高二上学期数学期末知识点总结

高二数学（上）期末知识点复习
一、解析几何部分
一、直线与圆 1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式
(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1.
2、两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.
(ⅲ)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.
（ⅳ）与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.
(ⅲ)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.（ⅳ）与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．
(2)两条直线的交点
(ⅰ)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． (ⅱ)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.
2．几种距离
(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
.
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2
.
3、圆的方程
（1）圆的定义与方程
4、直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式
Δ＝b 2－4ac
⎩⎪⎨⎪⎧
>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.
2．圆与圆的位置关系
设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).
3、常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；
②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
二、圆锥曲线与方程
1、三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
2、待定系数法求圆锥曲线标准方程
1.椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，
A≠B)，其中当1
A>1
B时，焦点在x轴上，当1
A<1
B时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋
By2＝1(AB<0)，当1
A<0时，焦点在y轴上，当1
B<0时，焦点在x轴上.
另外，与已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为
x2
a2－
y2
b2＝λ(λ≠0)；
已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0).
2.抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.
3、直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点.
2.直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝(1＋k2)(x1－x2)2或(1＋1
k2)(y1－y2)2，其中k是直线l
的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.
二、立体几何部分
1、直线、平面、简单几何体：
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
（１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。

画直观图时，把它画成对应轴o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135°）；（２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行于ｙ轴的线段长减半．（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度．
3、表（侧）面积与体积公式：
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.柱、锥、台、球的表面积和体积
2、位置关系的证明（主要方法）：注意立体几何证明的书写
（1）直线与平面平行：①线线平行⇒线面平行；②面面平行⇒线面平行。

（2）平面与平面平行：①线面平行⇒面面平行。

（3）垂直问题：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直。

核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线
（4）求角：（步骤--- Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角
三、常用逻辑用语
1、四种命题：
⑴原命题：若 p 则q；⑵逆命题：若 q 则p；⑶否命题：若⌝p 则⌝q；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p
注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题p ⇒q 否定形式是p ⇒⌝q ；否命题是⌝p ⇒⌝q .。

命题“ p 或q ”的否定是“ ⌝p 且⌝q ”；“p且q ”的否定是“ ⌝p 或⌝q ”. 3、逻辑联结词：
⑵或（or）：命题形式p ∨q；
⑵非（not）：命题形式⌝p .
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀ 表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃ 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

全称命题 p ： ∀x ∈ M , p (x ) ；全称命题p 的否定⌝ p ： ∃x ∈ M , ⌝p (x ) 。

特称命题 p ： ∃x ∈ M , p (x ) ；特称命题p 的否定⌝ p ： ∀x ∈ M , ⌝p (x ) ；
四、坐标系与参数方程
1、坐标系
1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨
⎧>⋅='>⋅=').
0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简
称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即)2,(πθρk +-与)2,(ππθρk ++表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：
2、参数方程
1．常见曲线的参数方程如下：
（1）过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：
α
αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）
其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．
（2）中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
θ
θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）
（3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：
θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ
θ
sin cos a y b x ==）
（4）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：
pt
y pt x 222== （t 为参数，p ＞0）
2．直线参数方程的标准形式的应用 (1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 是参
数，t 可正、可负、可为0)．
若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0
＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．
(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2
2
，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|
＝|t |＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪t 1＋t 22.。