常见数学思想方法应用举例
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例1.归纳法：归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，通常应用于证明一些性质在所有情况下成立。
例如，我们可以使用归纳法来证明1+2+3+...+n的总和公式为n(n+1)/2、首先，当n=1时，左侧为1，右侧为1(1+1)/2，成立。
接下来，假设对于一些k成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2、那么当n=k+1时，左侧为1+2+3+...+k+(k+1)，右侧为(k+1)((k+1)+1)/2、我们可以将左侧拆分为k(k+1)/2+(k+1)，然后代入归纳假设得到右侧，因此可以推断1+2+3+...+n=n(n+1)/2对于所有自然数n成立。
2.递推法：递推法是一种逐步推进的思想方法，在每一步中根据前一步的结果得到下一步的结论。
递推法常常应用于数列和数列的性质推导。
例如，斐波那契数列就是一个典型的应用递推法得到的数列。
斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数都是1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
即，F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥3）。
通过递推法，我们可以计算任意给定项的斐波那契数列。
3.反证法：反证法是一种通过假设命题的否定形式为真，再通过推导推出与已知事实矛盾的结论，从而推断原命题为真的思想方法。
例如，我们想要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q是互质的。
如果我们将这个假设代入p^2/q^2=2，可以得到p^2=2q^2、这意味着p的平方是一个偶数，因此p也是一个偶数（偶数的平方是偶数）。
我们可以将p表示为2k，其中k是一个整数，那么我们得到(2k)^2=2q^2，即4k^2=2q^2，化简为2k^2=q^2、这表明q的平方也是偶数，进一步可以推断q也是偶数。
但这与p和q是互质的假设相矛盾，因此根号2不可能是有理数，即它是无理数。
4.数学归纳法：数学归纳法是一种证明自然数性质的方法，适用于证明具有递推性质的命题。
初中数学常见的思想方法
初中数学常见的思想方法专门与一样的数学思想：关于在一样情形下难以求解的问题，可运用专门化思想，通过取专门值、专门图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一样，从而使问题顺利求解。
常见情形为：用字母表示数；专门值的应用；专门图形的应用；用专门化方法探求结论；用一样规律解题等。
整体的数学思想：所谓整体思想，确实是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。
用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏捷地洞悉问题的本质，有时也不要舍弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。
常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。
分类讨论的数学思想：也称分情形讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯独时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。
将一个数学问题依照题设分为有限的若干种情形，在每一种情形中分别求解，最后再将各种情形下得到的答案进行归纳综合。
分类讨论是依照问题的不同情形分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。
运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。
分类讨论的原则是：（1）完全性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之和，应当是原被分对象所涵盖的范畴，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，确实是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。
分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，猎取时期性结果，归纳小结，综合得出结论。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
初中数学中常见的数学思想方法见解
初中数学中常见的数学思想方法见解作为一门基础学科，数学在我们的生活和学习中扮演着非常重要的角色。
在初中数学学习中，学生需要掌握许多基本概念、基本原理和方法。
除了常见的数学知识点之外，还有一些重要的数学思想方法，如数学归纳法、逆向思维、抽象思维等。
本文将针对初中数学中常见的数学思想方法进行探讨，重点分析其原理和实际应用，并给出具体的数学题例子。
一、数学归纳法数学归纳法是初中数学中常见的数学思想方法之一，它是证明自然数的某些性质时常用的一种方法。
数学归纳法的基本思想是：证明一个性质对于所有自然数都成立，只需证明当自然数 n = 1 时成立，且当自然数 n 成立时，自然数 n+1 也成立，即可推出该性质对于所有自然数都成立。
例如，我们要证明一个常见的命题：对于任意自然数 n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先当 n=1 时，左侧等式为 1，右侧等式为 1×(1+1)/2=1，两边相等。
再假设对于自然数 n 成立，即1+2+3+...+n = n(n+1)/2，那么将 n+1 代入等式，得到：1+2+3+...+(n+1) = [1+2+3+...+n] + (n+1)由假设可得左侧等式为 n(n+1)/2 + (n+1)，经过化简得到：(n+1)(n+2)/2 = (n+1)(n+2)/2，由此证明了该命题对于任意自然数 n 成立。
数学归纳法还可以用于证明一些更复杂的命题，例如利用数学归纳法证明斐波那契数列的性质。
斐波那契数列是一个非常经典的数学问题，其定义为：对于自然数 n，斐波那契数列的第 n 项 F(n) 等于前两项的和，即 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(1)=1，F(2)=1。
利用数学归纳法可以证明：对于任意自然数 n，斐波那契数列的第 n 项 F(n) 满足 F(n) = (1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
小学数学教材中蕴涵的7种常见数学思想方法
小学数学教材中蕴涵了几种常见的数学思想方法，梳理一下，大概有以下七种：1.归纳。
归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。
在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到一般的推理被称为归纳。
小学数学中的有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳，有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。
小学阶段学生接触较多的是不完全归纳推理。
加法结合律，我们就采用了不完全归纳推理展开教学。
例如，28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子。
求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数列出算式（28+17）+23计算，也可以先求女生的人数列出算式28+（17+23）计算。
这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式（28+17）+23=28+（17+23）。
在这第一个实例中，学生看到的数学现象是不是普遍性的规律，需要在类似的情况中验证。
于是，我们让学生分别算一算（45+25）+13和45+（25+13）、（36+18）+22和36+（18+22），看看每组的两道算式是不是相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，猜想有这种结构特点的算式结果是否一定相等，通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。
接着，鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体验现象的普遍性。
学生通过进行类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母a、b、c分别表示三个加数，写成（a+b）+c= a+（b+c）。
这样，学生在学习加法结合律等的过程中，就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律、定理，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。
2.演绎。
演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。
在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。
集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。
①教学中要注重集合概念的渗透。
例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。
又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。
这里的2、6就是集合的基数。
”②教学中要注重集合关系的渗透。
如：一一对应关系，包含关系等。
③教学中要注重集合运算的渗透。
如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。
2、数形结合思想。
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
即“以形助数”或“以数解形”。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。
①利用数与形的对应来理解数学概念。
例如：认识分数的教学。
②利用数与形的对应解应用题。
例如：画线段图解应用题。
③坐标思想。
用方程表示图形，沟通数形之间的关系。
在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。
3、函数思想。
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。
4、变换与转化思想。
变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
小学常用数学思想及其教学举例
小学常用数学思想及其教学举例我们的教学实践表明，小学数学教育的现代化，不光是内容的现代化，更是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是数学教育现代化的关键。
现结合我的工作经验，谈谈小学数学中常用的数学思想方法，不当之处敬请斧正。
一、转化思想把新的知识或未解决的问题，通过转变归结为一类较易求解的问题，以求得到解决。
将认知中的“顺应”转变为“同化”。
这就是转化的思想。
举例：五上《多边形的面积》二、化繁为简思想化繁为简，就是把复杂的问题简单化，再把得到的结论应用于复杂的问题。
举例①：六上《植树问题》三数学建模思想所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
如自然数“1”是“1个人”、“一件玩具”等抽象的结果，是反映这些事物共性的一个数学模型；方程是刻画现实世界数量关系的数学模型等。
而建立数学模型的过程就是“数学建模”。
四、数形结合思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。
所谓“数无形，少直观；形无数，难入微”（华罗庚语）。
其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来。
举例：六上第八单元五、对应思想对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当。
对应思想可以理解为在两个集合的元素之间构建联系的一种思想方法。
举例：二上《表内乘法》（）×8=8（）×8=16（）×8=24（）×8=（）（）×8=（）（）×8=（）┇┇六、极限思想事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
举例：六上《圆的面积计算》。
在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发无限逼近的极限思想。
高中数学常见数学思想应用举例
高中数学常见数学思想应用举例河北涉县第一中学（056400）张建军随着新课标的不断深入，数学思想在中学数学教学中的体现和功能引起了广大师生的普遍关注。
本文试从高中数学中常见的六种数学思想应用举例入手，阐述数学思想的重要性，希望引起师生对数学思想的高度重视。
1.函数思想：函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线，函数思想，系最重要的，最基础的数学思想方法之一，是进一步学习数学的重要基础，与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切。
我们这里所说的函数思想，是指运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
【应用举例】：建造一个容积为8立方米深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元。
分析：粗看此题，感觉无从下手，没有思想，无突破口，但如果我们心中有函数这一思想， 构造出变量之间的函数关系式，问题得到解决。
解：设池底的长为x 米，则宽为4x米,总造价为y 元 那么: y =848022)80x x++⨯（ =81602x+)480x+（ 当且仅当82=x x即x=2时，y min=1760(元) ∴最低造价为1760元。
2.方程思想：方程思想是最基本，也是最重要的数学思想方法之一。
它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，通过解方程或方程组使问题获解。
【应用举例】：已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为 (-1,2),且图像过点（0,-1），求这个函数的解析式。
分析：见到本题，多数同学都能说出用待定系数法，殊不知待定系数法体现的数学思想就是方程思想，本题中找到三个独立的条件，列出三个方程组成方程组，问题得到解决。
解：根据题意，列方程得：2112424c b aac b a ⎧⎪=-⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=⎪⎩3 61a b c =-⎧⎪⇒=-⎨⎪=-⎩ 所以：解析式为2361y x x =---.3.整体思想：解数学问题时，人们习惯于化整为零，各个击破，有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过对整体结构的调节和转化使问题获解。
解决不等式问题中的数学思想方法
解决不等式问题中的数学思想方法把握数学思想有利于学生对数学概念和性质的深刻理解和掌握，从而更加灵活地运用所学知识解答相关问题，培养创新能力应用能力。
下面是对解决不等式问题中举例说明几种数学思想方法的运用。
一、类比思想问题1：解方程： + =1问题2：类比方程的解法，尝试着解一元一次不等式+ ≥1，并归纳解题步骤？思路:根据学生非常熟悉的解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，来完成一元一次不等式的解法，但最后一步一定结合不等式的性质来确定解集。
类比思想在中学数学中的概念、公式、性质及解题中无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。
二、数形结合思想例x克x克1．图中表示的不等式的解集是（）-2 -1 0 1 2 3A、x>2B、x≥2C、x<2D、x≤2例2.如图，天平向左倾斜，当天平中x取（）时，天平会向右倾斜。
8A、x>4B、x≥4C、x<4D、x≤4例3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )例4.已知点p(3-m,m-1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )数轴是学习、研究实数的重要工具，借助数轴可以把数与数之间的关系转化为点和点之间的位置关系，不等式组求解集时通过建立数轴的数形结合思想，可以更直观的看出两个解集的公共部分，深刻理解不等式公共解的概念，可以迅速解决相关问题。
三、分类思想分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。
利用不等式组解决方案类问题，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决再结合数形思想形象直观。
分类讨论及数形结合思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力还有形象直观简化解决能力。
例5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.（1）该校初三年级共有多少人参加春游？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．解(1)设租36座的车辆.据题意得:解得:由题意应取8则春游人数为:36 8=288(人).(2) 方案①：租36座车8辆的费用:8 400=3200元,方案②：租42座车7辆的费用:元方案③：因为，租42座车6辆和36座车1辆的总费用:6×440+1×400=3040元。
初中数学常用的17种思想方法
初中数学常用的17种思想方法1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。
不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
小学数学常用的16种解题思想方法
数学|小学数学常用的16种思想方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
分类讨论思想在初中数学中的应用
分类讨论思想在初中数学中的应用分类讨论思想是初中数学中常用的一种解题方法。
它是指将问题分成几类，分别进行讨论，最后综合各类情况得出结论的思考方式。
分类讨论思想的应用可以帮助我们更好地解决数学问题，提高数学能力。
一、常用的分类讨论思想（一）分情况讨论法所谓分情况讨论法，就是把原问题划分为若干不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后根据所有情况的讨论结果得出原问题的解决办法。
例如：某电影院座位有两种，一种是普通座位，票价为25元；一种是豪华座位，票价为50元。
售票系统统计，当电影院所有座位都售出时，收入最高为1200元，最少为900元。
这时要求你编写程序，计算出电影院的总座位数，普通座位数和豪华座位数分别为多少。
这个问题一共有三个未知量，构成了一个三元一次方程组。
假设总座位数为x，普通座位数为y，豪华座位数为z，则可以列出如下方程组：y+z=x25y+50z=120025y+50z=900很显然，这个方程组无解。
因为一张普通座位和一张豪华座位的票价差距是25元，显然不可能造成1200元和900元这种巨大的差距。
则此时需要用到分情况讨论法。
只使用普通座位的收入为25x，只使用豪华座位的收入为50x，则此时有以下两种情况：①只使用普通座位的情况25x=900，得x=36；知道x=36后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=36；由此可得：y=9,z=27。
②只使用豪华座位的情况50x=1200，得x=24；知道x=24后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=24；由此可得：y=24,z=0。
因此，分情况讨论法的最终解决办法是电影院的总座位数是36，普通座位数是9，豪华座位数是27。
（二）合情况讨论法所谓合情况讨论法，就是将原题设想为一个更大的问题，再将其划分为若干个子问题，对每个子问题进行讨论，最后综合所有的子问题的情况，得出原问题的答案。
这种方法主要是利用排除法以及一些特殊的性质。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
高中数学常见解题思想方法——方法篇(高三适用)二、待定系数法 含解析
待定系数法在初中数学就已经涉及,主要应用其来求解函数解析式。
在高中阶段，仍然是数学解题的重要方法，接下来主要研究待定系数法在解题中的应用。
一、什么是待定系数法：待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，引入一些待定的系数，然后列出系数相关的方程组来解出系数，从而求得相关答案.二、待定系数法的使用：如果所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，当未知表达式时,就可以用待定系数法求解表达式.例如很常见的：求函数解析式，数列通项、求和，解析几何中直线、圆以及圆锥曲线的方程,等这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
当然，在其他的内容当中也会涉及到待定系数法.三、使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题的表达式，列出含有待定系数的表达式；第二步，根据已知的恒等条件,列出一组含待定系数的方程;第三步，解方程组得出系数的值或者消去待定系数，从而使问题得到解决.下面来看几个常见的习题：来体会是如何利用待定系数法来解决的。
(一)求函数解析式：例1：已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x 。
解:设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-,5217ax b a x =++=+,2,517a b a =⎧∴⎨+=⎩，得2,7a b =⎧⎨=⎩，∴()27f x x =+.待定系数法求函数解析式，就是已知函数类型，设出待有未知系数的解析式,根据已知列出关于未知系数的方程或方程组，进行求解。
（二）求平面解析几何中曲线的方程：例2：已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(3,0)F -，一条渐20y -=.求双曲线C 的方程。
对于直线、圆、圆锥曲线，它们都有确定的方程表示，求解这些曲线的方程,就是求解当中系数的值，所以如同求函数解析式，根据已知列出关于未知系数的方程或方程组进行求解。
高中数学思想方法归纳举例_王善刚
x〔f 1 x xx JIAOSHIJIAOYU 27关键词：生物 无子果实 单性结实现实生活中有些生物的果实是没有 种子的，这些植物的花不经过受精，也能 常见的几种无子果实的原理比拟河南省南乐一中 付亚敏由子房直接发育成果实。
这种现象叫做单性结实。
单性结实可分为自然单性结实和刺激单性结实两种。
刺激单性结实是指外界给予某种刺激，如冷、热、光等物理刺激和 化学刺激等刺激而诱导形成无子果实。
总的来说可以分为以下几类。
1 . 有些植物不经过受精作用而自发形成无子果实。
如香蕉、菠萝等。
香蕉是天然的三倍体，由于不能形成正常精子和卵细胞，因而也无法进行受精作用形成种子。
2. 通过某种外源生长素刺激而获得无子果实。
无子番茄的获得即属此类。
我们已经知道：子房的发育离不开生长素。
农业生产上经常利用外源的生长素类似物〔如 2，4-D ，吲哚乙酸等〕来代替幼嫩种子产生的生长素刺激未受粉的花蕾柱头来获得番茄无子果实。
3. 利用多倍体育种获得无子果实。
如三倍体无子西瓜。
这种无子果实的获得跟香蕉差不多，只不过是通过人工诱导形成奇数倍体导致生物不育。
三倍体无子西瓜是人工诱导的四倍体与二倍体西瓜杂交而成，在形成配子时，同源染色体联会发生紊乱而无法进行正常的减数分裂，不能形成正常的配子，因此不能完成正常的受精作用也就不能形成种子。
综上所述，无子西瓜、无子番茄、香蕉的无子原理是完全不一样的，它们各自有不同的形成原理，我们一定要能够加以区分。
关键词：数形结合 函数与方法 分类讨论 转化化归一、掌握数学思想方法的重要意义 数学思想方法与数学根底知识相比 高中数学思想方法归纳举例吉林省抚松县第一中学 王善刚较，有着较高的地位和层次. 数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能被忘记.而数学思想方法那么是一种数学意识，只能领会和应用，属于思维的范量关系分析入手，运用数学语言将问题描述转化为数学模型〔函数、方程、不等式〔组〕〕，然后通过函数特征、图像或解方程、不等式〔组〕获得问题的解. 例：函数 f 〔x 〕满足条件：〔f x 〕+ 分为三类：第一类：A 中取 1 个元素，〔C I A 〕∩B 1 2中取 2 个元素，有 C 1 2 C 8 个； 第二类：A 中取 2 个元素，〔C I A 〕∩B2 1 中取 1 个元素，有 个；畴，用于对数学问题的认识、处理和解决. 掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数2〔f 1 〕=x ，那么〔f x 〕=______. x解：将条件中的 x 换成 1 ，即 〔f 1〕C 1 2 C 8 第三类：A 中取 3 个元素，〔C I A 〕∩B3 0中取 0 个元素，有 C C 个.x x1 2 8学的思想方法也还是对你起作用的. +2〔f x 〕= 1 ，把 〔f x 〕，〔f 1 〕均作为一个整∴ 满足题设要求的集合 C 的个数为二、思想方法应用举例 x x 122 13 + + 0 =1 084.C 1 2 C 8 C 1 2 C 8 C 1 2 C 81 .数形结合.体量，可得到这两个量的方程组，即：4.转化、化归思想.数形结合就是把抽象的数学关系与 直观的几何图形结合起来，通过“以形助 xx 〔f x 〕+2〔f x x1 〕=x x 2- x2 在处理问题时，把待解决或难解决的数〞或“以数助形〞，即通过抽象思维与形 x x x 〕+2〔f x 〕= x 1 ，解得〔f x 〕= x 3x . 问题通过某种转化过程，归结为一类已经 解决或者较容易解决的问题，最终求解得象思维的结合，使抽象问题具体化，从而到达优化解题途径的目的.例：某班学生参加数学、物理、化学竞赛，每人至少参加一科. 参加数学竞赛的有 27 人，参加物理竞赛的有 25 人，参加化学竞赛的有 27 人，其中参加数、物两科的有 1 0 人，参加物、化两科的有 7人，参加数、化的有 1 1 人，而参加数学、物理、化学三科的有 4 人，求全班的人数.解：设参加数学、物理、化学的人构成的集合分别用 A 、B 、C 表示，如图，用 Venn 图法可知全班人数为 55 人.3.分类讨论.分类讨论是根据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准进行分类，然后对每一类分别求解，并综合得出答案的一种数学思想，在划分中始终使用统一标准，这个标准应该是科学的、合理的，要满足无重复、无遗漏、最简的原那么.例：集合 A 和 B 各有 1 2 个元素，A ∩B 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数.〔1〕C 哿〔A ∪B 〕，且 C 中含有 3 个元 到答案，应遵循“化难为易，化生为熟，化繁为简〞的原那么.例：求圆〔x - 2〕2+〔y +3〕2=4 上的点到直线 x - y +2=0 的最远距离.解：由于圆是一个对称图形，依其对称性圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，从而转化为圆心到直线的距离问题.圆心坐标为〔2，- 3〕，半径 r =2，圆心〔2，- 3〕 到 直 线 x - y +2=0 的 距 离 为 |2+3+2| = 7 姨2 ＞2，素；〔2〕C ∩A ≠准〔准 表示空集〕. 姨2解：n 〔A ∪B 〕=n 〔A 〕+n 〔B 〕- n 〔A ∩B 〕 2 7 姨2 (其中 n 〔A 〕、n 〔B 〕、n 〔A ∩B 〕分别表示 A 、故最远距离为2+2.2.函数与方程.函数与方程思想就是从问题中的数B 、A ∩B 中含有的元素个数)，∴n 〔A ∪B 〕 =1 2+1 2- 4=20.满足题设条件的集合 C 的个数可划以上四种思想方法贯串高中数学学习始终，所以仅以个案以点带面到达思想的认识.2022·2A 6 B1 0 7 4 3 1 2C 1 3。
数学思想方法
数学资料第 1 页 共 3 页1一、数学思想方法的运用数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、方程与函数的思想、转化的思想。
常用数学方法包括：换元法、消元法（整体消元、加减消元、降幂消元）、递推归纳、构造（建模）、特殊值、排除法、等量代换等等。
举例∶一瓶汽水1.5元,三个空瓶可以换一瓶汽水,问30元钱可以换几瓶汽水。
（ 一 ）方程与函数的思想应用举例∶1、ABC ∆中，AC AB =，O BAD 20=∠，且AD AE =，则=∠CDE2、矩形()CB AB ABCG <与矩形CDEF 全等，点D C B ,,在同一直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数为（ ）个。
3、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ） (A) 14元 (B) 15元 (C) 16元 (D) 18元 4、如图，点C 线段A B 上的一个动点，1A B =，分别以A C 和C B为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是A B 的中点时，S最大C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 为A B 的三等分点时，S最大5、直角三角形ABC中，∠ABC=90O，AB=AD ，CB=CF ，求∠DBF 的值。
6、甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍。
7、在3×3字和都等于S ，先填在图中三格中的数字如图所示，若要填成，则 A 24 B 30 C 31 D 39 8、 如图，矩形ABCD ，AD=a ，AB=b ，要使BC 边上至少存在一点P ，使△ABP 、△APD 、△CDP 两两相似，则a,b 间的关系一定满足（ ） A.a ≥21 b ．a ≥b C. a ≥23b D ．a ≥2b9、每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是多少？10、 如图是生活中常用的一种卫生纸，从这种卫生纸的包装纸上得到资料：“两层300格，每格11.4×11cm(长×宽)。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用在高中数学解题中，分类讨论思想是一种常见且重要的解题方法。
这种方法通常通过将问题分解成若干个较小的、相似的子问题，并分别讨论解决每个子问题的方法，最终得到整体的解决方案。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛。
下面将以一些具体的例子来说明这种思想在不同数学题目中的应用。
1. 几何题分类讨论思想在几何题中的应用非常常见。
在求解一个三角形的某个角度时，可能需要根据给定条件将问题分为几种不同情况，然后分别讨论每种情况下角度的计算方法。
这种思想也适用于其他几何问题，如求解线段的长度、平行线的性质等。
2. 整数问题在解决整数问题时，分类讨论思想也经常被使用。
求解一个整数方程的解集时，可以将问题分为几种不同情况，如方程是一次方程还是二次方程，方程的参数是正数还是负数等，然后分别讨论每种情况下解集的特点和求解方法。
3. 概率问题在求解概率问题时，分类讨论思想也常常被应用。
求解一个复杂事件的概率时，可以将问题分解为几个较简单的子事件，并分别计算每个子事件的概率，然后根据这些子事件的关系得到整体事件的概率。
这种方法在解决多阶段随机实验的概率问题时尤为有用。
5. 排列组合问题在解决排列组合问题时，分类讨论思想也经常被使用。
求解从n个元素中取r个元素的组合数时，可以将问题分为几种不同情况，如r等于n时、r小于n时等，然后分别计算每种情况下的组合数，并将它们相加得到整体的解决方案。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛，几乎涉及到数学各个领域。
通过将问题分解为若干个相似的子问题，并分别讨论每个子问题的解决方法，可以更加系统和有序地解决复杂的数学问题，提高解题效率和准确性。
掌握分类讨论思想对于高中数学学习和解题能力的提升非常重要。
列一元一次方程解应用题中的思想方法
列一元一次方程解应用题中的思想方法众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，列一元一次方程解应用题也不例外，在列一元一次方程解应用题过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决列一元一次方程解应用题，现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明。
一、设k法利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设出其中的平分为k，就能轻松地列出方程求解。
例题一个三角形三条边长的比是2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长。
思路分析：要求三角形的周长，若知道三边即可，由于三角形三条边长的比是2∶4∶5，可设这三条边长分别为2k，4k，5k，这样根据最长的边比最短的边长6厘米，即可列出方程求解。
二、数形结合思想数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把数与形结合起来解析问题的思想方法。
例题如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成。
设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为________。
思路分析：通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，然后顺时针方向上的正方形边长依次大1。
答案：解：设右下角两个边长相等正方形的边长为x，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为x+1、x+2、x+3。
根据矩形的对边相等，可得x+x+(x+1)＝(x+2)+(x+3)，解得x＝4。
所以(x+2)+(x+3)＝13，(x+2)+(x+1)＝11，即13×11＝143。
答：矩形的面积为143平方单位。
三、整体思想在研究应用问题时，若能将所要思考的问题看成一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程。
例题一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数。
思路分析：本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程。
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常见数学思想方法应用举例所谓数学思想,就是对数学知识和方法地本质认识,是对数学规律地理性认识.所谓数学方法,就是解决数学问题地根本程序,是数学思想地具体反映.数学思想是数学地灵魂,数学方法是数学地行为.运用数学方法解决问题地过程就是感性认识不断积累地过程,当这种量地积累达到一定程序时就产生了质地飞跃,从而上升为数学思想.其实,在初中数学中,许多数学思想和方法是一致地,两者之间很难分割.它们既相辅相成,又相互蕴含.因此,在初中数学教学中,加强学生对数学方法地理解和应用,以达到对数学思想地了解,是使数学思想与方法得到交融地有效方法.比如化归思想,可以说是贯穿于整个初中阶段地数学,具体表现为从未知到已知地转化、一般到特殊地转化、局部与整体地转化,课本引入了许多数学方法,比如换元法,消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等.在教学中,通过对具体数学方法地学习,使学生逐步领略内含于方法地数学思想；同时,数学思想地指导,又深化了数学方法地运用.初中阶段《数学大纲》要求我们了解地常用地基本数学思想有：整体思想与分类地思想、数形结合地思想、化归地思想、函数与方程地思想,抽样统计思想等.《数学大纲》中要求“了解”地方法有：分类法、类比法、反证法等.要求“理解”或“会应用”地方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等.1、 整体思想整体思想是一种常见地数学方法,它把研究对象地某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部地有机联系,从而在客观上寻求解决问题地新途径.往往能起到化繁为简,化难为易地效果.它在解方程地过程中往往以换元法地形式出现.例1、整体通分法计算112+--x x x 解：原式1111)1)(1(1122--=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分,则运算较为复杂；一般情况下,把分母为1地整式看作一个整体进行通分,运算较为简便.例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ,求34121311222+++-⨯-+-+a a a a a a a 地值. 解：化简得原式2)1(2+=a ,由0822=-+a a 得9)1(2=+a ,∴ 原式92=.评注：本题通过整体变形代入,起到降次化简地显著效果.例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2＋x ＝y,则原方程可变形为（ ）A 、y 2＋y －6＝0B 、y 2－y －6＝0C 、y 2－y ＋6＝0D 、y 2＋y ＋6＝0 解：选A例4、平移法(泸州05改编)如图,在宽为20m ,长为30m 地矩形地面 上修建两条同样宽地道路,余下地耕地面积为551m 2,试求道路地宽x = m解析：我们只要用平移法把两条道路分别移到矩形地两侧,合并为一个整体,而面积却没有改变,得方程551)30(20=--x x ）（得.1=x 2、分类思想分类思考地方法是一种重要地数学思想,同时也是一种解题策略.在数学中,我们常常需要根据研究对象性质地差异,按照一定地标准,把有关问题转化为几个部分或几种情况,从而使问题明朗化,然后逐个加以解决,最后予以总结得出结论地思想方法.例5、定义分类（潍坊市05）已知圆A 和圆B 相切,两圆地圆心距为8cm,圆A 地半径为3cm,则圆B 地半径是（ ）．A 、5cmB 、11cmC 、3cmD 、5cm 或11cm解：选D （按定义分内切与外切两种）.例6、位置分类(资阳市05)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上地点地最大距离为a ,最小距离为b (a >b ),则此圆地半径为A 、 2a b + B 、 2a b - C 、 2a b +或2a b - D 、 a +b 或a -b （ ） 解析：需考虑点P 在圆内与圆外两中情况,选C.例7、系数分类：（淄博市04改编）若关于x 地0122=-+x kx 有实数根,则k 地取值范围是（Ａ）k ＞－1 （Ｂ）k ≥－1 （Ｃ）k ＞－1且k ≠0 （Ｄ）k ≥－1且k ≠0解：分系数00≠=k k 与两种情况讨论,选B .例8、运算法则分类（衢州市04改编）根据下图所示地程序计算函数值,若输出地γ值为2,则输入地χ值为（ ）AB 、0 CD解：选A.例9、取值分类：(日照05改编)已知a 、b 满足122=-a a ,122=-b b ,则ab b a +值等于 . 解：（1）当b a =时,值为2；当b a ≠时,b a ,是0122=--x x 地两异根,值为6-.3、方程思想方程是刻画现实世界地一个有效地数学模型,是研究数量关系地重要工具.我们把所要研究地问题中地已知与未知量之间地相等关系,通过建立方程或方程组,并求出未知量地值,从而使问题得解地思想方法称为方程思想.方程思想在实际问题、代数和几何中都有着广泛地应用.1） 用方程思想解实际问题例10、国家为了加强对香烟产销地宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌地香烟每条地市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%),则每年地产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟地产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?解析：根据题意得70(100-10x).x%=168,x 2-10x+24=0,解得 x 1=6, x 2=4,当x 2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x 1=6时,100-10×6=40<50,∴税率应确定为6%.评注：数学应贴近生活,关注生活,在近年中考中越来越得到重视,应用题不失为一个很好地载体.2）用方程思想解有关函数题基本类型有：通过列方程或方程组求待定系数,进而求出函数解析式；研究函数图象地交点,解决函数图象与坐标轴交点等有关问题.例11、（镇江市05）已知反比例函数xk y =地图像与一次函数y kx b =+地图像相交于点（2,1）. 求：（1）k b ，地值；（2）两函数图像地另一个交点地坐标.第9题图解：（1）把点（2,1）代入xk y =得2=k ,把2=k 和点（2,1）代入y kx b =+得3-=b . ∴2=k ,3-=b . （2）当2=k ,3-=b 时反比例函数为,2x y =一次函数32-=x y 联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==322x y x y 322-=∴x x 得⎩⎨⎧==1211y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=42122y x ∴另一个交点为)4,21(--. 3）用方程思想解证几何题所谓用方程思想解证几何题,就是充分挖掘题设和结论中隐含地数量关系,借助图形地直观性质,寻求已知量与未知量之间地等量关系,借以建立方程或方程组,然后应用方程地理论和解方程地方法,求得几何题地解决.例12、(杭州市05)已知AC 切⊙O 于A,CB 顺次交于⊙O 于D,B 点,AC=6,BD=5,连接AD,AB.（1） 证明△CAD ∽△CBA ；（2） 求线段DC 地长.解：（1）略；（2） △CAD ∽△CBA ∴BCAC AC CD =∴BC CD AC ⋅=2 即：66)5(⨯=+⋅CD CD 解得4=CD ,9-=CD （不合题意）.4、化归思想所谓化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将陌生地或不易解决地问题,转化为我们熟悉地,或已经解决地、容易解决地问题,从而最终把数学问题解决地思想方法.例13、未知向已知转化（日照市04）方程组{322=-+-=x y mx y 只有一个实数解,则实数m 地值是 . 解：0,21,61--（转化为一元一次方程或一元二次方程考虑有解） 例14、复杂向简单转化(武汉市05)如图,中,,AC ＝2,AB ＝4,分别以AC 、BC 为直径作半圆,则图中阴影部分地面积为 .分析:图中阴影部分是一个不规则地图形,其结构较为复杂.解这类题时,我们可把不规则图形地面积转化为简单、规则图形地面积和或差来处理.解:ABC S S S S ∆-+=小半圆大半圆阴影=322-π例15、2005年） 如图15①,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,,则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,那么S 1、S 2、S 3) (2) 如图15③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,请你确定S 1、S 2、S 3之间地关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同地关系,所作三角形应满足什么条件？证明你地结论；第14题图第12题图(4) 类比(1)、(2)、(3)地结论,请你总结出一个更具一般意义地结论 .分析:特殊化和一般化是我们数学解题地常用方法,而由特殊情况得出更为普遍和一般地结论,或由普遍和一般地结论得出特殊情况,这也是我们数学发现地重要策略和常用方法.解：设直角三角形ABC 地三边BC 、CA 、AB 地长分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2 .(1) S 1=S 2+S 3 .（2）S 1=S 2+S 3 .证明如下：显然,S 1=243c ,S 2=243a , S 3=243b , ∴S 2+S 3=()12224343S c b a ==+ . (也可用三角形相似证明) (3) 当所作地三个三角形相似时,S 1=S 2+S 3 . 证明如下：∵ 所作三个三角形相似, ∴2212c a S S =,2213c b S S = 321222132,1S S S cb a S S S +=∴=+=+∴.(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,则S 1＝S 2＋S 3 .5、数形结合思想所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题地数量关系转化为图形地性质,或者把图形地性质转化为数量关系,从而使复杂问题简单化,抽象问题具体化.例16、(日照05)近年来市政府不断加大对城市绿化地经济投入,使全市绿地面积不断增加．从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示,那么绿地面积地年平均增长率是__________．解析：设绿地面积地年平均增长率是为x ,则可得363)1(3002=+x ,解得1.2,1.021-==x x （不合题意,舍去）,故绿地面积地年平均增长率是10%.评注：数形结合是近年中考地热点,正确地读（识）图是本题地关键.注意：平均增长率并不是两年增长率地平均值.若原来地基数为a ,平均增长率为x ,则增长一次后达到)1(x a +,增长二次后达到2)1(x a +…增长n 次后达到n x a )1(+；若改为平均减少地百分率为x ,则减少一次后为)1(x a -,减少二次后为2)1(x a -…减少n 次后为n x a )1(-.7、抽样统计思想用样本地平均数、方差来估计总体地平均数、方差是一种抽样统计思想,这种思想是可靠地、科学地,在节约人力、物力、财力地同时,也提高了工作效率.但要注意,抽样调查选取地样本是否合适：一要保证抽取地样本有代表性；二要抽取地样本容量要尽量大些,这样地估计才比较准确,偏差也比较小.我们可以用理论来预测概率,同时可用概率来预测实验中一件事情发生地频率；但倒过来用实验所得频率估计概率时,要注意在相同地条件下,重复地次数越多,估计地概率才越精确.例17、(长沙市05)某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查,并组织评委会对学生写出地调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后地调查报告进行统计,绘制了统计图如下,请根据该图回答下列问题：(l)学生会共抽取了______份调查报告；(2)若等第A 为优秀,则优秀率为_____________；(3)学生会共收到调查报告1000份,请估计该校有多少份调查报告地等第为E?解：（1）50；（2）16%；（3）401000502=⨯（份）.第15题图 第16题图例18、(泰州市05)学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色地口袋里装有只有颜色不同地50只小球,其中红球1只,黄球2只,绿球10只,其余为白球．搅拌均匀后,每2元摸1个球．奖品地情况标注在球上(如下图)(1)如果花2元摸1个球,那么摸不到奖地概率是多少？(4分)(2)如果花4元同时摸2个球,那么获得10元奖品地概率是多少？(5分)解：(1)∵白球地个数为50－1－2－10=37∴摸不到奖地概率是：37 50（2）获得10元地奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球∴获得10元奖品地概率是：12549=11225.。