放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩 例1.(1)求∑
=-n
k k 121
42的值; (2)求证:35112
<∑
=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(2142
2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n
k (2)因为
??? ??+--=-=-
<1211212144
4
111222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k 奇巧积累:(1)
??? ??+--=-<=1211212144441222
n n n n n (2))
1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<
=+r r r r r r n r n r n n
C T r
r r n r (4)1111
(1)1132132(1)
n n n n +<++++
+
(5)n
n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22
1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n
n n (8) n n n n n n n 2)32(1
2)12(12
13211221
?+-?+=????
??+-+-
(9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2
1
212121222)1212(21-++=
-++=--+ 21 121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+--=+-< ?=n n n n n n n n n n n n 1 11121 11111+--<-++??? ? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221 n n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 22≥-->-+ +++n n n (2)求证:n n 412 14136 116 14 12-<++++ (3)求证: 1122642)12(531642531423121-+ n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 解析:(1)因为??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))1 11(41)1211(41413611614 1222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 13 12 11)11(2++++<-+ 再证 2 1 2121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以)112(213 12 11-+<+ ++ + n n 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为?? ? ??+--=-= - < 121121 2144 4 111222 n n n n n ,所以353211211215 1 31211 1 2 =+ n k 另一方面: 1 111)1(1431321119 14 112 +=+-=+++?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时, 2 1 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ , 所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈， ，整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1, 若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11ln ln , 因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故 只要证∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11])1[()1(])1([, 即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(, 即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----= +++-++++= 所以 1 23)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3 422111111+?-?? =+?-?=-+=-+-= -+-= ++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 3121121713 1311231321 ?---++- +-=+++++n n n T T T T 例7.已知11=x ,?? ?∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+> + +?+ ?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 1 41 ) 12)(12(1 1 4 2 4 2 4 4 1 22= ?= > -= +-= +, 因为 12 ++ ) 1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+= ++> > + 所以 *))(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 6 5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 1 3121(133 3 ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln n n n n +++--<++++ ??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212 1 9181716151413121313121 653332327918993636511 1n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6 653651333 ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln +- =- -<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2()1(21 2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα 解析:构造函数 x x x f ln )(=,得到2 2 ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222 +-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案 例10.-i n i n -取1=i 有, )1ln(ln 1 1 -->-n n n , 所以有n n 12 11)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 12 11)1ln(1 13 12 1+++<+<++++ 例11.求证:e n <+??++)! 1 1()! 311)(! 211( 和e n <+??++)3 11()81 11)(9 11(2 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析:1 )1(3 2]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得 到答案 例13.证明: )1*,(4 ) 1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)(' --=--= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 11ln -≤+n n n ,所以)1*,(4) 1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知11211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e < 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+ )1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：?+++ ≤+n n n a n n a )2 111(21?++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 n n n n a 21 1ln 2+++≤。于是n n n n n a a 2 11ln ln 21++≤-+， . 221122 11)21 (111ln ln )211()ln (ln 1 121 1 11 1<--=--+-≤-?++≤---=+-=∑∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即. 2ln ln 21e a a a n n ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作 用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ?-+-+≤+) 1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ?+-+≤++)1)() 1(11(11 n n a n n a . ) 1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 11 2 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若 ).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->