剖析马氏链平稳分布的讲解——谈《应用随机过程》教学
第3章马氏过程(应用随机过程,陈萍)
p
(n) ij
pij (0, n) pij (m, n)
(1) p p 特别地, n=1时,简记 ij ij
以下仅限于讨论齐次马氏链.
11
( n) 3) 记 Pn ( pij ) ,称Pn为{X k，k=0,1,2,… }的n步转移概 率矩阵. 若马氏链的状态空间E={1，2，··· ，N}，则称此马氏链 是有限马氏链。此时，其k步转移矩阵是一个N 阶方 阵 k k k
0.9 0.1 0
0 .3 0 .1 0 .6 P 0 0 .1 0 .9 0 0 1
14
二 若干实例
例3.1.1 独立随机变量和的序列
设{ξn, n≥0}为独立同分布随机变量序列，分布
律为P{ξn = k}= qk, k=0,1,…，
令 X n k ,则易证{Xn, n≥0}是一Markov链， k 0 且 q j i , j i , pij j i. 0, 显然，{ξn, n≥0}本身也是一Markov链.
2
回顾:Markov过程的定义 设随机过程
P{X t B | X t1 x1,..., X tn xn} P{X t B | X tn xn},
t1 t2 ... tn t, xi , i 1,..., n
X t ; t 若对
则称该过程为Markov过程，简称“马氏过程”。 (s t ) 称 P(s, x; t, B) P( X t B | X s x) 为转移概率函数.
P( X t0 i0 , , X tn1 in 1 X tn in ) P( X tn1 in 1 , , X tnm in m X tn in )
—马氏链的应用-随机过程论文
随机过程论文——马氏链的应用学院：东凌经济管理学院班级：金融0902班姓名:一、文献综述马氏链在日常生活诸多领域中有着广泛的应用0我引用了五篇文献，分别是刘家军的马氏链在无赔款优待模型中的应用；廖捷、陈功的叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用；郭小溪的借助于马尔柯夫链的无后效性性质，预测2000~ 2005年6年的8项支出量；吴加荣、谢明铎、何穗的一类马氏链的数据仿真与应用；肖定文、黄崇起的用马尔柯夫过程预测股市短期或中长期走势。
刘家军在2009年介绍了马氏链在无赔款优待模型中的应用，利用mat lab7. 0计算在未来几年中索赔事件发生的强度分布与被保险人所处折扣等级的分布以及两者的极限分布，并依此计算纯保费。
降水量的预测是气象学中一项重要的研究工作。
由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不确定性、较难精确预测的特点。
廖捷、陈功2010年引入了叠加马尔科夫链模型，以位于川西高原的小金站1961-2010年的全年降水量资料为例，探讨了叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用。
廖捷、陈功利用均值-均方差分级法对年降水量进行分级，并由此将小金站各年的全年降水量划分为5 个状态。
根据各年降水量的状态，可统计得到不同步长的概率转移矩阵。
在进行降水量的叠加预测时，主要考虑利用步长为1~4的概率转移矩阵进行计算。
首先利用1961〜2000长度为40年的降水量序列预测了2001年的降水量，之后去掉1961年降水量值，加入2001年实际观测降水量值，保持序列长度不变，预测2002年的降水量。
以此类推，利用叠加马尔科夫链模型预测了小金站200N2010共十年的降水量，并与该站实际观测降水量进行了对比。
2006年郭小溪利用长春市居民1998、1999连续两年的收、支数量变化，借助于马尔柯夫链的无后效性性质，建立居民消费性支出结构的概率转移矩阵，进而预测出自2000年至2005年6年的8项支出值；进一步分析居民消费性支出变化的基本规律和受控因素，并与经济发展条件一起探讨发展经济的人文环境影响作用。
数学建模：马氏链及其应用
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
随机过程课件-马尔可夫链
本课件将介绍随机过程中一种重要的模型——马尔可夫链。探讨马尔可夫链 的定义、特性、应用及改进方法，展望其未来发展。
什么是随机过程？
随机过程是一种数学模型，用于描述随机变量在时间上的演化。根据性质和分类不同，随机过程可分为多种类 型。
马尔可夫链的概念
定义
马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态仅与当前状态相关。
马尔可夫链的局限性和优缺点
马尔可夫链具有简单、易于实现的优点，但在某些情况下存在局限性。
马尔可夫链的未来发展方向
未来，马尔可夫链有望结合更多机器学习、深度学习技术，在更多领域得到应用和改进。
马尔可夫链的改进
局限性
马尔可夫链模型在某些情况下存 在局限性，如长期依赖性和大状 态空间问题。
改进方法
针对马尔可夫链的局限性，研究 者提出了多种改进方法，如隐马 尔可夫模型和条件随机场。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是对马尔可夫 链进行扩展，引入了决策和奖励 机制，用于解决决策问题。
总结与展望
马尔可夫链的平稳分布
平稳分布是马尔可夫链在长期 运行后，状态分布稳定的概率 分布。
马尔可夫链的应用
1
模拟系统
2
马尔可夫链在模拟系统中用于模拟随机
事件和状态转移，如队列模型和流程模
3
型。
自然语言处理
马尔可夫链在自然语言处理中用于语言 模型、文本生成和机器翻译等。
金融领域
马尔可夫链在金融领域中用于风险评估、 投资组合优化和市场分析等。
特性
马尔可夫链具有无记忆性、状态空间有限、状态转移概率固定等特性。
状态转移图
马尔可夫链可用状态转移图表示，展示各状态之间的转移概率。
马氏链的极限分布和平稳分布
马氏链的极限分布和平稳分布马氏链是一种离散时间随机过程，具有马氏性质，即未来的状态只与当前的状态有关，而与过去的状态无关。
马氏链的极限分布和平稳分布是研究马氏链长期行为的重要概念。
在本文中，我们将详细介绍马氏链的极限分布和平稳分布的概念、性质以及计算方法。
首先，我们来介绍一下马氏链的极限分布。
马氏链的极限分布是指在长时间内，马氏链的状态分布趋于稳定的分布。
也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布将不再发生变化，而是收敛到一个固定的分布。
这个分布就是马氏链的极限分布。
马氏链的极限分布具有以下性质：1. 极限分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的极限分布就是唯一的。
2. 极限分布与初始分布无关：马氏链的极限分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。
3. 极限分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的极限分布是存在的。
接下来，我们来介绍马氏链的平稳分布。
平稳分布是指在长时间内，马氏链的状态分布保持不变的分布。
也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布不再发生变化，而是保持在一个固定的分布。
这个分布就是马氏链的平稳分布。
马氏链的平稳分布具有以下性质：1. 平稳分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的平稳分布就是唯一的。
2. 平稳分布与初始分布无关：马氏链的平稳分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。
3. 平稳分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的平稳分布是存在的。
在实际应用中，我们常常需要计算马氏链的极限分布和平稳分布。
下面，我们将介绍一些常用的计算方法。
对于有限状态的马氏链，可以通过迭代法来计算极限分布和平稳分布。
迭代法的基本思想是从一个初始的概率分布开始，通过不断地迭代计算，直到收敛到极限分布或平稳分布为止。
具体的迭代计算方法有很多种，常用的有幂法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
马尔可夫链和平稳分布
马尔可夫链和平稳分布马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一系列随机事件之间的转移关系。
它在各个领域中有着广泛的应用，包括自然语言处理、经济学、生物学等等。
而马尔可夫链的平稳分布是一个重要的概念，它能帮助我们理解系统在长期运行后的状态。
1. 马尔可夫链的基本概念马尔可夫链由状态空间、转移概率和初始概率组成。
状态空间表示系统可能处于的一组状态，转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率，初始概率表示初始状态的概率分布。
马尔可夫链具有无后效性，即当前状态只与前一状态相关，与更早的状态无关。
2. 马尔可夫链的转移矩阵马尔可夫链的转移概率可以用一个矩阵来表示，这个矩阵被称为转移矩阵。
转移矩阵的每一行表示当前状态，每一列表示转移到的状态，对应的元素则是从当前状态到目标状态的转移概率。
转移矩阵的每一行之和必须等于1。
3. 马尔可夫链的平稳分布马尔可夫链在长期运行之后会达到一个稳定状态，这个稳定状态被称为平稳分布。
平稳分布是一个概率分布，它表示在马尔可夫链中每个状态的长期出现的概率。
当马尔可夫链的转移概率满足一定条件时，平稳分布存在且唯一。
4. 马尔可夫链的平稳分布计算要计算马尔可夫链的平稳分布，可以通过迭代的方法逼近其解。
初始时可以使用某个状态的初始概率作为初始分布，然后通过不断迭代转移矩阵和当前分布得到新的分布，直到分布不再发生变化为止。
此时的分布就是平稳分布。
5. 马尔可夫链的应用马尔可夫链的应用十分广泛。
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于语言模型的建立，通过分析文本中相邻词之间的转移关系，可以生成具有一定连贯性的句子。
在经济学中，马尔可夫链可以用于预测股票市场的涨跌情况，通过分析过去几天的股票价格表现，预测未来的趋势。
在生物学中，马尔可夫链可以用于描述遗传密码的演化过程，分析DNA序列中的转移模式。
总结：马尔可夫链是一种用于描述随机事件转移关系的数学模型。
通过转移矩阵和初始分布，可以计算出马尔可夫链的平稳分布。
马氏链的极限分布和平稳分布
马氏链的极限分布和平稳分布在开始之前，一些概念的说明如下：步转移概率：有限步返回概率：从出发首次到的平均步数:极限分布：如果一个马尔科夫链的所有状态互通且均为周期为1的正常返状态，则对于该马尔可夫链，极限称为该马尔可夫链的极限分布不变分布/平稳分布/概率不变测度：对于马尔可夫链，若概率分布满足：则称为该马尔可夫链的不变分布/平稳分布/概率不变测度。
这里为一步转移概率。
三个引理的证明及其推论接下来的两个引理说明了任何不可约常返Markov链有一个唯一的不变测度 , 这个测度可以是有限的()也可以是无限的()。
考虑一个从状态开始的Markov链，定义第一次返回到的时间为：对于状态定义在第一次返回到状态之前经过的平均次数为：引理1对一个从状态开始不可约正常返的Markov链，我们有：(1)(2)对任意，有(3)是一个不变测度引理2考虑一个不可约常返Markov链，固定一些状态.接着，每个不变测度都可以表示为,对全部的,这里c是一个常数。
事实上，。
我们可以将上述两个引理总结为如下：一个常返、不可约Markov链有唯一的不变测度。
注：这个不变测度可能是有限的或者无限的。
如果Markov链是正常返的，我们可以观察到，所以我们甚至可以进行标准化，使得它成为一个不变概率测度，即平稳分布推论：一个正常返的、不可约Markov链有一个唯一的不变概率测度。
接下来这个引理说明了平稳分布中状态对应的数值与自身状态的关系引理3：如果马氏链存在一个平稳分布，那么如果状态的，那么状态是常返的。
证明：由课本上的证明我们可以很容易得到，由此我们可以得到:因为是平稳分布，所以，并且因为，交换求和次序我们可以得到上式等于：又因为，代入原式我们可以得到最后一个不等号是因为，这证明，证明了状态是常返的。
有了上面三个引理的铺垫，我们可以使用耦合法来证明下面这个定理。
耦合法证明收敛定理收敛定理:如果马氏链是不可约，非周期，正常返的，则它存在一个平稳分布，并且当时，证明开始之前我们来简述一下耦合法的思想，我们现在有一个离散的马尔科夫链a，假设它从状态出发，那么我们只需要得到在步之后它处于状态的概率就是，接下来是证明的关键步骤：我们可以构造一个与这个马尔科夫链a同时出发并且初始值是平稳分布的马尔科夫链b，因为b的初始值是平稳分布，所以步之后处于状态的概率就是，接下来我们证明a和b在概率的意义下一定会相遇，这样之后由于无记忆性，a和b的表现行为就是相同的，就完成了证明。
《马氏链及其应用》课件
马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状 态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可 夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机 现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向 和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于 估计策略值函数和近似最 优策略，提高机器学习的 效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随 机过程，实现图像的降噪 、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编 码和压缩，降低存储和传 输成本，提高数据处理的 效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不 断完善和发展，以适应 不断涌现的新问题和挑 战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域 已经取得广泛应用，但 仍需拓展更多应用领域 ，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大， 如何提高马氏链的计算 效率成为亟待解决的问 题。
THANKS
马氏链理论与随机过程的连接
马氏链理论与随机过程的连接马氏链理论是概率论中非常重要的一个分支，它主要研究随机过程中状态与状态之间的转移概率以及状态的演变规律。
随机过程则是一种在时间或空间上随机变化的数学模型。
马氏链理论与随机过程之间有着密切的联系，下面将详细探讨二者之间的关系。
1. 马氏链理论的基本概念马氏链是一个具有马氏性质的随机过程，其特点是在给定当前状态下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质称为马氏性。
马氏链理论主要研究马氏链的性质及其在不同领域中的应用。
2. 马氏链的应用领域马氏链理论在众多领域中都有着广泛的应用，如金融工程、生态学、信号处理等。
以金融工程为例，股票市场的涨跌可以看做是一个随机过程，而马氏链理论可以用来描述市场的波动规律，从而帮助投资者做出正确的决策。
3. 马氏链与随机过程的联系马氏链可以被看作是一个离散时间的马氏过程，而随机过程则是一个更加广泛的概念，包括了连续时间的随机变量。
马氏链理论是随机过程理论的一个重要组成部分，通过研究马氏链的性质，可以更好地理解随机过程的基本规律。
4. 马氏链与随机过程的统一性马氏链理论和随机过程理论虽然有着一定的差异，但二者又有着紧密的联系和统一性。
马氏链可以被看作是随机过程的一个特例，是随机过程理论中的一个重要分支。
通过对马氏链的研究，可以更好地理解随机过程的特性和规律。
总之，马氏链理论与随机过程有着密切的联系与相互作用，通过研究二者之间的关系，可以更好地理解和应用概率论在实际问题中的解决方法。
希望本文能够帮助读者更好地理解马氏链理论与随机过程的连接。
《马氏链及其应用》课件
通过游走过程，可以观察系统在不同状态之间的转移情况。
2
直接求解
可以使用转移概率矩阵，直接计算系统在不同状态之间的转移概率。
马氏链的评指标
平稳分布
马氏链的平稳分布表示系统在长 时间后达到的稳定状态。
收敛速度
衡量马氏链从初始状态收敛到平 稳分布所需的步数。
误差分析
通过分析马氏链模型的误差情况， 评估其在实际应用中的可行性。
转移概率
马氏链的转移概率描述了系统 在不同状态之间的可能转移情 况。
马氏链应用场景
金融市场
马氏链可以用于分析金融市场的波 动性和风险。
智能客服
马氏链可以应用于智能客服系统， 提供更准确和高效的服务。
自然语言处理
马氏链能够帮助解决自然语言处理 任务，如文本生成和敏感词过滤。
马氏链的使用方法
1游Leabharlann 过程《马氏链及其应用》PPT 课件
# 马氏链及其应用
马氏链是一种数学模型，描述一个系统在一系列状态之间的随机转移。它在 多个领域具有广泛的应用。
什么是马氏链？
定义
马氏链是一个随机过程，其未 来状态只依赖于当前状态，而 与过去的状态无关。
特点
马氏链具有无后效性、有限维 状态空间和固定转移概率矩阵 等特点。
实战案例
大盘指数预测
通过利用历史数据构建马氏链 模型，预测未来的大盘指数走 势。
销售额预测
应用马氏链模型分析销售历史 数据，预测未来的销售额变化。
文本分类
利用马氏链模型对文本进行分 类，提高自然语言处理的准确 性。
总结
1 优势和不足
马氏链具有简单和灵活的特点，但对初始状态和转移概率的准确性要求较高。
2 未来发展方向
《随机过程——计算与应用》课件-马尔科夫连 4
(3)若i j，则j i
（互通的对称性）
上述性质的验证留作ห้องสมุดไป่ตู้习.
定理6.3.5 设i, j S,则
(1) i j fij 0 （2）若i是常返的，且i j 则有f ji 1，从而有i j,
证明 (1) 设i j 则 n 1 使pi(jn) 0
因而也有
fij
p(n) ij
0
或者同为零常返的;或者同为正常返周期态,且周期 相同.或者同为正常返非周期(遍历态).
证明 i j, i j, j i, 存在正整数l, n，使
p(l ) ij
0
p(n) ji
0
由C-K方程，对任意的正整数m有
p (lmn) ii
p p p p(l) ik
p(m) ks
p(n) si
周 期 为 4.
例6.3.9 设齐次马尔可夫链的状态空间S={1,2,3,4,5,6,}, 其一步转移概率矩阵为
0 0 1 0 0 0
0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0
P
1 3
1 3
0
1 3
0
0
1 0 0 0 0 0
0
1 2
0
0
0
12
试分解此马尔可夫链,并写出各状态类型及周期.
1
1
1 3
下面证明 当i ,j 同为正常返态时,周期相同
设i, j同为正常返状态，周期分别为di , d j
由C-K方程
p (nl ) jj
p(n) jk
p(l) kj
p p (n) (l ) ji ij
0
k
dj nl
又因为，对任意的m有
马氏链的平稳分布
马氏链的平稳分布
马氏链，又称为马可夫链，是个有连续马可夫性质的随机序列，由柯布朗在
20世纪30年代提出，是个基于多状态概念的随机过程，既有拓展性，又具备稳定性。
其特点是从当前状态出发，概率无论状态如何变化，总是收敛于某一稳定的分布形态，这就是“平稳分布”。
马氏链的平稳分布特性主要表现在以下几个方面：首先，它具有良好的可预测性，即随着时间的推移，马氏链出现的状态分布总会收敛于某一稳定的分布形态；其次，它可以提供精确的参数拟合，即在实际应用中，为了满足需求，可以通过对马氏链的参数调整拟合任何特定分布；最后，它可以提供同样的期望值与方差，即使在不同的时间段中，马氏链的期望值与方差也相等。
因此，马氏链的平稳分布在统计学、机器学习、网络模型估计等方面都得到了
广泛应用。
例如在统计学中，它可以给出精确的分布估计，对抽样误差进行控制，获得较高准确率的期望值；在机器学习中，它可以实现良好的性能与公平性的结合，并可以在模型建构方面提供更加有效的优化方法；在网络模型估计方面，它可以提供准确的分布估计，以及减少异常值的影响，从而提高模型的准确度与稳定性。
总之，马氏链的平稳分布具有良好的可预测性，可以提供精确的参数拟合，同
样的期望值与方差，并拥有良好的性能与拓展性，用于统计学、机器学习、网络模型估计等应用方面，皆可取得较好的效果，为科学研究与工程应用都提供了有效的指导。
4 随机过程 马氏链
p, i j pij q, i j
(i, j 0,1)
一步转移概率矩阵：
P
p q
q p
二步转移概率矩阵：
P(2)
P2
p2 q2
2 pq
2 pq
p2
q2
例2：在上一节例4中， 1 设传真率p 0.9,求系统
二级传输后的传真率与三级传输后的误码率；
P{X 3 a X 2 c} P{X 4 c X 3 a}/ P{X 0 c}
Pac Pca Pbc Pcb 1312 1
4 5 3 5 50
二步转移概率矩阵：
(2) P{Xn2 c Xn b}
P(2) bc
1 6
17 9 5 30 40 24
111011111201111xxhxxhpq????????????????????????????????????????????求出对应的特征向量则??????????????????111122221111122221111110122223
马尔可夫链
内容提要
马尔可夫链的概念及转移概率 马尔可夫链的状态分类 状态空间的分解 pij(n) 的渐近性质与平稳分布
解：
1/ 2 1/ 4 1/ 4 P 2 / 3 0 1/ 3
3 / 5 2 / 5 0
(1) P{X1 b, X2 c, X3 a, X4 c X0 c} P{X 0 c, X1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c}/ P{X 0 c} P{X 0 c} P{X1 b X 0 c} P{X 2 c X1 b}
剖析马氏链平稳分布的讲解——谈《应用随机过程》教学
剖析马氏链平稳分布的讲解——谈《应用随机过程》教学刘秀芹;赵金玲;范玉妹【摘要】We explain the concept of the stationary distribution of Markov chain in view of the application of the stationary distribution in the Google search technology,and then we give a simple discussion on the teaching of stochastic process.%通过平稳分布在Google搜索技术中的应用角度讲解马氏链的平稳分布的概念,并在此基础上对应用随机过程的教学做了粗浅的探讨.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2011(027)004【总页数】4页(P199-202)【关键词】应用随机过程教学;马氏链的平稳分布;Google搜索;PageRank【作者】刘秀芹;赵金玲;范玉妹【作者单位】北京科技大学数理学院数力系,北京100083;北京科技大学数理学院数力系,北京100083;北京科技大学数理学院数力系,北京100083【正文语种】中文【中图分类】O211.6应用随机过程是一门以概率论和复变函数为基础的面向理工科高年级学生的课程，它的理论在物理、生物、工程、经济和管理等方面都有广泛的应用，随机过程已经成为近代科技工作者必须掌握的一个理论工具.随机过程是研究随机现象的变化过程的数学学科，也是一门接近现实生活的理论与实际相结合的课程，但是对工科学生来说随机过程是一门相对比较难的课程.如何使学生既能准确掌握其中的理论知识，又能把理论应用于实际是大多数教随机过程的教师在教学过程中追求的目标.本文通过对随机过程中马氏链的平稳分布概念的讲解，拟对应用随机过程的教学作一些粗浅的探讨.2.1 马氏链的平稳分布的定义.马氏链的平稳分布定义：设｛X n，n≥1｝是齐次马尔可夫链，状态空间为I，转移概率为p ij，称概率分布｛πj，j∈I｝为马尔可夫链的平稳分布，若它满足由上述定义可知，只要知道马氏链的一步转移概率矩阵，即可通过求解上面的线性方程组得到它的平稳分布.在应用随机过程的教材中，一般只有平稳分布的定义以及平稳分布的求解方法两部分内容，对于平稳分布在实际中的应用涉及的很少. 仅从平稳分布的定义来看，大多数同学对它不会有什么深刻的认识，可能像其它一些数学名词一样匆匆划过脑海，不留任何痕迹.而马氏链的平稳分布是随机过程这门课中非常重要的内容，并且它在其它许多交叉学科中有着广泛的应用，为此，我们在教学过程中采用先引入平稳分布的抽象概念，然后结合平稳分布在实际中的应用来理解抽象概念的导入式教学方法.2.2 平稳分布应用.平稳分布与Google搜索.提出问题：Google搜索是人们最常用的搜索引擎之一，若我们在搜索引擎中输入一个关键词，Google就会非常迅速地（有的连0.01秒都不到）在窗口中输出大量的结果（有时有上千万条结果）.一般情况下，用户所关心的信息大多在前面几条结果中就能获得.那么，Google是如何实现快速的搜索，如何合理定义网页的重要性的呢？近年来，网络信息在不断突飞猛进地增长.在海量的信息中完成搜索自然不易，但采用适当的方式来刻画网页的重要性，从而将用户最需要的信息迅速返回则更具挑战性.Google用于分辨网页重要性的工具，就是其具有突破性的PageRank（网页级别）技术［1］.PageRank技术：假设Google数据库中有N（N非常大）个网页.为了描述这些网页之间的关系，定义一个N×N的矩阵G＝｛g ij｝，如果从网页i到网页j有超链接，则令g ij＝1，否则令g ij＝0.显然G是巨大的但非常稀疏的矩阵.记矩阵G的列和以及行和分别是显然，cj和r i分别表示网页j的链入网页数和网页i的链出网页数.把所有网页的集合看成随机过程的状态空间，假定上网者浏览网页并选择下一个网页的过程只依赖于当前浏览的网页而与过去浏览过哪些网页无关.那么这一选择过程可以认为是一个有限状态的Markov链.定义矩阵P＝｛p i｝jN×N如下其中d是阻尼系数，指的是上网者按照网页的实际链接选择下一张网页的可能性，1－d则是上网者随机选择下一张网页的可能性，d取值在［0，1］之间.实际运算中，一般取d＝0.85，P是Markov链的转移概率矩阵，p ij表示从页面i到页面j 的转移概率.根据Markov链的性质［2］，有限状态的齐次Markov链，如果对任意i，j∈I，都有p ij＞0，则该Markov链存在平稳分布π＝（π1，π2，…，πN），使得其中马氏链的平稳分布π表示转移次数趋于无限时各网页被访问的概率的大小，Google将马氏链的平稳分布π定义为各网页的PageRank值.Google公司就是按照这个值的大小对网页进行重要性排序的.π的分量满足方程从（2）式右侧可以看到，网页i将它的PageRank值分成ri份（它链出的页面数），分别“投票”给它链出的网页.πj为网页j的PageRank值，即网络上所有页面“投票”给网页j的最终值.从上可见，网页的PageRank值本质上就是马氏链的平稳分布.2.3 数值模拟.我们在教学过程中给出如下数值模拟：考虑一个只有6张网页的网络，如图1所示，它的链接矩阵G和转移概率矩阵P如下：由（1）式解线性方程组得平稳分布这里平稳分布π给出了各网页的PageRank值，见图2.从上面可以看出，网页的PageRank和得票数不成正比，比如，网页2在‘选举’中只得了一票，但它的PageRank值却高于其它几个得票数为2或3的网页，这是因为它被网页1选中，而网页1的PageRank值很高.被PageRank值高的网页选中的网页，其PageRank值也会高.这样来定义网页的重要程度显然是比较合理的.Google搜索是每位同学所熟知的事情，通过对平稳分布在Google搜索中的应用实例的讲解，既加深了同学们对平稳分布这一概念的理解，也激发了他们对随机过程的学习兴趣.上述在抽象概念的讲解过程中结合它在交叉学科中的应用的方法还可以在随机过程的整个教学中得到应用.3.1 其它内容的讲解.随机过程作为一门理论与实际相结合的学科，其理论体系已得到广泛的应用，如在天气预报、遗传学、传染病问题、排队论、天体物理、化学反应、统计物理、放射性问题、原子反应、生物中的群体生长、信息论、安全科学、人口理论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术、计算机科学等很多领域都要以随机过程为基础来构建数学模型.因此我们在讲授中不但注意其数学的严密性，也要结合其应用进行导入式教学，如讲到平稳过程的谱分析时应该讲解它在故障诊断和滤波中的应用，在讲到连续时间马氏链的Chapman－Kolmogorov方程时我们介绍它在推断物种间系统发育树中的应用，在讲到分支过程时我们讲解它在肿瘤突变中的应用，在讲到更新过程时我们讲解它在人口学中的应用等.总之，在讲解与其它学科有关联的相关知识时，应充分体现随机过程的实践性和应用性，结合本学科的前沿技术与发展动向，才能拓宽学生的视野［3］.3.2 对教师素质的要求.要实现理论和实际及科技前沿相结合，这对任课教师提出了很高的要求.首先任课教师必须具有比较高的学术水平及科研能力，对随机过程在交叉学科中的应用非常清楚.任课教师除了注重教材以外，还要求任课教师认真阅读相关方向的各种资料，也可以借助于在本学科教师之间开设教学讨论班，以及积极参加与随机过程相关的学术会议等手段不断提高教师的学术水平和教学水平，真正做到师者解惑也.3.3 教学手段的应用.当前多媒体教学已经是各大高校里普遍使用并且非常有效的手段，多媒体教学不仅可以为教师加大课堂容量，提高课堂效率，而且可以使教学内容形象化、具体化，使学生的视觉、听觉等多种感官得以充分运用到学习中，从而提高学习效率，优化课堂教学的效果［3］.在随机过程的教学过程中同样应该引入多媒体教学手段，除此之外还应进一步引入网络资源，比如，在平稳分布的讲解过程中，一般教材重点只讲平稳分布的概念和求解方法，要引入平稳过程在交叉学科中的应用，用传统的教学方法很难图文并茂的将理论及应用展示给学生，如讲到google搜索时，如果直接通过网络在搜索引擎中输入关键字，给同学演示google搜索的快速和搜索结果的重要性排序过程，则能起到事半功倍的效果.要在规定的学时内完成教学任务，必须使用现代化多媒体教学手段，才能容纳与交叉学科相关的教学内容.3.4 开发学生的应用能力.在教学过程中实现理论与实际相结合，必须要求学生具有“应用意识”［4］.理论固然重要，但是对一个即将走向现代化社会的成员来说，解决实际问题的能力是必不可少的.我们在随机过程的教学中采用导入式的教学方法，对学生将抽象的数学概念与实际应用相结合方面是一个较好的训练，进一步的做法是让学生自己能够自觉选择一些与日常生活、生产或管理相关的例子，运用所学知识和技能进行解决实际问题的实践活动，以便学生毕业后能够很快地把书本知识应用到实际工作当中. 应用随机过程对工科学生而言是一门相对比较难的学科，从而要求任课教师在教学过程中尽量穿插一些它在交叉学科中的应用实例，充分巩固学生对理论知识的理解，并在教学过程中利用现代化教学手段，从而提高课堂效率，优化课堂教学的效果；同时也要求学生在学习过程中具有“应用意识”，主动地把学到的理论知识运用到生活实践之中.只有多方面相互结合，才能在教学过程中收到事半功倍的效果.【相关文献】［1］Brin S，Page L.The anatomy of a large－scale hypertextual web search engine ［J］.Computer Networks and ISDN Systems，1998，30：107－117.［2］龚光鲁，钱敏平.应用随机过程教程［M］.北京：清华大学出版社，2004.［3］吕芳，王振辉.关于《应用随机过程》教学的思考［J］.中国科教创新导刊，2009（30）：50－52.［4］严士健.高师教育改革应该面向21世纪［J］.高等师范教育研究，1998（4）：17－22.。
马氏链平稳分布应用案例的教学设计
马氏链平稳分布应用案例的教学设计
刘秀芹;李娜;张志刚
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2022(38)2
【摘要】马氏链的平稳分布在实际中应用非常广泛,本文介绍了它的一个经典应用案例——市场占有率预测问题的教学设计.本设计从实际生活中的问题引入,以问题为导向,引发同学们的好奇心,从提出问题、分析问题、介绍解决问题的基本原理和方法、再拓展问题,从形象的描述引出抽象的概念,讲解过程中适当融入思政元素,让随机过程教学起到“润物无声”教书育人的效果.
【总页数】6页(P98-103)
【作者】刘秀芹;李娜;张志刚
【作者单位】北京科技大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.5
【相关文献】
1.吸收的随机单调马氏链的拟平稳分布
2.马氏链平稳分布存在与唯一性的简洁证明与计算
3.连续时间马氏链中拟平稳分布和不变分布之间的关系
4.平稳遍历马氏链部分和序列最小值分布的渐近估计及其应用
5.剖析马氏链平稳分布的讲解——谈《应用随机过程》教学
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［ 中图 分 类 号 ］ Ｏ １ ． ２ １６
［ 献标识码］Ｃ 文
［ 章 编 号 ］ ｌ７ —４ ４ ２ １ ） ４０ ９ ４ 文 ６ ２１５ （０ １０ —１ ９０
如何合 理定义 网 页的重要 性 的呢？ 近 年来 ， 网络信 息在 不断 突飞猛进 地增 长． 在海 量 的信 息 中完成 搜 索 自然 不 易 ， 但采 用适 当 的方式
来 刻 画 网 页 的重 要 性 ， 而 将 用 户 最 需 要 的 信 息 迅 速 返 回 则 更 具 挑 战 性 ． ｏ ｌ 于 分 辨 网 页 重 要 性 从 Ｇｏ ｇｅ用 的工 具 ， 是 其 具 有 突 破 性 的 Ｐ ｇ Ｒ ｎ （ 页 级 别 ） 术 ｌ ． 就 ａｅ ａｋ 网 技 １ ］ Ｐ ｇＲ ｎ ａ ｅ ａ ｋ技 术 ： 设 Ｇｏ ｇｅ 据 库 中有 Ｎ （ 非 常 大 ） 网 页 ． 了 描 述 这 些 网 页 之 间 的 关 系 ， 假 ｏｌ 数 Ｎ 个 为 定 义 一 个 Ｎ ＸＮ 的 矩 阵 Ｇ 一 ｛ 如 果 从 网 页 ｉ 网 页 Ｊ有 超 链 接 ， 令 ｇ ｇ ｝， 到 则 一 １ 否 则 令 ｇ ， 一０ 显 然 Ｇ 是 ．
对 于 平 稳 分 布 在 实 际 中 的 应 用 涉 及 的很 少 ． 仅 从 平 稳 分 布 的定 义 来 看 ， 多 数 同学 对 它 不 会 有 什 么 深 刻 的 认 识 ， 能 像 其 它 一 些 数 学 名 词 一 样 大 可
匆 匆划 过脑 海 ， 留任何 痕 迹． 马 氏链 的平 稳 分 布是 随 机 过程 这 门课 中非 常 重 要 的 内容 ， 且 它 在 其 不 而 并 它 许 多交叉 学 科 中有着 广 泛 的应用 ， 此 ， 为 我们 在 教学 过 程 中采 用 先 引入 平 稳 分 布 的抽 象 概 念 ， 后 结 然
２ 平 稳 分 布 的概 念 及 其 在 Ｇｏ ｇｅ 索 技 术 中 的应 用 ｏｌ搜
２ １ 马氏链 的平 稳分 布 的定 义． ．
马 氏 链 的 平 稳 分 布 定 义 ： ｛ ７≥ １ 是 齐 次 马 尔 可 夫 链 ， 态 空 间 为 Ｉ， 移 概 率 为 Ｐ 称 概 设 Ｘ ＂ ／ ｝ 状 转 … 率 分 布 ｛）Ｊ∈ ｎ 为 马 尔 可 夫 链 的 平 稳 分 布 ， 它 满 足 ７， ｒ 若
合 平 稳分 布在 实 际 中的应 用来 理解 抽 象概 念 的导 入式 教学 方法 ．
［ 稿 日期 ］ ２ １ — ４ １ ； ［ 改 日期 ］ ２ １ 一４ Ｏ 收 ０ ００ — ６ 修 Ｏ １Ｏ ６ ［ 金 项 目］ 北 京 科 技 大 学 教 育 教 学 研 究 立 项 项 目 （ Ｙ Ｏ ９ ４ 基 Ｊ ２ Ｏ Ｙ４ ）
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由上 述定 义可 知 ， 只要 知道 马 氏链 的一 步 转移 概率 矩 阵 ， 即可 通过 求解 上 面 的线 性 方程 组得 到它 的 平 稳分 布 ． 在应 用 随机 过程 的教 材 中 ， 般 只有 平稳 分 布 的定 义 以及 平稳 分 布 的 求解 方法 两 部 分 内容 ， 一
合 的课 程 ， 是 对 工 科 学 生 来 说 随 机 过 程 是 一 门 相 对 比 较 难 的课 程 ． 何 使 学 生 既 能 准 确 掌 握 其 中 的 理 但 如
论知识 ， 又能把 理论 应 用 于实 际是 大多 数教 随 机过 程 的教 师在 教学 过程 中追求 的 目标． 文通 过 对 随机 本 过 程 中马 氏链 的平 稳分 布 概念 的讲 解 ， 拟对 应用 随机过 程 的教学 作 一些 粗浅 的探 讨 ．
（ 京科技大 学 数理学 院 数力系 ， 京 １０８ ） 北 北 ０ ０ ３
［ 摘 要 ］ 通 过 平 稳 分 布 在 Ｇ ｏ ｌ 搜 索 技 术 中 的应 用 角 度 讲 解 马 氏链 的平 稳 分 布 的 概 念 ， 在 此 基 础 上 ｏ ｇｅ 并
对 应 用 随 机 过 程 的 教 学 做 了粗 浅 的 探 讨 ．
２０ ０
２ ２ 平稳分 布应 用． ．
Байду номын сангаас
大 学
数 学
第２ ７卷
平 稳 分 布 与 Ｇｏ ｇｅ 索 ． ｏ ｌ搜
提出 问题 ： ｏ ｌ 搜 索 是 人 们 最 常用 的 搜 索 引 擎 之 一 ， 我 们 在 搜 索 引擎 中 输 入 一 个 关 键 词 ， Ｇｏ ｇｅ 若
Ｇ ｏ ｌ就 会非 常迅 速地 （ 的连 ０ ０ ｏ ｇｅ 有 ． １秒 都 不 到 ） 窗 口 中 输 出 大 量 的 结 果 （ 时 有 上 千 万 条 结 果 ） 一 在 有 ． 般 情 况 下 ， 户 所 关 心 的 信 息 大 多 在 前 面 几 条 结 果 中 就 能 获 得 ． 么 ， ｏ ｇｅ是 如 何 实 现 快 速 的 搜 索 ， 用 那 Ｇ ｏｌ
１ 引
言
应用 随机 过程 是一 门以概 率论 和 复变 函数 为基 础 的 面 向理 工 科 高年 级 学 生 的课 程 ， 的理 论 在物 它
理、 物、 生 工程 、 济和 管理 等方 面 都有 广泛 的应用 ， 机过 程 已经 成为 近代 科技 Ｔ作 者必 须 掌握 的一个 经 随 理 论 工具 ． 随机 过程 是研 究 随机 现 象 的变化 过 程 的数学 学科 ， 是一 门接 近 现实 生活 的理 论 与实 际相结 也
第２ ７卷 第 ４期
２１ ０ １年 ８月
大 学 数 学
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Ｖ ｏ ． ７， ． １２ № ４
Ａ ｕｇ ２ ． ０１１
剖 析 马 氏链 平 稳 分 布 的讲 解
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谈 用 随 机 过 程 学 应 教
刘 秀 芹 ，赵 金 玲 ，范 玉 妹