第4章 两独立样本的非参数检验(非参数统计,西南财大)

第三章 两独立样本的非参数检验

在单样本位置问题中，人们想要检验的是总体的中心是否等于一个已知的值．但在实际问题中，更受注意的往往是比较两个总体的位置参数；比如。两种训练方法中哪一种更出成绩，两种汽 油中哪一个污染更少，两种市场营销策略中那种更有效等等．

作为一个例子．我国沿海和非沿海省市区的人均国内生产总值(GDP)的1997年抽样数据如下(单位为元)．沿海省市区为(Y1，Y2，…，Y12): 15044 12270 5345 7730 22275 8447

9455 8136 6834 9513 4081 5500 而非沿海的为对（x1,x2,…，x18）：

5163 4220 4259 6468 3881 3715 4032 5122 4130 3763 2093 3715 2732 3313 2901 3748 3731 5167

人们想要知道沿海和非沿海省市区的人均GDP 的中位数是否一样．这就是检验两个总体的位置参数是否相等的问题．

假定代表两个独立总体的随机样本(Y1，Y2，…，Y12)和（x1,x2,…，x18），则问题归结为检验它们总体的均值(或中位数)的差是否相等，或是否等于某个已知值．换言之，即检验

0H ：021D =-μμ；1H ： 021D ≠-μμ 0H ：021D =-μμ；1H ： 021D <-μμ

0H ：021D =-μμ；1H ： 021D >-μμ

在正态假定下，这些问题化为：)2(~1

1)(0-++--=

m n t m

n s D y x t

2

)()(1

2

1

2

-+-+-=

∑∑==n m y y x x

S m

i i n

i i

t 检验并不稳健，在不知总体分布时，应用t 检验时会有风险的。

3.1 Brown-Mood 中位数检验

令沿海地区的人均GDP 的中位数为M X ，而内地的为M Y 。零假设为

0H ：y x M M =；1H ： y x M M >

显然，在零假设下，中位数如果一样的话，它们共同的中位数，即这(12十18)=30个数的样本中位数(记为此xy M )，应该对于每一列数据来说都处于中间位置．也就是说，(Y1，Y2，…，Y12)和（x1,x2,…，x18）中大于或小于xy M 的样本点应该大致一样多，计算他们的混合样本中位数为

4690.5。在用两个样本和xy M 比较之后得到各个样本中大于和小于它的数目

A=在样本X 中大于xy M 的样本点数，则

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

=m n m k m n k m )k A (p

取=A 在样本X 中大于xy M 的样本点数作为检验的统计量，则A 应该不大不小，如果A 太大或太小，则应该怀疑原假设。

总体容量：30 总体中成功的次数：15 样本容量：12 样本中成功的次数：11

)a A (P ≥=)A (p )A (P 1211=+=

=0.000237+0.00000526=0.000242

3

50N

/)t N (mnt N /mt .A Z --±=

=3

30

153015181230151250/)(**/*.A --±=

=4.5/1.34=3.36

000390363.).Z (p p =>=

在前面一节，比较两个总体的中位数的检验时，只利用了样本大于或小于共同中位数的数目，如同前面的单独符号秩检验一样，只有方向的信息，没有差异大小的信息。作为单样本的Wlicoxon 秩和检验的推广，下面我们讨论两个样本的Wlicoxon 秩和检验。

设（X1，X2，X3，…Xm ）和（Y1，Y2，…，Yn ）分别为两个连续总体Fx 和Fy 中随机抽取出来的样本，我们关心两个总体是否有相同的分布形状，或者他们的中位数是否相等。

y x M M :H =0

为了对假设作出判定， 如果H0为真，那么将m 个x 、n 个y 的数据，按数值的相对大小从小到大排序，X 、y 的值应该期望被很好地混合，这m 十n ＝N 个观察值能够被看作来自于共同总体的一个单一的随机样本。若大部分的y 大于X ，或大部分的x 大于y ，将不能证实这个有序的序列是一个随机的混合，将拒绝X 、y 来自一个相同总体的零假设。在X 、y 混合排列的序列中，X 占有的位置是相对于y 的相对位置，因此等级或秩是表示位置的一个极为方便的方法。在x 、y 的混合排列中，等级1是最小的观察值，等级N 是最大的。若X 的等级大部分大于y 的等级，那么数据将支持H 1:M x >M y ，而x 的等级大部分小于y 的等级，则数据将支持H 1:M x

检验统计量。根据上面的基本原理，检验统计量为

X W x =的秩和 Y W y =的秩和

由于X 、y 的混合序列的等级和为：

1+2+…+N=N （N+1）/2

所以+x W 2/)1(+=N N W y 检验的统计量：

X W x =的秩和

注：等价的统计量：

如有第一个总体的样本：x1,x2，…,xm 和第二个总体的样本：以y1,y2, …,yn ，N=m+n 。 令Wyx 使把所有的y 观测值与x 观测值做比较后，x 大于y 的个数。令Wxy 使把所有的x 观测值与y 观测值做比较后，y 大于x 的个数

有 2

)

1(++=n n W Wy xy 2

)

1(++

=m m W Wx yx 我们来说明两个公式的成立。如仅仅将x1,x2，…,x n 排序后，其秩和为：m(m+1)/2。比如某个X i 是最小的，即1=x

i R 。但是如果是两个总体的合在一起排序，不妨假设

i j k x y y <<

故x 大于y 的个数为2，所以X i 的混合秩为21+=i R 。考虑所有的i ，则可得上面两式。可以证明：

[]

2

21)()(1

mn

Y X I E W E m i m

j

m i

n

j

j i yx ==>=∑∑

∑∑= []

12)

1()()(+=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>=∑∑N mn Y X I E Var W Var m i n j j i yx

12)1()(+=N m W E X 12)

1()(+=N nm W Var X 12)1()(+=

N n W E y 12

)

1()(+=N nm W Var y 则当n 足够大时，)1,0(~12/)1(2/N N mn mn W Z xy +-=

)1,0(~12/)1(2/)1(N N mn n N W Z y ++-=

)1,0(~12

/)1(2/)1(N N mn m N W Z x ++-=

用前面的例题作为一个例子．我国沿海和非沿海省市区的人均国内生产总值(GDP)的1997年抽样数据如下(单位为元)．沿海省市区为(Y1，Y2，…，Y12):