三次函数的零点问题

三次函数的零点问题

1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(2

3

a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.

(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.

解：(I)'()f x =32x －2x －1

若'()f x =0，则x ==－1

3

，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：

∴()f x 的极大值是()327

f a -=

+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-

由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点

结合()f x 的单调性可知：

当()f x 的极大值

527a +<0，即5

(,)27

a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()

f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－1

3

)上。

∴当5

(,)27

a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点

2、（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解：(1) '

2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,

因为(,)x ∈-∞+∞,'

()f x m ≥, 即 2

39(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-

，即m 的最大值为34

-

(2) 因为 当1x <时, '

()0f x >;当12x <<时, '

()0f x <;当2x >时, '

()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =

-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或

52

a >

. 3、已知函数a ax x a x x f ---+=

232

131)(，x 其中a>0.

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（III ）是否存在常数a ，使得函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有一个零点，若存在，求a 的取值范围，若不存在，说明理由；

【答案】

4、（2009陕西卷文）（本小题满分12分） 已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =

的图象有三个不同的交点，求m

的取值范围。

解析：（1）'

2

2

()333(),f x x a x a =-=-

当0a <时，对x R ∈，有'

()0,f x > 当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时，由'

()0f x >解得x

由'

()0f x <解得x <<

当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为

(。

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，

所以'

2

(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴= 所以3

'

2

()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'

()0f x =解得121,1x x =-=。

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，

(3)171f =>，

结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。

5、【2102高考福建文12】已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：

①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④ 12.【答案】C ．

【解析】9123)(',96)(2

2

3

+-=∴-+-=x x x f abc x x x x f ，令0)('=x f 则1=x 或

3=x ，当1x f ；当31<x 时0)('>x f ，

所以1=x 时)(x f 有极大值，当3=x 时)(x f 有极小值， 函数)(x f 有三个零点，

0)3(,0)1(<>∴f f ，且c b a <<<<31，又 abc f -+-=275427)3(，0>∴abc ，

即0>a ，因此0)()0(=<∴f f f f .故选C. 6、（湖南21）已知函数43219

()42

f x x x x cx =+-+有三个极值点。 （I ）证明：275c -<<；

（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。 解：（I ）因为函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点, 所以3

2

()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设3

2

()39,g x x x x c =+-+则2

()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数;