《图论》第7章-回路矩阵与割集矩阵解析
11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
§11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵一、关联矩阵 0Ai =支路电流列向量关联矩阵, 支路与节点的关联关系降阶的关联矩阵11jk k j a k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与节点关联，且离开支路与节点关联，且指向支路与节点不关联 二、回路矩阵1，独立回路矩阵： 支路电压列向量独立回路矩阵, 反映支路与独立回路的关联关系11jk k j b k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与回路关联，且方向一致支路与回路关联，且方向不一致支路与回路不关联 2，基本回路矩阵： f B 约定： ①将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列②将连支对应的列号取为基本回路号③取连支方向作为基本回路方向举例：如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本回路如下5 31243561001100101111001011f t t B B ⎡⎤⎢⎥=---=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦标准形式 三、割集矩阵1，独立割集矩阵1123213463156:0: 0:0Q i i i Q i i i i Q i i i -++=-++=-+=1234561110001011010100011i i i i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0Qi =支路电流列向量独立割集矩阵,反映支路与独立割集的关联关系1,1,0kj k j q k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与割集关联且方向一致支路与割集关联且方向不一致支路与割集不关联2，基本割集矩阵 f Q约定： ①将树支与连支按支路编号由小到大分别集中排列②将树支对应的列号称为基本割集号③取树支方向作为基本割集方向Q举例：如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本割集如下，基本割集矩阵为3 5 6 1 2 41001100101111001011f tt Q Q -⎡⎤⎢⎥=-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦标准形式 比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵，可以看出对于同一个有向图，选取同一棵树，当连支分块和树支反映中，各支路左右顺序不变时，则有：T l t Q B =-事实上，该关系式可以得到证明，详见书中§11-4 。
关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
01
02
03
04
05
3、降阶关联矩阵
123456
Aa=
1 2 3 4
-1 0 +1 0
-1 0 0 +1
+1 -1 0 0
0 -1 +1 0
0 0 +1 -1
0 +1 0 -1
降阶关联矩阵
Q =
1 2 3
123456
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
-1
-1
0
-1
0
1
-1
-1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
3
2
1
4
5
1
4
2
6
1
选支路3、5、6为树支
Q1
Q2
Q3
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵就称为基本割集矩阵，用Qf表示。 写Qf时，注意安排其行列次序如下： 把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列连支； 取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同， 且选割集方向与相应树支方向一致， 则Qf有如下形式
因此有
Bu =0
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
Bu=
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系电工基础
关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系 -电工基础对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着肯定的联系。
对于图1所示的有向图，选支路1、2、3为树支，作单树支割集如图所示，则可写出其基本回路矩阵与基本割集矩阵如下：图 1用左乘，可得：即有：（1）由矩阵性质可得另一形式为：（72）此二式反映了相同编号的网络中，基本割集矩阵与基本回路矩阵之间的关系。
对于式1的一般证明可简略描述如下：令，则D中任一元素为，下标j表示第j条单连支回路，k表示第k个割集，而则表示把第j回路中i支路元素与第k割集中i支路元素相乘。
明显，若i支路不是同时包含在j回路与k割集中，则其乘积必为零。
而同时包含在j回路与k割集中的支路条数必为偶数。
由于若移去k割集的全部支路，则电路分为独立的两部分。
若闭合回路跨越两部分电路，明显其连接两部分的支路条数（包含在k割集中）必为偶数条。
例如对于图1所示的网络，同时包含在割集1与回路1（由支路4组成的单连支回路）中的支路为4与1。
对于成对消灭在回路和割集中的支路，假如二条支路方向与回路全都，（此时对应行中二个元素同号），则该二条支路与割集方向必一正一反（此时对应行中二个元素异号），则的值必为零。
反之，若二条支路方向与回路方向一正一反，则相对于割集方向必同号，其乘积亦为零。
可见矩阵D中元素均为零，从而可推出式（1）。
若网络支路编号严格按先树支后连支编排，则式（1）可写为：即有：（3）式中，表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。
对于图1的电路，若设节点4为参考节点，写出它的关联矩阵为：用A左乘，得：即有：（7-5-4）或（5）实际上若选择割集只包围一个节点，且割集方向离开节点，则这样组成的割集即为关联矩阵A，即是说关联矩阵无非是割集矩阵的一种形式。
由式（1）即可知式（4）成立。
假如支路编号按先树支后连支方式，则关联矩阵可表示为，其中表示由全部树支元素组成的子矩阵，表示由连支元素组成的子矩阵。
《图论》第7章 回路矩阵与割集矩阵
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
好对应于G的某一余树的 (m-n+1) 条边。
[证明] 适当编排Cf =(C11, C12)，使得 C11对应列为所选取的列， 将 Bk 的列按 Cf 排列并分块，记为 Bk =(B11, B12) 。
此时C12或B12的列对应于G的一棵生成树，由[定理3-2-5]
|B12|0，即B12可逆。由BkCfT=0 得：B11C11T+ B12C12T=0 故 C12 = -C11B11TB12-T
本割集矩阵 Sf 的秩 r(Sf ) = n-1。 [证明] 将第k个基本割集对应的树枝放在第(m-n+1+k)列，得到
Sf =(S11, I (n-1)(n-1)) ，故 r(Sf ) = n-1 。
20
7.3 割集矩阵
[定理7-3-2] 有向连通图 G=(V, A) 的割集矩阵S和回路矩阵C中
1 mn1
C
C
2 mn1
... C
mn1 mn1
2
mn1
1
3
7.1 回路矩阵
[基本回路] 设T为有向连通图G的一棵生成树，T的余树的每一 边都与T中若干边构成唯一的回路，称之为G关于T的一条 基本回路。规定基本回路的方向与相应的余树边的方向一 致。 [基本回路矩阵] 由所有基本回路构成的回路矩阵称为基本回路 矩阵，记为 Cf 。显然G的基本回路的定义与生成树T的选 择有关。 [例] 对生成树{a1, a3, a5 }，基本回路 矩阵
基本割集矩阵和基本回路矩阵的关系
基本割集矩阵和基本回路矩阵的关系好嘞，今天咱们聊聊基本割集矩阵和基本回路矩阵之间的关系，听起来有点高大上对吧？其实这东西就像是两位老朋友，一个总是在前线拼搏，一个在后方支援，虽然看似各干各的事，但其实背后是相互依存的。
想象一下，你在一个迷宫里，四处都是岔路口，每个选择都有可能把你引向新的冒险。
割集矩阵就像是那些岔路口的指示牌，告诉你哪些路是通的，哪些路被堵死了。
换句话说，它帮你找出图中哪些边一旦被切断，图就变得不连通了。
简单说，这就是割集矩阵的魔力，能让你从复杂的关系中捋出一条清晰的路。
再说说基本回路矩阵，简直是一个迷宫中的神奇宝箱。
当你在探索的时候，突然发现有些路是重复的，有些路可以绕一圈再回来。
基本回路矩阵就是记录这些“回头路”的，搞得好像你在迷宫里转了个大圈，最后又回到了原点。
它告诉你哪些边组成了回路，让你在迷宫中游刃有余。
这两者到底有什么关系呢？就像是冰淇淋和蛋筒，分开各有各的好处，但放在一起，哇哦，简直是天作之合。
割集矩阵在给你指路的时候，基本回路矩阵则在告诉你哪些路可以多走几遍。
你想啊，如果你没有割集矩阵，怎么知道哪里可以走，哪里该绕？而没有基本回路矩阵，又怎么能明白那些路径中哪些是可以重复利用的？所以啊，缺了任何一个，都让这场冒险变得不那么精彩。
这俩东西在数学上可是有个性格互补的关系。
割集矩阵把图的结构从边的角度展现出来，简直是直截了当。
而基本回路矩阵则从回路的角度提供了另一种视角，让你看到更复杂的交错。
其实这就像我们生活中不同的观点，有人喜欢直来直去，有人则喜欢兜个圈子。
这两种视角结合在一起，才能让你对一个问题有更全面的理解。
讲个故事吧，想象你和朋友一起去旅行，割集矩阵是那位总是记得路线的朋友，而基本回路矩阵就是那个喜欢探索小巷子的人。
你们一起出发，割集矩阵一直在提醒你们：“小心，这条路堵了。
”而基本回路矩阵则会说：“嘿，咱们去看看这条小路，没准儿能发现新奇的地方！”两人相辅相成，最终找到的景点可比单独行动要丰富得多。
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
关联矩阵,回路矩阵和割集矩阵的关系
关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着一定的联系。
对于图7-5-1所示的有向图，选支路1、2、3为树支，作单树支割集如图所示，则可写出其基本回路矩阵与基本割集矩阵如下：图 7-5-1用左乘，可得：即有：（7-5-1）由矩阵性质可得另一形式为：（7-5-2）此二式反映了相同编号的网络中，基本割集矩阵与基本回路矩阵之间的关系。
对于式7-5-1的一般证明可简略描述如下：令，则D中任一元素为，下标j表示第j条单连支回路，k表示第k个割集，而则表示把第j回路中i支路元素与第k割集中i支路元素相乘。
显然，若i支路不是同时包含在j回路与k割集中，则其乘积必为零。
而同时包含在j回路与k割集中的支路条数必为偶数。
因为若移去k割集的所有支路，则电路分为独立的两部分。
若闭合回路跨越两部分电路，显然其连接两部分的支路条数（包含在k割集中）必为偶数条。
例如对于图7-5-1所示的网络，同时包含在割集1与回路1（由支路4组成的单连支回路）中的支路为4与1。
对于成对出现在回路和割集中的支路，如果二条支路方向与回路一致，（此时对应行中二个元素同号），则该二条支路与割集方向必一正一反（此时对应行中二个元素异号），则的值必为零。
反之，若二条支路方向与回路方向一正一反，则相对于割集方向必同号，其乘积亦为零。
可见矩阵D中元素均为零，从而可推出式（7-5-1）。
若网络支路编号严格按先树支后连支编排，则式（7-5-1）可写为：即有：（7-5-3）式中，表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。
对于图7-5-1的电路，若设节点4为参考节点，写出它的关联矩阵为：用A左乘，得：即有：（7-5-4）或（7-5-5）实际上若选择割集只包围一个节点，且割集方向离开节点，则这样组成的割集即为关联矩阵A，即是说关联矩阵无非是割集矩阵的一种形式。
离散数学第七章图论习题课件
解此不等式可得n≥7，即G中至少有7个结点，7个结点时，其度数列为2,2,2,3,3,4,4，△=4,δ=2。
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？ (1)证明中关键步骤是握手定理： 2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G) ⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于最小度δ(G)，小于或等于最大度△(G)。 (2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
信息科学与工程学院
离 散 数 学
河南工业大学
第7章 图 论 习题课
1
复 习 时 注 意
2
准确掌握每个概念
5
证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问题，再按正向思维写出证明过程。
4
注意解题思路清晰
3
灵活应用所学定理
图
通路与回路
图的连通性
欧拉图
汉密尔顿图
无向树及其性质
平面图的基本性质
欧拉公式
平面图的对偶图
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
回路矩阵与割集矩阵
定理3 有向连通图G的完全回路矩阵Ce 的秩是m-n+1.
证明：由于基本回路矩阵Cf 是完全回路矩阵 的Ce 的子阵, 而Cf 的秩是m-n+1, 故 秩( Ce)>=m-n+1. 由Sylvester定理, 若有AnmDms= 0, 则 秩(A) +秩(D) <=m. 由定理1和定理2，BCeT=0，秩(B) ＝n-1，故由 秩(B) +秩(Ce) <=m, (m为边数) 知 秩(Ce) <=m-n+1，从而 秩(Ce) =m-n+1。
e1 e2 ... em S1 S2 Se ... Sp
20
S1 S2 S3 Se S4 S5 S6
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 S7 e e e e e e 2 3 4 5 6 1
图
(Ⅴ)
论
刘晓华
1
3.4 回路矩阵与割集矩阵
有向连通图G=(V,E) 的回路矩阵和割集矩 阵，与G 的支撑树有密切联系。 1. 回路矩阵及其性质 (1) 概念 设T是有向连通图G的一棵支撑树, 对于不 在T上的边e，T+e 必含一个唯一回路C. 如果给回路C定一个参考方向, 那么C中方 向与回路方向一致的边, 就称为正向边,否则称 为反向边.
3
例(p.46) 求右 图的完全回路 矩阵.
V2
C1 C2 C3 Ce C4 C5 C6 C7 e1 1 1 0 0 0 1 1
V1 e1
e2 e4
《图论》第7章-回路矩阵与割集矩阵
1 aj 在si 中且方向一致
sij = -1 aj 在si 中且方向相反 0 其他
若S1、S2、… 、Sk 包含了中所有割集，称S为G的完全割
集矩阵，记为 Se 。
[基本割集矩阵] 由G的所有基本割集构成的割集矩阵成为G的基
本割集矩阵,记为 Sf 。
19
7.3 割集矩阵
[定理7-3-1] 有向连通图 G=(V, A)，n =|V|，m =|A|，则其任意基
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
16
7.2 割集
[定理7-2-3] 设T是连通图G的一棵生成树，e 是T的一条弦，C 是由 e 确定的 T+e 中的基本回路。则 e 包含在由C中除 e 外的每条边确定的基本割集中，而不在其他的基本割集中。 [证明] ① 设 bC且 be，S是 b 确定的基本割集。由[定理7-2-2] C和S除了b外应该还有一条公共边。S 除了b以外其它边都 是T的余树边，而C中只有 e 是T的余树边，所以此公共边 只能是e，也即e包含在S中。② 若e被包含在一个由T的树 枝 h 确定的基本割集 S 中，由[定理7-2-2] C和 S 除了e 外 应该还有一条公共边。 C 除了e以外其它边都是T的树枝， 而S中只有 h 是T的树枝，所以此公共边只能是 h，也即 h 理7-2-4] 设T是连通图G的一棵生成树，b 是T的一条树枝，S 是由 b 确定的G的基本割集。则 b 包含在由S中除 b 外的每
第七章 图论
• 对于有向图 G中的任意结点 u,v 和w，结点间的距离有以下 的性质： ① du,v≥0 ② du,u=0 ③ du,v＋dv,w≥du,w • 注：一般来说， du,v不一定等于dv,u • 定义D=max du,v为图的直径 • 关于有向图两个结点间的距离可以很容易的推广到无向图 中
【例】如右图所示是一个图，其中 v1e1v2e3v3e4v2e3v3e7v5是一条从v1到v5的路 v1e1v2e3v3e4v2e5v4e8v5是一条从v1到v5的迹 v1e1v2e3v3e7v5是一条从v1到v5的通路 v3e3v2e5v4e8v5e6v2e4v3是一个回路 v3e3v2e5v4e8v5e7v3是一个圈
• 定义 7-1.9 设图 G=V,E 与图 G′=V′,E′ ，如果存 在一一对应的映射g: vi→vi′且e=(vi,vj)是G的一条 边当且仅当e′=(vi′,vj′)是G′的一条边,则称G与G′同 构,记为G≌G′.
• 通俗的讲两个图同构当且仅当两个图的结点和边存在着一 一对应,且保持关联关系
• 如果一对结点间的边多于一条，则称这些边为平行边
• 定义 7-1.4 含有平行边的任何一个图称为多重图
• 不含平行边和环的图称为简单图
• 定义 7-1.5 简单图G=<V,E>中, 若每一对结点都有 边相连，则称该图为完全图。
• n个结点的无向完全图记为Kn
• 定理7-1.4 • 定义7-1.6 给定一个图G，由G中所有结点和所有 能使G成为完全图的添加边组成的图，称为图G的 相对于完全图的补图，简称为G的补图，记为 G 。
1 n个结点的无向完全图Kn的边数为2 n(n 1)
• 定义7-1.7 设图G=<V,E>, 如果有图G′=<V′,E′>, 且 E′ E, V′ V, 则称G′为G的子图
13.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵
第2页
例
节
支 1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
特点
②
３
４
①
６
③
５
２
④
1
① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，
Aa的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行 是独立的。
ii12 i3
1 0 0 1 10
i4
n-1个KCL方程
i5 i6
２ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④
1
-i1 - i2 i3
i3
-
i4
i6
=？
i1 i4 i5
第5页
②
３
４
1
①
６
③
５
2
２ 3
④
1
KCL方程
-i1 - i2 i3 0
-i3 - i4 i6 0
i1 i4 i5 0
-i1 - i2 i3
６
i4
２
５
③
i5
④1
i6
n-1个独立
KCL方程 矩阵形式的KCL：Qf i =0
第 19 页
② 用QfT表示矩阵形式的KVL方程
设树支电压（或基本割集电压）： ut=[ u1 u2 u3 ]T
1 0 0
ut1 u1
0
Q f Tut
0 1
1
1 0 0 -1
0 1 1 0
电路原理2-7割集方程的矩阵形式--割集分析法
Zl ( s)I l ( s) Ul ( s)
式中Ul(s)叫做回路电压源向量(loop voltage source vector)，它的 元素表示相应基本回路中沿回路参考方向各电压源(包括等效电压 源)的电位升的代数和。Zl(s)叫做回路阻抗矩阵(loop impedance matrix)。
ˆ 写出网络 N 的网孔方程为
ˆ 1 ) I ( s ) 1 I ( s ) U ( s ) L i ( 0 ) 1 u ( 0 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆc ( sL1 1 2 s 1 1 ˆ ˆ s sC sC 1 ˆ ˆ 1 R ) I ( s ) I i (0 ) 1 u (0 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆc I 1 ( s ) ( sL2 2 2 2 ˆ ˆ s sC sC
T
书中例子留给同学们自己阅读
( s) 0
I b ( s) B I l ( s)
T
Ub ( s) Zb ( s)I b ( s) U s ( s) Zb ( s)I s ( s)
Ub Zb ( s)B I l ( s) Us ( s) Zb ( s)I s ( s)
ˆ （2）先作出已知网络N 的图G，再作出G的对偶图 G ,
ˆ N。 但须注意电源的参考方向。
对偶原理（principle of duality）
然后对
ˆ G 中的每一支路嵌入N 中相应元件的对偶元件即得对偶网络
我们把网络元件、参数、变量、状态等统称为网络要素。如果 某些网络要素相互间遵从某一规律或约束关系，则与之对偶的 网络要素相互间必定遵从对偶的规律或对偶的约束关系。
§2-7 割集方程的矩阵形式 割集分析法
电路方程的矩阵形式
连支所构成的割集为单树支割集。
(a, b, e), 如下图中 (b, c, f ), ( a, f , d )
④ n 个结点和 b 条支路的连通图，其树支为( n -1)，有(n
-1)个单树支割集，称为基本割集组，n个结点的连通图，独立 割集为( n -1)，独立割集不一定是单树支割集。 ⑤ 连通图可以有许多不同的树，可选出许多基本割集组。
这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用 Bf 表示 Bf 的行列次序：l 条连支依次排列在对应于 Bf 的第 1 至 l 列, 然后再排树支；每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号, 该连支的方向为对应回路的绕行方向，Bf 中将出现一个 l 阶单位子矩阵
B f应的部分
② 回路矩阵 B 左乘支路电压列向量，所得乘积是一个 l 阶列
向量，因矩阵 B 的每一行表示每一对应回路与支路的关联情况.
BU 0,
回路1中的 u 回路 2 中的 u 0 BU 回路 l 中的 u
Chapter 15 电路方程的矩阵形式
主 要 内 容
1．关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵;
2．KCL, KVL的矩阵形式；
3．回路电流（网孔电流）方程，结点电压方程，
割集电压方程和列表方程的矩阵形式；
4. 状态方程.
§15-1 割集
KCL 和 KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系 取决于电路中各元件的连接方式。 电路的拓扑--电路中各元件的连接方式。 电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图,回路,树,割 集等）。 1. 割集：是 G 的一个支路集合，移去这些支路，将使 G 分 离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的. 可以利用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集, 与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（ 因移去这些支路，
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[回路矩阵] 设有向连通图 G=(V, A)，A={ai | i=1..m}，G中有确 定方向的简单回路C1、 C2、 … Ck ，ห้องสมุดไป่ตู้义回路矩阵
C=(cij)km
1 cij = -1 aj A在Ci中且方向一致 aj A在Ci中且方向相反
0 其他
[完全回路矩阵] 若C1、C2、… 、Ck 包括了G的所有回路，则称 C为G的完全回路矩阵，记为 Ce 。
vi a l
Cj
① ② ③ ④
ak
vi a l Cj
ak
vi a l Cj
ak
vi a l Cj 6
7.1 回路矩阵
ak vi a l Cj ak vi a l Cj ① bikcjk+ bilcjl =(-1)1+11=0 ② bikcjk+ bilcjl = (-1)1+(-1)(-1)=0 ③ bikcjk+ bilcjl =1(-1)+11=0 ④ bikcjk+ bilcjl =1(-1)+(-1)(-1)= 0 故 (BCT)ij= 0 ，从而得 BCT= 0 7
[定理7-1-1] 有向连通图 G=(V, A)，n=|V|，m=|A|，则其任意基 本回路矩阵 Cf 的秩 r(Cf ) = m-n+1。
[证明] 由 Cf =( I (m-n+1)(m-n+1), C12) 得证。
5
7.1 回路矩阵
[定理7-1-2] 有向连通图 G=(V, A) 的关联矩阵B和回路矩阵C中
9
7.1 回路矩阵
[结论3] 完全回路矩阵 Ce 的秩 已知 r(Cf ) = m-n+1
故： r(Ce) r(Cf ) = m-n+1
又： r(B CeT) r(B)+r(CeT)-m（因 Bnm，CeT mL） 即： 0 (n-1)+r(CeT)-m (B CeT=0，r(B) = n-1)
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
7.1 回路矩阵
[回路的数目]
对连通图G的一棵生成树T，余树边有 m-n+1条，故G中至
少有 m-n+1条回路。 在上述生成树T的余树中任取 k m-n+1 条边，都可能与生
成树中的若干条边构成一条回路，且G中所有回路均可如
此构成（或说G的每一条回路至少含有一条T的余树边）， 故G中回路数目最多有：
7.1 回路矩阵
[结论2] 由基本关联矩阵可求基本回路矩阵 由：B11+ B12 C12T=0 以及 B12可逆（| B12 | 0）
得：C12T = -B12-1 B11
故：C12 = -B11T B12-T 即：Cf =( I(m-n-1)(m-n+1) , C12)= =( I(m-n-1)(m-n+1) , -B11T B12-T)
C1 1 1 1 0 0 Cf C2 0 0 1 1 1 a1 a2 a3 a4 a5
a1
a3
C1
a5
C2
C3
a2
a4 4
7.1 回路矩阵
调整上述矩阵弧的位置后，得矩阵：
C1 1 0 1 1 0 Cf ( I ( m n 1)( m n 1) , C12 ) C2 0 1 0 1 1 a2 a4 a1 a3 a5
好对应于G的某一余树的 (m-n+1) 条边。
[证明] 适当编排Cf =(C11, C12)，使得 C11对应列为所选取的列， 将 Bk 的列按 Cf 排列并分块，记为 Bk =(B11, B12) 。
此时C12或B12的列对应于G的一棵生成树，由[定理3-2-5]
① ② ③ ④
ak
vi a l Cj
ak
vi a l Cj
7.1 回路矩阵
[结论1] 将列适当排列后，Cf =( I(m-n-1)(m-n+1) , C12), 考察C12各列 对应边的拓扑结构解释。
将Bk的列按Cf 排列并分块，记为Bk =(B11, B12)，由上述定
理证明过程易知基本关联矩阵Bk和基本回路矩阵的正交性 也成立：BkCfT=0 。
得： r(Ce) m-n+1
故： r(Ce) = m-n+1 结论3的拓扑意义：在图的 Euler子图集合中独立的回路有 (m-n+1) 个，所有回路可由这些独立回路表出。
10
7.1 回路矩阵
[定理7-1-3] 从图G的基本回路矩阵中任取(mn+1)列组成一个 (m-n+1) 阶行列式，它的值非零的充要条件是：这些列正
1
7.1 回路矩阵
[例 ]
C1 1 C C2 0 C3 1 a1
0 0 1 1 1 1 0 1 1 a2 a3 a4 a5 1 1 0
a1
a3 C1 a2
a5 C2 a4
C3
一般的讨论限于连通图； 这里的回路非特指有向回路；回路方向为指定方向； 观察：上述回路矩阵中，C3=C1-C2 2
C
1 mn1
C
2 mn1
... C
mn1 mn1
2
mn1
1
3
7.1 回路矩阵
[基本回路] 设T为有向连通图G的一棵生成树，T的余树的每一 边都与T中若干边构成唯一的回路，称之为G关于T的一条 基本回路。规定基本回路的方向与相应的余树边的方向一 致。 [基本回路矩阵] 由所有基本回路构成的回路矩阵称为基本回路 矩阵，记为 Cf 。显然G的基本回路的定义与生成树T的选 择有关。 [例] 对生成树{a1, a3, a5 }，基本回路 矩阵
各弧的排列次序一致时，有 BCT=0 （即B和C正交）。 [证明] 观察 (BCT)ij= bi1cj1+ bi2cj2+ …+ bimcjm ，m=|A|
各项中当且仅当边 al 关联于 vi 且 alCj 时，bilcjl 0。满足
条件的 vi 的关联边在 Cj上两两配对，4种关系示意如下： ak