《课堂新坐标》2021高考数学(文)一轮总复习课件：第二章第六节对数与对数函数
2021高考数学课标版理数一轮复习讲义 ：第六节 对数与对数函数
第六节对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(3)了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N,其中③a叫做对数的底数,④N叫做真数.(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)⑤log a N常用对数底数为10⑥lg N自然对数底数为e⑦ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N=⑧N;log a a N=⑨N.(a>0且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩ log b N =log a Nlog ab (a,b 均大于0且不等于1);相关结论:log a b=1log ba ,log ab ·logb c ·log c d= log a d (a,b,c 均大于0且不等于1,d 大于0).(3)对数的运算法则:如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 log a (MN)= log a M+log a N ; log a MN = log a M-log a N ; log a M n = nlog a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M(m,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质 定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数▶提醒 当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行 讨论.4.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)log a x·log a y=log a(x+y).()(3)log2x2=2log2x.()(4)若log a m<log a n,则m<n.()与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()(5)函数y=ln1+x1-x,-1),函数图象经过第一、(6)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a四象限.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)✕(5)√(6)√π,c=π-2,则a,b,c的大小关系是()2.设a=log2π,b=lo g12A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C3.计算:log23·log34+(√3)log34=.答案44.函数f(x)=log 2x,x ≥4的值域为 . 答案 [2,+∞)5.函数y=√log 0.5(4x -3)的定义域为 . 答案 (34,1]6.(教材习题改编)函数y=log a (4-x)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过点 . 答案 (3,1)对数的概念、性质与运算命题方向一 对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m,log a 5=n,则a 3m+n ( ) A.11B.13C.30D.40(2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x= . 答案 (1)D (2)1 (3)2命题方向二 对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2 =12+13+14+16=1512=54. 规律方法对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.1-1 (1)(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= .(2)如果45x =3,45y =5,那么2x+y= . 答案 (1)9 (2)1解析 (1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.(2)∵45x =3,45y =5,∴x=log 453,y=log 455,∴2x+y=2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x(a>0且a ≠1),则a 的取值范围是( )A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2)D.(√2,2)(3)已知函数f(x)=4+log a (x-1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标是 . 答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x>1时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,故选B.(2)易知0<a<1,函数y=4x与y=log a x 的大致图象如图,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a>√22,∴√22<a<1,故选B.方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数的图象问题,利用数形结合法求解. 2-1 函数y=log a x 与y=-x+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )答案 A对数函数的性质及应用命题方向一 比较对数值的大小典例4 (1)(2018天津,5,5分)已知a=log 2e,b=ln 2,c=lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b(2)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案 (1)D (2)A解析 (1)由已知得c=log 23,∵log 23>log 2e>1,b=ln 2<1,∴c>a>b,故选D. (2)a=log 52<log 5√5<12,b=log 0.50.2>log 0.50.25=2,0.51<0.50.2<0.50,故12<c<1, 所以a<c<b,故选A.命题方向二 解简单对数不等式典例5 (1)函数f(x)=22的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)(2)函数y=√log 3(2x -1)+1的定义域是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C命题方向三 对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f(x)=log a (ax 2-x+1)(a>0,且a ≠1). (1)若a=12,求函数f(x)的值域;(2)当f(x)在区间[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=12时,ax 2-x+1=12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]>0恒成立, 故函数f(x)的定义域为R,∵12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]≥12,且函数y=lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f(x)的值域为(-∞,1].(2)依题意可知,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax 2-x+1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,32]恒成立.故有{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2;②当0<a<1时,同理必有y=ax 2-x+1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,32]恒成立,故有{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13.综上,实数a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞). 规律方法1.比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x>log a b(a>0且a ≠1)的不等式,需借助y=log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解. 3-1 设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案 D ∵a=log 36=1+log 32=1+1log 23,b=log 510=1+log 52=1+1log 25,c=log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0,∴a>b>c.3-2 已知函数f(x)=ln(√1+9x 2-3x)+1,求f(lg 2)+f (lg 12)的值. 解析 由√1+9x 2-3x>0恒成立知,函数f(x)的定义域为R, 又f(-x)+f(x)=[ln(22-3x)+1] =ln[(√1+9x 2+3x)(√1+9x 2-3x)]+2=ln 1+2=2, 所以f(lg 2)+f (lg 12)=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A 组 基础题组1.函数y=√log 23(2x -1)的定义域是( )A.[1,2]B.[1,2)C.[12,1] D.(12,1] 答案 D2.log 6[log 4(log 381)]的值为( ) A.-1B.1C.0D.2答案 C3.已知函数y=log a (x+c)(a,c 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1 答案 D4.(2019河南郑州模拟)设a=log 50.5,b=log 20.3,c=log 0.32,则 ( ) A.b<a<c B .b<c<a C.c<b<a D .a<b<c答案 B a=log 50.5>log 50.2=-1,b=log 20.3<log 20.5=-1,c=log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3, log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg2lg0.3<lg2lg0.2, 即c<a,故b<c<a.故选B.5.若lg 2=a,lg 3=b,则log 418=( )A.a+3b a 2B.a+3b 2aC.a+2b a 2D.a+2b 2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a,lg 3=b,所以log 418=a+2b 2a.故选D.6.已知函数f(x)=log 2(x 2-2x+a)的最小值为2,则a=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B7.已知函数f(x)=lg 1-x1+x ,若f(a)=12,则f(-a)=( ) A.2 B.-2C.12 D.-12答案 D ∵f(x)=lg 1-x1+x 的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=lg 1+x1-x =-lg 1-x1+x =-f(x), ∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-12.8.若y=log 13(3x 2-ax+5)在[-1,+∞)上单调递减,则a 的取值范围是( )A.(-∞,-6)B.(-6,0)C.(-8,-6]D.[-8,-6]答案 C 由题意得a6≤-1,且3x 2-ax+5>0 在[-1,+∞)上恒成立,所以3+a+5>0⇒a>-8, 即-8<a ≤-6,选C.9.设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数,那么a 的值为( ) A.1 B.-1C.12 D.-12答案 D 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 的定义域为R,因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即lg(10x +1)+ax-[lg(10-x +1)+a(-x)]=(2a+1)x=0.从而2a+1=0,a=-12.10.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为 . 答案√2411.若log a (a 2+1)<log a (2a)<0,则a 的取值范围是 . 答案 (12,1)解析 由题意得a>0且a ≠1,故必有a 2+1>2a, 又log a (a 2+1)<log a (2a)<0,所以0<a<1, 同时2a>1,所以a>12.综上,a ∈(12,1).12.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f(x)=log 2x 2·lo g √2√x 2的值域. 解析 由2x ≤16,解得x ≤4,∴log 2x ≤2,又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f(x)=log 2x 2·lo g √2√x 2 =(log 2x-1)(log 2x-2)=(log 2x)2-3log 2x+2=(log 2x -32)2-14, ∴当log 2x=32时, f(x)min =-14. 又当log 2x=12时, f(x)=34; 当log 2x=2时, f(x)=0,∴当log 2x=12时, f(x)max =34.故f(x)的取值范围是[-14,34].B 组 提升题组1.已知f(x)=lo g 12x,则不等式(f(x))2>f(x 2)的解集为( ) A.(0,14) B.(1,+∞)C.(14,1)D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f(x))2>f(x 2)得,(lo g 12x)2>lo g 12x 2⇒lo g 12x(lo g 12x-2)>0,即lo g 12x>2或lo g 12x<0,解得x ∈(0,14)∪(1,+∞).2.设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( )A.x 1x 2<0B.x 1x 2=0C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1 答案 D 作出y=10x 与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨令x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),此时10x1<10x2,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.3.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log 2k,y=log3k,z=log5k,∴2x3y =2lgklg2·lg33lgk=lg9lg8>1,则2x>3y,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk=lg25lg32<1,则2x<5z,故选D.4.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则nm=.答案9解析∵f(x)=|log 3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),∴m<1<n,-log3m=log3n,∴mn=1.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,函数f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数,∴-log3m2=2或log3n=2.若-log3m2=2,则m=13,从而n=3,此时log3n=1=-log3m,符合题意,则nm =3÷13=9;若log 3n=2,则n=9,从而m=19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故n m =9.5.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)得(3-4log 2x)(3-log 2x)>k ·log 2x.令t=log 2x,因为x ∈[1,4],所以t=log 2x ∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立. 当t=0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k<(3-4t)(3-t)t 恒成立, 即k<4t+9t -15恒成立.因为4t+9t ≥12,当且仅当4t=9t ,即t=32时取等号, 所以(4t +9t -15)min =-3,则k<-3.综上,k ∈(-∞,-3).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021高考浙江版数学一轮复习讲义： 第2章 第6节 对数函数
第六节对数函数1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N，③log a Mn＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1定义域：(0，＋∞)性质值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg [(x ＋3)(x －3)]的定义域一样．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．a ＝2，b ＝log 213，c ＝，那么( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝＝1，∴c ＞a ＞b .]3．函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图2-6-1，那么以下结论成立的是( )图2-6-1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)假设log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，那么实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2021·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.2 3 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.]对数的运算(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，那么m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. 【导学号：51062043】 (1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进展变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法那么化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法那么，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b ＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2021·嘉兴市高三教学测试)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，那么f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8 (2)(2021 ·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 33 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，应选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.]对数函数的图象及应用(1)(2021·绍兴一模)假设函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，那么函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D(2)(2021·湖州调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，那么实数a 的取值范围是________.【导学号：51062044】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)假设函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，那么a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如下图．应选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[变式训练2] 如图2-6-2，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，假设△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，那么m ＝( )图2-6-2A ．2B ．3 C. 2 D. 3D [由题意知等边△ABC 的边长为2，那么由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2(m ＋3)＋2＝n ＋1，解得m ＝3，应选D.] 对数函数的性质及应用☞角度1比拟对数值的大小假设a＞b＞0,0＜c＜1，那么() A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c bB[对于选项A：log a c＝lg clg a，log b c＝lg clg b，∵0＜c＜1，∴lg ca＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴log a c与log b c的大小不能确定．对于选项B：log c a＝lg alg c，log c b＝lg blg c，而lg a＞lg b，两边同乘一个负数1lg c不等号方向改变，∴log c a＜log c b，∴选项B正确．对于选项C：利用y＝x c(0＜c＜1)在第一象限内是增函数，可得a c＞b c，∴选项C错误．对于选项D：利用y＝c x(0＜c＜1)在R上为减函数，可得c a＜c b，∴选项D错误，应选B.] ☞角度2解简单的对数不等式(2021·浙江高考)a，b>0且a≠1，b≠1，假设log a b>1，那么() A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0D[法一：log a b＞1＝log a a，当a＞1时，b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，应选D.]☞角度3探究对数型函数的性质函数f(x)＝log a(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]假设存在满足条件的实数a.∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x又f(x)＝log a(3－ax)在[1,2]上是关于x的减函数，∴函数y＝log a u是关于u的增函数，∴a＞1，x∈[1,2]时，u最小值为3－2a，8分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧ 3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜32，a ＝32，12分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2][规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些根本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a ＞1且b ＞1或0＜a ＜1且0＜b ＜1时，log a b ＞0；当a ＞1且0＜b ＜1或0＜a ＜1且b ＞1时，log a b ＜0.2．利用单调性可解决比拟大小、解不等式、求最值等问题，其根本方法是“同底法〞，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比拟幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比拟底数大小的问题，可通过比拟图象与直线y ＝1交点的横坐标进展判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(八) 对数函数A 组 根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝的定义域是( ) A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由 (2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2021·石家庄模拟)a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．假设函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图2-6-3所示，那么以下函数图象正确的选项是( )图2-6-3A B C DB [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)，∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误； B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，那么f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( ) A ．5B ．3C ．－1D.72 A [由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.] 5．y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )【导学号：51062045】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【导学号：51062046】 －1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．(2021·“江南十校〞信息优化卷)设函数f (x )＝lg(x 2－4)，那么f (x )的定义域为________，单调递增区间为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2，＋∞) [由x 2－4>0，得f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．其单调递增区间为(2，＋∞)．]8．(2021·浙江高考)a >b >1，假设log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，那么a ＝________，b ＝________.4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.]三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 【导学号：51062047】 [解] (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a由⎩⎨⎧ 1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3).8分(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，12分∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 2 10．函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，那么t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.5分又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.7分 (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数，8分∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，10分∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧ 3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <32，a ＝32，13分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2021·浙江名校(河桥中学)交流卷三)函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，假设f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，那么m ＋n ＝( )A.12B.32 C ．2 D.52D [∵f (x )＝|log 2x |，且f (m )＝f (n )，∴mn ＝1.又0<m <n ，那么有0<m <1<n ，从而有0<m 2<m <1<n ，那么|log 2m 2|＝2|log 2m |＝2|log 2n |>|log 2n |.∵f (x )＝|log 2x |在区间[m 2，n ]上的最大值为2，∴|log 2m 2|＝2，即|log 2m |＝1，∴m ＝12(m ＝2舍去)，∴n ＝2.∴m ＋n ＝52.]2．假设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，那么实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062048】(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．]3．函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．[解] (1)要使函数f (x )有意义，那么⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).6分(2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝log a(－x＋1)－log a(1＋x)＝－[log a(x＋1)－log a(1－x)]＝－f(x)，故f(x(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，所以f(x)＞0⇔x＋11－x＞1，解得0＜x＜1，所以使f(x)＞0的x的解集是(0,1).15分。
2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数【课件】
4．计算：log29×log34＋2log510＋log50.25＝____6____.
【解析】 log29×log34＋2log510＋log50.25 ＝2log23×lloogg2243＋log5(100×0.25)＝4＋2＝6.
1
2
5．计算：log5[42log210 －(3 3) 3 －7log72 ]＝___1___.
教材改编 2．函数 f (x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且 a≠1)的图象必过定点__(_－__1_，__－__2_) _．
【解析】 令 x＋2＝1，得 x＝－1.此时 f (－1)＝－2，∴f (x)的图象必过点(－1，－2)．
3．计算：lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝____2____.
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为
的图象关于直线
y＝x 对称．
反函数 ，它们
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.( × ) (2)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数．( × ) (3)函数 y＝ln11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ ) (4)当 x>1 时，若 logax>logbx，则 a<b.( × )
第二章 函数
第六节 对数与对数函数
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．对数的概念、性质及运算
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记 概念 作 x＝logaN ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN
2021版新高考数学一轮复习第二章2.5对数与对数函数课件新人教B版
第五节ꢀ对数与对数函数内容索引【教材·知识梳理】1.对数的概念x=log N 如果a x =N(a>0且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作______a _.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么log M+log N ①log (MN)=___________；aa a log M-log N ②log =___________；a a a nlog M ③log M n =______ (n∈R)；④=log a M.a a(2)对数的性质N N①=__；②log a N=__(a>0且a≠1).a(3)换底公式：logN=(a，b均大于零且不等于1).b3.对数函数的定义、图象与性质【常用结论】1.换底公式的两个重要结论(1)log b=；(2)log m b n=log b.a a a其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若MN>0,则log(MN)=logM+logN.(ꢀꢀ)a a a(2)对数函数y=logx(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(ꢀꢀ)a(3)函数y=logx2与函数y=2logx是相等函数.(ꢀꢀ)a a(4)若M>N>0,则logM>logN.(ꢀꢀ)a ax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(5)对数函数y=loga(ꢀꢀ)提示:(1)×.只有M>0,N>0时,log M与log N才有意义.a ax在(0,+∞)上是增函数.(2)×.当a>1时,y=loga(3)×.y=log x2的定义域为{x|x≠0},y=2log x的定义域为{x|x>0},定义域不同,a a故不是相等函数.(4)×.只有当a>1时,M>N>0,则log M>log N才成立.a a(5)√.由对数函数的图象和性质知正确.【易错点索引】序号易错警示典题索引1对数式整理变形出错2数形结合不熟练考点一、T2,3考点二、T33多种函数联合交汇考点三、角度1考点三、角度2 4对数函数的底数取值范围的讨论【教材·基础自测】c=则(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀ1.(必修1P104 练习A T3改编)已知a=b=log2A.a>b>cB.a>c>bꢀC.c>b>aꢀD.c>a>b【解析】选D.因为0<a<1,b<0,c==log3>1.所以c>a>b.22.(必修1P99 例5改编)计算:=______.ꢀ【解析】原式=答案:的定义域为________.ꢀ3.(必修1P104 练习AT2改编)函数y=【解析】要使函数有意义,则需满足解得<x≤1.答案:考点一ꢀ对数式的化简与求值【题组练透】1.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m-m=,其中星等为m的星的亮度为E(k=1,2).21k k已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.12.(2020·深圳模拟)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=(ꢀꢀ)A.-1B.1C.2D.43.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(ꢀꢀ)世纪金榜导学号A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z4.计算log3·log8+=________.ꢀ23【解析】1.选A.令m=-26.7,m=-1.45,12则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg=10.1,=1010.1.2.选C.设(x,y)是函数y=f(x)的图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由已知知(-y,-x)在函数y=2x+a的图象上,(-x)+a,所以-x=2-y+a,解得y=-log2即f(x)=-log(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log2+a-log4+a=1,解得a=2,故选C.2223.选D.令2x=3y=5z=m,分别可求得2x=分别对分母乘以30可得,故而可得4.原式=答案:5⇒log310>log215>log56⇒3y<2x<5z.m m m【规律方法】对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算(3)a b=N⇔b=loga中应注意互化.(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.考点二ꢀ对数函数的图象及其应用ꢀ【典例】1.已知函数y=log(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则a下列结论成立的是(ꢀꢀ)A.a>1,c>1ꢀꢀꢀꢀB.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1ꢀꢀꢀꢀD.0<a<1,0<c<12.在同一直角坐标系中,函数y=(a>0,且a≠1)的图象可能是(ꢀꢀ)3.已知函数f(x)=数为________.ꢀg(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图象的交点个【解题导思】【解析】1.选D.由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时c>0,所以0<c<1.,y>0,即loga2.选D.当0<a<1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=loga的图象过定点且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=a x的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga的图象过定点且单调递增,各选项均不符合.3.如图,函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点,且均在函数y=8x-8(x≤1)的图象上.答案:2【规律方法】1.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.2.对数函数图象的规律在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.【变式训练】(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系1.已知函数f(x)=loga是(ꢀꢀ)A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1【解析】选A.由函数图象可知,f(x)在R上单调递增,又y=2x+b-1在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log b),由函数图象可知-1<log b<0,即a alog a-1<log b<log1,所以a-1<b<1.综上有0<a-1<b<1.a a a2.(2020·北京模拟)已知函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=l n(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a的取值范围是(ꢀꢀ)A.(-∞,2) C.(2,e)B.(-∞,e) D.(e,+∞)【解析】选B.在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象,当y=ln x向左平移a(a>0)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数f(x)与g(x)就不存在关于y轴对称的点,所以0<a<e,当y=ln x向右平移|a|(a<0)个单位长度,函数f(x)与g(x)总存在关于y轴对称的点,当a=0时,显然满足题意,综上:a<e.考点三对数函数的性质及其应用考什么:(1)求对数函数的单调性,利用对数函数的单调性比较大小、求命值或解不等式、求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑题推理等核心素养.精怎么考:对数函数奇偶性、单调性,函数的周期性以及对称性等知识单解独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.读新趋势:对数函数的图象与对称性、交点个数、不等式交汇考查.1.比较对数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底对数值,再利用单调性比较大小.学(2)不能化成同底数的,一般引入“1”“0”“-1”等中间量比较大小.霸(3)在研究对数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定好时,要分类讨论.方 2.对数函数单调性的判断法(1)求单调区间必须先求定义域.(2)根据对数的底数a进行判断,0<a<1时为减函数,a>1时为增函数.(3)对数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”进行判断.命题角度1 比较大小问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c C.c<a<bB.a<c<b D.b<c<a【解析】选B.a=log0.2<log1=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,所以22a<c<b.【解后反思】如何比较指数式与对数式的大小?提示:数形结合或找中间量(如1,0,-1等),再结合函数单调性比较大小.命题角度2 与对数函数有关的不等式问题x,则a的取值范围是()【典例】当0<x≤时,4x<loga【解析】选B.由题意知0<a<1,x的大致图象如图,则函数y=4x与y=loga>2,则只需满足loga解得a>,所以<a<1.【解后反思】一边为指数式,另一边为对数的不等式如何求解?提示:将两边分别看成一个函数,画出两个函数的图象,结合图象的交点求解.命题角度3 对数函数性质的综合应用【典例】已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()世纪金榜导学号A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误;又f′(x)=(0<x<2),在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,A,B错误.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选C.由题意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2), f′(x)=由由得0<x<1;得1<x<2,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;所以所以排除D.【解后反思】如何求解对数函数性质的综合问题?提示:认真联想对数函数的各个性质的定义及其作用,在其交汇点处寻找突破口.【题组过关】【变式巩固·练】|x|在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)________f(a+1).(填1.已知函数f(x)=loga“<”“=”或“>”)【解析】因为f(x)=log|x|在(0,+∞)上单调递增,所以a>1,所以a+1>2.因为af(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)<f(a+1).答案:<2.(2019·潍坊模拟)已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则f(a)=______________.【解析】当2-a<2,即a>0时,f(2-a)=-log(1+a)=1.解得a=-,不合题意.2当2-a≥2,即a≤0时,f(2-a)=2-a-1=1,即2-a=2,解得a=-1,所以f(a)=f(-1)=-log4=-2.2答案:-2【综合创新·练】1.(2019·绵阳模拟)若x,y,z∈R+,且3x=4y=12z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设3x=4y=12z=t(t>1),则x=log t,y=log t,z=log t,3412所以=log12+log1234=2+log4+log3.34因为1<log4<2,0<log3<1,34所以1<log4+log3<3;34又log4+log3>34所以4<2+log4+log3<5,34即∈(4,5).所以n=4.。
2021版高考数学一轮讲义：第2章 函数、导数及其应用+2.6 对数与对数函数
2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．特别提示：底数a对函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测]1．概念思辨(1)若log a M2＝log a N2，则M＝N；若M＝N，则log a M2＝log a N2.()(2)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b.()(3)函数f (x )＝lg x －2x ＋2与g (x )＝lg (x －2)－lg (x ＋2)是同一个函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( )。
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-6-第6讲-对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0[底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a…(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：log am b n＝nm log a b；log a b＝1log b aa>10<a<1图象@性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数[3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]）判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 错误!3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√~[教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x 的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1. 答案：1\3．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 错误!错误!，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 错误!错误!＝log 23>1.所以c >a >b . 答案：c >a >b [易错纠偏],(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．】解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝错误!的定义域是________． 解析：由log 错误!(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1. 所以12<x ≤1.所以函数y ＝错误!的定义域是错误!. 答案：⎝⎛⎦⎤12，1~对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______，2log 23＋log 43＝________． (2)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·3错误!)＝3错误!. (2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23， 所以2a ＋2－a ＝2log 23＋2－log 23:＝3＋2log 233 ＝3＋33 ＝433.【答案】 (1)－12 33 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． }1．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝⎛⎭⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________．解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg5＋1－lg2＝2lg2(lg2＋lg 5)＋1－lg2￥＝lg2＋1－lg2＝1.答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16 ）C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)， 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得，－3m ＋－1n ＝－1，即3m ＋1n ＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )×⎝⎛⎭⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ， 因为m >0，n >0，所以n m ＋mn ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n 时取等号)，故3m ＋n ＝10＋3⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】 (1)C (2)B/利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1"C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1. 答案：1<对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域·函数f (x )＝错误!的定义域为( )【解析】 要使函数有意义，应满足错误! 所以0<4x －5≤1，54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤54，32. 【答案】 C角度二 比较对数值的大小~(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f ，c ＝f ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>>log 24＝2>，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c . ；【答案】 (1)C (2)A角度三 解对数不等式设函数f (x )＝错误!若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或错误!解得a >1或－1<a <0.故选C.】【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．—【解析】 (1)因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)B (2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．~(2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是( )≤a <14或a >1>B ．a >1 ≤a <14 ≤a ≤14或a >1解析：选A.令t ＝|ax 2－x |，y ＝log a t ，当a >1时，外函数为递增函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递增函数，所以1a <3或4≤12a ，解得a >13或a ≤18，所以a >1，当0<a <1时，外函数为递减函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递减函数，12a ≤3<4<1a ，解得16≤a <14，综上所述，16≤a <14或a >1，故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )＝lg(2x －4)，则方程f (x )＝1的解是________，不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为f (x )＝1，所以lg(2x －4)＝1，所以2x －4＝10，所以x ＝7；因为f (x )<0，所以0<2x －4<1，所以2<x <，所以不等式f (x )<0的解集是(2，．答案：7 (2，|思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1) B ．[13，1) C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． "已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 因为x ∈[－32，0]，所以t ∈[－1，0]．(1)若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，所以a t ∈[1a ，1]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1a ，b ＋1]， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，】所以a t ∈[1，1a ]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎨⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2B ．5 #C ．10D ．20解析：选 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x 的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x ，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )、D ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a 1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 错误!|x －1|，则下列结论正确的是( )、A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选＝log 错误!错误!，因为－1＝log 错误!2<log 错误!错误!<log 错误!1＝0，所以－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0；f (0)＝log 错误!1＝0；f (3)＝log 错误!2＝－1，所以C 正确． 6．设函数f (x )＝log 错误!(x 2＋1)＋错误!，则不等式f (log 2x )＋f (log 错误!x )≥2的解集为( )A ．(0，2]C ．[2，＋∞)∪[2，＋∞)《解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 错误!(x 2＋1)＋错误!＝f (x )，所以f (x )为R上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 错误!x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 错误!x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2， 即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 错误!2＋错误!＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，￥所以a ＝2k ，b ＝5k ，a ＋b ＝10k ，所以ab ＝10k ， 所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b ＝1. 答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0， 故1－a ＜1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.《答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．。
高考数学一轮复习规划2.5对数与对数函数课件
第二章 函数
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
(2021
全国新高考Ⅱ卷)已知
a
＝
log52
，
b
＝
log83
，
c
＝
1 2
，
则
下
列
判
断
正
确
的
是
()
A. c<b<a
B. b<a<c
C. a<c<b
D. a<b<c
解：因为 a＝log52<log5 5＝12＝log82 2＜log83＝b，即 a＜c＜b. 故选 C.
解：(1)×； (2)×； (3)×； (4)√； (5)√.
()
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
(2020 全国Ⅰ卷)设 alog34＝2，则 4－a＝
1
1
1
A. 16
B. 9
C. 8
() 1
D. 6
解：由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19. 故选 B.
第二章 函数
4. 对数相关结论 (1)对数恒等式：alogaN＝N； (2)换底公式推论：logab·logbc·logcd＝logad. 5. 对数函数相关结论 (1)对数函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)以 y 轴为渐近线；g(x)＝logax＋b 恒过定点(1，b)，仍以 y 轴为 渐近线.
()
A. 106 倍
B. 108 倍
C. 1010 倍
D. 1012 倍
解：设“胖五”发射时的声强和平时常人交谈时的声强分别为 x1，x2，由题意可得 f(x1)＝ 10lg10x－112＝140，解得 x1＝102，f(x2)＝10lg10x－212＝60，解得 x2＝10－6，所以xx12＝108，因 此，“胖五”发射时的声强约为平时常人交谈时声强的 108 倍. 故选 B.
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-6-第6讲-对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N?log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b aa>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13，b＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______，2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 23 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________．解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得，－3m＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ，因为m >0，n >0，所以n m ＋m n≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)， 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )【解析】 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1，54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f ，c ＝f ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>>log 24＝2>，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)B (2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是( )≤a <14或a >1B ．a >1 ≤a <14≤a ≤14或a >1解析：选A.令t ＝|ax 2－x |，y ＝log a t ，当a >1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递增函数，所以1a <3或4≤12a ，解得a >13或a ≤18，所以a >1，当0<a <1时，外函数为递减函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递减函数，12a ≤3<4<1a ，解得16≤a <14，综上所述，16≤a <14或a >1，故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )＝lg(2x －4)，则方程f (x )＝1的解是________，不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为f (x )＝1，所以lg(2x －4)＝1，所以2x －4＝10，所以x ＝7；因为f (x )<0，所以0<2x －4<1，所以2<x <，所以不等式f (x )<0的解集是(2，．答案：7 (2，思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 因为x ∈[－32，0]，所以t ∈[－1，0]．(1)若a >1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为增函数， 所以a t∈[1a，1]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为减函数， 所以a t∈[1，1a]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )D ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2]C ．[2，＋∞)∪[2，＋∞)解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B.7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ， 所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k， 所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f (x )＝log 12(a x－3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1， 由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33. [综合题组练]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z＝k >1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15 4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。
【课堂新坐标】高考数学一轮复习 第二章第六节 对数与对数函数课件 理 (广东专用)
1．(1)要充分利用对数函数的性质，实施等价转化．在求 解中易忽略真数大于0，如第(2)问中，8－2a＞0等，导致解答 不完整．(2)参数a影响函数的单调性，要注意分类讨论．
2．指数函数、对数函数中绝大部分问题是指数函数、对 数函数与其他函数的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是 解决这类问题的重要途径．
2．研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数 的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图 象．要注意底数a＞1与0＜a＜1的两种不同情况．
(1)设 a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
(2)(2012·江门质检)函数 y＝ax2＋bx 与 y＝log|ba|x(ab≠0，
第六节 对数与对数函数
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 __x_＝__l_o_g_a_N___.
2．对数的性质、换底公式与运算法则
性质
换底 公式
①loga1＝_0__，②logaa＝_1__，③alogaN＝ __N___ (a＞0 且 a≠1)
____lo_g_ab_＝_ll_oo_ggcc_ba_(a_，__c _均_大__于__0_且_不__等__于__1，__b_＞_0_)_
(2)由函数f(x)的性质，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的图象(如图)．
由于lg 10＝1，当x＞10时，y＝|lg x|＞1， 又f(x)的值域为[0,1]， 结合函数的图象知，两函数图象有10个交点． 【答案】 (1)C (2)A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12.
∵|lg a|＝|lg b|，且a≠b， 所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)． 【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直 线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2.
(2)作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数 y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函 数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．
由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)， 递增区间为(－1，＋∞)．
【答案】 (1)A (2)(－∞，－1) (－1，＋∞)
【思路点拨】 (1)利用真数大于0构建不等式，但要注 意分类讨论．
(2)先条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性．
1．利用对数函数的性质比较对数值大小： (1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理； (2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数 图象或比较其倒数大小来进行． (3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入 中间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较． 2．利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三 点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数 的构成．
(2013·中山模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1) ，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】 B
【答案】 C
1．如何确定图2－6－1中各函数的底数a，b，c，d与1 的大小关系？你能得到什么规律？
图2－6－1 【提示】 作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点 的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.在第一象限内 从左到右底数逐渐增大．
2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条 件？
(1)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y ＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3， 则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2＜x3＜x1
B．x1＜x3＜x2
C．x1＜x2＜x3
D．x3＜x2＜x1
(2)函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调 递增区间为________．
1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另 一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lg a|＝|lg b|得到 ab＝1是解题的关键．
2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数 型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时 ，常利用数形结合求解．
3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相 应函数图象问题，利用数形结合法求解．
__________．
在(0，＋∞)上为 __❖_增__函__数____
在(0，＋∞)上为 __❖_减__函__数____
4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数 _❖__y_＝__lo_g_a_x___(a ＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_____❖__y对＝称x ．
《课堂新坐标》2021高 考数学（文）一轮总复 习课件：第二章第六节
对数与对数函数
2020/9/7
1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数， 记作_❖__x_＝__l_o_g_aN___． 2．对数的性质、换底公式与运算性质
定 3.对函数函__数__的_定__义__、__图__象_与__性(a质＞0且
【提示】 若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0 ，1)．
若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且 b∈(1，＋∞)．
1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1
C．2
D．4
【解析】 2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝2. 【答案】 C
【解析】 由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1， ∴loga2＝1，a＝2. ∴f(x)＝log2x. 【答案】 D
【答案】 D
4．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则 f(a2)＋f(b2)＝________．
【解析】 ∵f(x)＝lg x， ∴f(a2)＋f(b2)＝2lg a＋2lg b＝2lg ab. 又f(ab)＝1，∴lg ab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2. 【答案】 2
义
a≠1)叫做对数函数
a＞1
❖y＝0lo＜gaax＜1
图 象
定义域：___(_0_，__＋_∞__)___
值域：___(－__∞__，__＋__∞_)___
当x＝1时，y＝0，即过定点_❖__(_1，__0_)__
性 质
当0＜x＜1时，y＜0; 当x＞1时❖，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，❖y＜0 ________．
【思路点拨】 (1)根据乘法公式和对数运算性质进行计 算；
(2)利用换底公式化为同底的对数，再进行计算．
1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因 此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化 简时必须保证恒等变形．
2．ab＝N b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、 对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．