f x -=---=-=,所以函数()f x 为偶函数.(2)当0x >时,2()2f x x x =-在[0,1]上递减,在[1,)+∞上递增,又因为函数()f x 为偶函数,所以()f x 在(,1]-∞-上递减,在[1,0]-上递增,故函数()f x 的单调递减区间为:(,1]-∞-,[0,1];单调递增区间为:[1,0]-,[1,)+∞.(3)因为方程()f x a =有解,所以函数()y f x =与函数y a =的图象有交点,作出函数的图象如下:由图可知:1a ≥-.所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性,函数与方程,写偶函数的单调区间时,可以先写出0x ≥时的单调区间,再根据对称性写出0x < 时的单调区间.方程有解的问题通常转化为函数图象有交点问题去解决.本题属于中档题.16．解下列关于x 的不等式.⑴ 2230x x --+>.⑵ ()()210x a x a a -++<∈R . 【答案】(1) (3,1)-;(2) 当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ;当1a =时,原不等式的解集为空集;当1a >时,原不等式的解集为(1,)a .【解析】(1)将2230x x --+>化成标准形式2230x x +-<后,令2230x x +-=得到13x =-,或21x =,再根据口诀:大于取两边,小于取中间可得;(2)将()()210x a x a a -++<∈R 化为(1)()0x x a --<,然后对a 分三种情况:①1a < ;②1a = ;③1a >进行讨论可得.【详解】(1)由2230x x --+>,得2230x x +-<,令2230x x +-=,得13x =-,或21x =,所以,31x -<<,所以原不等式的解集为(3,1)-.(2)因为()()210x a x a a -++<∈R , 所以(1)()0x x a --<,当1a <时,得1<<a x ;当1a =时,不等式无解;当1a >时,得1x a <<.综上所述:当1a <时,原不等式的解集为(,1)a ;当1a =时,原不等式的解集为空集;当1a >时,原不等式的解集为(1,)a .【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,首先要将不等式化为标准形式,然后利用对应的一元二次方程的根来表示不等式的解集,口诀是大于取两边,小于取中间.对于含参的一元二次不等式,注意使用分类讨论思想.本题属于中档题.17．函数()f x 满足如下四个条件：①定义域为()0,∞+；②()21f =；③当1x >时，()0f x >；④对任意0x >满足()()()f xy f x f y =+.根据上述条件，求解下列问题：⑴求()1f 及12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. ⑵应用函数单调性的定义判断并证明()f x 的单调性.⑶求不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集. 【答案】(1)0; (2)见解析; (3) (1,)+∞【解析】(1) 在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==可得:(1)0f =;在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==,可得1()12f =-. (2)()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.设120x x >>,利用,()()()f xy f x f y =+, 可得12()()f x f x -=()11222222()()()x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭12()x f x ,结合1x >时,()0f x >,利用单调性的定义可证.(3)根据(2)1f =,可得2(2)2f =,所以原不等式可化为1(3)()f x f x +>+(2)(2)f f +4()f x=,再利用单调性可解得. 【详解】(1)在()()()f xy f x f y =+中,令1x y ==,得(1)(1)(1)f f f =+,解得(1)0f =.在()()()f xy f x f y =+中,令12,2x y ==. 得11(2)(2)()22f f f ⨯=+, 得1(1)(2)()2f f f =+, 得101()2f =+, 所以1()12f =-.(2) ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.证明如下:设120x x >>,则121,x x > 所以12()0x f x >.因为12()()f x f x -=1222()()x f x f x x ⋅-=()112222()()()x x f f x f x f x x +-=0>, 即12()()f x f x >. 根据增函数的定义可知, ()f x 为(0,)+∞ 上的增函数.(3)因为()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭, 所以1(3)()2f x f x+>+,又因为(2)1f =,所以2(2)2f =, 所以1(3)()f x f x+>+(2)(2)f f +, 所以1(3)(2)(2)f x f f x +>⨯+24(2)()f f x x =⨯=, 由(2)知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以430x x+>>,解得:1x >. 所以不等式()132f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集是(1,)+∞. 【点睛】本题考查了抽象函数求函数值,抽象函数的单调性的判断和证明,抽象函数不等式的解法,解题关键是对已知恒等式()()()f xy f x f y =+中的,x y 合理赋值.,容易漏掉定义域.属中档题18．已知函数()2f x x bx c =++，且函数()1f x -是定义在R 上的偶函数. ⑴求实数b 的值.⑵若函数()()[]()2,1g x f x x =∈-的最小值为1，求函数()g x 的最大值.【答案】(1)2;(2)5【解析】(1)根据函数(1)f x -的对称轴以及图象变换可得()f x 的对称轴,从而可得b 的值;(2)由()g x 的最小值为1,可得()1g x ≥在[2,1]x ∈-上恒成立,解得c 的范围为2c ≥或4c ≤-,再分两种情况讨论,可求得()g x 的最大值.【详解】(1)因为函数(1)f x - 是定义在R 上的偶函数,所以(1)f x -的对称轴为0x =,所以()f x 的对称轴为1x =-, 所以12b -=-,解得2b = , (2)由(1)知,2()|()||2|g x f x x xc ==++([2,1]x ∈-),因为()g x 的最小值为1,所以2|2|1x x c ++≥ 在[2,1]x ∈-上恒成立, 即221c x x ≤--- 或221c x x ≥--+ 在[2,1]x ∈-上恒成立,所以2min (21)4c x x ≤---=-或2max (21)2c x x ≥--+=,当4c ≤-时, 22()2(1)1410f x x x c x c c =++=++-≤+-< ()|()|()g x f x f x ==-=2(2)x x c -++2(1)1x c =-+-+,所以()g x =|()|f x 的最小值为(1)31f c -=--=,解得4c =-,此时()g x 的最大值为(1)|(1)|5g f -=-=.当2c ≥时,22()2(1)110f x x x c x c =++=++-≥>,所以()|()|()g x f x f x ===22x x c ++2(1)1x c =++-, 因为对称轴1[2,1]x =-∈-,所以min ()g x =(1)11g c -=-=,解得2c = ,符合. 此时()g x 的最大值为(1)122g =++=5,综上所述, 函数()g x 的最大值是5.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想,根据最小值为1,即g (x )大于等于1,可以缩小c 的范围,可以减少讨论次数是解题关键.属难题.。

新疆自治区北京大学附属中学新疆分校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

北大附中新疆分校2018—2019学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分）1sin 2αα+= （） A. cos 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭B. cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭C. cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭D.cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】将代数式变形为1cos sin cos cos sin sin 2266ππαααα+=+，然后再利用两角差的余弦公式可得出结果.1sin cos cos sin sin cos 2666πππααααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的应用，解题的关键就是将系数化为特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，若28,a =-公差2d =，则12a =（） A. 10 B. 12C. 14D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求解即可得到结果．【详解】∵等差数列{}n a 中，28a =-，公差2d =，∴1221082012d a a =+=-+=．故选B ．【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出12a 的值，属于简单题． 3.已知，则的大小关系是（）A. 2b ab a b <<B. 2a b ab b <<C. 2a b b ab <<D. 2b a b ab <<【答案】D 【解析】【分析】求出2a 的取值范围，利用不等式的基本性质可得出三个数b 、a 、2a b 的大小关系. 【详解】10a -<<，所以201a <<，又0b <，所以，20b a b <<，易得0ab >，因此，2b a b ab <<，故选：D.【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小，解题的关键在于不等式基本性质的应用，同时可可以利用特殊值法进行比较，属于中等题.4.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若3,3a b A π===，则B = （） A.3πB.6π C.56π D.6π或56π【答案】B 【解析】分析】利用正弦定理得出sin B 的值，再由大边对大角定理结合b a <得出B A <，于此求出B 的值.【详解】由正弦定理得sin sin b a B A=，sin 13sin 32b A B a π∴===，b a ∴<，3B A π∴<=，因此，6B π=，故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，在利用正弦定理解三角形时，要知悉正弦定理所适应的基本类型，还要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.5.不等式2210x x -->的解集是（） A. 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. {}|1x x >C. 1|12x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或D. {}|12x x x <>或【答案】C 【解析】【分析】先将不等式化为()()2110x x +->，然后利用二次不等式的求解原则得出该不等式的解集. 【详解】由题意可得()()2110x x +->，解该不等式得21x <-或1x >. 因此，不等式2210x x -->的解集是112x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或，故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键就是二次不等式的求解过程，考查计算能力，属于基础题.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，a =1b =，则c =（）A. 1B. 2C.1D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得出关于c 的二次方程，解出即可.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2131212c c =+-⨯⨯⨯，整理得220c c --=.0c >Q ，解得2c =，故选：B.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的基本类型，再者就是列余弦定理时，要针对所给的已知角列等式求解，考查计算能力，属于中等题.7.在公比为2的等比数列中，前4项的和为45，则首项为（） A. 3 B. 5C. 3-D. 5-【答案】A 【解析】【分析】设等比数列的首项为x ，利用等比数列求和公式列方程求出x 的值，即为该等比数列的首项. 【详解】设等比数列的首项为x ，由等比数列求和公式得()412154512x x -==-，解得3x =，因此，该等比数列的首项为3，故选：A.8.一元二次不等式()()250x x +->的解集为（） A. {}25x x x -或 B. {}52x x x -或 C. {}25x x -<< D. {}52x x -<<【答案】C 【解析】【分析】把一元二次不等式化成一般形式后再求出解集即可．【详解】原一元二次不等式化为()()250x x +-<，解得25x -<<，所以不等式的解集为{}25x x -<<．故选C ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题时注意解不等式的步骤，同时要注意结合二次函数的图象求解，以增加解题的直观性，属于简单题．9.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么这个三角形最大角的度数是（） A. 135︒ B. 90︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】【分析】利用边角互化思想得::3:5:7a b c =，利用大边对大角定理得出角C 是该三角形的最大内角，然后利用余弦定理求出cos C 的值，可得出角C 的值.【详解】sin :sin :sin 3:5:7A B C =，::3:5:7a b c ∴=，设()30a k k =>，则5b k =，7c k =.由大边对大角定理可知，角C 是最大角，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，0180C <<o o Q ，因此，120C =，故选：C.【点睛】本题考查边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形，解题时要熟悉余弦定理所适用的基本类型，并根据已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理来解三角形.10.在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，则9S =（） A. 45 B. 162C.1352D. 81【答案】D 【解析】【分析】利用等差中项的性质得出59a =，然后利用等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值.【详解】由等差中项的性质得345675545a a a a a a ++++==，得59a =，所以，()195959929998122a a a S a +⨯====⨯=，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，考查等差数列求和公式，解题时充分利用等差中项的性质，能简化计算，考查计算能力，属于中等题.11.已知A B 、均为钝角，且sin A =，{}101B ＝－，，，则A B += （）A. 74πB.54π C.34π D. 74π-【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cos A 、cos B 的值，然后计算出A B +的取值范围以及()cos A B +的值，即可得出A B +的值.【详解】由题意可知2A ππ<<，2B ππ<<，2A B ππ∴<+<，cos 5A ==-，cos 10B ==-，所以，()cos cos cos sin sin 2A B A B A B ⎛⎛+=-=⨯= ⎝⎭⎝⎭，因此，74A B π+=，故选：A. 【点睛】本题考查已知值求角，解题的关键就是利用两角和差公式计算出所求角的某个三角函数值，结合角的取值范围得出角的值，考查计算能力，属于中等题.12.在等差数列{}n a 中，1001010,0a a <>，且100101a a <，n S 为其前n 项和，则使0nS <的最大正整数n 为（） A. 202 B. 201C. 200D. 199【答案】D 【解析】【分析】根据条件判断出等差数列中正负项的分界点，然后再结合等差数列的前n 项和公式和下标和的性质求解即可．【详解】由条件得，等差数列{}n a 的公差0d >， ∵1001010,0a a ，且100101a a <， ∴100101a a -<，即1001010a a +>． ∴()()1200100101200200200022a a a a S ++==>，()11991001991001991992199022a a a S a +⨯===<， ∴使0nS <的最大正整数n 为199．故选D ．【点睛】解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前n 项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知在ABC ∆中，15,10,60BC AC A ===︒，则cos B =____________．【解析】【分析】先由正弦定理求出sin B 的值，再由AC BC <，知B A <，即B 为锐角，再利用同角三角函数的基本关系求出cos B 的值.【详解】由正弦定理得sin sin AC BC B A =，10sin 2sin =153AC A B BC ⋅∴==， AC BC <Q ，60B A ∴<=o ，则B为锐角，所以，cos 3B ==，故答案为：3.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数关系的应用，解题时要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.14.数列{}n a 中，如果()121n n a a n +=≥，且12a =，那么数列的前5项和5S 为___________．【答案】318【解析】【分析】由题中条件得出等比数列{}n a 的公比为12，再利用等比数列求和公式可求出5S 的值. 【详解】()121n n a a n +=≥Q ，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为12，因此，551213121812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故答案为：318.【点睛】本题考查等比数列求和，考查等比数列的定义，解题的关键在于求出等比数列的首项和公比，并利用求和公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.15.如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．【答案】{}|23x x -<<或(2,3)- 【解析】【分析】由韦达定理可得出=-b a ，6c a =-，代入不等式20ax bx c ++>，消去a 得出260x x --<，再解该不等式即可.【详解】由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<或()2,3-，故答案：{}|23x x -<<或()2,3-.【点睛】本题考查根与系数的关系（韦达定理），也考查了二次不等式的解法，在解二次不等式时，也要注意将首项系数化为正数，考查运算求解能力，属于中等题.16.已知角α满足1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ __________________.【答案】79【解析】【分析】运用诱导公式和二倍角余弦公式求解即可．【详解】由题意得2sin(2)cos[(2)]cos(2)[2cos ()1]62636πππππαααα-=-+-=-+=-+-217[2()1]39=-⨯-=．故答案为：79．【点睛】解答三角变换中的“给值求值”问题时，要注意将所给的条件作为一个整体进行处理，把所求角根据“拼凑”的方法用已知角表示，然后进行求解，属于基础题．三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知函数()26f x x ax =++.（Ⅰ）当5a =时，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}32x x -<<- (2) a -<【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到二次不等式，因式分解求解即可；（2）将式子配方得到对称轴和最小值，使得最小值大于0即可。

2018-2019学年北京师大附中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则A. B. C. D.2.已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A. B. C. D.3.在中，，，则一定是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4.已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是A. B. C. D.5.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为A. 26，16，8，B. 25，17，8C. 25，16，9D. 24，17，96.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是A. 12，24，15，9B. 9，12，12，7C. 8，15，12，5D. 8，16，10，67.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是A. 4SB.C.D.8.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A. B. C. D.9.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A. B. C. D.10.现有，，，这5个球队进行单循环比赛全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场当比赛进行到一定阶段时，统计，，，这4个球队已经赛过的场数分别为：队4场，队3场，队2场，队1场，则队比赛过的场数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，则______．12.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，若该样本的平均值为1，则样本方差为______．13.如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为______．14.正方体的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥的体积小于的概率为______．15.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为______．16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且C为锐角，则面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，已知，．Ⅰ求AB的长；Ⅱ求BC边上的中线AD的长．18.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．求角B的大小；若的面积为，且，求的值．19.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组5第2组a第3组27x第4组b第5组3yⅠ分别求出，，，的值；Ⅱ从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20.某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：出租天数34567车辆数330575型车出租天数34567车辆数101015105试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系只需写出结果；Ⅱ现从出租天数为3天的汽车仅限A，B两种车型中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；Ⅲ如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．21.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金单位：万元随投资收益单位：万元的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的即：设奖励方案函数模型为时，则公司对函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立．判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．22.将1至这个自然数随机填入方格的个方格中，每个方格恰填一个数对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．Ⅰ若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；Ⅱ当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；Ⅲ求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由余弦定理可得：．故选：A．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，可得：，根据余弦定理得：，又，所以．故选：B．把已知条件移项变形得到，然后利用余弦定理表示出cos C的式子，把变形得到的式子代入即可求出cos C的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，属于基础题．3.答案：D解析：解：由余弦定理得：，又，，，，，的形状是等边三角形．故选：D．由余弦定理且得，再由，得，得，得，得的形状是等边三角形本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好．是基础题．4.答案：B解析：解：三边长分别为1、2、a，且为锐角三角形，当2为最大边时，设2所对的角为，根据余弦定理得：，，，解得；当a为最大边时，设a所对的角为，根据余弦定理得：，，解得：，综上，实数a的取值范围为故选：B．由的三边长，根据余弦定理的推论得到为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a的取值范围．本题考查了三角形的形状判断以及余弦定理的应用问题，利用了分类讨论的思想，解题关键是利用余弦定理推论得出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．5.答案：B解析：解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．本题主要考查系统抽样方法．6.答案：D解析：解：因为，故各层中依次抽取的人数分别是，，，，故选：D．先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．本题主要考查分层抽样方法．7.答案：C解析：解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为4S，故此正方形的边长为，故此圆柱的底面直径为，故此圆柱的底面半径为，故圆柱的底面面积为：，故选：C．根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是4S，出圆柱底面圆的直径，代入面积公式计算．本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆柱的几何特征是解答的关键．8.答案：C解析：解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得，，则，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为；故选：C．根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得、，进而可得，由对立事件的概率计算，可得答案．本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系互斥、对立等．9.答案：C解析：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，则乙的平均成绩当或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率故选：C．由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键．10.答案：B解析：解：根据题意，，，，，五支球队进行单循环比赛，已知队赛过4场，所以队必须和，，，这四个球队各赛一场，已知队赛过3场，队已和队赛过1场，那么队只能和，，中的两个队比赛，又知队只赛过一场也就是和队赛过的一场，所以队必须和、各赛1场，这样满足队赛过2场，从而推断队赛过2场．故选：B．根据题意，分析可得队必须和，，，这四个球队各赛一场，进而可得队只能和，，中的两个队比赛，又由队只赛过一场，分析可得队必须和、各赛1场，据此分析可得答案．此题主要考合情推理的应用，利用队比赛场数得出队、队比赛过的对应球队是解题关键．11.答案：解析：解：因为，，由正弦定理，则有．故答案为：．直接利用已知和正弦定理即可求解．本题考查三角形的正弦定理，考查运算能力，属于基础题．12.答案：2解析：【分析】本题考查了平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．根据平均数公式先求出a，再求出方差．【解答】解：由已知a，0，1，2，3的平均数是1，即有，易得，根据方差计算公式得故答案为2．13.答案：12解析：解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长，高，，直角三角形OAB的周长为．故答案为：根据斜二侧画法得到三角形OAB为指教三角形，且其底面边长，高，，然后求三角形的周长即可．本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．14.答案：解析：解：正方体的棱长为1，正方体的体积．当四棱锥的体积小于时，设它的高为h，则，解之得则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时，四棱锥的体积小于，求得使得四棱锥的体积小于的长方体的体积四棱锥的体积小于的概率．故答案为：．求出当四棱锥的体积等于时，点M到平面ABCD的距离等于，可得当M 到平面ABCD的距离小于时，四棱锥的体积小于利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率本题考查几何概型，概率的求法，给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于的概率．着重考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．15.答案：解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面侧面ACB，，．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为．则该三棱锥的表面积为．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面侧面ACB，，侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为然后由三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．利用正弦定理求出，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用三角形面积公式得出最大面积．【解答】解：因为，又，所以，又C为锐角，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为．故答案为．17.答案：解：Ⅰ由，，所以，由正弦定理得，，即；Ⅱ在中，，由余弦定理得，，所以，所以．解析：Ⅰ由同角公式和正弦定理，解方程可得AB；Ⅱ在中，运用两角和的余弦公式和余弦定理，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：，即，，将利用正弦定理化简得：，，在中，，，，又，则．的面积为，，，，又，，由余弦定理得：，，则．解析：结合三角形的内角和定理及诱导公式可得，再对已知，利用正弦定理化简可求B；结合三角形的面积公式，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要具备综合应用公式的能力．19.答案：解：Ⅰ第1组人数，所以总人数，第2组人数，所以，第3组人数，所以，第4组人数，所以，第5组人数，所以；Ⅱ第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：，，，，，，，，．故所求概率为．解析：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属于中档题．Ⅰ由回答对的人数：每组的人数回答正确的概率，分别可求得要求的值；Ⅱ由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．20.答案：解：由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．Ⅱ出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率；Ⅲ辆A类型车出租的天数的平均数；50辆B类型车出租的天数的平均数．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为，B类车型一个星期出租天数的平均值为，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为，B类车型一个星期出租天数的平均值为，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．解析：Ⅰ由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；Ⅱ利用古典概型的概率计算公式即可得出；Ⅲ可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．熟练掌握古典概型的概率计算公式、平均数和方差的计算公式及其意义是解题的关键．21.答案：解：对于函数模型，当时，是单调递增函数，则，显然恒成立，若函数恒成立，即不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求，但是不满足，故函数模型，不符合公司要求；时，有意义，，，设恒成立，恒成立，即，，当且仅当时取等号，，，故a的取值范围为解析：研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；先求出，此时a的范围，再求出满足恒成立a的范围，即可求出本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．22.答案：解：Ⅰ当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；Ⅱ当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，可得此填数法的“特征值”为；Ⅲ不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为，考虑含个元素的集合，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为也必有至少两个数处于同一列，设为．若则有因为若，即，则，．所以．即不论何种情况，总有．解析：Ⅰ当时，任意填一种，计算可得所求值；Ⅱ当时，考虑最中间填1，调整边上的两数，使得此填数法的“特征值”为Ⅲ不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为，考虑含个元素的集合，讨论其中的两数，考虑两种情况，由不等式的性质即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于难题．。

北大附属学校2018届高一实验班选拔考试(数学)

；
三、解答题（共 6 小题，共 52 分）
( ) 15．(1)（本小题 4 分）计算：
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞−2 ⎟⎠
−
|
−5
|
−2
sin
60o
−
2
1− 2 +
1
3− 2
(2)
（本小题
4
分）先化简，再求值：
a
2
+ b2
ab
⋅
a2 a2
− −
ab b2
；
其中| a − tan 60o
|+
b+3 =0
数学试卷第 5 页（共八页）
该函数的图象叫做整点抛物线（例如： y = x2 + 2x + 2 ）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的解析式．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线？若存在，请写出其中一 2
条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
数学试卷第 6 页（共八页）
（1）求抛物线和直线 AB 的解析式；（2）点 P 是抛物线(在第三象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，
求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ΔCAB ；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P（不与 C 点重合），使 S△PAB=S△CAB，若存在，求出
P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
B
那么 tan A =
．
第 11 题图
12．如图，在直角坐标系中，已知点 A(−3, 0), B(0, 4) ，对 ΔOAB 连续作旋转变换，依次得到三
角形①、②、③、④、…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞11.函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞ 12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中： ① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分）已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， .. 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． .................... 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； 7分若B ≠∅，则不满足A B =∅． ............... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ..... 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ......... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， .......... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ... 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数．（Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = .................... 3分因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x+(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．............................. 5分（Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ............... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ............. 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ............................ 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N............ 5分（Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； ........... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元．10分 Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数121()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内 19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ）A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)- C ．()f x 在定义域上是增函数 D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象如图所示，则实数a 的可能值为（A. 32B. 43C. 75D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[1,)+∞ 22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”. （Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ..... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ........................ 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． ....................... 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， ........... 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .. 14分。

2017-2018年北京大学附中高一上学期数学期末试卷带答案

2017-2018学年北京大学附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）A．a=b，b=a B．a=c，b=a，c=b C．a=c，b=a，c=a D．c=a，a=b，b=c 2．（5分）从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1 000名学生是总体B．每个被抽查的学生是个体C．抽查的125名学生的体重是一个样本D．抽取的125名学生的体重是样本容量3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．34．（5分）一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法5．（5分）下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本6．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A．42名B．38名C．40名D．120名7．（5分）当x=5，y=﹣20时，下面程序运行后输出的结果为（）A．22，﹣22 B．22，22 C．12，﹣12 D．﹣12，128．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．1610．（5分）读程序，当输出的值y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）11．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．5112．（5分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，≤则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）给出一个算法：根据以上算法，可求得f（﹣1）+f（2）=．14．（5分）把89化为五进制数为．15．（5分）某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为．（填序号）16．（5分）执行下边的程序框图，输出的T=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．18．（12分）某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？19．（12分）画出计算12+32+52+…+9992的程序框图，并编写相应的程序．20．（12分）某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．21．（12分）已知函数f（x）=编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值，画出程序框图并编写相应的程序计算．22．（12分）如图所示，利用所学过的算法语句编写相应的程序．2017-2018学年北京大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）A．a=b，b=a B．a=c，b=a，c=b C．a=c，b=a，c=a D．c=a，a=b，b=c【解答】解：由算法规则引入中间变量c，语句如下c=aa=bb=c故选：D．2．（5分）从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1 000名学生是总体B．每个被抽查的学生是个体C．抽查的125名学生的体重是一个样本D．抽取的125名学生的体重是样本容量【解答】解：从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，在A中，1000名学生的体重是总体，故A错误；在B中，每个被抽查的学生的体重是个体，故B错误；在C中，抽查的125名学生的体重是一个样本，故C正确；在D中，125是样本容量，故D错误．故选：C．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=4；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选：B．4．（5分）一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选：D．5．（5分）下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本【解答】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在所给的四个抽样中，从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，它们都是一个简单随机抽样；对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，这是一个最适宜用系统抽样法的．故选：C．6．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A．42名B．38名C．40名D．120名【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取120×=40名．故选：C．7．（5分）当x=5，y=﹣20时，下面程序运行后输出的结果为（）A．22，﹣22 B．22，22 C．12，﹣12 D．﹣12，12【解答】解：由题意，该程序运算的原理是若x＜0，则用y﹣3的值赋给x；否则，即当x≥0时，则用y+3的值赋给y最后将算出的x﹣y，y﹣x的值输出．由此，可得∵x=5＞0，∴y+3=﹣20+3=﹣17，赋值给y后得y=﹣17因此，x﹣y=5+17=22，y﹣x=﹣17﹣5=﹣22．故选：A．8．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选：C．10．（5分）读程序，当输出的值y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解答】解：由图可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．当x≤0时，输出值y＞1时，2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1，当x＞0时，＞1，可得x＞1，综上所述，输入值x的取值范围是x＜﹣1或x＞1，即输入的x值的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．11．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选：D．12．（5分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，≤则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：当x≤2时，x2=x，有x=0或x=1；当2＜x≤5时，2x﹣3=x，有x=3；当x＞5时，x=，x无解．故可知这样的x值有3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）给出一个算法：根据以上算法，可求得f（﹣1）+f（2）=0．【解答】解；由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=的值，当x=﹣1时，满足x≤0，可得f（﹣1）=﹣4，当x=2时，满足x＞0，可得f（2）=4，∴f（﹣1）+f（2）=﹣4+4=0．∴输出的f（x）值为0．故答案为：0．14．（5分）把89化为五进制数为324．【解答】解：89÷5=17+4，余数是4，17÷5=3+2，余数是2，3÷5=0+3，余数是3．=324（5）故89（10）故答案为：324．15．（5分）某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为①④．（填序号）【解答】解：先考虑那种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分成三层，一年级抽4个人，二三年级个抽3个人，也即1到108号抽4个，109到189号抽3个，190到270号抽3个，可判断①②④是分层抽样，在判断①②④中那几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均与的10部分，每部分按事先约定好的方法抽取1个，则②为系统抽样．故答案为：①④．16．（5分）执行下边的程序框图，输出的T=30．【解答】解：根据程序框图，运行如下：S=0 N=0 T=0S=5 N=2 T=2S=10 N=4 T=6S=15 N=6 T=12S=20 N=8 T=20S=25 N=10 T=30此时T＞S，故输出T=30．故答案为：30．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．【解答】解：辗转相除法：470=1×282+188，282=1×188+94，188=2×94，∴282与470的最大公约数为94．更相减损术：470﹣282=188，282﹣188=94，188﹣94=94．∴470与282的最大公约数为94．18．（12分）某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？【解答】解：可用分层抽样方法，其总体容量为12000，“很喜爱”占，应取（人），“喜爱”占，应取（人），“一般”占，应取（人），“不喜爱”占，应取（人），因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．19．（12分）画出计算12+32+52+…+9992的程序框图，并编写相应的程序．【解答】解：程序框图如下图：程序如下：S═0i=1WHILE i＜=999s=s+i2i=i+2WENDPRINT SEND （l2分）20．（12分）某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．【解答】解：因为系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且是6的约数，即n是的倍数，或n=6，12，18，n+1是35的约数，故n只能是4，6，34，综合得n=6，即样本容量为6．21．（12分）已知函数f（x）=编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值，画出程序框图并编写相应的程序计算．【解答】解：用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：第一步，输入x值．第二步，判断x的范围．若x≥0，则用解析式y=x2﹣1求函数值；否则，用y=2x2﹣5求函数值．第三步，输出y值．程序框图如图所示：程序如下：I NPTU“x=“；xIF x＞=0 THENy=x^2﹣1ELSEy=2*2^2﹣5ENDIFPRINT“y=“；yEND22．（12分）如图所示，利用所学过的算法语句编写相应的程序．【解答】解：程序为： INPUT x ，n m=0，N=0，i=0 WHILE i ＜nN=x*10^i +N m=m +N i=i +1 WEND PRINT m END赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =yxa y =y定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2018年重点高中高一分班考试数学试卷及答案

2018年重点高中高一分班考试数学试卷及答案一元二次方程x^2 + bx + 1 = 0的两个根的和为3，则b的值为（▲）A．-4B．-3C．2D．32018年重点高中高一分班数学试题卷本次考试不允许使用计算器，也没有近似计算要求，需要保留准确值。

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，不选、多选或错选均不得分）1.在日常生活中，“红灯停，绿灯行”是必须遵守的交通规则。

XXX每天从家骑自行车上学都要经过两个路口，每个路口只有红灯和绿灯。

如果每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么XXX从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是（▲）A。

1/1B。

1/2C。

1/3D。

2/32.若关于x的一元一次不等式组{1<x≤2}有解，则m的取值范围为（▲）x>mA。

m<2B。

m≤2C。

m<1D。

1≤m<23.点M（-2，b），N（-4，a）是所给函数图像上的点，则能使a>b成立的函数是（▲）A。

y=-2x+3B。

y=-2(x+3)+4C。

y=3(x-2)-1D。

y=-2x^24.据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫XXX。

这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫XXX。

那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（▲）A。

64B。

71C。

82D。

1045.十进制数2378，记作2378（10），其实2378（10）=2×10^3+3×10^2+7×10^1+8×10^0，二进制数1001（2）=1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0.有一个（<k≤10为整数）进制数321(k)，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数561(k)是原数的3倍，则k=（▲）A。

【精品】北京师大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析

C．
D．
6．函数 y
2
ax
bx 与 y
ax b ab
0 的图象可能是
A．
B．
C．
D．
7．函数 f (x)
x2 2x 3 的定义域是
A ． [ 1,3)
B ． [ 1,3]
C． ( 1,3)
D． ( , 1] [3, )
8．是区间 A． 9．设
上的偶函数并且在区间
B．
C．
，则
A．
B．
C．
D．
上是减函数，则下列关系中正确的是 D ．二者无法比较
号位
封座
密
号
不
场考
订
装号证考准
只
卷
名姓此
级班
2018-2019 学年北京师大附中
高一上学期期中考试数学试题
数学
注意事项：
1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用
2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
.
18 ．
【解析】【分析】
，即可得解 .
由分段函数解析式直接求解即可，由
即可 . 【详解】
由函数
，可得
，可得
或
，解不等式组求解
.
由
，可得
或
，
解得
.
所以解集为
.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，及分段函数求解不等式，属于基础题
.
次函数的零点为 x
b
.
a
两函数图象在 x 轴上有一个公共点，故排除 B,C.

2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是()A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1>∠4+∠5D. ∠2<∠52.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 233.下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A. 景仁宫(4,2)B. 养心殿(−2,3)C. 保和殿(1,0)D. 武英殿(−3.5,−4)4.如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于()A. 38°B. 104°C. 142°D. 144°4题图5题图5.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是()A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系6.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是()A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④7.例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为()A. 购买A类会员年卡B. 购买B类会员年卡C. 购买C类会员年卡D. 不购买会员年卡8.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为()A. A→O→BB. B→A→CC. B→O→CD. C→B→O二、填空题（本大题共6小题，共18分）9.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD(填“>”，“=”或“<”)．10.在平面直角坐标系xOy中，点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1上，x点A关于x轴的对称点B在双曲线y=k2上，则k1+k2的值为______．x11.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°(点A，B，P是网格线交点)．12.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．13.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．14.北京市2009−2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是.三、解答题（本大题共14小题，共58分）15.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC，CD//AB．∠BAC．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD//AB，∴∠ABP=______．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=1∠BAC(______)(填推理的依据)．2∠BAC．∴∠ABP=1216.在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长(用含a，b的式子表示)；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．17.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．(1)求证：AC⊥EF；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD=4，tanG=1，求AO的长．218.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；b.国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d.中国的国家创新指数得分为69.5．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．19.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．(1)求证：AD=CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．20.如图，P是AB⏜与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB⏜上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在AB⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．21.小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．(2)当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．22.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．(1)若抛物线的对称轴为x=1，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；(2)设抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．23.为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个⋅24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P(12,−1a)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．(1)求证：∠ADC=∠AOF；(2)若sinC=13，BD=8，求EF的长．26.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．(1)求直线l与y轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．27.已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP=∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．(3)若点A的坐标为(2,32答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故A正确；B.∵∠2=∠A+∠3，∴∠2>∠3，故B错误；C.∵∠1=∠4+∠5，故③错误；D.∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5；故D错误；故选：A．根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．本题主要考查了对顶角的定义和外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．2.【答案】C【解析】解：列表如下：3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用，解题的关键是确定坐标原点和x、y轴的位置及方向，属于容易题.根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【解答】解：因为表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，所以可以确定表示中和殿的点的坐标为(0,0)，即坐标原点，所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标分别为(2,4)、(−2,3)、(0,1)、(−3.5,−3)，故选项B正确．故选B．4.【答案】C【解析】本题考查角平分线的定义以及对顶角的性质，难度中等．由对顶角相等知∠AOC=∠BOD= 76°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=38°，∴∠BOM=180°−38°=142°，故选C．5.【答案】B【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：ℎ=0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B．根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．本题主要考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5×97+25.5×103)÷200=25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20～30之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t<10的人数在大于等于0小于等于15之间，当人数为0时中位数在20～30之间；当人数为15时，中位数在20～30之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于0小于等于15，35，15，18，1，当0≤t<10时间段人数为0时，中位数在10～20之间；当0≤t<10时间段人数为15时，中位数在10～20之间，故④错误．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到y1=30x，y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当x=45和x=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：当不购买会员年卡时，y1=30x，当购买A类会员年卡时，y A=50+25x，当购买B类会员年卡时，y B=200+20x，当购买C类会员年卡时，y C=400+15x，当x=45时，y1=1350，y A=1175，y B=1100，y C=1075，此时y C最小，当x=55时，y1=1650，y A=1425，y B=1300，y C=1225，此时y C最小，∵y1，y A，y B，y C均随x的增大而增大，∴购买C类会员年卡最省钱．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合，从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题．【解答】解：由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形，那么行走路线相对于M来说也是对称的，从而排除A选项和D选项．B选项，B→A过程中，寻宝者与定位仪器之间的距离先减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要长，所以B选项错误．故选项C符合题意．故选C．9.【答案】=【解析】解：∵S△ABC=12×2×4=4，S△ABD=2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2=4，∴S△ABC=S△ABD，故答案为：=．分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．10.【答案】0【解析】解：∵点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1x上，∴k1=ab；又∵点A与点B关于x轴对称，∴B(a,−b)∵点B在双曲线y=k2x上，∴k2=−ab；∴k1+k2=ab+(−ab)=0；故答案为：0．由点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1x上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．11.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【解析】【分析】本题考查了作线段的垂直平分线的依据，需要学生对相关的定理非常熟悉，题目不难，但对于学生而言题目非常新颖，同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属基础题．【解答】解：由小芸的作法可知，AC =BC ，AD =BD ，所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C 、D 在线段AB 的垂直平分线上，再由“两点确定一条直线”可知直线CD 就是所求作的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 12.【答案】45【解析】解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，∴PD 2+DB 2=PB 2，∴∠PDB =90°，∴∠DPB =∠PAB +∠PBA =45°，故答案为：45．延长AP 交格点于D ，连接BD ，根据勾股定理得到PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，求得PD 2+DB 2=PB 2，于是得到∠PDB =90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】12【解析】解：如图1所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ，设OA =x ，OB =y ，由题意得：{x +y =5x −y =1，解得：{x =3y =2， ∴AC =2OA =6，BD =2OB =4，∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×6×4=12；故答案为：12．如图1所示：由菱形的性质得出OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ，设OA =x ，OB =y ，由题意得：{x +y =5x −y =1，解得：{x =3y =2，得出AC =2OA =6，BD =2OB =4，即可得出菱形的面积．本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．14.【答案】丙、丁、甲、乙【解析】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、甲(6,8)、乙(10,12)或丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、乙(6,8)、甲(10,12)；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1，2，4)、甲(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、乙(9,11)或丙(3,1，2，4)、乙(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、甲(9,11)，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．先判断出丙购买票之后，剩余3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，进而得出甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，即可得出结论．此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．15.【答案】980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算【解析】【分析】本题考查折线统计图，考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律.根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．【解答】解：折线图反映了日均客运量的具体数据和增长趋势，每年都在增加，幅度在50∼210之间．答案不唯一，只要有支撑预估的数据即可．例如：980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算．16.【答案】∠BPC同弧所对的圆周角等于圆心角的一半【解析】解：(1)如图，即为补全的图形；(2)证明：∵CD//AB，∴∠ABP=∠BPC．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∴∠BPC=12∴∠ABP=1∠BAC．2故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．(1)根据作法即可补全图形；(2)根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．本题考查了作图−复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．17.【答案】解：(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC，∵∠ACB=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE=CF=12BC，∴CF=BF=b，∵CE=AE=a，∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2；(2)AE2+BF2=EF2．证明：过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90°，∵D点是AB的中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDM中，{∠AED=∠BMD ∠ADE=∠BDM AD=BD，∴△ADE≌△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，∵DF⊥DE，∴EF=MF，∵BM2+BF2=MF2，∴AE2+BF2=EF2．【解析】(1)由三角形的中位线定理得DE//BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE=CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；(2)过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE=BM，DE= DM，由垂直平分线的判定定理得EF=MF，进而根据勾股定理得结论．本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD，∵BE=DF，∴AB−BE=AD−DF，∴AE=AF，∴AC⊥EF；(2)解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB//CD，∵AC⊥EF，∴EF//BD，∴四边形EBDG是平行四边形，∴∠G=∠EBD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠G=∠ADO，∴tanG=tan∠ADO=OAOD =12，∴OA=12OD，∵BD=4，∴OD=2，∴OA=1．【解析】(1)由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，由BE=DF得出AE=AF，即可得出结论；(2)证出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO=OAOD =12，得出OA=12OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．本题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；(2)如图所示：(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元；故答案为：2.7；(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【解析】本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．(1)由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果；(2)根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．20.【答案】(1)证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴AD⏜=CD⏜，∴AD=CD；(2)如图，连接OD，∵AD=CM，AD=CD，∴CD=CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC=90°，∵AD⏜=CD⏜，∴OD⊥AC，∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，又OD为半径，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【解析】(1)利用圆的定义得到图象G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到AD⏜=CD⏜，从而由圆心角、弧、弦的关系得到AD=CD；(2)如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．21.【答案】解：(1)AD，PC，PD，(2)描点画出如图图象；(3)2.3或4.0【解析】【分析】(1)按照函数的概念，AD是自变量，而PC、PD随AD的变化而变化，故PC、PD都是因变量，即可求解；(2)描点画出如图图象；(3)观察图像求解即可．本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．【解答】解：(1)按照函数的概念，AD是自变量，而PC、PD随AD的变化而变化，故PC、PD都是因变量，故答案为：AD、PC、PD；(2)见答案；(3)根据图像可得AD的长度约为2.3或4.0cm..22.【答案】减小减小减小73【解析】解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，故答案为73(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．(2)利用描点法画出函数图象即可．(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大．本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)由题意y1=y2=c，∴x1=0，∵对称轴x=1，∴M，N关于x=1对称，∴x2−2，∴x1=0，x2=2时，y1=y2=c．(2)∵抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，∴t≤32．【解析】(1)根据抛物线的对称性解决问题即可．(2)由题意点(x1,0)，(x2,0)的中垂线与x的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：设预计到2015年底，全市将有租赁点x个．由题意，得1.2×25000600=50000x．解得x=1000．经检验，x=1000是原方程的解，且符合题意．。

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2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 32.候选人甲乙丙丁测试成绩(百分制)面试86929083笔试90838392如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为()A. 12x(x+1)=28 B. 12x(x−1)=28 C. x(x+1)=28 D. x(x−1)=284.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A. ∠DAB′=∠CAB′B. ∠ACD=∠B′CDC. AD=AED. AE=CE5.若点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y3<y2B. y1<y2<y3C. y3<y2<y1D. y2<y1<y36.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A. BCB. CEC. ADD. AC6题图 7题图 8题图7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是()A. AC=DEB. BC=EFC. ∠AEF=∠DD. AB⊥DF8.如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)()A. B. C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2−4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0其中，正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是()A. 154B. 92C. 132D. 15211.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−112.二次函数y=ax2x…−2−1012…y…t m−2−2n…=ax2+bx+c且当x=−1时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：2①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0<m+n<20．3其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共9小题，共27分）13.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______(度)．13题图 14题图 15题图14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于______．15.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AG的值为______．AF16.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为____(度)．16题图 17题图17.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有______个．18.有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点E、F落在点E′处，得折痕MN、QP．这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．(1)请写出图①中一组相等的线段______写出一组即可；(2)若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：①a2−b2=2abtan18°；②m=√a2+b2⋅tan18°；③b=m+atan18°；④b=32m+mtan18°．其中，正确结论的序号是______把你认为正确结论的序号都填上．19.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于______．19题图 20题图 21题图20.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．21.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共47分）22.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．(1)如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长(结果保留根号)；(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．23.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，点B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．(Ⅰ)如图①，求点E的坐标；(Ⅱ)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可)．24.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．(1)用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为______；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；(2)根据题意，列出相应方程______；(3)解这个方程，得______；(4)检验：______；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______%.25.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的跳水运动员人数为______，图①中m的值为______；(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．26.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长(结果取整数)．(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，√2取1.414)．27.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x,y2).(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x12tx…−103…y1=ax2+bx+c (09)40…28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A(2,0)，点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．(Ⅰ)若点M的坐标为(1,−1)，①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P(x,y)，求y关于x的函数解析式．(Ⅱ)若点M(1,m)，点F(1,t)，其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．29.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)．(Ⅰ)当b=2，c=−3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，故①与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为：1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故②符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，故③符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选：C．①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，图象纵坐标不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．2.【答案】B【解析】解：甲的平均成绩为：(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，乙的平均成绩为：(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，丙的平均成绩为：(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，丁的平均成绩为：(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选：B．根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．此题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按6和4的权进行计算．3.【答案】B【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，x(x−1)=4×7．所以可列方程为：12故选：B．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，所以，结论正确的是D选项．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数的增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特点，结合增减性得出答案．【解答】的图象上，解：∵点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限y随x的增大而减小，∴y3一定最大，y1>y2，∴y2<y1<y3．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．【解答】解：如图连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．7.【答案】D【解析】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，∴AC=DC，故A选项错误，BC=EC，故B选项错误，∠AEF=∠DEC=∠B，故C选项错误，∠A=∠D，又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠D+∠B=90°，∴∠BFD=90°，即DF⊥AB，故D选项正确，故选：D．依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．8.【答案】B【解析】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；所以B选项正确．故选：B．由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.【答案】D【解析】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2−4ac>0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a>0；=1，b=−2a，故b<0；抛物线的对称轴为x=−b2a抛物线交y轴于负半轴，得：c<0；所以abc>0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2−2ax+c(a≠0)；由函数的图象知：当x=−2时，y>0；即4a−(−4a)+c=8a+c>0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：(−1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)；当x=−1时，y<0，所以当x=3时，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10.【答案】D【解析】【分析】令y=0，则−16x2+32x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．【解答】解：令y=0，则−16x2+32x+6=0，解得：x1=12，x2=−3∴A、B两点坐标分别为(12,0)(−3,0)∵D为AB的中点，∴D(4.5,0)，∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD=√4．52+62=152．故选：D．11.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【解答】解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M 点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y =(x +1)2=x 2+2x +1．故选：A ．12.【答案】C【解析】【分析】①当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b =0，abc >0，①正确；②x =12是对称轴，x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，②正确； ③m +n =4a −4；当x =−12时，y >0，a >83，m +n >203，③错误；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．【解答】解：当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b −2=−2，∴a +b =0，∴y =ax 2−ax −2，∴abc >0，①正确；x =12是对称轴， x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，∴−2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c =t 的两个根；②正确；m =a +a −2，n =4a −2a −2，∴m =n =2a −2，∴m +n =4a −4，∵当x =−12时，y >0，∴a >83，∴m +n >203，③错误；故选：C ．13.【答案】55【解析】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°−∠PAO−∠P−∠PBO=360°−90°−70°−90°=110°，∴∠C=12∠AOB=55°．故答案为：55．首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】2√5【解析】解：根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC−DE=2，CE′=BC+ BE′=4．根据勾股定理得到：EE′=√EC2+CE′2=√20=2√5．根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到BE′的长度，是解决本题的关键．15.【答案】√32【解析】解：在△CAD与△ABE中，AC=AB，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE，∴△CAD≌△ABE．∴∠ACD=∠BAE．∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠ACD+∠CAE=60°．∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°．在直角△AFG中，∵sin∠AFG=AGAF，∴AGAF =√32．首先证明△CAD≌△ABE，得出∠ACD=∠BAE，证明∠AFG=60°．本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度．16.【答案】45【解析】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−x−y+x=90°−y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+(90°−y)+(x+y)=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−y.然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+(90°−y)+(x+y)=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．17.【答案】8【解析】【分析】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．18.【答案】(1)AD=C′D(答案不惟一，也可以是AE=C′F等)；(2)①②③【解析】解：(1)由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；故答案为：AD=C′D．(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，∴∠ADE=∠MDB−∠EDB=54°−36°=18°．在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD2+AE2=DE2=BE2，即b2+AE2=(a−AE)2，解得AE=a2−b22a．∵tan∠ADE=tan18°=AEAD =AEb=a2−b22ab，∴a2−b2=2abtan18°，即①正确；∵PN=DM，∴PG=NG=12PN=12DM=12m，∵BG=12DB=12√a2+b2，NG=12DM=12m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=12m：12√a2+b2．∴m=√a2+b2⋅tan18°，即②正确．∵AM=AD−DM=b−m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=(b−m)：a，∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．故答案为：①②③．【分析】(1)由翻折的性质知：C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，可得∠DBM=∠ABM=∠ADE=18°，然后分析四个结论．本题考查了翻折的性质：对应角相等，对应边相等及正五边形的性质、勾股定理．19.【答案】89【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，属于较难题．由∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，则可得MN=13BD=√23AB，即可计算答案．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=13BD=√23AB，∴S正方形MNPQS正方形AEFG=(√23AB)2(12AB)2=89，故答案为：89．20.【答案】√5【解析】解：如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG//BC//AD，∴∠H=∠PGE，∠HAP=∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP=EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH=EG=1，PG=PH=12HG，∴DH=AD+AH=4，DG=CD−CG=2，根据勾股定理得，HG=√DH2+DG2=2√5，∴PG=√5，故答案为√5．延长DA，GP相交于H，先证明△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．21.【答案】4913【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，△ABH≌△GBH，则BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解答】解：设折痕BF与AE交于点H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，AB=BG，∠ABH=∠GBH，BH=BH∴△ABH≌△GBH(SAS)，∴AH=GH，且∠AHB=∠GHB=90°，∴BF垂直平分线段AG，即BF⊥AE，∴∠FAH+∠AFH=90°，又∵∠FAH+∠AED=90°，∴∠AFH=∠AED，又∠FAB=∠D=90°，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF=√AB2+AF2=√122+52=13，S△ABF=12AB⋅AF=12BF⋅AH，∴12×5=13×AH，∴AH=6013，∴AG=2AH=12013，∵AE=BF=13，∴GE=AE−AG=13−12013=4913，故答案为：4913．22.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，∴BP=2AB=2×2=4．由勾股定理，得AP=√BP2−AB2=√42−22=2√3.(2)如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°−∠BCA=90°．在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD=12AP=AD．∴∠4=∠3．又∵OC=OA，∴∠1=∠2．∵∠2+∠4=∠PAB=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．即OC⊥CD．∴直线CD是⊙O的切线．【解析】(1)易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；(2)本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，难度适中．23.【答案】方法一：解：(Ⅰ)如图①，∵点A(−2,0)，点B(0,4)，∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠OBA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴OAOB =OEOA，即24=OE2，解得OE=1，∴点E的坐标为(0,1)；(Ⅱ)①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m(0<m<2)，则A′O=2−m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′//AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又∵BE=OB−OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+ 27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是(1,1)．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE= 3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴AA′A′O =AB′OB=34，∴AA′AO =37，AO=2，∴AA′=37×2=67，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是(67,1)．方法二：(1)同上．(2)由AA′=m⇒A′(m−2,0)，E′(m,1)，B(0,4)，A′B2+BE′2=(m−2)2+(0−4)2+(0−m)2+(4−1)2，A′B2+BE2=2m2−4m+29，∴当m=1时，A′B2+BE2有最小值，最小值为27．(3)A′(m−2,0)，E(m,1)，B(0,4)，过B作平行于x轴的直线l，∴E′关于l的对称点为E″(m,7)，A′，B，E″三点共线时，A′B+BE′有最小值，根据黄金法则一：K A′B=K BE″时，A′，B，E″三点共线，(理由K1−K2，l1//l2，又l1，l2共线，即A′，B，E′三点共线)∴0−4m−2=7−4m−0，∴m=67，∴点E′的坐标是(67,1)．【解析】方法一：(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到OAOB =OEOA，则易求OE=1，所以E(0,1)；(Ⅱ)如图②，连接EE′.在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+27.所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是(1,1)时，A′B2+BE′2取得最小值．方法二：(1)利用相似求出E点坐标．(2)①分别求出A′，B，E三点坐标，利用两点间距离公式求出最小值．②当A′B+BE′取得最小值时，由于公共点为点B，过点B作x轴平行线L，作A’或E’关于L的对称点，利用直线A′B与BE′′的斜率相等，得出A′，B，E′′三点共线，并得出A′B+BE′取得最小值．本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．24.【答案】(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．【解析】解：(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值(1+增长率)，即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)4÷10%=40(人)，m=100−27.5−25−7.5−10=30；故答案为40人，30．(2)平均数=(13×4+14×10+15×11+16×12+17×3)÷40=15(岁)，16岁出现12次，次数最多，众数为16岁；按大小顺序排列，中间两个数都为15岁，中位数为15岁【解析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．(1)频数÷所占百分比=样本容量，m=100−27.5−25−7.5−10=30；(2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．26.【答案】解：如图作PC⊥AB于C．由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，在Rt△APC中，sinA=PCPA ，cosA=ACPA，∴PC=PA⋅sinA=120⋅sin64°，AC=PA⋅cosA=120⋅cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B=45°，∴PC=BC，∴PB=PCsin45∘=120×0.90√22≈153．∴AB=AC+BC=120⋅cos64°+120⋅sin64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP的长约为153海里和BA的长约为161海里．【解析】作PC⊥AB于C，分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用--方位角问题，结合航海中的实际问题，解直角三角形即可，体现了数学应用于实际生活的思想．27.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0,94)，∴c=94．∴y1=ax2+bx+94，∵点(−1,0)、(3,0)在抛物线y1=ax2+bx+94上，∴{a−b+94=09a+3b+94=0，解得{a=−34b=32，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=−34x2+32x+94；(II)∵y1=−34x2+32x+94，∴y1=−34(x−1)2+3，∴直线l为x=1，顶点M(1,3)．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C(1,t)，当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA//l，又∵点P(x,y2)，∴点A(x,t)(x≠1)，∴PM=PA=|y2−t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q(1,y2)，∴QM=|y2−3|，PQ=AC=|x−1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即(y2−t)2=(y2−3)2+(x−1)2，整理得，y2=16−2t (x−1)2+t+32，即y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P(1,t+32)，∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t(t≠3)；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6−2t>0，即t<3时，抛物线y1的顶点M(1,3)，抛物线y2的顶点(1,t+32)，∵3>t+32，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6−2t<0，即t>3时，y1−y2=−3(x−1)2+3−[1(x−1)2+t+3]=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2，若3t−11≠0，要使y1<y2恒成立，只要抛物线y=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2开口方向向下，且顶点(1,3−t2)在x轴下方，∵3−t<0，只要3t−11>0，解得t>113，符合题意；若3t−11=0，y1−y2=−13<0，即t=113也符合题意．综上，可以使y1<y2恒成立的t的取值范围是t≥113．或这样考虑：y1与y2对称轴相同，当y2开口向下时可得到y2最值大于y21最值3，所以只要保证y2的开口大于y1的开口即可，根据二次函数性质，抛物线开口由a的绝对值决定，所以只要计算|16−2t |<34的绝对值即可．【解析】【分析】(I)先根据物线经过点(0,94)得出c的值，再把点(−1,0)、(3,0)代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；(II)先根据(I)中y 1与x 之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线l 与直线l′交于点C(1,t)，当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM 与BP 互相垂直平分，故可得出四边形ANMP 为菱形，所以PA//l ，再由点P(x,y 2)可知点A(x,t)(x ≠1)，所以PM =PA =|y 2−t|，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q(1,y 2)，故QM =|y 2−3|，PQ =AC =|x −1|，在Rt △PQM 中，根据勾股定理即可得出y 2与x 之间的函数关系式，再由当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合可得出P 点坐标，故可得出y 2与x 之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，可知6−2t >0，即t <3时，抛物线y 1的顶点M(1,3)，抛物线y 2的顶点(1,t+32)，由于3>t+32，所以不合题意，当抛物线y 2开口方向向下时，6−2t <0，即t >3时，求出y 1−y 2的值；若3t −11≠0，要使y 1<y 2恒成立，只要抛物线方向及顶点(1,3−t 2)在x 轴下方，因为3−t <0，只要3t −11>0，解得t >113，符合题意；若3t −11=0，y 1−y 2=−13<0，即t =113也符合题意．本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用． 28.【答案】解：(Ⅰ)①∵点O(0,0)，F(1,1)， ∴直线OF 的解析式为y =x ．设直线EA 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)、 ∵点E 和点F 关于点M(1,−1)对称， ∴E(1,−3)．又∵A(2,0)，点E 在直线EA 上， ∴{0=2k +b−3=k +b，解得{k =3b =−6，∴直线EA 的解析式为：y =3x −6．∵点P 是直线OF 与直线EA 的交点，则{y =xy =3x −6，解得{x =3y =3，∴点P 的坐标是(3,3)．②由已知可设点F 的坐标是(1,t)． ∴直线OF 的解析式为y =tx ．设直线EA 的解析式为y =cx +d(c 、d 是常数，且c ≠0)．由点E 和点F 关于点M(1,−1)对称，得点E(1,−2−t)．又点A 、E 在直线EA 上， ∴{0=2c +d−2−t =c +d，解得{c =2+t d =−2(2+t)，∴直线EA 的解析式为：y =(2+t)x −2(2+t)． ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点，。