第1章-有理数专题培优(精品文档)

第一章《有理数》专题培优

一、有关概念和性质

（一）有理数概念和分类

1.有理数按定义分为_______和_______两类；

2.有理数按性质分为__________、_____、_________三类.

3.______小数和_________小数都可以化成分数，它们是有理数；_________小数不能化成分数，不是有理数.

（二）数轴（数形结合思想）

1.数轴的三要素：_______、________、_________.

2.一切有理数都可用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.

3.在数轴上表示数，它们从左向右的顺序，就是从____到_____的顺序.

练习与思考：

（1）数轴上表示整数的点称为整点. 某数轴的单位长度是1 cm，若在这条数轴上随意画出一条长为2015 cm的线段，则这条线段能盖住的整点的个数为_______________个.

（2）在数轴上任取一条长度为

1

2015

9

的线段，则此线段在这条数轴上最多

能盖住的整数点的个数是__________个.

（三）相反数，倒数

例1. 填空：

（1）a的相反数是_____，a b

+的相反数是______，a b

-的相反数是______.

（2）相反数等于本身的数是______，倒数等于本身的数是_______.

（3）若0

a b

+=，0

ab≠，则a

b

=_______.

例2. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求代数式220162017

()()()

x a b cd x a b cd

-+++++-的值. （四）绝对值，非负数

1.绝对值的概念和性质：

（1）绝对值的几何意义：从数轴上看，a就是_____________到_____的距离. （2）绝对值的代数意义：正数的绝对值等于_______________，负数的绝对值等于_______________，0的绝对值等于________.

用符号表示即：

(0)

0(0)

(0)

a a

a a

a a

>

⎧

⎪

= =

⎨

⎪- <

⎩

【化去绝对值符号的依据】（3）绝对值的性质：

①0

a≥（非负性）；②ab a b

=；③

a

a

b b

=（0

b≠）；

④222

a a a

==；⑤a b a b

±≤+.

（4）非负数的性质：①几个非负数的和仍为非负数；②非负数的最小值为0；

③若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.

2.典型应用例题

（1）绝对值概念的运用

例1. 已知8

a=，2

b=，且a b b a

-=-，求a b ab

+-的值.

例2. 已知4

a=，5

b=，6

c=，且a b c

>>，求23

a b c

+-的值.

例3. 已知35

x+=，2

(2)9

y-=，且x y

<，求2x y

-的值.

（2）绝对值的非负性（非负数性质）

例1.已知231(5)0x y z ++++-=，求代数式x y z --的值.

例2.已知2

(2)ab -与1b -互为相反数，求代数式的值：

1111

(1)(1)(2)(2)(2015)(2015)

ab a b a b a b ++++

++++++.

例3*. 已知a ，b ，c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，求代数式的值： ||||||c a a b b c -+-+-.

思考：已知b 为正整数，且251a b -+=，则a =______，b =_______.

（3）绝对值的化简

例1. 填空：（1）如果a a =，那么a ______0；如果a a =-，那么a ______0. （2）已知2x <-，化简11x -+=__________.

（3）已知33x x -=-，则x 的取值范围是_____________. （4）如果a a =-，化简12a a ---=__________.

例2.已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：a a b c a b c +++---.

例3.（1）已知2x x =+，求代数式9919327x x ++的值.

（2）已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，求代数式21ab -的值.

例4.化简：13x x -++. 【零点分段法+分类讨论思想】

例5.已知有理数a ，b ，c 满足0abc ≠，求代数式||||||

a b

c a b c

++

的值.

变式练习：

1.有理数a ，b ，c 满足0abc <，0a b c ++>，则

a b c abc

a b c abc

+++=______. 2.如果a ，b ，c 是非零有理数，且0a b c ++=，那么

a b c abc a b c abc

+++的所有可能的值为________________.

3.已知有理数a ，b ，c 均不为0，且0a b c ++=,设a b c x b c

c a

a b

=

+

+

+++，

则代数式19992015x x -+的值为____________.

例6. 如果527x x ++-=，求x 的取值范围.

（4）绝对值与数轴上两点距离的表示 例1.填空：

（1）在数轴上，表示4-和3的两个点的距离是_______，表示8-与5-的两个点的距离是________.

（2）一般地，在数轴上表示数a ，b 的两点之间的距离是____________. （3）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为1-，则A 与B 两点间的距离可以表示为____________.

（4）要求等式35x -=中的x 的值，也可以理解为已知数轴上表示数x 和3的两点的距离是5，求这个数x . 因为数轴上到3的距离是5的点有_____和____两个，所以x =_____________.

（5）结合数轴可以求得23x x -++的最小值为______，这时x 的取值范围是______________.

（6）满足143x x +++>的x 的取值范围是_______________. （5）绝对值的最值问题 例1.填空： （1）当x =______时，5x +有最_____值是________.

（2）当x =______时，2(3)x -有最_____值是________.

（3）当x =______时，2x --有最_____值是________. （4）当x =______时，2(8)x -+有最_____值是________. （5）当x =______时，235x +-有最_____值是________. （6）当x =______时，85x -+有最_____值是________. 例2.填空：

（1）当x ______________时，15x x -+-有最小值是_______. （2）当x ______________时，524x x x ++-+-有最小值是_______.

（3）当x ____________时，1234x x x x ++-+-+-有最小值是______. （4）当x _________________时，代数式17x x +--有最大值是______；

而当x _________时，17x x +--有最小值是______.

例3.已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y ++的最大

值和最小值.

（五）科学记数法、近似数

练习：1.近似数1.70所表示的准确数x 的取值范围是_______________.

2.用四舍五入法把4.036精确到0．01的近似值是_________，把3085000精确到万位的近似值是____________.

二、有理数的运算

（一）有理数的加、减、乘、除和乘方运算法则及易错点警示

例.计算：（1）51--=______；（2）03-=_______；（3）4(3)-=________；（4）43-=________；（5）2016(1)-=________；（6）20161-=__________；

（7）2

25⎛⎫

-= ⎪⎝⎭__________；（8）2

25⎛⎫-= ⎪⎝⎭

_______；（9）225-=________.