西安交大复变函数课件2-3初等函数

(k 0, 1, 2, )
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例6 求下列各式的值: (1)Ln(2 3i); (2)Ln(3 3i); (3)Ln(3).
解 (1)Ln(2 3i)
ln 2 3i iArg(2 3i)
1 2
ln13
i
arctan
3 2
2k .
(k 0, 1, 2, )
11
(2)Ln(3 3i)
z ew在区域 arg z 内的反函数 w ln z
是单值的,
dln z 1 dz dew
1. z
dw
所以, 除原点与负实轴 , 在复平面内其它点 ln z [证毕]
处处解析，连续 .
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三、乘幂 ab与幂函数
1. 乘幂的定义 设 a 为不等于零的一个复数, b 为任意一个
复数,乘幂 ab 定义为ebLna , 即 ab ebLna . 注意: 由于 Lna ln a i(arga 2k) 是多值的,因而 ab 也是多值的. (1) 当 b 为整数时, ab ebLna eb[ln a i(arga2k)]
第三节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数 五、小结与思考
一、指数函数
1.指数函数的定义: 当函数 f (z) 在复平面内满足以下三个条件 :
(1) f (z)在复平面内处处解析; (2) f (z) f (z); (3)当Im(z) 0时, f (z) ex ,其中x Re(z).
1
an
1 Ln a
en
1 ln
en
a
cos
arga n
2k
i sin arga n
2k
17
a
1 n
cos
arga n
2k
i
sin
arga n
2k
n
a,
其中 k 0,1,2, ,(n 1).
(2)
Ln z1 z2
Lnz1 Lnz2
,
(3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支
和其它各分支处处连续, 处处可导, 且
(ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z
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证 (3) 设 z x iy , 当 x 0 时,
lim arg z ,
y0
lim arg z ,
y 0
i[(sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )] e x1x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )] exp(z1 z2 ) 右端.
4
根据加法定理, 可以推出 exp z 的周期性, exp z 的周期是2ki,
即 ez2ki ez e2ki ez . (其中k为任何整数)
称为对数函数, 记为 w Lnz ln z iArgz. 由于 Argz 为多值函数, 所以对数函数w f (z) 也是多值函数, 并且每两值相差2πi的整数倍.
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如果将Lnz ln z iArgz中Argz 取主值arg z, 得 Lnz 一单值分支函数，记为ln z，称为Lnz 的主值.
此函数称为复变数 z的指数函数, 记为 exp z 有前例有 exp z ex (cos y i sin y)
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指数函数的定义等价于关系式:
| exp z | e x ,
(其中k为任何整数)
Arg(expz) y 2k,
指数函数expz 可以用ez 来表示. ez e x (cos y i sin y)
(2k 1)i (k为整数) 所以 Ln( 1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
9
例5 解方程 ez 1 3i 0. 解 因为 ez 1 3i,
所以 z Ln(1 3i)
ln1
3i
i
3
2k
ln
2
i
3
2k
ln 3 3i iArg(3 3i)
ln 2 3 iarctan 3 2k
3
ln 2
3
i
2k
6
.
(k 0, 1, 2, )
(3)Ln(3) ln 3 iArg(3)
ln 3 (2k 1)i. (k 0, 1, 2, )
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2. 性质
(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
注意 ez 没有幂的意义, 只是代替exp z 的符号.
3
2. 加法定理 exp z1 exp z2 exp(z1 z2 ) 证 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 左端 exp z1 exp z2 e x1 (cos y1 i sin y1) e x2 (cos y2 i sin y2 ) e x1 x2 [(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 )]
该性质是实变指数函数 e x所没有的.
5
z
例3 求函数 f (z) e5 的周期.
解 ez 的周期是2ki,
z
z 2ki
z 10 ki
f (z) e5 e5 e 5
f (z 10ki),
z
故函数 f (z) e5 的周期是 10ki.
6
二、对数函数
1. 定义 z ew 的反函数w f (z)
ln z ln z i arg z. 其余各值为 Lnz ln z 2ki (k 1,2, ), 对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支.
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例4 求 Ln2, Ln(1)以及与它们相应的主值. 解 因为 Ln2 ln 2 2ki,
所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln(1) ln1 iArg(1)
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eb(ln a iarga)2kbi ebln a , ab具有单一的值.
(2)当 b p ( p与q为互质的整数, q 0)时, q
p[ln a i(arga2k)]
p ln a i p(arga2k)
ab eq
eq q
e
p q
ln
a
cos
p q
(arga
2kπ)
i
sin
p q
(arga
2kπ)
ab具有 q 个值, 即取 k 0,1,2, ,(q 1)时相应的值.
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特殊情况: 1)当 b n (正整数)时,
an enLna eLnaLna Lna
(指数 n 项)
eLna eLna eLna
(因子 n 个)
a a a. 2)当 b 1 (分数)时,
n
(因子 n 个)