实数基本定理与函数的连续性

§1.3 实数基本定理与函数的连续性

一、主要知识点和方法

1、实数基本定理

闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++⊂及

0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。

确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。 聚点定理：有界无限点集必有聚点。 致密性定理：有界点列必有收敛子列。

有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。 单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。 柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε⇔∀>∃>>-<收敛当时。（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列）

以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。

2、连续函数概念 （1）连续与间断

设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x a

f x f a →=，则称)(x f 在

点a 连续。

“εδ-”定义：若0,0εδ∀>∃>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。则称)(x f 在点a 连续。

若(0)lim ()()x a

f a f x f a -

→-==，则称)(x f 在点a 左连续。 若(0)lim ()()x a

f a f x f a +

→+==，则称)(x f 在点a 右连续。 )(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立：

ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在；

ⅱ）(0)(0)f a f a +=-； ⅲ）(0)()(0)f a f a f a +==-。

若（ⅰ）（ⅱ）成立，而（ⅲ）不成立，则称a 为)(x f 的可去间断点；若（ⅰ）成立，而（ⅱ）不成立，则称a 为)(x f 的的第一类间断点；若（ⅰ）不成立，则称a 为)(x f 的第二类间断点。

当)(x f 在区间I 上处处连续时，称)(x f 在I 上连续，记作()f C I ∈。 （2）一致连续性 设)(x f 在区间

I 上有定义，若0,0εδ∀>∃>，使当,x x I '''∈并且

x x δ'''-<时成立()()f x f x ε'''-<。则称)(x f 在区间I 上一致连续。

显然，若)(x f 在区间I 上一致连续，则)(x f 在区间I 上连续。

3、连续函数性质 （1）局部性质

局部有界：若)(x f 在点a 连续，则)(x f 在点a 的一个邻域内有界。 局部保号：若)(x f 在点a 连续，且()0f a ≠。则：0()r f a ∀<<，0δ∃>，当(,)x a δ∈ 时)(x f 与()f a 同号且()f x r ≥。 （2）整体性质

有界性定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则)(x f [,]a b 上有界。 最值定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则)(x f [,]a b 上取到最大值和最小值。

介值定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上

连续，则对介于()f a 与()f b 之间的任意实数μ，都存在相应的[,]c a b ∈使得()f c μ=。

零点定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续且()()0f a f b <

，则存在[,]c a b ∈使得()0f c =。

由介值定理立即得到：若)(x f 在区间I 上连续，则其值域()f I 是一个区间。特别，若I 是闭区间，则()f I 也是闭区间。

一致连续性定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则)(x f 在闭区间[,]a b 上一致连续。

二、范例分析

1、若数列{}n x 无界但不是无穷大量，则存在{}n x 的两个子列，其中一个子列发散到无穷，而另一个收敛。

证：因为{}n x 无界，所以对任意自然数k ，存在k n 使得k n x k >，显然

{}k

n x 发散到无穷。又由于{}n

x 不是无穷大量，所以存在M >0，对任意

自然数k ，存在k n '使得k n x M '

≤，即{}

k

n x '为{}n x 的有界子列，因此其中

必有收敛子列。

注：在以上证明中已经假定数列{k n }和{k n '}是严格递增的，根据无界或非无穷大量的定义，这个假定是可以实现的。 2、证明：若存在M >0，使对任意n 有1

1

n

k k k x

x M +=-<∑，则{}n x 收敛。

证：由条件可知正项级数1

1

k k k x

x +∞

+=-∑收敛，因此对任意0ε>，存在N ，

当n N >时对任意p 有

1

n p

k k k n

x

x ε++=-<∑，而1n p n p n k k k n

x x x x +++=-≤-∑，所以{}

n x 是柯西列，从而收敛。

3、设()

[,],(),()max ()a t x f C a b a x b g x f t ϕϕϕ≤≤∈≤≤=、，证明[,]g C a b ∈。

证：设()max ()a t x

h x f t ≤≤=，则()(())g x h x ϕ=，

故只需证明()h x 连续。又因()h x 递增，故只需证明(0)()(0)h x h x h x -≥≥+。

取定0(,]x a b ∈，0(,)x a x ∀∈有000()()()()()[,]f h x h x h x h x h x x x ω=+-≤+，令0x x ↑得00()(0)h x h x ≤-。同理可证当0[,)x a b ∈时有00()(0)h x h x ≥+。 注：本题利用了复合函数的连续性，相对于直接运用连续性定义的证法，此处的做法要简单地多。由此得到启示，运用连续函数运算性质进行讨论应该是首选的方法。 此处的

12[,]f x x ω为f 在12[,]x x 的振幅。