三次函数的零点问题

专题:导数与三次函数问题

[真题1] (2009年安徽卷)设a ＜b,函数2

()()y x a x b =--的图像可能就是( )

[命题探究] 考题的命制,直接给出函数图像,然后设计了四个选项,意在通过对问题的判断, 直接考查三次函数的性质:单调区间与极值问题。这里,函数的化简、图像的观察等等,不仅需要

扎实的基本功,而且还需要熟练的解题技巧。 [知识链接]

1、三次函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象

a>0

a<0

∆>0

∆≤0

∆>0

∆≤0

图 象

2.函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠单调性、极值点个数情况。'

()f x =2

32ax bx c ++, 记∆=2

2

,(其中x 1,x 2就是方程'

=0的根,且x 1

a>0

a<0

∆>0

∆≤0

∆>0

∆≤0

单 调 性 在12(,),(,)x x -∞+∞上,

就是增函数; 在12(,)x x 上,就是减

函数;

在R 上就是增函数

在12(,)x x 上,就是增函

数;

在12(,),(,)x x -∞+∞上,就是减函数;

在R 上就是减函数

极值点个数

2 0 2 0

专题:三次函数的零点问题

1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(2

3

a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值、

(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点、

x

x 1 x 2

x 0

x

x 1

x 2

x

x 0

x

2、(2009江西卷文)(本小题满分12分) 设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值; (2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围. 3、已知函数a ax x a x x f ---+=

232

131)(,x 其中a>0、

(I)求函数)(x f 的单调区间;

(II)若函数)(x f 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;

(III)就是否存在常数a,使得函数)(x f 在区间(-2,0)内恰有一个零点,若存在,求a 的取值范围,若不存在,说明理由;

4、(2009陕西卷文)(本小题满分12分) 已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间;

()II 若()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =

的图象有三个不同的交点,求m 的取值

范围。 5、【2102高考福建文12】已知f(x)=x ³-6x ²+9x-abc,a ＜b ＜c,且f(a)=f(b)=f(c)=0、现给出如下结论: ①f(0)f(1)＞0;②f(0)f(1)＜0;③f(0)f(3)＞0;④f(0)f(3)＜0、 其中正确结论的序号就是

A 、①③

B 、①④

C 、②③

D 、②④ 6、(湖南21)已知函数43219

()42

f x x x x cx =+-+有三个极值点。 (I)证明:275c -<<;

(II)若存在实数c,使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减,求a 的取值范围。 7、(全国二理 22)已知函数3

()f x x x =-.

(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程;

(2)设0a >,如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<.