量子力学导论第12章答案
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第十二章 散射
12－1)对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。 解： ()()()2
2
c o s s i n 121∑∞
=+=
l l l i P e
l k
l
θδθσδ
只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是 ()()()2
11002
cos sin 3cos sin 11
θ
δθδθσδδP e
P e
k
i i +=
()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得
()2
102
cos sin 3sin 11
θ
δδθσδδi i e
e
k
+=
()2
2
12
101002
2cos sin 9cos cos cos sin 6sin
1θ
δθδδδδδ+-+=k
2
2
2102
cos cos 1θ
θA A A k
++=
其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。
12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()⎩⎨
⎧><-=.
,
0;,0a r a r V r V
（b ） ()2
0r
e
V r V α-= （c ） ()r
e
r V αγ
κ-=
（d ） ()().r r V γδ=
解：本题的势场皆为中心势场，故有
()()
⎰
∞
-
=0
'
''
'
2
sin 2dr qr r V r q
u f θ ，2
sin
2θ
k q = （1）
()()
()
2
'
'
'
'
2
4
22sin 4⎰
∞
=
=dr
qr r V r q
u
f θθσ （1）
（a ）()()qa qa qa q
V dr qr V r a
cos sin sin 2
00
'
'
0'
--
=-⎰
()()2
6
4
2
02cos sin 4 qa qa qa q
V u -=
∴ θσ
（b ）()⎰
⎰
∞
--∞
--=
⎪⎭⎫ ⎝⎛0
'
'00
''0'
'
'
2
'2'2sin dr
e
e
e
r i
V dr qr e V r iqr
iqr
r
r αα
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-
=⎰
⎰∞
-
⎪⎭⎫
⎝
⎛+-∞-
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--0
'
42'
0'
42'0
2
2'2
2'2dr e
r dr e r i V q iq r q iq r αααααα ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-
=
⎰
⎰∞
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+-∞⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
--0
'
2'
0'
2'402
'2
'2
2dr e
r dr e r e
i
V iq r iq r q
ααααα
[]21402
2I I e
i
V q
-=
-α
（3）
其中 1I ⎰
∞
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛--=
'
2'
2
'dr
e
r iq r αα()
⎰
⎰∞
⎪
⎭⎫
⎝
⎛--∞
⎪
⎭⎫
⎝
⎛--+
-=
'
20
'
2'
2
'2
'22dr e
iq dr e
iq r
iq r iq r ααααα
α
⎰
⎰
∞
-∞
-+
=
2
2
2ξα
ξξαξ
αξ
d e
iq d e
2
3421α
πα
iq +
=
（4）
类似地可求得 2I ⎰
∞
⎪
⎭⎫
⎝
⎛+-=
'
2'
2
'dr e
r iq r αα2
3421α
πα
iq -
=
（5）
（4）、（5）代入（3），得
α
α
ααπαπ42
3023400
''0'2
2
2'422sin q q r e q V iq e i
V dr qr e V r --∞
--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰
（6）
代入（2），得
()α
α
πθσ23
4
2022
4q
e
V u -=
（7）
（c ）I dr qr e dr qr r e r r r ==⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎰⎰
∞-∞
-0
'
'0
''''
sin sin ''
αακκ⎰
∞
--=0
''
sin r
de
qr αακ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡--=⎰∞
-∞-0
'
'0
'cos sin '
'
dr
qr e
q e
qr r
r
ααακ⎰
∞
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0
''cos 1r
de
qr q ααακ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-=⎰∞
-∞-0
'
'
'2sin cos '
'dr
qr e
q e
qr q r
r
ααακ ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+--
=I q q κακ12 由此解得 =
I 2
20
'
'''
s i n '
q
q dr qr r e r r +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰
∞
-ακκα （8） 代入（2），解得 ()(
)
2
2
2
4
2222
2
2
4
244q
u q
q q u
+=
+=
α
κα
κ
θσ （9）
将()().r r V γδ=代入§12.3.2式（18），