【精品课件】高中数学必修五 第三章不等式课件
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人教A版高中数学必修5 第三章 不等式 精品课件课件
又 m2＋mn＋n2＝m＋n22＋34n2＞0， ∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)＞0. ∴x－y＞0，∴x＞y.
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋ ＋11. 当 a＞1 时，a3＋1＞a2＋1， ∴aa32＋ ＋11＞1，∴logaaa32＋＋11＞0； 当 0＜a＜1 时，a3＋1＜a2＋1， ∴aa32＋ ＋11＜1，∴logaaa32＋＋11＞0. 综上，p－q＞0，∴p＞q.
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C 【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏
依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
目标定位
重点难点
1.理解一元二次方程、一元二
次不等式与二次函数的关系． 重法解一元二次不 次不等式与二次函数的关系．
等式的方法．
难点：一元二次不等式的解法
3．培养数形结合、分类讨论 及应用.
的思想方法.
重点难点
重点：比较两个 数大小的方法． 难点：掌握不等 式的性质及其应 用.
1．不等式中常用的不等符号有_＞__，__＜__，__≤__，__≥_，__≠_____． 2．(1)a－b＞0⇔__a_＞__b___； (2)a－b＝0⇔__a_＝__b___； (3)a－b＜0⇔__a_＜__b___.
【 方 法 规 律 】1. 作 差 法 比 较 两 个 实 数 ( 代 数 式 ) 大 小 的 步 骤：
人教版高中数学必修五第三章3.4基本不等式第一课时教学课件共14张PPT含视频 (2份)
温馨提示
准备好你的导学案，练习本， 笔记本，课本，双色笔，最重 要的是你的激情！
基本不等式
ab a b 2
学习目标
1、熟记重要不等式、基本不等式及使用条 件，并会推导基本不等式。 2 、会写出基本不等式的变形，并会利用 基本不等式求最值。 3、掌握基本不等式的综合应用．
3班导学案反馈
小组 一组
(3)“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后 能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变 形.
1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (当a>且0,仅b>当0a)=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
得A率
二组
三组
四组
五组
六组
七组
八组
九组
十组
☺优秀：4组、5组、6组
张甲彬、陈莹、周俊伟、张德旺、张广辉、 陈志伟、孟阳、贾文昊、杨艺
加油：邢飞、兰京瑶、倪晓健
问题反馈： 1、书写潦草、答题不规范、步骤不完整 2、个别问题没完成
探究二：基本不等式的变形及应用
ab a b（a 0,b 0） 2
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
（2 a
0,
b
0）
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
ab有最__大__值__14__s__2(当且仅当a____b__时取“=”）.
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
准备好你的导学案，练习本， 笔记本，课本，双色笔，最重 要的是你的激情！
基本不等式
ab a b 2
学习目标
1、熟记重要不等式、基本不等式及使用条 件，并会推导基本不等式。 2 、会写出基本不等式的变形，并会利用 基本不等式求最值。 3、掌握基本不等式的综合应用．
3班导学案反馈
小组 一组
(3)“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后 能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变 形.
1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (当a>且0,仅b>当0a)=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
得A率
二组
三组
四组
五组
六组
七组
八组
九组
十组
☺优秀：4组、5组、6组
张甲彬、陈莹、周俊伟、张德旺、张广辉、 陈志伟、孟阳、贾文昊、杨艺
加油：邢飞、兰京瑶、倪晓健
问题反馈： 1、书写潦草、答题不规范、步骤不完整 2、个别问题没完成
探究二：基本不等式的变形及应用
ab a b（a 0,b 0） 2
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
（2 a
0,
b
0）
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
ab有最__大__值__14__s__2(当且仅当a____b__时取“=”）.
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
高中数学第三章不等式本章知识体系课件必修5高一必修5数学课件
第二十八页，共三十九页。
a≤3， a≤178， a≤－1或a≥2， 1≤a≤4，
⇒2≤a≤178.综上可知－1<a≤178.
12/9/2021
第二十九页，共三十九页。
规律方法 一元二次不等式与一元二次方程以及二次函数图 像三者之间有密切的联系，解题时要注意合理转化．
2．数形结合思想 数形结合思想是根据数量与图形之间的对应关系，通过数 与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结 合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽 象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两个方面考虑问题， 拓展了解题思路，它是数学的规律性与灵活性的有机结合，在 线性规划问题中有着广泛的应用．
题以及移动直线的方向与所求线性目标函数的最值之间的关
系，本题中y前面的系数是2>0，因此，当直线向上平行移动
时，z的值增大，当直线向下平行移动时，z的值减小．作出可行
域如图所示．由于直线2x＋y＝40和x＋2y＝50的斜率分别为－
2，－
1 2
，而3x＋2y＝0的斜率为－
3 2
，故线性目标函数的倾斜角
故所求k的取值范围是－3≤k<2.
12/9/2021
第十八页，共三十九页。
规律方法 解含有参数的一元二次不等式时，要注意分类讨 论．
3．由平面区域确定不等式组 【例5】 用不等式组表示以(1,2)，(4,3)和(3,5)为顶点的三 角形区域． 【思路探究】 首先确定出三角形的三条边所在的直线方 程，再根据区域在直线的哪一侧确定出不等式．
为∅.
当－52<－k，即k<52时，
12/9/2021
第十六页，共三十九页。
不等式的解集为x－52
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件
学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
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探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
精品PPT
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
(人教版)高中数学必修5课件：第3章 不等式3.3.1
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合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 ． 不 在 不 等 式 3x ＋ 2y<6 表 示 的 平 面 区 域 内 的 一 个 点 是
()
A．(0,0)
B．(1,1)
C．(0,2)
D．(2,0)
解析： 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)
代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面
数学 必修5
第三章 不等式
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解析： 设生产甲、乙两种产品分别为 x 件和 y 件，根据
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， 题意需满足以下条件：x≥0， y≥0， x，y∈N*.
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第三章 不等式
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表示的平面区域的面
积．
[思路点拨] 画出平面区域 → 观察形状，选择面积公式
→ 求所需的量 → 求出其面积
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第三章 不等式
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解析： 不等式x－y＋6≥0表 示直线x－y＋6＝0上及右下方的 点的集合；x＋y≥0表示直线x＋y ＝0上及右上方的点的集合；x≤3 表示直线x＝3上及左方的点的集 合．作出原不等式组表示的平面 区域如图所示．该平面区域的面 积也就是△ABC的面积．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画 成____实_．线
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第三章 不等式
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二元一次不等式表示平面区域的确定
人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)
如图，这是在北京 召开的第24届国际数学 大会的会标，会标根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情 好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
【精品】人教版高中数学必修5课件：《第3章不等式3.4》课件ppt
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
[规范解答] 证明：∵a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0，
∴ab2＋b≥2 ab2·b＝2a.
当且仅当ab2＝b 时等号成立.
3分
bc2＋c≥2 bc2·c＝2b.
当且仅当bc2＝c 时等号成立.
6分
数学 必修5
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第三章 不等式
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3．4 基本不等式 ab≤a＋2 b
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第三章 不等式
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合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
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第三章 不等式
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高效测评 知能提升
1．了解基本不等式的代数和几何背景． 2．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等 式． 3．理解并掌握基本不等式及其变形． 4．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D．ba＋ab≥2Fra bibliotek解析： ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误． 对于 B，C，当 a<0，b<0 时，明显错误．
数学 必修5
第三章 不等式
自主学习 新知突破
人教B版高中数学必修五第3章32均值不等式课件共15张
b? a ? 2
ba ?
?
2
ab
ab
当且仅当 b ? a ,即a 2 =b2时等号成立 ab
因为ab ? 0,所以式中等号成立的条件是a ? b
练习2、已知 a,b ?
R? ，求证 (a ?
1 )(b ? a
1) ? b
4
例3、已知 x ? 0 ，求函数 f ( x) ? x ? 1
x
的最小值. 2
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
a?b
当a≠bO时C ，? O2C>CD，即
aC?Db ??
2
ab
当a=b时，OC=CD，即
C
a ? b ? ab 2
x? 2
x? 2
x? 2
?2 ? 2 3? 2
当且仅当x ? 2 ? 3 时，取得最小值2 3+2 x? 2
因为x ? 2,所以x ? 2 ? 3
课后延伸：
已知x>0,y>0,且x+y=1,求 u ? 1 ? 1
的最小值．
xy
提示：“1”的妙用
练习：已知x,y为正数,且2x+y=2求 最小值
2 x
3
求函数y ?
sin?
?
4
sin ?
其运式中求用?最均?（值值0的不，?2条等]
的最小值。
件:一正二定三
相等
解：y ? sin ? ? 4 ? 2 sin ? ? 4
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(共16张PPT)
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
代数方法：
证明:当
a0,b0时,
a
b 2
ab .
证明:要证 ab ab ① 分析法
2
只要证 ab ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 ab(2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b ) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
相等”
三、应用 当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若
x0求
y 3x12的最小值.
x
练习2:若
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab0 求
yab ba
的最小值.
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
(1)(a1)(b1)4 ab
何时相等？
A
Ea F cb
a2 b2 B
D
D
a2 b2
b
G
F
a
C
a
A 当且仅当a =b时，等号成立.
E
H （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
A
E(FGH) b
C
则AB=
则正方形的面积为S=
。
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
() 得最小值为（ ）
4 C.
x＞0, 当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
高二数学必修5第三章 不等式3-4课件(共30张PPT)
对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元 ”等．
第二十三页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十四页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十五页，编辑于星期一：一点 十六分。
方法总结: 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑 出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另 外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围 对另一个变量范围给出限制．
ab有最____值是______. 大
积定和最小, 和定积最大。
第十六页，编辑于星期一：一点 十六分。
例3、 求函数
的值域.
分类讨 论
第十七页，编辑于星期一：一点 十六分。
变式2、求下列各题的最值. （1）x>3,求
的最小值；
（2）x>1，求
的最小值；
第十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
凑定值
的最小值是
5.
3.已知t>0, 则
的最小值为
-2 .
第二十七页，编辑于星期一：一点 十六分。
1.基本不等式及其变形。
2.应用基本不等式求最值需要注意的问题。 3.凑定值时常用的变形方法。
第二十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
课后练习 课后习题
第二十九页，编辑于星期一：一点 十六分。
第三十页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二页，编辑于星期一：一点 十六分。
这是2002年在北京召开的第 24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。
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方法总结: 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑 出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另 外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围 对另一个变量范围给出限制．
ab有最____值是______. 大
积定和最小, 和定积最大。
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例3、 求函数
的值域.
分类讨 论
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变式2、求下列各题的最值. （1）x>3,求
的最小值；
（2）x>1，求
的最小值；
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凑定值
的最小值是
5.
3.已知t>0, 则
的最小值为
-2 .
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1.基本不等式及其变形。
2.应用基本不等式求最值需要注意的问题。 3.凑定值时常用的变形方法。
第二十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
课后练习 课后习题
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这是2002年在北京召开的第 24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。
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当a<1时，①即为(x－aa－ －21)(x－2)<0， 而2－aa－ －21＝a－a 1. 若0<a<1，则aa－ －21>2，此时2<x<aa－ －21； 若a＝0，则(x－2)2<0，此时无解； 若a<0，则aa－ －21<2，此时aa－ －21<x<2.
综上所述： 当a>1时，不等式的解集为{x|x<aa－ －21，或x>2}； 当0<a<1时，不等式的解集为{x|2<x<aa－ －21}； 当a＝0时，不等式的解集为∅； 当a<0时，不等式的解集为{x|aa－ －21<x<2}．
6．利用不等式解函数、方程有关问题 利用基本不等式可找到函数的一些极值点，可求出函 数的定义域，值域并能够画出函数的图象．
热点 问 题 剖 析
一、不等式性质的应用 不等式的性质共有8条，在应用不等式性质时要注意每 个性质的使用条件．不要盲目乱用或错用．特别地在应用 乘法性质时，容易漏掉“同正”这一条件，另外在进行不 等式加减运算时，要注意不等式与等式间线性运算的区 别，切勿因直接加减以增大或缩小不等式的范围．
(k为
常数)．如果不搞促销活动，该产品的年销售量只有1万
件．已知2008年，生产该产品的固定投入为8万元，每生产
1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价
格定为“年平均每件产品成本”的1.5倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费m万元 的函数；
4．简单线性规划问题的解法 简单线性规划问题的解法称为图解法，即通过研究一 组平行直线与可行域有交点时，直线在y轴上的截距的最大 (小)值求解．
5．基本不等式最大(小)值的问题 利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正二定 三相等”．为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对 代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值和积为定值 的模型．
x＋y≥35 000， y≥15x， 0≤x≤50 000， y≥0.
目标函数z＝0.28x＋0.9y 如图所示，作出以上不等式组所表示的平＋0.9y＝t，其中经过可行域内的 点且和原点最近的直线，经过直线x＋y＝35 000和直线y＝15 x的交点A(87 3500，17 3500)，
[答案] (3,8)
二、一元二次不等式的解法 解含参数的不等式，由于解答过程中的不确定因素常 需进行分类讨论，如一元二次不等式的二次项系数，含参 数时分系数等于0、不等于0两类；不等式两边同乘以(或除 以)一个数时，要讨论这个数的符号；解一元二次不等式对 应方程根的情况不定或有实根但大小不定时要讨论．
[例1] 已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取 值范围是________．(答案用区间表示)
[解析] 方法一：设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，即 2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y.
所以mm＋－nn＝＝2－，3， 解得mn＝＝52－. 12，
∴2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)，
∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－2<－12(x＋y)<12，5<52(x－y)<125，
由不等式同向可加性，得3<－
1 2
(x＋y)＋
5 2
(x－y)<8，即
3<z<8.
x＋y>－1，
方法二：画出不等式组
x＋y<4， x－y>2，
x－y<3
表示的平面区
域，利用线性规划方法很容易得到答案：3<z<8.
2．一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法是根据相应的一元二次方程的 根与二次函数图象求解，在求解含有参数的一元二次不等 式时，要注意相应方程根的情况的讨论．
3．二元一次不等式的平面区域的判定 在相应直线的一侧任取一个点(x0，y0)，代入Ax＋By＋ C，通过Ax0＋By0＋C的正负，结合原不等号方向判定．
即x＝87 3500，y＝17 3500时，饲料费用最低． 答：谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时 成本最低．
四、不等式的实际应用
[例4] 某厂家在2008年举行“买产品，看北京奥运”
的促销活动中，经调查该产品的年销售量(即该厂的年产
量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足：x＝3－
k m＋1
[例2] 解不等式：axx－－21>1(a≠1)． [分析] 本题考查分式不等式和含参数的不等式的解 法．可先将其转化为整式不等式，再利用解一元二次不等 式的知识解之，注意分类讨论．
[解] 原不等式可化为axx－－21－1>0， 即(a－1)(x－aa－ －21)(x－2)>0.① 当a>1时，①即为(x－aa－ －21)(x－2)>0， 而aa－ －21－2＝－a－1 1－1<0. ∴aa－ －21<2，此时，x>2或x<aa－ －21.
[例3] 某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料
混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg，其中动物饲
料不能少于谷物饲料的
1 5
.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料
每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000
kg，问饲料怎样混合，才使成本最低？
[解] 设每周需用谷物饲料xkg，动物饲料ykg，每周总 的饲料费用为z元，那么
[点评] (1)在将分式不等式化归为整式不等式的过程 中应注意分母的符号，不能冒然将其乘到另一边，正确的 方法是移项、通分．
(2)本题中，化为含参数的一元二次不等式后，先讨论 了二次项系数的符号，再讨论根的大小，解题过程有条不 紊，顺理成章．
三、简单的线性规划问题 由于线性规划的知识在现实中应用较为广泛，因此它 成为高考的必考内容．又由于它的内容较为单一，因此试 题难度不大，多以选择题、填空题的形式出现．
第三章 不等式
本章小结
知识网络建构 热点问题剖析
知识要点归纳 单元综合测试
知识 网 络 建 构
知识 要 点 归 纳
1．不等式的性质 不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性 质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用 或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上 加强训练，提高应用的灵活性．